专题 01等差数列（专项训练）-2026-2027学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦等差数列核心题型，以基本量运算和性质应用为双主线，通过分层训练构建“概念-性质-综合应用”的逻辑体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|10题，覆盖通项、前n项和基础运算|基本量法（列方程求a₁,d）、性质应用（中项、片段和）|从基本量（a₁,d）到通项公式、前n项和公式的推导与直接应用| |综合攻坚·知能拔高|14题，含性质综合、充要条件、与集合命题结合|定义判断（充要条件）、综合应用（与函数、集合交汇）|从公式性质拓展到概念辨析及跨模块综合，形成完整知识链|

专题01 等差数列 常考题型·精准突破 题型1: 等差数列通项与基本量运算（高频） 题型2: 等差数列前n项和与性质 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 等差数列通项与基本量运算 1.已知{aₙ}为等差数列，a₂=3，a₄=7，则a₆等于（ ） A．9 B．11 C．13 D．15 2.在等差数列{aₙ}中，若a₃+a₇=10，则a₅=（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 3.已知等差数列{aₙ}公差为d，首项为a₁，若a₁=2，a₅=10，则d=（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.已知等差数列{aₙ}中，a₄=9，a₉=-1，求数列的通项公式，并判断29是不是该数列中的项. 5.已知{aₙ}是等差数列. (1)若a₁=5，公差d=-2，写出数列的第8项； (2)若a₂+a₅+a₈=24，求a₅的值. ◆题型2 等差数列前n项和与性质 6.记Sₙ为等差数列{aₙ}的前n项和，已知a₁=1，d=2，则S₄=（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 7.等差数列{aₙ}中，S₅=25，则a₃=（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 8.设Sₙ是等差数列{aₙ}前n项和，若S₃=9，S₆=36，则a₇+a₈+a₉=（ ） A．45 B．39 C．27 D．18 9.已知{aₙ}为等差数列，a₁=-3，公差d=2.(1)求前n项和Sₙ的表达式； (2)求使得Sₙ>0的最小正整数n. 10.已知等差数列{aₙ}满足a₂=4，. (1)求数列{aₙ}的通项公式； (2)若Sₖ=100，求k的值. 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1. “数列{aₙ}为等差数列”是“2aₙ₊₁=aₙ+aₙ₊₂(n∈N*)”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知等差数列{aₙ}公差d<0，Sₙ为前n项和，S₈=S₁₁，则（ ） A．S₁₀最大 B．S₉最大 C．S₁₉>0 D．a₁₀>0 3.等差数列{aₙ}中，“a₁>0，d<0”是“Sₙ存在最大值”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.在等差数列{aₙ}中，若a₁+a₄+a₇=39，a₃+a₆+a₉=27，则S₉=（ ） A．66 B．99 C．108 D．117 5.（多选）设{aₙ}是等差数列，Sₙ是其前n项和，则下列说法正确的是（ ） A．若d>0，则{aₙ}为递增数列 B．Sₙ,S₂ₙSₙ,S₃ₙS₂ₙ仍成等差数列 C．若aₘ+aₙ=aₚ+，则m+n=p+q恒成立 D．若a₃=5，则S₅=25 6.（多选）已知等差数列{aₙ}，公差d≠0，下列命题为真命题的是（ ） A．∀n∈N*,aₙ₊₁aₙ=d B．∃n∈N*,aₙ=0 C．若a₁>0,d>0，则∀n∈N*,Sₙ>0 D．若a₂=3,a₅=9，则a₈=15 二、填空题 7.已知等差数列{aₙ}，a₁+a₉=12，则S₉=________. 8.命题“∀等差数列{aₙ}，公差d>0，都有aₙ递增”的否定是________________________. 三、解答题 9.已知{aₙ}是等差数列，a₅=11，S₈=64. (1)求数列{aₙ}的通项公式； (2)判断是否存在正整数n，使得Sₙ>120，若存在，求出n的最小值；若不存在，说明理由. 10.已知集合A={n∣Sₙ>10}，其中Sₙ是等差数列{aₙ}：a₁=1，d=2的前n项和，集B={x∣m1<x<m+1}.若命题：∃n∈N*，使得n∈A且n∈B为真命题，求实数m的取值范围. 11.已知p：数列{aₙ}是等差数列；q：数列{aₙ}前n项和Sₙ=An²+Bn（A,B为常数）。 (1)求证：p是q的充分条件； (2)若“p是q的充分不必要条件”为假命题，求实数A,B满足的条件. 12.已知命题p：在等差数列{aₙ}中，a₁+a₃>0；命题q：S₄>0. (1)若命题p为真命题，求公差d的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求首项a₁与公差d满足的关系式. 13.已知命题p：∀n∈N*，等差数列{aₙ}满足aₙ₊₁>aₙ；命题q：关于n的不等式Sₙ>kn恒成立。其中a₁=2，d=1. (1)若命题p为真命题，判断公差d的范围； (2)若命题p,q均为假命题，求实数k的取值范围. 14.设全集U=N*，等差数列{aₙ}：aₙ=2n1，集合M={n∣aₙ≥10}，集合N={n∣Sₙ>30}. (1)求集合∁ᵤM； (2)若“n∈M”是“n∈N”的必要而不充分条件，求参数修改后数列公差d的取值范围； (3)若命题“∃n∈U，使得n∈M且n∉N”是真命题，求此时原数列中 参考答案与解析 常考题型·精准突破 ◆题型1 等差数列通项与基本量运算 1.B 【解析】由等差数列性质：2a₄=a₂+a₆，2×7=3+a₆，解得a₆=11。 2.B 【解析】等差数列若m+n=p+q，则aₘ+aₙ=aₚ+，，∴ a₅=5。 3.B 【解析】a₅=a₁+4d，10=2+4d，解得d=2。 4.由a₄=a₁+3d=9和 a₉=a₁+8d=-1 两式相减：5d=-10 ⇒ d=-2，代入得a₁=15。 通项公式：aₙ=15+(n1)×(-2)=-2n+17。 令2n+17=29，2n=12，n=-6，n不是正整数，故29不是该数列中的项。 5．(1)a₈=a₁+7d=5+7×(-2)=-9； (2)a₂+a₅+a₈=3a₅=24，∴ a₅=8。 ◆题型2 等差数列前n项和与性质 6．C 【解析】S₄=4a₁+()d=4×1+6×2=16。 7．B 【解析】S₅==5 a₃=25，∴ a₃=5。 8．A 【解析】等差数列片段和性质：S₃，S₆S₃，a₇+a₈+a₉成等差数列。 9，27，x成等差，2×27=9+x，得x=45。 9．【解析】 (1)Sₙ=na₁+[]d =3n+[]×2 =n²4n。 (2)Sₙ=n²4n>0，n(n4)>0，n>4（n∈N*），最小正整数n=5。 10．【解析】 (1)由a₂=a₁+d=4 和S₅=5a₁+10d=35 解得a₁=1，d=3，所以aₙ=1+3(n1)=3n2。 (2)Sₖ=k·1+[]×3=100，整理得3k²k200=0，(3k+25)(k8)=0。又 k>0，∴ k=8。 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．C 【解析】2aₙ₊₁=aₙ+aₙ₊₂等价于后项减前项为常数，是等差数列的等价定义，充要条件。 2．B 【解析】S₈=S₁₁ ⇒ a₉+a₁₀+a₁₁=0 ⇒ 3a₁₀=0 ⇒ a₁₀=0， 又d<0，，a₁₁<0. 故前9项和最大；S₁₉=19a₁₀=0。故选B。 3．A 【解析】由a₁>0,d<0可以推出Sₙ存在最大值；但Sₙ存在最大值，也可以数列前面部分为常数列，不必要. 4．B 【解析】由a₁+a₄+a₇=39 和a₃+a₆+a₉=27 两式相加得：3(a₁+a₉)=66 ⇒ a₁+a₉=22. S₉= ==99. 5．ABD 【解析】C错误，必须公差不为0时由aₘ+aₙ=aₚ+才能推出m+n=p+q； A：d>0，后项大于前项，递增；B是等差数列片段和性质；D：S₅=5a₃=25. 6．ACD 【解析】B错误，公差不为0，不一定存在项等于0； A为等差数列定义；C：a₁>0,d>0，所有项都是正数，前n项和恒正； D：等差数列，2a₅=a₂+a₈，18=3+a₈，a₈=15. 二、填空题 7．54 【解析】S₉= =54. 8．∃等差数列{aₙ}，公差d>0，使得aₙ不递增. 三、解答题 9．【解析】 (1)由a₅=a₁+4d=11 和S₈=8a₁+28d=64 化简得a₁+4d=11 和2a₁+7d=16，解得a₁=-5，d=4. 所以aₙ=-5+4(n1)=4n9。 (2)Sₙ=-5n+[]×4 =2n²7n，由2n²7n>120得2n²7n120>0。 解方程2n²7n120=0，正根n=≈9.2，n∈N*，∴ n最小值为10。 10．【解析】a₁=1,d=2，Sₙ=n+[]×2 =n²。 A={n∣n²>10,n∈N*}={4,5,6,7,…}。 命题∃n∈N*，n∈A且n∈B为真，即区间(m1,m+1)与集合{4,5,6,…}有公共整数. 只要m+1>4，即m>3。 11．【解析】 (1)证明：若{aₙ}是等差数列，设首项a₁，公差d。 Sₙ=na₁+[]d =()n²+(a₁)n，令A=，B=a₁， 则Sₙ=An²+Bn，故p⇒q，p是q充分条件。 (2)“p是q的充分不必要条件”为假命题，说明不是充分不必要。 Sₙ=An²+Bn，无论A是否为0，都可以推出数列为等差数列，即q⇒p， p,q互为充要条件，条件：A，B∈R（A可以等于0）。 12．【解析】 (1)p：a₁+a₃>0，a₃=a₁+2d，2a₁+2d>0，a₁+d>0。 (2)q：S₄=4a₁+6d>0 ⇒2a₁+3d>0。 p是q的必要不充分条件：q⇒p，p⇏q。 即2a₁+3d>0 ⇒ a₁+d>0，反过来不成立。 关系式：a₁+d>0，且存在a₁,d满足a₁+d>0但2a₁+3d≤0。 13．【解析】已知a₁=2，d=1，aₙ=n+1，Sₙ= =. (1)p：∀n∈N*，aₙ₊₁>aₙ，即公差d>0。 (2)p为假：d≤0；本题给定d=1，p恒真； q：>kn对∀n∈N*恒成立，化简>k，k<[]ₘᵢₙ=2。 q为假命题：k≥2。 14．【解析】aₙ=2n1，Sₙ=n² (1)M={n∣aₙ≥10}，2n1≥10⇒n≥5.5，n∈N*，M={6,7,8,…}。 全集U=N*，∁ᵤM={1,2,3,4,5}。 (2)“n∈M”是“n∈N”的必要不充分条件，即N⫋M。 修改后数列aₙ=a₁+(n1)d，M={n∣aₙ≥10}，N={n∣Sₙ>30}。 N的所有元素都属于M，且M中存在元素不属于N。 可得公差d>0。 (3)命题∃n∈U，n∈M且n∉N为真； n∈M⇒n≥6；n∉N⇒Sₙ=n²≤30。 n²≤30，n≤5；n≥6与n≤5无交集。 ∴原数列中不存在这样的正整数n。 学科网（北京）股份有限公司 $