专题 1.7 勾股定理的应用问题复习讲义【八大题型】‑2026‑2027 学年北师大版八年级数学上册　

该初中数学勾股定理应用复习讲义通过十二大题型分类框架构建知识体系，以解题方法导图呈现“实际问题→直角三角形模型→勾股定理应用”的思维脉络，用情境模型对比表归纳网格、梯子、航海等问题的共性与差异，突出重难点分布。 讲义亮点在于“题型解读+例题+变式”的三阶设计，如“求梯子滑落高度”题型通过“梯子长度不变”关键提示构建方程，培养几何直观与模型意识。分层变式题满足不同学生需求，教师可据此实施精准教学，助力学生用数学思维解决实际问题。

专题 1.7 勾股定理的应用问题复习讲义【十二大题型】 目录 【题型1】勾股定理与网格问题 1 【题型2】求梯子滑落高度 2 【题型3】求旗杆高度 4 【题型4】求小鸟飞行距离 5 【题型5】求大树折断前的高度 6 【题型6】解决水杯中筷子问题 8 【题型7】解决航海问题 9 【题型8】求河宽 11 【题型9】求台阶上地毯长度 12 【题型10】判断汽车是否超速 13 【题型11】判断是否受台风影响 14 【题型12】选址使到两地距离相等 15 【题型1】勾股定理与网格问题 【题型解读】在正方形网格中，格点之间的线段长度可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解。关键是找到线段的水平分量和垂直分量，再用 a²+b²=c² 计算。网格中求三角形面积常用“割补法”。 【例题1】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为，的顶点在网格的格点上． （1）作关于直线轴对称的； （2）的面积为________； （3）点到的距离为________． 【变式1】（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，E均在小正方形的顶点上．以点A为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点D，则的长为（     ） A． B．2.1 C． D．5 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，由九个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是__________． 【变式3】（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出关于直线的对称图形； （2）的长为________，的面积为________； （3）在直线上找一点，使得的周长最小． 【题型2】求梯子滑落高度 【题型解读】梯子问题的核心是“梯子长度不变”。梯子滑动前后，梯子本身长度不变，分别在滑动前后的两个直角三角形中应用勾股定理，求出墙高或底端距离的变化量。 【例题2】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离为． （1）求的长度； （2）如果将梯子底端沿向外移动，梯子底端由点B移动到点D，顶端由点A下滑到点C，求梯子顶端沿墙下滑的距离． 【变式1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面米．为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移米，则梯子的底端向左移了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式2】（25-26八年级下·湖北襄阳·阶段检测）如图，在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙角的距离为7米．如果消防员接到命令，按要求将梯子底部在水平方向滑动后停在的位置上（云梯长度不变），测得长为8米，那么云梯的顶部下滑到，则___________． 【变式3】（25-26八年级下·福建厦门·期中）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示，该零件内有两个小滑块，，由一根连杆连接，滑块，分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动，滑块大小忽略不计，零件图的集成几何图，如图2所示，开始时，滑块距点厘米，滑块距点厘米， （1）求的长； （2）当滑块向下滑厘米至点处时，滑块滑动到点的位置，则的长为多少厘米？ 【题型3】求旗杆高度 【题型解读】测旗杆高度常用“绳子法”：旗杆顶端的绳子垂到地面有余量，将绳子下端拉直到地面，此时旗杆、地面与绳子构成直角三角形。设旗杆高为x，绳长为x+a，利用勾股定理列方程求解。 【例题3】（25-26八年级下·云南德宏·期末）数学兴趣小组在郊外放风筝时，想要测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直．小组成员测量了相关数据，并画出如下示意图，水平距离的长为80米，的长为100米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米（米）．求风筝离地面的垂直高度的长为多少米． 【变式1】（25-26八年级下·重庆·阶段检测）如图，小外同学想测量墙面的高度，用卷尺发现长度不够，于是想到用课堂上学到的知识解决，他找到一根没有弹性的绳子，把绳子的一端挂到点，拉直紧贴墙面到点，发现绳子还多出0.5米：然后把绳子拉直，当绳子末端刚好接触地面时，量出米，则墙面的高度为（    ）米 A．6 B．5.5 C．5.2 D．5 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设木柱长x尺，根据题意，可列方程为______． 【变式3】（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，有一架秋千，静止时踏板离地0.5米．向前推动秋千，当踏板的水平移动距离为3米时，离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，求绳索的长度．设绳索的长度为x米． （1）线段OB= （用含有x的式子表示）； （2）线段OC= （用含有x的式子表示）； （3）根据题意列出方程，并解决问题 【题型4】求小鸟飞行距离 【题型解读】小鸟从一棵树顶端飞到另一棵树顶端，最短路径是直线飞行。两棵树的高度差为一条直角边，两棵树之间的水平距离为另一条直角边，飞行距离为斜边，用勾股定理求解。 【例题4】（25-26八年级下·陕西西安·期中）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：①测得水平距离的长为24米；②根据图图手中剩余线的长度计算出牵引线的长为30米；③图图牵线放风筝的手到地面的距离为米．请你帮助解决涵涵提出的问题．放风筝小队在野外放风筝，为了安全，风筝高度不得高于20米，根据测量的数据判断此时风筝的高度是否安全？ 【变式1】（25-26八年级下·北京·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·新疆和田·模拟预测）如图，在水平地面上，有一棵高12m的大树和一棵高4m的小树，两树之间的水平距离是15m．若一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行________m． 【变式3】（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． （1）求出的长度； （2）若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【题型5】求大树折断前的高度 【题型解读】大树（或竹子、电线杆）折断后，未折断部分、地面与折断部分构成直角三角形。折断部分为斜边，未折断部分和落地点到根部的距离为直角边。原高度=未折断部分高度+折断部分长度（即斜边长）。 【例题5】（26-27八年级上·全国·课后作业）折竹抵地（源自《九章算术》）： 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？ 意即： 一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远．求折断后竹子离地面的高度． 【变式1】（2026·广东深圳·三模）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·北京大兴·期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何．意思是：一根竹子高1丈（1丈尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，求折断处离地面的高度是多少？若设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为________． 【变式3】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，由于大风，山坡上的树甲从点处被拦腰折断，其树顶端恰好落在树乙的根部处．已知树甲的部分主干水平线，树乙垂直水平线，经测量，树甲的根部与点的距离米，两棵树的根部距离米，两棵树的水平距离为12米，请根据以上数据，求树甲折断前的高度． 【题型6】解决水杯中筷子问题 【题型解读】圆柱形水杯中，筷子能放入的最大长度等于底面直径与杯高构成的直角三角形的斜边长（即从杯底一侧边缘到杯口另一侧边缘的距离）。长方体盒子中，木棒的最大长度等于体对角线长，可通过两次应用勾股定理求得。 【例题6】（25-26八年级下·北京·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度（1丈等于10尺）． 【变式1】（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面圆的直径是，内壁高是．这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分的长度为x，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为____尺． 【变式3】（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． （1）求水池的深度． （2）数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 【题型7】解决航海问题 【题型解读】航海问题中，通常以港口或观测点为原点，利用方位角（如正东、正北、北偏东等）确定方向，构造直角三角形。两船分别沿垂直方向航行时，它们的距离可直接用勾股定理；涉及方位角时需先分解为东西和南北分量。 【例题7】（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）小颖的爸爸在航海运输公司工作，他给小颖出了一个与航海有关的问题．在港有两艘货轮甲船和乙船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时海里的速度前进．两船同时出发，两小时后，甲船到岛，乙船到岛，试求岛与岛之间的距离． 【变式1】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船的距离为（     ）． A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【变式2】（25-26八年级下·河南安阳·期末）某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距_________． 【变式3】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． （1）求渔船与渔船之间的距离； （2）若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 【题型8】求河宽 【题型解读】求河宽问题通常构造直角三角形，利用勾股定理求解。常见模型：人（或船）从河的一岸出发，因水流影响实际到达对岸的位置偏离了正对点，此时实际游程为斜边，河宽和偏离距离为直角边，已知两边可求第三边。 【例题8】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，为了求出位于湖两岸的点、之间的距离，一名观测者在点处设桩，使恰好为直角三角形．通过测量，得到的长为，的长为．问：从点穿过湖到点有多远？ 【变式1】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【变式2】（25-26八年级上·陕西宝鸡·阶段检测）如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点G偏离欲到达点F，结果他在水中实际划了，则该河流的宽度______m． 【变式3】（24-25八年级下·吉林白城·期末）某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） （1）画出符合题意的图形； （2）求该河流的宽度． 【题型9】求台阶上地毯长度 【题型解读】台阶上的地毯长度问题分两类：（1）铺地毯求长度——利用平移思想，地毯水平部分之和等于台阶水平总宽，垂直部分之和等于台阶总高，地毯总长=水平总宽+垂直总高；（2）蚂蚁沿台阶面爬行最短路径——将台阶面展开成平面长方形，用勾股定理求对角线。 【例题9】（25-26八年级下·广东惠州·期末）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． （1）请你算一算共需购买多大面积的地毯； （2）若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 【变式1】（25-26八年级下·广西贺州·期末）为了提升通行安全，防止上下楼滑倒，某小区某单元楼在楼梯改造工程中，铺设防滑红地毯，如图所示，已知楼梯的斜面长度为米，楼梯的竖直总高度为2米，则铺设地毯的长度为（     ） A．36米 B．6米 C．8米 D．10米 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要___________平方米的地毯． 【变式3】（24-25八年级下·重庆长寿·阶段检测）某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． （1）求的长； （2）若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【题型10】判断汽车是否超速 【题型解读】测速问题中，测速仪（或检测仪）通常在公路一侧，汽车在某一时刻位于测速仪正前方（距离最近），过一段时间后汽车行驶到另一位置。此时测速仪到汽车两个位置的距离、汽车行驶的距离构成直角三角形，用勾股定理求出汽车行驶距离，再计算速度并与限速比较。 【例题10】（25-26八年级下·陕西安康·期末）如图，直线是一条公路，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C．某次从点C观测到一辆车从点A行驶到点B，过点C作于点H，测得，，，求这辆车行驶的距离．（结果保留根号） 【变式1】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 【变式2】（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． （1）求外来车辆的平均速度； （2）监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【题型11】判断是否受台风影响 【题型解读】台风影响问题的关键是求城市（或目标点）到台风移动路径的最短距离（即垂线段的长度），与台风影响半径比较：若最短距离≤半径，则受影响；否则不受影响。受影响时，影响时间=影响路径长度÷台风速度。 【例题11】（25-26八年级下·湖北恩施·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【变式1】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（　　） A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒． 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 【变式3】（25-26八年级下·西藏·期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一处海港，且点C与A、B两点的距离分别为、，，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离． （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由． 【题型12】选址使到两地距离相等 【题型解读】选址问题通常在一条直线（公路、河流等）上找一点，使该点到两个定点的距离相等。方法：设未知数表示选址点到某参考点的距离，分别用勾股定理表示到两个定点的距离，列方程求解。本质是利用线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等。 【例题12】（25-26八年级下·北京密云·期末）如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． （1）求小区到快递投放点的距离． （2）因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（    ）． A． B．16 C．11 D． 【变式2】（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则的长是 ________．    【变式3】（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．，快递投放点C的正北方向有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． （1）求小区A到快递投放点C的距离． （2）在街道l上有另一个快递投放点D到小区A与快递投放点B的距离相等，求快递投放点B，D之间的距离． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.7 勾股定理的应用问题复习讲义【十二大题型】 目录 【题型1】勾股定理与网格问题 1 【题型2】求梯子滑落高度 4 【题型3】求旗杆高度 7 【题型4】求小鸟飞行距离 10 【题型5】求大树折断前的高度 13 【题型6】解决水杯中筷子问题 16 【题型7】解决航海问题 19 【题型8】求河宽 22 【题型9】求台阶上地毯长度 25 【题型10】判断汽车是否超速 27 【题型11】判断是否受台风影响 30 【题型12】选址使到两地距离相等 34 【题型1】勾股定理与网格问题 【题型解读】在正方形网格中，格点之间的线段长度可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解。关键是找到线段的水平分量和垂直分量，再用 a²+b²=c² 计算。网格中求三角形面积常用“割补法”。 【例题1】（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为，的顶点在网格的格点上． （1）作关于直线轴对称的； （2）的面积为________； （3）点到的距离为________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据轴对称的性质画出； （2）根据正方形的面积减去三个三角形的面积，即可求解； （3）根据网格的特点和勾股定理求得，设点到的距离为，根据等面积法求得，即可求解． 解：（1）略 （2）解：的面积为 （3）解：∵ 设点到的距离为， 则，即 解得：，即点到的距离为 【变式1】（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，E均在小正方形的顶点上．以点A为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点D，则的长为（     ） A． B．2.1 C． D．5 【答案】C 【分析】根据网格得出和的长度，利用半径相等得到的长，再在中利用勾股定理求解即可． 解：由网格图可知，，，， 弧是以点为圆心，长为半径画的，点在弧上， ， 在中，由勾股定理得：． 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，由九个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是__________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求得，再求得，进而可利用等面积法求中边上的高． 解：∵由九个边长为1的小正方形构成一个大正方形， ∴， ∵， 设中边上的高是， ∴， 即， 解得， ∴中边上的高是． 【变式3】（25-26七年级下·河北张家口·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为，网格中有一个格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出关于直线的对称图形； （2）的长为________，的面积为________； （3）在直线上找一点，使得的周长最小． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）5；；（3）如图，点即为所求． 【分析】（1）分别作出点关于直线对称的点，再顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可； （3）作出点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求，根据对称可得，则，根据两点之间线段最短即可说理． 解：（1）略 （2）解：；； （3）略 【题型2】求梯子滑落高度 【题型解读】梯子问题的核心是“梯子长度不变”。梯子滑动前后，梯子本身长度不变，分别在滑动前后的两个直角三角形中应用勾股定理，求出墙高或底端距离的变化量。 【例题2】（25-26八年级下·重庆·期中）如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离为． （1）求的长度； （2）如果将梯子底端沿向外移动，梯子底端由点B移动到点D，顶端由点A下滑到点C，求梯子顶端沿墙下滑的距离． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据勾股定理，可得； （2）根据勾股定理求出，即可求解． （1）解：根据题意可得，， ∴； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴梯子顶端沿墙下滑． 【变式1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，小巷宽2米，左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在小巷中间，梯子底端恰好抵在右墙角，顶端距离地面米．为方便路人行走，现将梯子扶起靠在左墙上，使梯子顶端向上移米，则梯子的底端向左移了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． 如图：由题意可得：米，米，米，则米，，运用勾股定理可得，进而求得，再根据线段的和差即可解答． 解：如图：由题意可得：米，米，米，则米， 在中，， 在中，， 所以米，即梯子的底端向左移了米． 故选C． 【变式2】（25-26八年级下·湖北襄阳·阶段检测）如图，在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙角的距离为7米．如果消防员接到命令，按要求将梯子底部在水平方向滑动后停在的位置上（云梯长度不变），测得长为8米，那么云梯的顶部下滑到，则___________． 【答案】4米/ 【分析】由题意可得米，米，，米，利用勾股定理可求得，，根据求解． 解：由题意得，米，米，，米， ∴（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）． 【变式3】（25-26八年级下·福建厦门·期中）梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示，该零件内有两个小滑块，，由一根连杆连接，滑块，分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动，滑块大小忽略不计，零件图的集成几何图，如图2所示，开始时，滑块距点厘米，滑块距点厘米， （1）求的长； （2）当滑块向下滑厘米至点处时，滑块滑动到点的位置，则的长为多少厘米？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）先求出，根据勾股定理求出，最后利用，即可求解． （1）解：，，， ； （2），， ， ，， ， ． 【题型3】求旗杆高度 【题型解读】测旗杆高度常用“绳子法”：旗杆顶端的绳子垂到地面有余量，将绳子下端拉直到地面，此时旗杆、地面与绳子构成直角三角形。设旗杆高为x，绳长为x+a，利用勾股定理列方程求解。 【例题3】（25-26八年级下·云南德宏·期末）数学兴趣小组在郊外放风筝时，想要测量风筝离地面的垂直高度．假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直．小组成员测量了相关数据，并画出如下示意图，水平距离的长为80米，的长为100米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米（米）．求风筝离地面的垂直高度的长为多少米． 【答案】风筝离地面的垂直高度为米 【分析】在中，由勾股定理求得的长，再利用求解即可． 解：依题意得，，，， 在中，由勾股定理得 ， ∵， ∴， 答：风筝离地面的垂直高度为米． 【变式1】（25-26八年级下·重庆·阶段检测）如图，小外同学想测量墙面的高度，用卷尺发现长度不够，于是想到用课堂上学到的知识解决，他找到一根没有弹性的绳子，把绳子的一端挂到点，拉直紧贴墙面到点，发现绳子还多出0.5米：然后把绳子拉直，当绳子末端刚好接触地面时，量出米，则墙面的高度为（    ）米 A．6 B．5.5 C．5.2 D．5 【答案】A 【分析】设墙面高度为米，根据题意表示出绳子长度即斜边的长，在中利用勾股定理列方程求解即可． 解：设墙面高度为米， 绳子紧贴墙面到点还多出米， 绳子的总长度为米， 绳子拉直后末端刚好接触地面， 斜边的长度等于绳子的总长度， 即， 在中，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 墙面的高度为米． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设木柱长x尺，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【分析】先根据题意确定直角三角形各边的长度，再利用勾股定理列方程即可． 解：设木柱长为尺，由题意可知绳索长度为尺， 根据题意可得：． 【变式3】（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，有一架秋千，静止时踏板离地0.5米．向前推动秋千，当踏板的水平移动距离为3米时，离地1.5米，此时秋千的绳索是拉直的，求绳索的长度．设绳索的长度为x米． （1）线段OB= （用含有x的式子表示）； （2）线段OC= （用含有x的式子表示）； （3）根据题意列出方程，并解决问题 【答案】（1）；（2）；（3）在中，， ∴， 解得， 答：绳索的长度为米． 【分析】（1）利用秋千摆动时绳索长度不变，直接得到； （2）通过踏板离地高度差，结合绳索总长即可得； （3）在中，用勾股定理列方程求解绳索长度即可． （1）解：由题意得，秋千摆动时绳索长度不变，故米； （2）解：∵静止踏板离地米，摆动时离地米， ∴踏板升高米， ∵绳索总长为米， ∴米； （3）略 【题型4】求小鸟飞行距离 【题型解读】小鸟从一棵树顶端飞到另一棵树顶端，最短路径是直线飞行。两棵树的高度差为一条直角边，两棵树之间的水平距离为另一条直角边，飞行距离为斜边，用勾股定理求解。 【例题4】（25-26八年级下·陕西西安·期中）2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：①测得水平距离的长为24米；②根据图图手中剩余线的长度计算出牵引线的长为30米；③图图牵线放风筝的手到地面的距离为米．请你帮助解决涵涵提出的问题．放风筝小队在野外放风筝，为了安全，风筝高度不得高于20米，根据测量的数据判断此时风筝的高度是否安全？ 【答案】是安全的 【分析】根据勾股定理可得米，然后问题可求解 解：∵， 由勾股定理得：米， 根据题意可得米， ∴， ∴此时风筝的高度是安全的． 【变式1】（25-26八年级下·北京·期中）如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 【变式2】（2026·新疆和田·模拟预测）如图，在水平地面上，有一棵高12m的大树和一棵高4m的小树，两树之间的水平距离是15m．若一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行________m． 【答案】17 【分析】根据题意，画出示意图，其中表示大树，表示小树，过点作，垂足为，如图所示，则，求出的长，由勾股定求出的长即可得到答案． 解：表示大树，表示小树，过点作，垂足为，如图所示： 则， ， ， 在中，， 由勾股定理得， 则小鸟至少飞行了． 【变式3】（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中点，点到地面的高度米，点到地面点（，两点处于同一水平面）的距离米． （1）求出的长度； （2）若小鸟竖直下降到达点（点在线段上），此时小鸟到地面点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 【答案】（1）米；（2）小鸟下降的距离为米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答； （2）在中，根据勾股定理即可解答． 解：（1）由题意知， ∵米，米． 在中 米， （2）设， 到达D点（D点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同， 则，， 在中，， ， 解得， 小鸟下降的距离为米． 【题型5】求大树折断前的高度 【题型解读】大树（或竹子、电线杆）折断后，未折断部分、地面与折断部分构成直角三角形。折断部分为斜边，未折断部分和落地点到根部的距离为直角边。原高度=未折断部分高度+折断部分长度（即斜边长）。 【例题5】（26-27八年级上·全国·课后作业）折竹抵地（源自《九章算术》）： 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？ 意即： 一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远．求折断后竹子离地面的高度． 【答案】4.55尺 【分析】设折断后竹子离地面的高度为x尺，根据勾股定理列方程求解即可． 解：1丈=10尺 设折断后竹子离地面的高度为x尺，根据勾股定理得 ， ∴， ∴， ∴． 答：折断后竹子离地面的高度为4.55尺． 【变式1】（2026·广东深圳·三模）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵竹子原高10尺，折断处离地面尺， ∴折断部分长度为尺， 如图，直角边尺，尺，斜边尺， 根据勾股定理得：． 【变式2】（25-26八年级下·北京大兴·期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何．意思是：一根竹子高1丈（1丈尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，求折断处离地面的高度是多少？若设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理列出方程即可. 解：1丈尺， 设折断处离地面的高度为尺，则折断后竹子顶端到折断处的长度为 尺， 根据勾股定理，得. 【变式3】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，由于大风，山坡上的树甲从点处被拦腰折断，其树顶端恰好落在树乙的根部处．已知树甲的部分主干水平线，树乙垂直水平线，经测量，树甲的根部与点的距离米，两棵树的根部距离米，两棵树的水平距离为12米，请根据以上数据，求树甲折断前的高度． 【答案】树甲折断前的高度是19米 【分析】根据勾股定理在中先求出长度，则长度可知，再在中利用勾股定理求出长度，则树甲折断前的高度为即可求解． 解：∵， ∴和是直角三角形， ∴在中，（米）， ∴（米）， ∵在中，（米）， ∴（米）． 答：树甲折断前的高度是19米． 【题型6】解决水杯中筷子问题 【题型解读】圆柱形水杯中，筷子能放入的最大长度等于底面直径与杯高构成的直角三角形的斜边长（即从杯底一侧边缘到杯口另一侧边缘的距离）。长方体盒子中，木棒的最大长度等于体对角线长，可通过两次应用勾股定理求得。 【例题6】（25-26八年级下·北京·期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度（1丈等于10尺）． 【答案】12尺 【分析】设水池深度为尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解． 解：设水池深度为尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， （尺）； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：水池的深度为12尺． 【变式1】（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面圆的直径是，内壁高是．这支铅笔长为，设这支铅笔在笔筒外面部分的长度为x，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出的长度．然后求其差，即可得出结果． 解：当铅笔与笔筒底垂直时最大，最大． 当铅笔如图放置时最小． 在中，， ， ． 的取值范围：． 【变式2】（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，如图，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度为____尺． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设这根芦苇的长度为尺，在中，由勾股定理得出方程求解即可得出结果． 解：设这根芦苇的长度为尺， 由题意知，尺，尺，尺， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 这根芦苇的长度为尺， 【变式3】（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． （1）求水池的深度． （2）数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 【答案】（1）12尺；（2） 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 解：（1）设为x尺， 则，尺． 在中，， 由勾股定理，得 ． ． 解得  ． 答：水池的深度为12尺． （2）图中，，， 则，， 在中，， 由勾股定理，得． ． 解得． 【题型7】解决航海问题 【题型解读】航海问题中，通常以港口或观测点为原点，利用方位角（如正东、正北、北偏东等）确定方向，构造直角三角形。两船分别沿垂直方向航行时，它们的距离可直接用勾股定理；涉及方位角时需先分解为东西和南北分量。 【例题7】（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）小颖的爸爸在航海运输公司工作，他给小颖出了一个与航海有关的问题．在港有两艘货轮甲船和乙船，若甲船沿北偏东的方向以每小时海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时海里的速度前进．两船同时出发，两小时后，甲船到岛，乙船到岛，试求岛与岛之间的距离． 【答案】海里 【分析】由方向角的定义说明是直角三角形，在直角三角形中应用勾股定理即可求解． 解：如图，由题意得，，（海里），（海里）， ， 是直角三角形， 由勾股定理得（海里）． 答：岛与岛之间的距离为海里． 【变式1】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船的距离为（     ）． A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，，根据勾股定理求得即可． 解：渔船A从O出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海， ∴， 两小时后，海里，海里， 由勾股定理可得，（海里）． 【变式2】（25-26八年级下·河南安阳·期末）某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距_________． 【答案】 【分析】先由速度与时间算出、的长度，再根据方位角推出，最后用勾股定理求出两船距离． 解：由题意得，，，， ∴， 在中，， 即此时两艘轮船相距． 【变式3】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． （1）求渔船与渔船之间的距离； （2）若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 【答案】（1）500海里；（2）360海里 【分析】（1）根据题意可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C作于点E，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． （1）解：由题意得，，海里，海里， ∴由勾股定理得海里， 答：渔船与渔船之间的距离为500海里； （2）解：如图所示，过点C作于点E， 则， ∵， ∴， ∴海里， 在中，由勾股定理得海里， 在中，由勾股定理得海里， ∴海里 答：渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是360海里． 【题型8】求河宽 【题型解读】求河宽问题通常构造直角三角形，利用勾股定理求解。常见模型：人（或船）从河的一岸出发，因水流影响实际到达对岸的位置偏离了正对点，此时实际游程为斜边，河宽和偏离距离为直角边，已知两边可求第三边。 【例题8】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，为了求出位于湖两岸的点、之间的距离，一名观测者在点处设桩，使恰好为直角三角形．通过测量，得到的长为，的长为．问：从点穿过湖到点有多远？ 【答案】从点穿过湖到点有米 【分析】已知是直角三角形，，根据勾股定理可得，将，代入上式中即可求得的长度． 解：为直角三角形，且如图所示，， （）． 答：从点穿过湖到点有米． 【变式1】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 解：根据题意可知米， 设，则， 中，由勾股定理得， 即， 解得． ∴该河的宽度为24米． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西宝鸡·阶段检测）如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点G偏离欲到达点F，结果他在水中实际划了，则该河流的宽度______m． 【答案】300 【分析】本题考查了勾股定理的应用．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答． 解：． 故答案为：300． 【变式3】（24-25八年级下·吉林白城·期末）某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） （1）画出符合题意的图形； （2）求该河流的宽度． 【答案】（1）如图所示 （2）60米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）利用勾股定理求解即可． 解：（1）略 （2）解：由题意知，，，， 在中，由勾股定理得 答：该河流的宽度为60米． 【题型9】求台阶上地毯长度 【题型解读】台阶上的地毯长度问题分两类：（1）铺地毯求长度——利用平移思想，地毯水平部分之和等于台阶水平总宽，垂直部分之和等于台阶总高，地毯总长=水平总宽+垂直总高；（2）蚂蚁沿台阶面爬行最短路径——将台阶面展开成平面长方形，用勾股定理求对角线。 【例题9】（25-26八年级下·广东惠州·期末）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． （1）请你算一算共需购买多大面积的地毯； （2）若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 【答案】（1）共需购买68平方米的地毯；（2）购买地毯需花费8160元 【分析】（1）求出台阶的水平宽，计算地毯长度，再计算地毯的面积即可； （2）用地毯的单价乘以面积求出购买地毯的费用． （1）解：依题意图中直角三角形一直角边为，斜边为， 根据勾股定理另一直角边长，即台阶的水平宽为：， 则需购买地毯的长为， 因为地毯的宽则是台阶的宽4米， 所以面积是：． 故共需购买的地毯． （2）解：由地毯的价格为120 元， 则购买地毯的费用为：元， 故购买地毯需花费8160元． 【变式1】（25-26八年级下·广西贺州·期末）为了提升通行安全，防止上下楼滑倒，某小区某单元楼在楼梯改造工程中，铺设防滑红地毯，如图所示，已知楼梯的斜面长度为米，楼梯的竖直总高度为2米，则铺设地毯的长度为（     ） A．36米 B．6米 C．8米 D．10米 【答案】C 【分析】如图（见解析），利用勾股定理求出的长，再根据铺设地毯的长度等于的长解答即可． 解：如图，由题意得：米，米，， ∴在中，米， ∴铺设地毯的长度为（米）． 【变式2】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度米，斜边长米，楼梯的宽度为3米．现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要___________平方米的地毯． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据勾股定理求出的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求出所铺地毯的面积即可． 解：在中，，米，米， 由勾股定理得，米， 在楼梯上铺地毯需要的长度为米， 需要铺地毯的面积为平方米， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·重庆长寿·阶段检测）某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． （1）求的长； （2）若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】（1）的长为；（2）元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长度是解题的关键． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． （1）解：∵，，， ， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， ∴地毯的面积为， 每平方米地毯25元， 需要花费（元）； 答：需要花费元地毯才能铺满所有台阶． 【题型10】判断汽车是否超速 【题型解读】测速问题中，测速仪（或检测仪）通常在公路一侧，汽车在某一时刻位于测速仪正前方（距离最近），过一段时间后汽车行驶到另一位置。此时测速仪到汽车两个位置的距离、汽车行驶的距离构成直角三角形，用勾股定理求出汽车行驶距离，再计算速度并与限速比较。 【例题10】（25-26八年级下·陕西安康·期末）如图，直线是一条公路，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C．某次从点C观测到一辆车从点A行驶到点B，过点C作于点H，测得，，，求这辆车行驶的距离．（结果保留根号） 【答案】 【分析】对和运用勾股定理求解即可． 解：， 与均为直角三角形， 在中，由勾股定理得，， ∵， ∴ ，              在中，由勾股定理得，， ∵ ∴， ． 答：这辆车行驶的距离为． 【变式1】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 【答案】是 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理计算出的长度，进而计算出小汽车的速度，即可判断． 解：由题意知，，，， ， 小汽车从C到B用了， 小汽车的速度为， ， 小汽车是超速， 故答案为：是． 【变式2】（25-26八年级下·重庆南川·期末）如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． （1）求外来车辆的平均速度； （2）监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【答案】（1）外来车辆的平均速度为；（2）能成功在处拦截外来车辆，理由如下： 由题意得， 在中，由勾股定理，得， 由（1）可知， ， 外来车辆到达处所需的时间为． 安保人员的速度为， 安保人员达处所需的时间为， 能成功在处拦截外来车辆． 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，利用勾股定理在中，可得，在中，可得，从而求得，即可得出外来车辆的平均速度； （2）先利用勾股定理在中，可得，结合（1）可得，从而可以算出外来车辆及安保人员达处所需的时间，通过比较即可得出结论． （1）解：如图，过点作于点，则，， 由题意得，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， 速度为， 答：外来车辆的平均速度为； （2）略． 【题型11】判断是否受台风影响 【题型解读】台风影响问题的关键是求城市（或目标点）到台风移动路径的最短距离（即垂线段的长度），与台风影响半径比较：若最短距离≤半径，则受影响；否则不受影响。受影响时，影响时间=影响路径长度÷台风速度。 【例题11】（25-26八年级下·湖北恩施·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当时，A点到B，C两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）；（2）海港C受台风影响， 理由如下：过点C作， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，， 海港C受台风影响； （3）海港C受台风影响的时间会持续． 【分析】（1）依据勾股定理求解即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． （1）解：， ， ，， ； （2）略 （3）解：如图，当，时，正好影响C港口， ，， ， 台风的速度为， ， 答：海港C受台风影响的时间会持续． 【变式1】（24-25八年级下·全国·单元测试）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（　　） A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒． 【答案】B 【分析】过点A作AC⊥ON，利用锐角三角函数的定义求出AC的长与200m相比较，发现受到影响，然后过点A作AD=AB=200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间． 解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米， ∵∠QON=30°，OA=240米， ∴AC=120米， 当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米， ∵AB=200米，AC=120米， ∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米， ∵72千米/小时=20米/秒， ∴影响时间应是：320÷20=16秒． 故选B． 【点拨】本题考查勾股定理、点与圆的位置关系，根据火车行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，200米为半径的圆内行驶的BD的弦长，求出对A处产生噪音的时间，解题关键是根据勾股定理求BD的长. 【变式2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 【答案】24 【分析】过点作，上取点，，使，通过勾股定理求出，则受噪音影响共有，然后求出时间即可． 解：如图，过点作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为． 【变式3】（25-26八年级下·西藏·期中）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一处海港，且点C与A、B两点的距离分别为、，，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离． （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由． 【答案】（1）；（2）解：海港C不会受到台风影响，理由如下： 在中，， ， ， 解得：， ∵ ∴海港C不会受到此次台风的影响． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求出，再与台风受影响区域半径比较即可． （1）解：依题意得，在中，，，， ， 答：监测点A与监测点B之间的距离为； （2）略 【题型12】选址使到两地距离相等 【题型解读】选址问题通常在一条直线（公路、河流等）上找一点，使该点到两个定点的距离相等。方法：设未知数表示选址点到某参考点的距离，分别用勾股定理表示到两个定点的距离，列方程求解。本质是利用线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等。 【例题12】（25-26八年级下·北京密云·期末）如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． （1）求小区到快递投放点的距离． （2）因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解即可. （1）解：∵小区A在快递投放点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（    ）． A． B．16 C．11 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，求出，即可求出E站离A站的距离． 解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， ∴， 解得：， ∴的长是， ∴． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，高速公路上有A，B两点相距，C，D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，则的长是 ________．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据于A，于B，，列式，解出的值，即可作答． 解：由题意知，，，， 设，则， 因为于A，于B， 所以在与中， 由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．，快递投放点C的正北方向有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． （1）求小区A到快递投放点C的距离． （2）在街道l上有另一个快递投放点D到小区A与快递投放点B的距离相等，求快递投放点B，D之间的距离． 【答案】（1）小区A到快递投放点C的距离为；（2）快递投放点B，D之间的距离为 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解即可； （1）解：∵小区A在点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $