11.3.2 两数和（差）的平方 课件 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“两数和（差）的平方”公式，通过“老人分糖果”情境导入，比较a²+b²与(a+b)²的糖果数差异，衔接整式乘法知识，搭建从生活到数学的学习支架。 其亮点在于以几何直观验证公式（图形面积分解大正方形），培养推理能力（多项式乘法推导公式及变形），渗透模型意识（整体思想处理三项式平方）。采用情境探究、例题变式教学，学生提升符号意识和运算能力，教师可高效落实公式教学。

第十一章 整式的乘除 11.3.2 两数和（差）的平方 华东师大版八年级数学上册 1.理解两数和(差)的平方公式，掌握完全平方公式的结构特征、几何解释，并能正确地应用公式进行计算； 2.经历探索两数和(差)的平方公式的过程，并能灵活运用公式准确无误地进行简单的代数运算； 3.通过两数和(差)的平方公式的得出，培养学生探索能力和概括能力，体会数形结合的思想，进一步发展学生的符号感和推理能力. 学习目标 有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果来招待他们.来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块…… 第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子a2块糖；第二天有b个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子b2块糖；第三天这(a +b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子(a+b)2块糖. 思考：这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多，多多少呢？ 第三天：(a+b)2 情境导入 活动一：探究两数和的平方公式 计算下列多项式的积，看谁算的又快又准！ (1) (a+1)2 =(a+1)(a+1)= ； (2) (m+2n)2=(m+2n)(m+2n)= ； (3) (2x+3y)2=(2x+3y)(2x+3y)= ； a2+4a+4 m2+4mn+4n2 4x2+12xy+9y2 思考：(1)它们的积有什么特点? 二次三项式 (2)等式有什么特点? 等式左边：两个数的和的平方；等式右边：是二次三项式，它是左边两数的平方和加上左边两数积的两倍. 探究新知 思考：你能用一个数学式子来反映这种规律吗? (a+b)2=a2+2ab+b2 符号语言： (a+b)2= 文字语言：两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍. (a+b)(a+b)= a2+ab+ab+b2 这个公式叫做两数和的平方公式. 两数和的平方公式 利用这个公式，可以直接计算两数和的平方. = a2+2ab+b2 多项式的乘法 合并同类项 活动一：探究两数和的平方公式 首平方，尾平方，积的2倍夹中央. 探究新知 想一想：你能用几何法验证两数和的平方公式吗？ 观察图形，指出它包含哪些长方形和正方形，并用等式表示下图中图形面积的运算： 活动一：探究两数和的平方公式 a a b b a a b b a2 ab ab b2 = + + (a+b)2 a2 2ab = + + b2 探究新知 (a-b)2=a2-2ab+b2 试一试：推导两数差的平方公式(a-b)2： 活动二：探究两数差的平方公式 (a-b)2= 分析：我们可以根据多项式的乘法法则直接计算(a-b)2. 注意到a-b=a+(-b)，也可以利用两数和的平方公式来计算. [a+(-b)]2 =a2+2a(-b)+(-b)2 =a2-2ab+b2 两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍. (a-b)2= (a-b) (a-b) =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2 两数和的平方 探究新知 想一想：观察图形，指出它包含哪些长方形和正方形，你能用图中的面积关系来解释两数差的平方公式吗? 活动二：探究两数差的平方公式 a b a b a2 ab ab b2 = - + a2 2ab = - + b2 探究新知 活动二：探究两数差的平方公式 归纳：两数和(差)的平方公式的结构特征： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 ①等号的左边是一个二项式的完全平方； ②右边是一个二次三项式，其中有两项是等号左边二项式中每一项的平方，另一项是左边两项乘积的2倍，简述为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”； ③公式中的a和b既可以表示数、单项式，也可以表示多项式. 公式也可以逆用：a2±2ab +b² =(a±b)2. 探究新知 思考：(a+b)2与(-a-b)2相等吗？(a-b)2与(b-a)2相等吗？(a-b)2与a2-b2相等吗？为什么？ (-a-b)2=(-a)2-2·(-a)·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2； 活动二：探究两数差的平方公式 (b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2； (a-b)2=a2-2ab+b2，与a2-b2不一定相等. 若(a-b)2=a2-b2，则ab=b2，b(b-a)=0， 故当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2. 探究新知 归纳：常见两数和(差)的平方公式的五种变形 ①a2+b2=(a+b)2-2ab； ②a2+b2=(a-b)2+2ab； ③(a+b)2=(a-b)2+4ab； ④(a-b)2=(a+b)2-4ab ⑤(a+b)2-(a-b)2=4ab； 活动二：探究两数差的平方公式 探究新知 计算： 教材 例题 (1) (2x+3y)2 ； 解：(1) (2x+3y)2 =(2x)2+2×2x×3y+(3y)2 =4x2+12xy+9y2 (1) (2x+3y)2 分析： ( a + b)2= a2 + 2ab + b2 =(2x)2+2×2x×3y+(3y)2 应用新知 计算： 教材 例题 (1) (2x+3y)2 ； 分析： ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 使用公式时，先把要计算的式子与两数和(差)的平方公式对照，明确个是a,哪个是b. 应用新知 计算： 教材 例题 (1) (3x-2y)2 ； (1) (3x - 2y)2 分析： ( a - b )2= a2 - 2ab + b2 = (3x)2 - 2×3x×2y + (2y)2 应用新知 a 计算： 教材 例题 (1) (3x-2y)2 ； 分析： b (a+b)2= a2 +2ab+ b2 你还有其他解法吗? 应用新知 计算： 教材 例题 (1) (3x-2y)2 ； 方法二 方法三 还能想到什么方法? 应用新知 应用两数和(差)的平方公式的注意事项 ①在应用公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2时，关键是弄清题目中哪一个相当于公式中的a，哪一个相当于公式中的b； ②注意两个数乘积的符号与运算符号的关系. 方法总结 应用新知 (1) 1032； = 10000 + 600 + 9 = 10609. (2) 972. = 9409. 运用两数和(或差)平方公式计算： 解：原式 = (100 + 3)2 分析： 应用新知 运用乘法公式计算: (1)(m + n - 2)(m - n + 2)； (2)(m+ n -p)2 分析： 第(1)题先分组，再用平方差公式进行计算，分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”，最后再用两数差的平方公式计算. 解：原式 = [m + (n - 2)][m - (n - 2)] = m2 - (n – 2)2 = m2 - (n2 – 4n + 4) = m2 - n2 + 4n – 4. 注意变号 平方差公式 两数差的平方公式 应用新知 运用乘法公式计算: (1)(m + n - 2)(m - n + 2)； (2)(m+n -p)2 分析： 第(2)题要把其中两项看成一个整体，再按照两数和(或差)平方公式进行计算. 解：原式=[(m+n)-p]2=(m+n)2-2·(m+n)·p+p2= m2+2mn+n2-2mp-2np+p2 也可以： 原式=[m+(n-p)]2=m2+2·m·(n-p)+(n-p)2= m2+2mn-2mp+n2-2np+p2 应用新知 运用整体思想求解 ①对于平方式中底数是三项的多项式，通过添括号将其中任意两项视为一个整体，就符合完全平方公式的特点； ②对于两个乘积式中的三项或四项的多项式，可将符号相同的项及符号相反的项分别添括号视为一个整体，化成平方差公式的形式，通过平方差公式展开，再利用两数和(差)的平方公式展开，最后合并可得结果. 方法总结 应用新知 1.计算： (1)(x+3)2 (2)(2x+y)2 解：(1)(x+3)2=x2+2·x·3+32=x2+6x+9 (2)(2x+y)2=(2x)2+2·2x·y+y2=4x2+4xy+y2 2.计算： (1)(x-3)2 (2)(2m-3n)2 解：(1)(x-3)2=x2-2·x·3+32=x2-6x+9 (2)(2m-3n)2=(2m)2-2·2m·3n+(3n)2=4m2-12mn+9n2 课堂练习 3.计算： (1)(-2m+n)2 (2)(-2m-n)2 解：(1)(-2m+n)2 =(-2m)2+2·(-2m)·n+n2 =4m2-4mn+n2 (2)(-2m-n)2 =(2m)2+2·2m·n+n2 =4m2+4mn+n2 =[-(2m+n)]2 = (2m+n)2 4.若(x＋3)2＝x2＋ax＋9，则a的值为(　　) A.3 B.±3 C.6 D.±6 (x＋3)2＝x2＋2·x·3＋9=x2＋6x＋9 分析： C 课堂练习 不含x项，即x项的系数为0，依此求出参数a的值；然后先化简代数式，再直接代入求解. 分析： 11 课堂练习 6.已知4x=3y，求代数式(x-2y)2-(x-y)(x+y)-2y2的值. 解：(x-2y)2-(x-y)(x+y)-2y2 =x2-4xy+4y2-(x2-y2)-2y2 =x2-4xy+4y2-x2+y2-2y2 =-4xy+3y2. 当4x=3y时，原式=-3y2+3y2=0. 先化简代数式，然后根据条件代入求值. 课堂练习 7.试说明不论x，y取什么有理数，多项式x2＋y2－2x＋2y＋3的值总是正数. 解：x2＋y2－2x＋2y＋3＝x2－2x＋1＋y2＋2y＋1＋1 先化简多项式，观察式子特征，然后判断其正负. 分析： 因为(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，所以(x－1)2＋(y＋1)2＋1的最小值为1. 所以不论x，y取什么有理数，多项式x2＋y2－2x＋2y＋3的值总是正数． ＝(x－1)2＋(y＋1)2＋1， 课堂练习 常用公式 法则 文字语言：两数和(差)的平方，等于这两数的平方和加上(或减去)它们的积的2倍. 注意事项 两数和(差) 的平方 ②不能直接应用公式进行计算的式子，需要先添括号分组变形，然后再利用公式进行计算. ①不丢项、不弄错符号，2ab时不少乘2；首项、末项是乘积或多项式被平方时要注意添括号； 符号语言：(a±b)2 = a2±2ab＋b2 常用公式变形式： a2 + b2 = (a + b)2 -2ab = (a - b)2 +2ab； (a + b)2 = (a - b)2 +4ab；4ab = (a＋b)2 - (a - b)2 总结归纳 $