第2章 专题强化练3 直线与方程的综合应用（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 聚焦直线方程综合应用，以梯度题型构建“概念-关系-应用”逻辑链，提炼对称点法、恒过定点等实用技巧，渗透几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-2题|截距关系求参数、点到直线距离公式|从直线方程形式到截距、距离概念应用| |位置关系|3-5题|垂直判定（斜率/向量）、对称性质|直线垂直与对称的代数表达及几何意义| |最值问题|4,6,8题|对称点法求距离和、几何意义转化|利用数形结合将最值问题转化为距离/斜率问题| |实际应用|9题|坐标法建模、基本不等式求最值|从实际情境抽象为直线与三角形面积问题|

专题强化练3　直线与方程的综合应用 1.(2025江苏南京第十三中学期中)已知直线l1:mx+2y-4-m=0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等,则直线l1与直线l2:x+y-1=0之间的距离为(　　) A.　　　　　B. C.或　 　D.0或 2.(2025云南玉溪期中)已知直线l1:x+y+C=0与直线l2:Ax+By+C=0均过点(1,1),则原点到直线l2的距离的最大值为(　　) A.　　　　　B.1　　　　　C.　　　　　D. 3.已知直线l1:xcos2α+y+2=0,若l1⊥l2,则l2的倾斜角的取值范围是(　　) A.　　　　　B. C.　　　　 　D. 4.(2025江苏徐州铜山学情检测)已知两定点A(-3,5),B(2,8),动点P在直线x-y+1=0上,则|PA|+|PB|的最小值为(　　) A.5　　　　　B. C.5　　 　　　D.2 5.(多选题)(2025河北衡水二中月考)已知直线l1:ax-y+1=0,l2:x+ay+1=0,a∈R,O为坐标原点,以下结论正确的是(　　) A.无论a为何值,l1与l2都互相垂直 B.无论a为何值,l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(-1,0) C.无论a为何值,l1与l2都关于直线x+y=0对称 D.若l1与l2交于点M,则|MO|的最大值是 6.(2025河北石家庄二中月考)已知线段AB的两端点分别为A(-2,3)和B(4,2),若直线l:x+my+m-1=0与线段AB有交点,则实数m的取值范围是　　　　.  7.(2025上海市西中学摸底考试)若点P(3,1)既是线段AB的中点,又是直线l1:a1x+b1y-10=0与l2:a2x+b2y-10=0的交点,且A(a1,b1),B(a2,b2),则线段AB的垂直平分线的方程是　　　　.  8.(2023江西抚州南城二中月考)已知点P(m,n)在直线2x+y+1=0上运动,则m2+n2的最小值为　　　　.  9.某学校在平面图为矩形的操场ABCD内进行体操表演,其中|AB|=40,|BC|=15,O为边AB上一点,且|BO|=10,线段OC,OD,MN为表演队列所在位置(M,N分别在线段OD,OC上),MN上的点P为领队位置,且点P到OC,OD的距离分别为,,记|OM|=d,且当△OMN的面积最小时观赏效果最好. (1)当d为何值时,P为队列MN的中点? (2)求观赏效果最好时△OMN的面积. 答案与分层梯度式解析 专题强化练3　直线与方程的综合应用 1.B　∵直线l1:mx+2y-4-m=0(m>0)在x轴、y轴上的截距相等,∴=,∴m=2,∴直线l1:2x+2y-4-2=0,即x+y-3=0,∴直线l1与直线l2平行,则直线l1与直线l2之间的距离为=. 2.A　因为两直线均过点(1,1),所以1+1+C=0,A+B+C=0,即C=-2,A+B=2. 原点到直线l2的距离d====≤, 当且仅当A=1,B=1,即两直线重合时,等号成立. 3.C　当cos2α≠0时,=-. ∵l1⊥l2,∴·=-1,∴=. ∵0<cos2α≤1,∴≥,∴≥. 设l2的倾斜角为θ,θ∈[0,π),则tan θ≥,∴≤θ<. 当cos2α=0时,直线l1的斜率为0,倾斜角为0, ∵l1⊥l2,∴l2的倾斜角为. 综上,l2的倾斜角的取值范围是. 易错警示　利用斜率解决倾斜角问题时要注意斜率不存在的情况,若斜率不存在的直线符合题意,则要将斜率不存在时的直线的倾斜角的值补充进去,防止遗漏. 4.D　易知点A,B在直线x-y+1=0的同侧,且直线x-y+1=0的斜率为1, 设点B关于直线x-y+1=0的对称点为B'(a,b),连接AB',PB',BB', 则解得 即点B'(7,3), 由对称性可知|PA|+|PB|=|PA|+|PB'|≥|AB'|==2,当且仅当A,P,B'三点共线时等号成立. 5.ABD　对于A,a×1+(-1)×a=0,故l1与l2互相垂直恒成立,故A正确; 对于B,直线l1:ax-y+1=0,当x=0时,y=1恒成立,所以l1恒过定点A(0,1), l2:x+ay+1=0,当y=0时,x=-1恒成立,所以l2恒过定点B(-1,0),故B正确; 对于C,在l1上任取一点(x,ax+1),其关于直线x+y=0对称的点的坐标为(-ax-1,-x), 代入l2:x+ay+1=0,得2ax=0,不满足无论a为何值,2ax=0成立,故C不正确; 对于D,联立解得 即M, 所以|MO|==≤, 所以|MO|的最大值是,故D正确. 6.答案　 解析　直线l:x+my+m-1=0,即x-1+m(y+1)=0,恒过定点P(1,-1),则kAP=-,kBP=1.当m=0时,直线l的方程为x=1,与线段AB有交点,符合题意;当m≠0时,直线l的斜率为-,则-∈∪[1,+∞),解得-1≤m<0或0<m≤. 综上,实数m的取值范围是. 7.答案　x-3y=0 解析　将直线l1:a1x+b1y-10=0与直线l2:a2x+b2y-10=0的方程作差可得,(a1-a2)x+(b1-b2)y=0,把点P的坐标(3,1)代入可得3(a1-a2)+(b1-b2)=0, 所以=-3,即kAB=-3, 所以线段AB的垂直平分线的方程是y-1=(x-3),即x-3y=0. 8.答案　 解析　∵P(m,n)是直线2x+y+1=0上的任意一点,m2+n2的几何意义为直线上的点与坐标原点之间的距离的平方, ∴m2+n2的最小值为坐标原点到直线2x+y+1=0的距离的平方, ∴所求最小值为=. 9.解析　以O为坐标原点,AB所在直线为x轴,过点O且垂直于AB的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 则C(10,15),B(10,0),D(-30,15), ∴直线OC的方程为y=x,直线OD的方程为y=-x. 设P(a,b)(b>0),M(-2m,m),N(m>0,n>0). (1)由题意得∴ ∴P.∵P为MN的中点,∴解得∴M,∴d=|OM|=, ∴当d=时,P为队列MN的中点. (2)由M,N,P三点共线,得kMP=kNP,即=,则5m+n=4mn,即+=4, ∴S△OMN=S△MOP+S△NOP=|OM|×+|ON|×=m+n=×=+×≥+×2×=,当且仅当=,即m=,n=时,等号成立, ∴观赏效果最好时△OMN的面积为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $