第三单元 数与运算的再认识（分层作业）数学六年级上册苏教版（新教材）

**基本信息** 以“知识补给站-固本夯基-启智拓新”三级分层设计，通过概念巩固-技能应用-深度探究的路径，强化数与运算核心概念，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识补给站|商不变规律、加减法共同点等核心概念|填空形式直接强化概念记忆，奠定认知基础| |固本夯基|单一知识点应用（如计数单位辨析、运算规则应用）|选择与填空结合，通过易混点辨析（如计数单位个数与大小）提升运算能力| |启智拓新|跨知识点综合探究（如整数小数分数运算共性、算理阐释）|解答题要求解释算理（如分数除法）与构建联系，发展推理意识与数学表达能力|

第三单元 数与运算的再认识 分层作业 知识补给站 一、商不变的规律 在除法运算中，被除数和除数同时乘或除以同一个______的数，商不变。利用这个规律，我们可以将除数转化为整数来思考。 二、加减法的共同点 整数、小数和分数在进行加减法运算时，只有______相同，才能直接相加减。 三、分数除法的计算方法 分数除以整数（0除外），等于乘这个整数的______。 参考答案： 一.不为0 二.计数单位 三.倒数 固本夯基 1．在探索时，用商不变的规律进行思考的是（    ）。 A．把6个平均分成两份，每份就是3个，也就是。 B．把平均分成两份，每份就是的，也就是。 C．。 D．。 【答案】C 【分析】商不变规律：被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变。据此判断。 【详解】A．以为分数单位，将理解为6个，即；平均分成两份，6÷2＝3，每份就是3个，即，是乘法的意义，不是商不变规律。 B． 根据“除以一个不为0的数等于乘它的倒数”，将分数除法转化为分数乘法进行计算，不是商不变规律。 C． 被除数和除数2同时乘，符合商不变规律。 D． 根据分数除以整数的计算方法，分母不变，分子除以整数，不是商不变规律。 2．观察7、0.7和这三个数，它们的（    ）相同。 A．大小 B．计数单位 C．计数单位的个数 D．数位 【答案】C 【分析】根据数位顺序表可知，小数点的左边是整数位，小数整数部分的数位与整数的数位相同，依次是个位、十位、百位、千位……，对应的计数单位分别是一、十、百、千……；小数点的右边是小数位，依次是十分位、百分位、千分位……，对应的计数单位分别是十分之一或、百分之一或、千分之一或……；数位上是几，就表示有几个这样的计数单位。 【详解】A．，因为，所以，这三个数的大小不相同，此选项错误； B．的计数单位是一，的计数单位是，的计数单位是，计数单位不相同，此选项错误； C．里面有个一，里面有个，里面有个，计数单位的个数都是，它们计数单位的个数相同，此选项正确； D．在个位，的在十分位，数位不相同，此选项错误。 3．学习要善于比较和总结，结合下表对学过的整数、小数和分数的加减法进行归纳，发现整数、小数、分数加减计算的相同点：只有（    ）相同，才能直接相加减。 整数 个十加个十 小数 个减个 分数 个加个 A．位数 B．计数单位 C．数位 D．数级 【答案】B 【分析】整数加减法中，相同数位上的数才能直接相加减，本质是相同计数单位相加减；小数加减法小数点对齐，也是让相同计数单位相加减；分数加减法中，分数单位相同才能直接相加减。由此可知，整数、小数、分数加减计算的相同点是只有计数单位相同，才能直接相加减。 【详解】A．位数相同不一定能直接相加减，不符合题意； B．计数单位相同，才能直接相加减，符合题意； C．数位是整数和小数中的说法，分数加减法中要看分数单位是否相同，不符合题意； D．数级不是三类数加减计算都要依据的共同点，不符合题意。 所以整数、小数、分数加减计算的相同点是只有计数单位相同，才能直接相加减。 4．下列说法错误的是（    ）。 A．8534267中的“8”表示8个百万 B．0.572中的“7”表示7个0.01 C．中的“2”表示2个一 【答案】C 【分析】整数的数位从右往左依次是个位、十位、百位、千位、万位、十万位、百万位……；小数的数位从小数点往右依次是十分位、百分位、千分位……，对应的计数单位分别是0.1、0.01、0.001……；分数的分子表示含有分数单位的个数，分母表示把单位"1"平均分成的份数。据此解答。 【详解】A． 8534267是七位数，最高位是百万位，数字“8”在百万位上，表示8个百万，此选项正确； B． 0.572中，数字“7”在小数点后的第二位，即百分位上，百分位的计数单位是0.01，表示7个0.01，此选项正确； C． 是把单位“1”平均分成9份，表示其中的2份，分数单位是，分子“2”表示有2个，而不是2个一，此选项错误。 5．下面算式中的3和5能直接相加的是（    ）。 A．823＋451 B．2.34＋7.05 C． D． 【答案】C 【分析】只有计数单位相同的数才能直接相加，据此判断各选项即可。 【详解】A．823中的3在个位，计数单位是1；451中的5在十位，计数单位是10，计数单位不同，3和5不能直接相加。 B．2.34中的3在十分位，计数单位是0.1；7.05中的5在百分位，计数单位是0.01，计数单位不同，3和5不能直接相加。 C．的分数单位是，的分数单位是，计数单位相同，3和5可以直接相加。 D．的分数单位是，的分数单位是，计数单位不同，3和5不能直接相加。 固本夯基 6． 有人说：数是数出来的。分数也一样，先在括号里填合适的数，再思考：上面直线上的分数，都可以看成是用（    ）作单位数出来的。 【答案】；4；； 【分析】根据分数的意义，图中直线上把1个单位长度平均分成4份；在分数里，表示把单位“1”平均分成多少份的叫做分母，表示有这样多少份的叫做分子；其中的一份叫做分数单位，每个分数的分子都可以表示分数单位的个数，据此数一数。 【详解】 上面直线上的分数，都可以看成是用作单位数出来的。 7．是由( )个组成的，6008是由( )个千和( )个一组成的，0.06是由( )个0.01组成的。整数、小数和分数都是由计数单位累加而成的。 【答案】 3 6 8 6 【分析】分数的计数单位是，是由3个组成的； 根据数位和计数单位知识可知，6008是由6个千和8个一组成的； 两位小数的计数单位是0.01，0.06是由6个0.01组成的。 【详解】是由3个组成的，6008是由6个千和8个一组成的，0.06是由6个0.01组成的。整数、小数和分数都是由计数单位累加而成的。 8．复习课上，同学们通过举例的方法（如图）研究整数、小数和分数加减法计算方法的共同点。 算式① 算式② 算式③ (1)三道算式中，算式( )（填序号）是错误的，理由是：_______________。 (2)通过研究，发现整数、小数和分数加减运算的共同点是：只有计数单位( )时才能直接相加减。 【答案】(1) ② 小数点没有对齐 (2)相同 【分析】整数末尾对齐，也就是把相同数位对齐，而小数的位数不同时，计数单位不同，不能末尾对齐，只有小数点对齐，相同数位才能对齐。算式①是把相同数位对齐再计算，算式②小数点没有对齐也就是相同数位未对齐，因此计算错误，而算式③是分数加法，计算时先通分再相加，也就是计数单位相同才能相加，所以整数、小数、分数加法计算的共同点是把相同计数单位的数相加。据此解答。 【详解】（1）三道算式中，算式②（填序号）是错误的，理由是：小数点没有对齐。 （2）通过研究，发现整数、小数和分数加减运算的共同点是：只有计数单位相同时才能直接相加减。 9．小刚小时骑行6千米，平均每小时骑行( )千米，平均每千米需要( )小时。 【答案】 / 【分析】求平均每小时骑行多少千米，根据数量关系“速度＝路程÷时间”列式计算；求平均每千米需要多少小时，即求行单位路程所需的时间，根据数量关系“时间÷路程”列式计算。 【详解】平均每小时行驶的距离：（千米） 平均每千米需要的时间：（小时） 10．小乐在复习整数、小数和分数加法运算时，写出了下面3个例子进行研究。 32＋14＝46，表示32个一加上14个一得到46个一，也就是46。 0.2＋0.6＝0.8，表示2个0.1加上6个0.1得到8个0.1，也就是0.8。 ，表示2个加上3个得到5个，也就是。 (1)观察以上算式，你认为它们的相同之处都是( )。 (2)不能直接相加的原因是( )，必须先转化。请你照上面的样子写出它的计算过程和表示的意义：( )。 【答案】(1)相同的计数单位相加 (2) 分数单位不同 ＋＝＋＝，表示21个加上10个得到31个，也就是 【分析】（1）观察三个例子，整数加法是相同计数单位“一”的累加，小数加法是相同计数单位“0.1”的累加，分数加法是相同计数单位“”的累加，因此它们的相同之处都是相同的计数单位相加。 （2）的分数单位是，的分数单位是，两者分数单位不同，因此不能直接相加。需要先通分，将它们转化为相同分数单位的分数再相加。据此解答。 【详解】（1）观察以上算式，你认为它们的相同之处都是相同的计数单位相加。 （2）＋不能直接相加的原因是分数单位不同，必须先转化。 请你照上面的样子写出它的计算过程和表示的意义：＋＝＋＝，表示21个加上10个得到31个，也就是。 启智拓新 11．解释说明。 在计算分数除以整数“÷3＝”时，小林和小欣用了不同的方法。 小林的方法：用分数的分子除以整数的商作分子，分母不变，即； 小欣的方法：分数除以整数，等于乘上这个整数的倒数，即。 请你选择其中一种方法解释可以这样算的道理。 【答案】我选小欣的方法：÷3的意义是把平均分成3份，求1份是多少，本质就是求的是多少，即。（答案不唯一） 【分析】分数除以整数，可以用分子除以整数的商作分子，分母不变。其算理是将分数看作若干个分数单位，把这些分数单位平均分成整数份，每份的分数单位个数即为新的分子，分母保持不变。分数除以整数，也等于乘这个整数的倒数。因为除法的本质是平均分，求每份是多少，就是求这个数的几分之一是多少，因此可以转化为分数乘法计算。 【详解】小林的方法：的分数单位是，把平均分成3份，就是把6个平均分成3份，每份是2个，即。因此：。 小欣的方法：根据除法的意义，表示把平均分成3份，求每份是多少，也就是求的是多少。根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少用乘法计算，因此：。 12．经过多年的数学学习，淘气发现在计算乘法时，还可以从计数单位的角度来运算。比如： 整数乘法 30×40 ＝（3×10）×（4×10） ＝（3×4）×（10×10） 小数乘法 0.3×0.4 ＝（3×0.1）×（4×0.1） ＝（3×4）×（0.1×0.1） 按照这样的思路，分数乘法是不是也有以上的计算方法呢？如果有，请用这样的方法计算如果没有，请说明理由。 【答案】有； 【分析】依据题中给出的计算方法，找出和这两个分数的分数单位，再将两个分数都拆成一个数与分数单位相乘的式子，运算过程中运用乘法交换律、结合律，保证拆分和重组的运算逻辑正确，由此解题。 【详解】分数乘法有以上的计算方法； 的计算结果是。 13．数学课上李老师让同学们根据下图写乘法算式。 小美列出的算式是：3×3＝9，她解释：“图中的一个○表示计数单位‘一’那么这幅图就可以表示3个3，所以列式是3×3”。 小晋列出的算式是：30×3＝90；小丽列出的算式是：0.3×3＝0.9。 (1)小晋和小丽的算式对吗？请解释其中的道理。 (2)这幅图还可以表示哪个算式？请你写出一个算式。 【答案】(1)对；当○表示的计数单位是“十”，3个○即30，有这样的3组，即30×3＝90。当○表示的计数单位是“0.1”， 3个○即0.3，有这样的3组，即0.3×3＝0.9。 (2)300×3＝900（答案不唯一） 【分析】（1）图中的○表示一个计数单位，可以表示整数的计数单位：“一”、 “十”、 “百”……， 也可以表示小数的计数单位：“0.1”、 “0.01”、 “0.001”……。据此这幅图可以是3个十乘3，即30×3＝90；这幅图可以是3个0.1乘3，即0.3×3＝0.9。 （2）同理，表示两个计数单位再乘3即可。 【详解】（1）小晋和小丽的算式是对的。当○表示的计数单位是“十”，3个○即30，有这样的3组，即30×3＝90。当○表示的计数单位是“0.1”， 3个○即0.3，有这样的3组，即0.3×3＝0.9。 （2）略。 14．数学课上，同学们研究加法计算的道理。宜学小组发现了整数加法和分数加法计算道理之间的联系。 20＋30，就是2个十加3个十是5个十，也就是50。 ，就是2个加3个是5个，也就是。 ①宜学小组会怎样表达小数加法计算的道理呢？请以0.2＋0.3为例，写一写。 ②根据以上的研究，关于整数加法、分数加法、小数加法的计算道理，你有什么发现？ 【答案】①0.2＋0.3，就是2个0.1加3个0.1是5个0.1，也就是0.5。 ②整数加法、分数加法、小数加法的计算道理都是把相同计数单位的数相加。 【分析】（1）20和30里面分别有2个十和3个十，2个十加3个十是5个十，也就是50；所以整数加法是把相同计数单位的数相加； 的分数单位都是，它们分别有2个和3个，然后把2个加3个是5个，也就是，所以分数是把相同分数单位（计数单位）的数相加， 由此可知，小数加法也是把相同计数单位相加，0.2里面有2个0.1，0.3里面有3个0.1，所以0.2＋0.3就是2个0.1加3个0.1是5个0.1，也就是0.5； （2）根据（1）即可解答。 【详解】根据分析可知， ①0.2＋0.3，就是2个0.1加3个0.1是5个0.1，也就是0.5。 ②整数加法、分数加法、小数加法的计算道理都是把相同计数单位的数相加。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 数与运算的再认识 分层作业 知识补给站 一、商不变的规律 在除法运算中，被除数和除数同时乘或除以同一个______的数，商不变。利用这个规律，我们可以将除数转化为整数来思考。 二、加减法的共同点 整数、小数和分数在进行加减法运算时，只有______相同，才能直接相加减。 三、分数除法的计算方法 分数除以整数（0除外），等于乘这个整数的______。 固本夯基 1．在探索时，用商不变的规律进行思考的是（    ）。 A．把6个平均分成两份，每份就是3个，也就是。 B．把平均分成两份，每份就是的，也就是。 C．。 D．。 2．观察7、0.7和这三个数，它们的（    ）相同。 A．大小 B．计数单位 C．计数单位的个数 D．数位 3．学习要善于比较和总结，结合下表对学过的整数、小数和分数的加减法进行归纳，发现整数、小数、分数加减计算的相同点：只有（    ）相同，才能直接相加减。 整数 个十加个十 小数 个减个 分数 个加个 A．位数 B．计数单位 C．数位 D．数级 4．下列说法错误的是（    ）。 A．8534267中的“8”表示8个百万 B．0.572中的“7”表示7个0.01 C．中的“2”表示2个一 5．下面算式中的3和5能直接相加的是（    ）。 A．823＋451 B．2.34＋7.05 C． D． 固本夯基 6． 有人说：数是数出来的。分数也一样，先在括号里填合适的数，再思考：上面直线上的分数，都可以看成是用（    ）作单位数出来的。 7．是由( )个组成的，6008是由( )个千和( )个一组成的，0.06是由( )个0.01组成的。整数、小数和分数都是由计数单位累加而成的。 8．复习课上，同学们通过举例的方法（如图）研究整数、小数和分数加减法计算方法的共同点。 算式① 算式② 算式③ (1)三道算式中，算式( )（填序号）是错误的，理由是：_______________。 (2)通过研究，发现整数、小数和分数加减运算的共同点是：只有计数单位( )时才能直接相加减。 9．小刚小时骑行6千米，平均每小时骑行( )千米，平均每千米需要( )小时。 10．小乐在复习整数、小数和分数加法运算时，写出了下面3个例子进行研究。 32＋14＝46，表示32个一加上14个一得到46个一，也就是46。 0.2＋0.6＝0.8，表示2个0.1加上6个0.1得到8个0.1，也就是0.8。 ，表示2个加上3个得到5个，也就是。 (1)观察以上算式，你认为它们的相同之处都是( )。 (2)不能直接相加的原因是( )，必须先转化。请你照上面的样子写出它的计算过程和表示的意义：( )。 启智拓新 11．解释说明。 在计算分数除以整数“÷3＝”时，小林和小欣用了不同的方法。 小林的方法：用分数的分子除以整数的商作分子，分母不变，即； 小欣的方法：分数除以整数，等于乘上这个整数的倒数，即。 请你选择其中一种方法解释可以这样算的道理。 12．经过多年的数学学习，淘气发现在计算乘法时，还可以从计数单位的角度来运算。比如： 整数乘法 30×40 ＝（3×10）×（4×10） ＝（3×4）×（10×10） 小数乘法 0.3×0.4 ＝（3×0.1）×（4×0.1） ＝（3×4）×（0.1×0.1） 按照这样的思路，分数乘法是不是也有以上的计算方法呢？如果有，请用这样的方法计算如果没有，请说明理由。 13．数学课上李老师让同学们根据下图写乘法算式。 小美列出的算式是：3×3＝9，她解释：“图中的一个○表示计数单位‘一’那么这幅图就可以表示3个3，所以列式是3×3”。 小晋列出的算式是：30×3＝90；小丽列出的算式是：0.3×3＝0.9。 (1)小晋和小丽的算式对吗？请解释其中的道理。 (2)这幅图还可以表示哪个算式？请你写出一个算式。 14．数学课上，同学们研究加法计算的道理。宜学小组发现了整数加法和分数加法计算道理之间的联系。 20＋30，就是2个十加3个十是5个十，也就是50。 ，就是2个加3个是5个，也就是。 ①宜学小组会怎样表达小数加法计算的道理呢？请以0.2＋0.3为例，写一写。 ②根据以上的研究，关于整数加法、分数加法、小数加法的计算道理，你有什么发现？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $