11.3.2 两数和（差）的平方 课件 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“两数和（差）的平方”公式，通过披萨面积比较的实际情景导入，引发认知冲突，再经多项式乘法实例探索规律，结合代数推理与几何图形面积验证，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，用几何图形面积验证公式培养几何直观，类比探究差公式发展推理能力，口诀“首平方，尾平方，乘积两倍在中央”强化模型意识。学生提升抽象与逻辑推理能力，教师可依托完整探究流程提升教学效率。

11.3.2 两数和（差）的平方 1.理解并掌握两数和(或差)平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，体会数形结合的数学思想，并熟练的应用公式进行计算。（重点难点） 2.在探索公式的过程中，提升探索能力和概括能力，并进一步发展数学抽象能力和逻辑推理能力。 学习目标 一、实际情景，激趣导入 三、类比探究完全平方差公式 四、跟踪练习，强化知识 五、总结收获，拓展延申 二、初步探索完全平方和公式 规律探索 代数推理 几何验证 尝试应用 明明订购了一个 6 寸（直径）的大披萨，不久店员打电话告知 6 寸的披萨卖完了，问能否换购一个 4 寸（直径）和一个 2 寸（直径）的小披萨(披萨近似看作圆).明明不同意，你知道原因吗？ 大披萨的面积：S = π·32 = 9π . 小披萨的面积之和：S = π·22 + π·12 = 5π . 你发现了什么？ (2 + 1)2 ≠ 22 + 12. 5π＜9π，所以明明不同意. 一、实际情景，激趣导入 探究 1：两数和的平方公式 (1) ( p + 1 )2 = = . 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (2) ( m + 2 )2 = = . p2 + p + p + 12 m2 + 2m + 2m + 22 两数的___的平方 和 两数____的和， 平方 加上它们积的__倍 2 p2 + 2p + 12 m2 + 4m + 22 规律探索 利用所学知识证明：上述结果对于任意数字，是否仍成立？ ∵(a＋b)2 = (a＋b)(a＋b) = a2＋2ab＋b2. = a2 ＋ ab ＋ ab ＋ b2 ∴上述结果仍成立. 代数角度证明. 代数推理 以小组为单位，观察图形，指出它包含哪些长方形和正方形，并借助几何图形的面积证明上述代数恒等式。 a a b b a a b b a2 ab ab b2 = + + (a+b)2 a2 2ab = + + b2 几何角度证明. 几何验证 我们又得到一个新的公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 这就是说，两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍. 这个公式叫做两数和的平方公式. 利用这个公式，可以直接计算两数和的平方. 得出结论 (1) (2x + 3y)2 (2) (2a+ )2 + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2 = (2a)2 + 2 · 2a · + ( )2 = 4a2 + 2ab + 例4： ( a＋b )2 = a2 ＋ 2ab ＋ b2 尝试应用 = (2x)2 + 2 · 2x · 3y 利用这个公式，可以直接计算两数和的平方. 探究 2：两数差的平方公式 请同学们类比两数和的平方公式的推导过程，尝试从规律探索-代数推理-几何验证三个步骤探索两数差的平方公式。 并以小组为单位进行展示。 (3) ( p－1 )2 = ( p－1 )( p－1 ) = . p2－2p + 12 (4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2 ) = . m2－4m + 22 小组共同探索，请你总结出规律并进行验证。 规律：两个数的差的平方，等于这两个数平方的和，减去它们的积的 2 倍. 验证：对于任意数字，探究上述结果是否仍成立？ 探究 2：两数差的平方公式 规律探索 请用学过的知识来验证你的规律。 方法1：直接计算 (a−b)2 =(a−b)(a−b) =a2−ab−ab+b2 =a2−2ab+b2 方法2：整体代入 (a−b)2 =[a+(−b)]2 =a2+2×a×(−b)+(−b)2 =a2−2ab+b2 代数推理 思考：除了用多项式乘多项式的知识来解决？还可以用什么？ 指出图形中包含哪些长方形和正方形，类比上述几何方法利用图中的面积关系来验证两数差的平方规律吗? a b a b a2 ab ab b2 = - + (a-b)2 a2 2ab = - + b2 a b 几何验证 这样就得到了两数差的平方公式： (a−b)2=a2−2ab+b2 这就是说，两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍. 例5 计算： (1) (3x - 2y)2； 解：(1) (3x - 2y)2 + (2y)2 = (3x)2 - 2 · 3x · 2y = 9x2 - 12xy + 4y2. 尝试应用 得出结论 解法一 解法二 解法三 (1) 1022； 解：原式 = (100 + 2)2 = 10000 + 400 + 4 = 10404. (2) 992. 解：原式 = (100－1)2 = 10000 － 200 + 1 = 9801. 1.运用两数和（或差）平方公式计算： 跟踪练习 (1) (6a + 5b)2； 解：原式= 36a2 + 60ab + 25b2. (2) (4x - 3y)2 ； 原式 = 16x2 - 24xy + 9y2. 2.运用两数和（或差）平方公式计算： (3) (2m - 1)2 ； 原式= 4m2 - 4m + 1. (4)( - 2m - 1)2 . 原式= 4m2 + 4m + 1. 2.运用两数和（或差）平方公式计算： （5）(a + b + c)2 原式 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac. 解： 思考：公式中只有两数的平方，那么三数的平方怎么转化呢？ 完全平方公式 两数和的平方公式： 两数差的平方公式： (a+b)2=____________ (a−b)2=____________ a2−2ab+b2 a2+2ab+b2 公式特征： 左边：两数和（差）的平方. 右边：1.积为二次三项式； 2.前后两项为两数的平方和； 中间项是两数积的2倍. 3.公式中的字母 a，b 可以表示数、单项式或多项式. 简记为： 首平方，尾平方， 积的2倍在中央， 积的符号看前方！ 思考题： (a + b)2 与 (-a - b)2 相等吗? (a - b)2 与 (b - a)2 相等吗? (a - b)2 与 a2 - b2 相等吗? 为什么? (-a - b)2 = [-(a + b)]2 = (a + b)2. (b - a)2 = [-(a - b)]2 = (a - b)2. (a - b)2 与 a2 - b2 不一定相等，只有当 b = 0 或 a = b 时，(a - b)2 = a2 - b2. 总结与收获 1.本节课中你学到了哪些数学知识？用到了哪些数学思想与方法？ 完全平方公式的基本定义 两数和(差)的平方公式即完全平方公式，包括两数和的平方公式 (a + b)2=a2+2ab+b2和两数差的平方公式 (a - b)2=a2−2ab+b2。两数和的平方等于这两数的平方和加上它们积的2倍，两数差的平方等于这两数的平方和减去它们积的2倍。 总结与收获 2.在本节课的探索过程与之前平方差公式的探索过程有什么异同点？ 3.你又积累了哪些学习数学的经验？你觉得这些经验可以用在哪里？ 总结与收获 完全平方公式的结果为二次三项式，其中两项为两数的平方和，另一项是两数积的2倍，且中间项的符号与左边括号内的符号一致。记忆口诀为“首平方，尾平方，乘积两倍在中央，符号看前方”。公式中的a、b可以表示数、单项式和多项式，应用时需注意不要漏掉乘积项中的系数，也不要与平方差公式混淆。 谢谢观看 Thank you $