学易金卷：八年级数学上学期9月学情自测卷（重庆专用，范围：新教材人教版八年级上册第13～14章）

**基本信息** 2026-2027学年八年级数学9月学情自测卷，聚焦人教版八年级上册第13~14章三角形核心内容，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查三角形分类、全等判定、角平分线等知识，解答题融入综合探究与阅读材料题，体现几何直观与推理意识，适配月考学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|三角形分类（第1题）、三边关系（第2题）、稳定性（第3题）|基础概念辨析，结合生活情境（第3题工人砌门）| |填空题|8/32|等腰三角形周长（第12题）、全等条件补充（第13题）、角平分线性质（第14题）|知识迁移应用，如第14题中线与动点最小值结合| |解答题|8/78|面积计算（第19题）、全等证明（第20题）、综合探究（第25题）、阅读材料证明（第26题）|分层设计，从基础运算到创新探究，第25题通过图形变换培养推理能力与创新意识|

2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13~14章。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．三角形按边分类可分为（     ） A．等腰三角形和等边三角形 B．等边三角形和不等边三角形 C．等腰三角形和不等边三角形 D．以上都不对 2．下列各组线段，能构成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，4，7 C．3，4，5 D．4，4，8 3．如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（     ） A．两点之间线段最短 B．四边形更稳定 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 4．下列各图中，作边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 5．中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，平分，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．小明把一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，则等于（     ） A． B． C． D． 8．如图，点B在直线l上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线l、线段于点C、D、E，再以点E为圆心，以长为半径画弧，交前面的弧于点F，画射线．若的平分线交直线l于点H，， 则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，直线，被直线所截，交点分别是E，F，已知，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，…，按此规律依次进行，则的度数是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，的角平分线，相交于点O，过点O作交的延长线于点F，交于点G，下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 11．如图，在中，、分别是的高且，，，则_____． 12．如果等腰三角形的腰长和底边分别为9和4，那么它的周长为________． 13．如图，点C，F在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个） 14．如图，是的角平分线，于点E，是的中线，动点G在边上，连接．若，的面积是3，则的最小值为______________． 15．如图所示，，则的度数为________度． 16．与的位置如图所示，点F、A、D在同一条直线上，点D在边上，且平分，若，，，则的度数是________． 17．如图，在中，D是上的一点，，，，动点P从点C出发向点A运动，速度为1，同时动点Q从点A出发向点B匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为________． 18．如图，在中，已知，，点D为延长线上一点，过点A作且．连接交延长线于M．若（k为常数），则________（用含k的代数式表示）． 三、解答题：本题共8小题，共78分。其中：19-20，每题8分，21 -25题每题10分，26题12分。 19．如图，中，、边上的高分别是、．已知，，． （1）的面积； （2）的长度． 20．如图，点A在线段上，已知，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21．填充证明过程和理由： 已知：如图，，，平分，求证：． 证明：∵， ∴____________（同位角相等，两直线平行） ∴（______________________） ∵ ∴____________（同角的补角相等）． 又∵平分 ∴（角平分线的定义）． ∴____________（等式的基本事实） ∴（______________________） 22．和都是等腰直角三角形，． （1）如图1，点D，E在，上，则，满足怎样的数量关系？请说明理由． （2）如图2，点D在内部，点E在外部，连接，，则，满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 23．已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，平分，，于M，于N． （1）求证：； （2）若，，则的长___________． 24．（1）如图1，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D，求证：； （2）如图2，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，已知，且，求证：； （3）如图3，已知的面积为15，且，，点D在边上，点E、F在线段上，，若与的面积之和是6，求的值． 25．综合探究 【初步探索】 （1）如图1，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 26．阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 （1）请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． （2）根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； （3）与面积之间的关系，并说明理由． 6 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ========一=-===-=-======一===一=======-== 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ☐ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 □ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[][][/] 一、单项选择题：本题共10小题， 每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B]LC][D] 5.[A][B][C]LD] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.LA][BJ[C][D] 3[A][B][C][D] 7[AJ[B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 12 16. 17. 三、解答题：本题共8小题，共78分。其中：19-20，每题8分，21-25题每题10分，26题12分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) D B 21.(10分) 已知：如图，∠I=∠3，∠2+∠5=180°，DG平分∠ADC,求证：AB∥DG. E G B D 证明：，∠1=∠3， (同位角相等，两直线平行) .∠2+∠3=180°( .∠2+∠5=180° (同角的补角相等). 又.DG平分∠ADC ∴.∠4=∠5（角平分线的定义)· (等式的基本事实) AB∥DG( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) D 图1 图2 23.(10分) A NA D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) M /M B B D EE F D A C D 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 25.(10分) G B Bh 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(12分) A B D B E B G G D 图(1) 图(2) 图(3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13~14章。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．三角形按边分类可分为（     ） A．等腰三角形和等边三角形 B．等边三角形和不等边三角形 C．等腰三角形和不等边三角形 D．以上都不对 2．下列各组线段，能构成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，4，7 C．3，4，5 D．4，4，8 3．如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（     ） A．两点之间线段最短 B．四边形更稳定 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 4．下列各图中，作边上的高，正确的是（     ） A． B． C． D． 5．中，已知点D，E，F分别是，，边上的中点，且，则为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，平分，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．小明把一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，则等于（     ） A． B． C． D． 8．如图，点B在直线l上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线l、线段于点C、D、E，再以点E为圆心，以长为半径画弧，交前面的弧于点F，画射线．若的平分线交直线l于点H，， 则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，直线，被直线所截，交点分别是E，F，已知，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，…，按此规律依次进行，则的度数是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，的角平分线，相交于点O，过点O作交的延长线于点F，交于点G，下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 11．如图，在中，、分别是的高且，，，则_____． 12．如果等腰三角形的腰长和底边分别为9和4，那么它的周长为________． 13．如图，点C，F在上，，，要使，需添加的一个条件是__________．（只写一个） 向 14．如图，是的角平分线，于点E，是的中线，动点G在边上，连接．若，的面积是3，则的最小值为______________． 15．如图所示，，则的度数为________度． 16．与的位置如图所示，点F、A、D在同一条直线上，点D在边上，且平分，若，，，则的度数是________． 17．如图，在中，D是上的一点，，，，动点P从点C出发向点A运动，速度为1，同时动点Q从点A出发向点B匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为________． 18．如图，在中，已知，，点D为延长线上一点，过点A作且．连接交延长线于M．若（k为常数），则________（用含k的代数式表示）． 三、解答题：本题共8小题，共78分。其中：19-20，每题8分，21 -25题每题10分，26题12分。 19．如图，中，、边上的高分别是、．已知，，． （1）的面积； （2）的长度． 20．如图，点A在线段上，已知，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21．填充证明过程和理由： 已知：如图，，，平分，求证：． 证明：∵， ∴____________（同位角相等，两直线平行） ∴（______________________） ∵ ∴____________（同角的补角相等）． 又∵平分 ∴（角平分线的定义）． ∴____________（等式的基本事实） ∴（______________________） 22．和都是等腰直角三角形，． （1）如图1，点D，E在，上，则，满足怎样的数量关系？请说明理由． （2）如图2，点D在内部，点E在外部，连接，，则，满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 23．已知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，平分，，于M，于N． （1）求证：； （2）若，，则的长___________． 24．（1）如图1，，射线在这个角的内部，点B、C分别在的边、上，且，于点F，于点D，求证：； （2）如图2，点B、C分别在的边、上，点E、F都在内部的射线上，已知，且，求证：； （3）如图3，已知的面积为15，且，，点D在边上，点E、F在线段上，，若与的面积之和是6，求的值． 25．综合探究 【初步探索】 （1）如图1，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，且，探究图1中，，之间的数量关系．小颖同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．再连接，先说明，再说明，可得出结论，他的结论应是________． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，求的度数． 26．阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 （1）请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． （2）根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； （3）与面积之间的关系，并说明理由． 试题 第7页（共10页） 试题 第8页（共10页） 试题 第5页（共10页） 试题 第6页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $耐学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 (考试时间：120分钟，分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.测试范围：新教材人教版八年级上册第13~14章。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1.三角形按边分类可分为() A.等腰三角形和等边三角形 B.等边三角形和不等边三角形 C.等腰三角形和不等边三角形 D.以上都不对 【答案】C 【解析】解：三角形按边分类可以分为等腰三角形和不等边三角形 2.下列各组线段，能构成三角形的是() A.1,2,3 B.2,4,7 C.3,4,5 D.4,4,8 【答案】C 【解析】解：选项A中，1+2=3，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，“.A不符合题意 选项B中，2+4=6<7，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，：B不符合题意 选项C中，3+4>5，满足三角形三边关系，能构成三角形，∴.C符合题意， 选项D中，4+4=8，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，∴D不符合题意. 3.如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是() 1/33 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D A.两点之间线段最短 B.四边形更稳定 C.三角形的稳定性 D.垂线段最短 【答案】C 【解析】解：工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是三角形的稳定 性。 4.下列各图中，作△ABC边AC上的高，正确的是() B B. D 【答案】D 【解析】解：根据三角形高的定义，△ABC边AC上的高应过顶点B且垂直于AC所在直线： ∠ACB为钝角， ∴垂足落在AC的延长线上： 图D中BE⊥AC的延长线，符合定义，其它选项不符合定义. 5.△ABC中，已知点D,B,P分别是BC,AD,CE边上的中点，且Sc=32cm,则S服r为 2/33 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 4 A 8cm2 B.4cm2 2cm2 D 1cm2 【答案】A 【解折】解，：Sc=32cm,点D是BC边上的中点， 1 S.n-S.c.c-16cm :点E是AD边上的中点， 1 SS.4BD=8cm SACDE=2SA4cn =8cm2 S.c=SD+8.CDE=16cm :点F是CE边上的中点， 5..ucr-8cm 2 6.如图，在△ABC中，AD⊥BC,AE平分∠BAC,若∠I=40°，∠2=25°，则∠B的度数为 () 2 E D A.65° B.35° C.15o D.75 【答案】B 3/33 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【解析】解：：AE平分∠BAC,，∠1=40°，∠2=25°， ∴.∠1=∠EAD+∠2， .∠EAD=∠1-∠2=40°-25°=15°， .∠BAD=∠1+∠EAD=40°+15°=55°， :AD⊥BC, .∠ADB=90°， ∴.在△ABD中，∠B=180°-∠ADB-∠BAD=180°-90°-55°=35° ∴.∠B的度数为35° 7.小明把一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则 ∠a+∠B 等于() a A.180° B.210° C.360° D.270 【答案】B 【解析】解：如图，设DF分别交AC、BC于点H,点Q, H 4/33 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .COH=∠F0B、∠C=∠F=90 :2CH1e=180°-∠p ∠DHA=∠CHQ=180°-∠B∠D+180°-∠a+∠DHA=180°∠D=30° 30°+180°-∠a+180°-∠B=180° ∠a+∠B=210° 8.如图，点B在直线I上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC(小于线段BA)长为半径画弧，分别 交直线I、线段BA于点C、D、E,再以点E为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点F,画射线 AF 若∠BA 的平分线4H交直线1于点，∠AB=39°，则∠1BC 的度数为() A.68° B.78° C.82° D.84° 【答案】B 【解析】解：由作图痕迹，可知∠BAF=∠ABC, .BC∥AF, ∴.∠HAF=∠AHB=39°， :AH是∠BAF的平分线， .∠BAF=2∠HAF=78°， .∠ABC=∠BAF=78° 5/33 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 9.如图，直线AB,CD被直线EF所截，交点分别是E,F,已知AB∥CD,∠BEF与∠DFE的角平 分线相交于点， 点号，∠BE与∠DFR的角平分线相交于点B,∠BEB与∠DFB的角平分线相交于点B, …,按此规律依次进行，则 ∠P26的度数是（） A E B P C IF D 90° 90° 180° 180° A.2026 B.2025 C.22026 D. 22025 【答案】C 【解析】解：，AB∥CD, :.∠BEF+∠DFE=180°， :∠BEF与∠DFE的角平分线相交于点乃， :∠BER=∠FER=2∠BEF,∠DFR=∠EFR=DFE 如图所示，过点P作PM/4B E B P2 P AB∥PM∥CD ∠BEE=∠EPM∠DFP=∠FPM ·∠EPF=∠ERM+∠FPM 6/33 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :∠ERF=∠BER+∠nFR-号∠BEP+DFE-BEF+∠DFE)-=X180=0 过点B作BN/AB AB∥PN∥CD :∠BE与DFR的角平分线相交于点B,4B/BN/CD, ∠EAN=∠BER-8r-8F.PRN=∠nrR=号DFR=DE :∠RF=∠V+∠RN-BF+∠DFE)-1s0 22 同理， 月-(BEr+∠DrE)-18wr 依此类推，<？ 2×180°=1800 2”, :2as2ax180-180 22026 7/33 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD,BE相交于点O,过点O作 OF⊥AD、BC AC ∠BOD=45° 交的延长线于点F,交于点G,下列结论：① :②aB042aB0r ③ BD+AG=AB 其中正确的结论是() B C.② D A.①② B.①③ ③ ①②③ 【答案】D 【解析】解：①：△ABC的角平分线AD、BE相交于点O, :∠ABO=∠CBO=)∠ABC∠BAO=∠OAC=∠BAC 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°， ,∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=180°-90°=90° :∠AB0+∠BA0-A8c+号B4C-Ac+∠B1C)=x90=45 .:∠BOD=∠ABO+∠BAO=45°，故①正确： ②，∠BOD+∠BOA=180°，∠BOD=45°， .∠B0A=180°-∠B0D=180°-45°=135°. OF⊥AD. 8/33 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠D0F=90°， :.∠BOF=∠BOD+∠DOF=45°+90°=135°， .∠BOA=∠BOF, 在△BOA和△BOF中， [∠ABO=∠CBO OB=OB ∠BOA=∠BOF :△BO4≌aBOF(ASA),故②正确： 如图所示，延长FO交AB于H, B .∠AOG=∠AOH=90°， 又∠HAO=∠GAO,AO=AO, ÷△40H≌△AOG(ASA) ..AG=AH,OG=OH :.∠BOH=180°-∠BOD-∠DOF=45°， :.∠BOH=BOD=45°， ∠OBH=∠OBD BO=BO 又 9/33 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :△BOD≌△BOH(ASA) .BD=BH,OH=OD, :AB=AH+BH=AG+BD,即BD+AG=AB,故③正确： 综上所述，其中正确的结论是①②③. 故选：D 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 11.如图，在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的高且AB=3,BC=4,AD=2,则CE= E 8 【答案】3 SC=-BC×AD=-AB×CE 【解析】解：根据三角形面积公式可得： :AB=3,BC=4,AD=2, ·2*CE 3 4= 8 CE= 3. 12.如果等腰三角形的腰长和底边分别为9和4，那么它的周长为 【答案】22 【解析】解：，等腰三角形的腰长和底边分别为9和4， .它的周长为9+9+4=22. 10133 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 13.如图，点C,F在BE上，BF=EC,∠A=∠D,要使△ABC≌aDEF,需添加的一个条件是 （只写一个) E D 【答案】∠B=∠E(或∠ACB=∠DFE或AB∥DE或AC∥DF) 【解析】解：，BF=EC, .BF+CF=EC+CF, 即BC=EF. 又，∠A=∠D、 可添加的条件有： (1)添加∠B=∠E, 在△ABC和△DEF中 「∠A=∠D ∠B=∠E BC=EF :△ABC≌△DEF(AAS) (2)添加∠ACB=∠DFE, 在△ABC和△DEF中 ∠A=∠D ∠ACB=∠DFE BC=EF 11/33 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ÷△MBC≌aDEF(AAS) (3)添加AB∥DE, 则∠B=∠E, 由(I)可知△ABC≌△DEF (4)添加AC∥DF, 则∠ACB=∠DFE, 由(2)可知△ABC≌△DEF. 14.如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E,AF是△ABD的中线，动点G在BC边上，连 接DG.若AB=6,△ABF的面积是3，则DG的最小值为 E B G 【答案】2 【解析】解：：AF是△ABD的中线， S.ABF =3 S.400=2AF=6 1 ·ABDE ,DE⊥AB,AB=6, S.ABD= ×6×DE=6 .2 解得DE=2. 12133 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ,BD是△ABC的角平分线， ∴点D到BC的距离等于DE=2, 又，点G在BC上， ∴，DG的最小值就是点D到BC的距离， DG最小=2 即 13133 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 15.如图所示，∠1=55°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为度. 【答案】250 【解析】解：如图，设BE,CF交于点G,AD,CF交于点K,BE,AD交于点H, B :∠AHE+∠A+∠E=180°，∠AHE+∠GHK=180°， ∴.∠A+∠E=∠GHK, 同理∠D+∠F=∠GKH, :∠1=55°， .∠GKH+∠GHK=180°-∠1=125°，∠BGC=∠1=55°， .∠A+∠D+∠E+∠F=125°，∠B+∠C=180°-∠BGC=125°， .∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=125°+125°=250° 16.△ABC与△EDF的位置如图所示，点F、A、D在同一条直线上，点D在边BC上，且AD平分 ∠BAC△ABC≌△EDF∠EDA=20°∠F=60°，∠DAC ,若 ,则 的度数是 14/33 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B D 【答案】50 【解析】解：：△ABC≌△EDF,∠EDA=20°，∠F=60°， .∠B=∠EDA=20°，∠C=∠F=60°， .∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-20°-60°=100°， :AD平分∠BAC, :∠Dac-BC=50 17.如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠A=∠C,AC=18,CD=6,动点P从点C出发向点A 运动，速度为1，同时动点Q从点A出发向点B匀速运动，连接 P吧、PD,在运动过程中，存在某一时 刻使△CDP与△1P 全等，则点Q的运动速度为 D 2 【答案】1或3 【解析】解：设运动时间为t,点Q的运动速度为v, 则CP=t, 15133 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .AP=18-t, :∠A=∠C,当CDPA1Pe时，CD=AP=6,CP=40 :18-1=640=1 :40=12t1=12 ∴.点0的运动速度为12÷12=1， 当△CDP≌AAOP时.CD=A0CP=AP 时， :40=6,1=18-4 解得t=9, ∴.点Q的运动速度 6÷9=2 3, 9 综上，点Q的运动速度为1或3. 16133 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.如图，在△ABC中，己知∠ACB=90°，AC=BC,点D为CB延长线上一点，过点A作 SADB= AD⊥AE且AD=AE:连接BE交AC延长线于M,若AC=kCM(k为常数)，则SABM (用含k的代数式表示)· A B D E 2 【答案】k+1 【解析】解：由AC=BC=kCM,设CM=a,则AC=ka, 过点E作EF⊥AM,交AM的延长线于点F, B C M门------- F :AD⊥AE,EF⊥AM :.∠D+∠DAC=90°，∠DAC+∠EAF=90°， ∠D=∠EAF, :∠ACD=∠EFA=90°，AD=AE, :△DAC≌△AEF(AAS) .EF=AC=ka,AF=DC. .EF=BC=ka. 17133 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :∠BCM=∠EFM=90°，∠BMC=∠EMF, ÷△BMC≌△EMF(AAS) ∴.MF=CM=a, DC=AF ka+2a, :BD=DC-BC=2a, AC·BD ka·2a2 AM·EF (ka+a)ka k+1 三、解答题：本题共8小题，共78分。其中：19-20，每题8分，21-25题每题10分，26题12分。 19.如图，△ABC中，AB、AC边上的高分别是CE、BD.己知AB=10cm,CE=6Cm, AC=5cm E (1)△ABC的面积； (2)BD的长度. 【答案】(1) 30cm,(2,12cm 14B-CE=1x10x6=30cm2 【解析】(1)解：△ABC的面积为： 2 2)元S。4Bc=上ACBD=5×5×D=30 2 18133 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .BD =12cm. 20.如图，点A在线段CD上，已知BC∥DE,BC=CD,∠BAC=∠E, D E (1)求证：△ABC≌△ECD: (2)若DE=5,BC=13,求AD的长. 【答案】(1)证明见解析：(2)8 【解析】(1)证明：：BC∥DE, .∠ACB=∠D, 在△ABC和△ECD中， 「∠ACB=∠D ∠BAC=∠E, BC=CD :△ABC≌△ECD(AAS) (2)解：由(1)已证：△ABC≌△ECD, .CD=BC,AC=DE. :DE=5,BC=13, .AC=5,CD=13, .AD=CD-AC=13-5=8 21.填充证明过程和理由： 19133 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 己知：如图，∠I=∠3，∠2+∠5=180°，DG平分∠ADC,求证：AB∥DG E 证明：∠1=∠3， (同位角相等，两直线平行) .∠2+∠3=180°( .∠2+∠5=180° (同角的补角相等)· 又.DG平分∠ADC :.∠4=∠5（角平分线的定义）· (等式的基本事实) .AB∥DG( 【答案】EF∥AD:两直线平行，同旁内角互补：∠3=∠5：∠3=∠4：内错角相等，两直线平行 【解析】略。 22,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°. 图1 图2 (I)如图1，点D,E在AB,AC上，则BD,CE满足怎样的数量关系？请说明理由. 20133 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，连接BD,CE,则BD,CE满足怎样的数量关 系和位置关系？请说明理由、 【答案】(I)BD=CE,理由见解析；(2)BD=CE,BD⊥CE,理由见解析 【解析】解：(I)BD=CE,理由如下： ,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， .AB=AC,AD=AE, .AB-AD=AC-AE, .BD =CE: (2)BD=CE,BD⊥CE,理由如下： 延长BD,分别交AC、CE于FG, ,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, .∠BAD=∠CAE, :△ABD≌AACE(SAS) .BD=CE,∠ABD=∠ACE, 21133 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :∠AFB=∠GFC, :.180°-∠GFC-∠ACE=180°-∠AFB-∠ABD, .∠CGF=∠BAF=90°，即BD⊥CE. 23.己知：如图，点B、C、E三点在同一条直线上，CD平分∠ACE,∠DBM=∠DAN,DM⊥BE 于M,DN⊥AC于N E (1)求证：△BDM≌△ADN: (2)若AC=7,BC=3,则CM的长=】 【答案】(1)证明见解析；(2)2 【解析】(1)证明：：CD平分∠ACE,DM⊥BE,DN⊥AC, ∴.DN=DM,∠AND=∠BMD=90°， 在Rt△ADN和RtABDM中， [∠AND=∠BMD=90° ∠DAN=∠DBM DN=DM :△MDN≌aBDM(AAS)】 (2)解：在Rt△DCN和RtADCM中， 22133 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 DC=DC DN=DM: :RtaDCN≌RtDCM(HL) ..CN=CM, RtAADN≌RtABDM, .AN =BM, .AC=AN+CN=BM+CM=BC+CM+CM=BC+2CM=7, :.3+2CM=7, .CM=2 24.(I)如图1，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上， 且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D,求证：△ABD≌△CAF: (2)如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，己知 MB=AC.且1=22=∠B1C △ABE≌ACAF ,求证： (3)如图3，已知△ABC的面积为15，且AB=AC,AB>BC,点D在边BC上，点E、F在线段 MD上，I=∠2=∠B1C,若△1CF与△BDE。 CD:BC 的面积之和是6，求 的值. 23133 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 M /M B D F一E E D 图1 图2 图3 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析：(3)3：5 【解析】(I)证明：：CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAN=90°， .∠MAN=∠BDA=∠AFC=90°， ∴.∠BAD+∠CAF=90°，∠ABD+∠BAD=90°， .∠ABD=∠CAF, .AB=AC. :△MBD≌aCAF(AAS) (2)证明：对图标注如下： /M B D F 3X1 2 4 A C N ∠1=∠2， .∠BEA=∠AFC, :∠3+∠4=∠BAC,∠1=∠ABE+∠3，∠1=∠BAC, .∠ABE=∠4， 24133 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :AB=AC, :△ABE≌aCAF(AAS) (3)解：对图中的角进行标注， A .∠1=∠2=∠BAC,∠3+∠4=∠BAC,∠4+∠ACF=∠2 .∠3=∠ACF,∠BEA=∠CFA, .AB=AC. :△MBE≌aCAF(AAS) S.ABE=S.CAF :△ACF与△BDE的面积之和是6，△ABC的面积是15， S.mD=S.A+S.D=S.4CF+S.DE=6 S.4CD=S.C-S.=15-6=9 :△1CD与△4BC等高，S4cm:S4c=9:15=3:5 .底边之比3：5， .CD:BC=3:5 25.综合探究 【初步探索】 25133 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 图1 图2 图3 (1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，E,F分别是BC,CD上的点， 且EF=BE+FD,探究图1中∠BAE,∠FAD,∠EAF之间的数量关系.小颖同学探究此问题的方法 是：延长FD到点G,使DG=BE.再连接AG,先说明△ABE≌△ADG,再说明△AEF≌△AGF,可 得出结论，他的结论应是 【灵活运用】 (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是BC,CD上的点，且 EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立？请说明理由. 【拓展延伸】 (3)已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=18O°，AB=AD,若点E在CB的延长线上，点F在 CD EF=BE+FD∠C=62°∠EAF 的延长线上，如图3所示，仍然满足 ，若 ,求 的度数. 【答案】(1)∠EAF=∠BAE+∠DAF:(2)仍然成立，理由见解析；(3)∠FAE=121° 【解析】(1)解：延长FD到点G,使DG=BE.再连接AG,如图1， :∠B=∠ADC=90°， .∠ADG=90°=∠B. AB=AD. :△ABE≌aADG(SAS) .∠BAE=∠DAG,AE=AG, 26133 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .EF=BE FD=DG+FD=GF,AF=AF, ÷△4EF≌a4GF(SSS) .∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF: (2)解：仍然成立，理由如下： 延长FD到点H,使得DH=BE,如图所示： H :∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°. ∠B=∠ADH, AB=AD, :△MBE≌aADH(SAS) .∠BAE=∠DAH,AE=AH, .EF =BE+FD=DH+FD=HF,AF=AF, :△MEF≌△AHF(SSS) :.∠EAF=∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF: (3)解：在DC的延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,如图所示： :∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， 27133 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠ADC=∠ABE, AB=AD. :△ADG≌△ABE(SAS) .AG=AE,∠DAG=∠BAE, .EF=BE FD=DG+FD=GF,AF=AF, :△4EF≌a4GF(SSS) .∠FAE=∠FAG, :∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， ,2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360° :2∠FME+(∠GAB+∠DAG)=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°. :∠FAE=180°-号∠D4B :∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ADC+∠DAB+∠BCD=360°，∠C=62°， ∠DAB=180°-∠C=118°. ∠FAE=180°--×118°=121° 2 26.阅读以下材料，完成以下两个问题. 【阅读材料】已知：如图，△ABC(AB≠AC)中，D、E在BC上，且DE=EC,过D作DF∥BA 交AE于点F,DF=AC.求证：AE平分∠BAC, 结合此题，DE=EC,点E是DC的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而 28133 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 转移边和角.有两种考虑方法：①考虑倍长FE,如图(1)所示；②考虑倍长AE,如图(2)所示 B D E G G B D 图(1) 图(2) 图(3) (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明. (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB,AC为直角边向外作等腰直角三角形， ∠BAE=∠CAF=90°AE=ABAC=AF AD⊥EF ,证明： (3)△ABC与△AEF面积之间的关系，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析：(2)证明见解析：(3)△ABC与△AEF面积相等，理由见解析 【解析】(1)方法①证明：如图，延长FE至点G,使GE=FE,连接CG, D E G 在△DFE和△CGE中， DE=CE ∠DEF=∠CEG EF=EG △DFE≌ACGE(SAS) 29/33 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .DF=CG,∠DFE=∠G, DF=AC, ..CG=AC, .∠CAG=∠G. :DF∥AB, .∠BAE=∠DFE, .∠BAE=∠CAG, ∴.AE平分∠BAC: 方法②：证明：如图，延长AE至点G,使GE=AE,连接DG, B D 在△ACE和△GDE中， AE=GE ∠AEC=∠GED CE=DE :△ACE≌aGDE(SAS) :.AC=DG,∠CAE=∠G, DF =AC. 30133 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :.DG=DF, .∠DFG=∠G. :DF∥AB, .∠DFG=∠BAE, ∴∠BAE=∠CAE, ∴.AE平分∠BAC: (2)如图，延长AD至点G,使GD=AD,连接BG, G :AD是BC边上的中线， .BD=CD. 在△ACD和△GBD中， CD=BD ∠ADC=∠GDB AD=GD :△ACD≌aGBD(SAS) :.BG=AC,∠ACD=∠GBD, .BG∥AC, 31133 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠ABG+∠BAC=180°， .AC=AF, .BG=AF, :∠BAE=∠CAF=90°， .∠EAF=360°-∠BAE-∠CAF-∠BAC=180°-∠BAC, :∠ABG=∠ABC+∠GBD=∠ABC+∠ACD=180°-∠BAC, ∴∠EAF=∠ABG, 在△AEF和△BAG中， AE=AB ∠EAF=∠ABG AF=BG :△AEF≌△BAG(SAS) .∠AEF=∠BAG, 设AD与EF交于点H, .∠BAE=90°， .∠BAG+∠EAH=90°， 又，∠AEF=∠BAG, :.∠AEF+∠EAH=90°， .∠AHE=90°， 即AD⊥EF, 32133 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (3)△ABC与△AEF面积相等，理由如下： 由(2)可知△ACD≌△GBD, S.4D=S.cD S.40=+C S.4G=+. S.4C-S.40G 由(2)可知△AEF≌△BAG, 5.EF.0 S.AEF =S.ABC 33133西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 2 4 5 6 > 8 9 10 D A B B C 0 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 8 11.3 12.22 13.∠B=∠E 14.2 15.250 16.50 2 2 17.1或3 18.k+1 三、解答题：本题共8小题，共78分。其中：19-20，每题8分，21-25题每题10分，26题12分。 14B-CE=1x10x6=30cm 19.【解析】(1)解：△ABC的面积为： 2 :(4分) (2)解： S.eCDx D30 .BD=12cm.(8分) 20.【解析】(1)证明：：BC/DE, .∠ACB=∠D, 在△ABC和△ECD中， I∠ACB=∠D ∠BAC=∠E BC=CD 1/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :△MBC≌△ECD(AAS).(4分) (2)解：由(1)已证：△ABC≌△ECD, .CD=BC,AC=DE, DE=5,BC=13. .AC=5,CD=13 .AD=CD-AC=13-5=8.(8分) 21.【解析】略.(10分) 22.【解析】解：(1)BD=CE,理由如下： :△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， :AB=AC,AD=AE, .AB-AD=AC-AE, .BD=CE;(5分) (2)BD=CE,BD⊥CE,理由如下： 延长BD,分别交AC、CE于F、G, ,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°， 2/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, ∴.∠BAD=∠CAE, :△ABD≌aACE(SAS) .BD=CE,∠ABD=∠ACE, .∠AFB=∠GFC, :.180°-∠GFC-∠ACE=180°-∠AFB-∠ABD, .∠CGF=∠BAF=90°，即BD⊥CE.(10分) 23.【解析】(1)证明：：CD平分∠ACE,DM⊥BE,DN⊥AC, .DN=DM,∠AND=∠BMD=90°， 在Rt△ADN和RtBDM中， [∠AND=∠BMD=90° ∠DAN=∠DBM DN-DM :△MDN≌aBDM(AAS),(5分) (2)解：在RtADCN和RtADCM中， DC=DC DN=DM, :RtADCN≌RtDCM(H) .CN=CM, :RtAADN≌Rt△BDM, 3/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .AN BM, .AC=AN+CN=BM+CM=BC+CM+CM=BC+2CM=7, .3+2CM=7, .CM=2.(10分) 24.【解析】(1)证明：：CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAN=90°， .∠MAW=∠BDA=∠AFC=90°， .∠BAD+∠CAF=90°，∠ABD+∠BAD=90°， ∴.∠ABD=∠CAF, AB=AC, △ABD≌△CAF(AAS),(3分) (2)证明：对图标注如下： /M B D 1 3E 2 C N .∠1=∠2， .∠BEA=∠AFC, :∠3+∠4=∠BAC,∠1=∠ABE+∠3，∠1=∠BAC, .∠ABE=∠4， AB=AC. 4/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :AMBE2CMF(AAS),(6分) (3)解：对图中的角进行标注， E .∠1=∠2=∠BAC,∠3+∠4=∠BAC,∠4+∠ACF=∠2， .∠3=∠ACF,∠BEA=∠CFA, .AB=AC, :△ABE≌aCAF(AAS) S.AWE=S.CF :△ACF与△BDE的面积之和是6，△ABC的面积是15， S.0D=S.4mE+.DE=S.ACF+S.DE=6 S.CD=S.AMC-S.DA=15-6=9 a1CD与△ABC等高，S4cmS,4ac=9:l5=3:5 底边之比3：5， .CD:BC=3:5.(10分) 25.【解析】(1)解：延长FD到点G,使DG=BE.再连接AG,如图1， .∠B=∠ADC=90°， .∠ADG=90°=∠B. 5/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 AB=AD. :△ABE≌△ADG(SAS) .∠BAE=∠DAG,AE=AG, .EF BE FD=DG+FD=GF,AF=AF, :△MEF≌AAGF(SSS) :∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF;(3分) (2)解：仍然成立，理由如下： 延长FD到点H,使得DH=BE,如图所示： H .∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°， .∠B=∠ADH, AB=AD. :△ABE≌△ADH(SAS) .∠BAE=∠DAH,AE=AH, .EF=BE+FD=DH+FD=HF,AF=AF, :△AEF≌aAHF(SSS) ·.∠EAF=∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF;(6分) (3)解：在DC的延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,如图所示： 6/12 西学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， .∠ADC=∠ABE, AB=AD. :△1DG≌AABE(SAS) .AG=AE,∠DAG=∠BAE. .EF=BE FD=DG+FD=GF,AF=AF, :△MEF≌△AGF(SSS) ∴.∠FAE=∠FAG, .∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， ,2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360° :.2∠FAE+(∠GMB+∠DAG)=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°， ∠FAE=180°-二∠DAB 2 :∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ADC+∠DAB+∠BCD=360°，∠C=62°， .∠DAB=180°-∠C=118°， ÷∠FAE=180-分18=l12 .(40分) 7/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 26.【解析】(1)方法①证明：如图，延长FE至点G,使GE=FE,连接CG, B E G 在△DFE和△CGE中， DE=CE ∠DEF=∠CEG EF=EG :△DFE≌aCGE(SAS) .DF=CG,∠DFE=∠G, .DF=AC. ..CG=AC, .∠CAG=∠G. DF∥AB, .∠BAE=∠DFE, .∠BAE=∠CAG. .AE平分∠BAC: 方法②：证明：如图，延长AE至点G,使GE=AE,连接DG, 8/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D G 在△ACE和△GDE中， AE=GE ∠AEC=∠GED CE=DE :△ACE≌aGDE(SAS) .AC=DG,∠CAE=∠G .DF =AC. :DG=DF, .∠DFG=∠G, DF∥AB, .∠DFG=∠BAE, .∠BAE=∠CAE, .AE平分∠BAC:(3分) (2)如图，延长AD至点G,使GD=AD,连接BG, 9/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 G :AD是BC边上的中线， .BD=CD, 在△ACD和△GBD中， CD=BD ∠ADC=∠GDB AD=GD :△ACD≌aGBD(SAS) .BG=AC,∠ACD=∠GBD .BG∥AC, .∠ABG+∠BAC=180°， AC=AF. .BG=AF, .∠BAE=∠CAF=90°， .∠EAF=360°-∠BAE-∠CAF-∠BAC=180°-∠BAC, .∠ABG=∠ABC+∠GBD=∠ABC+∠ACD=I80°-∠BAC, 10/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∠EAF=∠ABG, 在△AEF和△BAG中， AE=AB ∠EAF=∠ABG AF=BG :△MEF≌aBAG(SAS) ∴.∠AEF=∠BAG, 设AD与EF交于点H, .∠BAE=90°， .∠BAG+∠EAH=90°， 又，∠AEF=∠BAG, .∠AEF+∠EAH=90°， .∠AHE=90°. 即AD⊥EF.(8分) (3)△ABC与△AEF面积相等，理由如下； 由(2)可知△ACD≌△GBD, S.ACD=S.WD S.40C=S.Am+SCD S4G=+D SABC=SABG 由(2)可知△AEF≌△BAG, 11/12 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 S.AEF=SABG :S.4e=S8c.(12分) 12112 11 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。 11._______________ 15. ________________ 12. ___________ 16. _______________ 13. _________________ 17.________________ 14. __________________ 18. ________________ 三、解答题：本题共8小题，共78分。其中：19-20，每题8分，21 -25题每题10分，26题12分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（10分） 已知：如图，，，平分，求证：． 证明：∵， ∴____________（同位角相等，两直线平行） ∴（______________________） ∵ ∴____________（同角的补角相等）． 又∵平分 ∴（角平分线的定义）． ∴____________（等式的基本事实） ∴（______________________） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $