专题 1.8 勾股定理全章考点分类讲义【八大考点十类题型】- 2026-2027学年北师大版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学勾股定理复习讲义通过“八大考点”知识框架系统梳理全章内容，从勾股定理的内容与证明、直接应用到逆定理、面积问题、方程思想等，用表格归纳常见勾股数，思维导图呈现考点内在联系，突出方程思想、几何综合等重难点。 讲义亮点在于“十类题型”分层精析，如折叠问题通过设未知数列方程培养推理能力，最短路径问题将立体展开为平面体现空间观念，航海问题构建直角三角形模型发展应用意识。同步检测包含选择、填空、解答题，基础题巩固知识，综合题提升能力，助力学生自主复习，教师可实施精准分层教学。

专题 1.8 勾股定理全章考点分类讲义【八大考点十类题型】 目录 一、学习目标 2 二、全章考点知识梳理 2 【考点一】勾股定理的内容与证明 2 【考点二】勾股定理的直接应用——求边长 2 【考点三】勾股数 2 【考点四】勾股定理的逆定理 3 【考点五】勾股定理与面积问题 3 【考点六】勾股定理与方程思想 3 【考点七】勾股定理与几何综合 3 【考点八】勾股定理的实际应用 4 三、考点题型精析 4 【题型1】勾股定理的证明与面积法 4 【题型2】直接利用勾股定理求边长 8 【题型3】勾股数的识别与应用 12 【题型4】勾股定理逆定理的应用 15 【题型5】勾股定理与面积问题 18 【题型6】勾股定理与方程思想（含折叠） 22 【题型7】勾股定理与最短路径问题 26 【题型8】勾股定理与网格问题 31 【题型9】勾股定理的实际应用 35 【题型10】勾股定理与几何综合（动点） 39 四、同步检测 47 （一）选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 47 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 55 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 60 一、学习目标 1. 理解勾股定理的内容，掌握勾股定理的证明方法（面积法、拼图法）。 2. 能熟练运用勾股定理求直角三角形的边长，掌握常见勾股数。 3. 理解勾股定理逆定理，能运用逆定理判断三角形是否为直角三角形。 4. 掌握勾股定理与面积、方程、折叠、最短路径等问题的综合应用。 5. 能运用勾股定理解决航海、测高、测速、选址等实际问题。 二、全章考点知识梳理 【考点一】勾股定理的内容与证明 1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 符号语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，则（a、b为直角边，c为斜边）。 2. 证明方法：核心是“面积法“，通过拼图构造面积相等的图形，利用面积守恒推导。 常见证法：①赵爽弦图（四个全等直角三角形+中间小正方形拼成大正方形）；②毕达哥拉斯证法；③总统证法（梯形面积=三个直角三角形面积之和）。 3. 适用条件：必须在直角三角形中使用，非直角三角形不能直接套用。 【考点二】勾股定理的直接应用——求边长 1. 已知两边求第三边： ，，。 2. 已知一边和另两边的关系：设未知数，利用勾股定理列方程求解。 3. 求斜边上的高：利用面积法，（a、b为直角边，c为斜边，h为斜边上的高）。 4. 与特殊三角形结合：等腰三角形中作高构造直角三角形；等边三角形中高=√3/2×边长。 【考点三】勾股数 1. 定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数（勾股弦数）。 2. 常见勾股数：（3，4，5）、（5，12，13）、（6，8，10）、（8，15，17）、（7，24，25）、（9，40，41）、（20，21，29）。 3. 性质：若（a，b，c）是勾股数，则（ka，kb，kc）（k为正整数）也是勾股数。 4. 构造方法：若m、n为正整数且m>n，则a=m²-n²，b=2mn，c=m²+n²构成勾股数。 【考点四】勾股定理的逆定理 1. 逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形，且c边所对的角为直角。 2. 与勾股定理的关系：勾股定理是“由直角三角形得三边关系“（性质定理），逆定理是“由三边关系得直角三角形“（判定定理），二者互逆。 3. 判断步骤：①确定最长边c；②计算c²与a²+b²；③比较：若c²=a²+b²则为直角三角形；若c²>a²+b²则为钝角三角形；若c²<a²+b²则为锐角三角形。 4. 应用：判断三角形形状、证明两直线垂直、构造直角。 【考点五】勾股定理与面积问题 1. 弦图面积关系：大正方形面积=四个直角三角形面积+中间小正方形面积，即c²=4×½ab+（b-a）²，化简得a²+b²=c²。 2. 正方形面积关系：以直角三角形三边为边向外作正方形，两个小正方形面积之和等于大正方形面积，即S₁+S₂=S₃。 3. 斜边上的高：利用面积守恒，=ch，得。 4. 不规则图形面积：通过割补法转化为直角三角形面积的和或差。 【考点六】勾股定理与方程思想 1. 核心方法：当题目中出现边长关系但未直接给出时，设未知数表示边长，利用勾股定理列方程求解。 2. 常见模型： （1）绳子测高模型：绳长=旗杆高+余量，x²+a²=（x+b）²； （2）折叠模型：折叠前后对应边相等，设未知边利用勾股定理列方程； （3）实际问题建模：将实际问题转化为直角三角形，设未知数列方程。 3. 注意：解方程后需检验结果是否符合实际意义（边长为正）。 【考点七】勾股定理与几何综合 1. 折叠问题：折叠前后对应边相等、对应角相等，利用勾股定理求折叠后线段长度。关键是找到折叠后的直角三角形。 2. 最短路径问题：①立体图形表面最短路径——将立体展开为平面，用勾股定理求两点间线段长；②将军饮马模型——作对称点转化为两点间线段最短。 3. 网格问题：在正方形网格中，格点间线段长度=√（水平格数²+垂直格数²）；面积用割补法。 4. 动点问题：设动点运动时间为t，表示相关线段长度，利用勾股定理建立方程或函数关系。 5. 旋转问题：旋转前后对应边相等，利用旋转构造直角三角形，结合勾股定理求解。 【考点八】勾股定理的实际应用 1. 航海问题：利用方位角构造直角三角形，求两船距离或航行时间。 2. 测高问题：利用绳子、影子、标杆等构造直角三角形，求旗杆、大树、建筑物高度。 3. 测速问题：利用测速仪与汽车的位置关系构造直角三角形，求汽车行驶距离和速度。 4. 台风影响问题：求目标点到台风路径的最短距离（垂线段），与影响半径比较判断是否受影响。 5. 选址问题：在直线上找一点使到两定点距离相等，利用垂直平分线性质或列勾股方程。 6. 其他：梯子滑落、大树折断、水杯筷子、台阶地毯、河宽测量等。 三、考点题型精析 【题型1】勾股定理的证明与面积法 【题型解读】勾股定理的证明核心是“面积法”：通过拼图构造面积相等的图形，利用面积守恒推导a²+b²=c²。常见证法有赵爽弦图、总统证法（梯形法）等。解题关键是找到图形中各部分面积的表达式，建立等式。 【例题1】（25-26八年级下·北京昌平·期中）如图，两个全等的直角三角形与一个小直角梯形恰好拼成一个大直角梯形，请你利用此图证明勾股定理． 【答案】证明：如图． 由两个全等的直角三角形，得． ， ， ， ， ． 【分析】先说明，由图形可知，然后运用三角形的面积公式化简整理即可证明结论． 解：证明：略． 【变式1】（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 解：、边长为正方形的面积边长为正方形的面积2个长为，宽为的长方形的面积大正方形的面积， ，属于完全平方公式，不能用来证明勾股定理，符合题意； 、三个直角三角形的面积和梯形的面积， ，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意； 、四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意； 、四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ，整理得，可以证明勾股定理，不符合题意． 【变式2】（23-24七年级上·湖北武汉·自主招生）“数缺形不直观，形缺数不入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下面几幅图形并回答后面的问题： ①由图形_______可知；勾股定理成立； ②由图形_______可知；完全平方公式成立； ③由图形_______可知；平方差公式成立； ④由图形_______可知；公式成立． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式与图形面积、勾股定理等知识，熟练掌握数形结合思想是解题关键．图形：方法一：利用正方形的面积公式求出大正方形的面积；方法二：大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和，由此即可得；图形：方法一：利用长方形的面积公式可得四个小长方形的面积；方法二：四个小长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此即可得；图形：方法一：利用梯形的面积公式可得两个直角梯形的面积；方法二：两个直角梯形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此即可得；图形：方法一：利用正方形的面积公式求出中间小正方形的面积；方法二：中间小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积，由此即可得． 解：图形：方法一：大正方形的面积为， 方法二：大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和， 则大正方形的面积为， 所以完全平方公式成立； 图形：方法一：四个小长方形的面积为， 方法二：四个小长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 则四个小长方形的面积为， 所以公式成立； 图形：方法一：两个直角梯形的面积为， 方法二：两个直角梯形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， 则两个直角梯形的面积为， 所以平方差公式成立； 图形：方法一：中间小正方形的面积为， 方法二：中间小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积， 则中间小正方形的面积为， 所以勾股定理成立； 故答案为：①；②；③；④． 【变式3】（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，将一个长为a，宽为b的长方形纸片（如图Ⅰ，）剪成2个完全相同的直角三角形纸片（如图Ⅱ）后，斜边记为c，并摆成图Ⅲ．两个直角三角形纸片分别记为和，点D在边上，与交于点F，连接和． （1）写出与的位置关系及理由； （2）利用图Ⅲ，验证． 【答案】（1）．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由题意得，，， ， ∵， ∴， 整理，得． 【分析】（1）由题意得，推出，利用等角的余角相等即可求解； （2）利用，结合面积公式列式计算即可得证． 解：（1）略 （2）略 【题型2】直接利用勾股定理求边长 【题型解读】这是勾股定理最基础的应用。在直角三角形中，已知任意两边可求第三边；已知一边和另两边的数量关系，可设未知数列方程求解。注意先确定斜边（最长边），再选择公式。 【例题2】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在五边形中，的面积为与关于所在的直线成轴对称．求的长． 【答案】 【分析】先根据三角形的面积求出，再根据勾股定理求出，最后根据轴对称的性质得出结果即可． 解：∵的面积为， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， ∵与关于所在的直线成轴对称， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案． 解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 【变式2】（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，已知是的中线，，垂足为点A，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】延长到E使，连结，先根据证明，则可得 ，在中根据勾股定理可得，进而可得，再在中根据勾股定理求得，进而可得． 解：延长到E使，连接， ∵是的中线， ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，，，以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接，过点作于． （1）求证：． （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵以点B为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2） 【分析】（1）根据垂直的定义和平行线的性质，可得，，即可证得，据此即可证明． （2）先在中用勾股定理算出长度，再借助全等结论得到、的长，求出，最后在中再次利用勾股定理计算的长． 解：（1）略 （2）解：， 由（1）得， ， ， ∵， ∴， 在中， ． 【题型3】勾股数的识别与应用 【题型解读】勾股数是三个正整数满足a²+b²=c²。判断一组数是否为勾股数，只需验证最大数的平方是否等于另两数平方和。勾股数的正整数倍仍是勾股数。熟记常见勾股数可快速解题。 【例题3】（25-26八年级下·广东中山·期中）阅读理解并解答问题 如果、、为正整数，且满足 那么，、、叫做一组勾股数． （1）请你根据勾股数的意思，说明为什么是一组勾股数； （2）如果表示大于1的整数，且，，，请你根据勾股数的意思，说明、、为勾股数． 【答案】（1）∵都是正整数， 且，， ∴， ∴是一组勾股数； （2）∵表示大于1的整数， ∴，，都是正整数， ∵，， ∴， ∴、、是一组勾股数． 【分析】（1）直接利用勾股数的定义去验证即可； （2）得到即可得到这是一组勾股数． （1）解：略； （2）解：略． 【变式1】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）下列四组数：；7，24，25；9，40，41；4，5，6，其中是勾股数的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数的定义：满足的三个正整数、、称为勾股数． 根据勾股数的定义依次验证四组数是否符合定义即可． 解：∵①组的数不是正整数， ∴①不是勾股数， ∵②组中，，，即，且7、24、25均为正整数， ∴②是勾股数， ∵③组中，，，即，且9、40、41均为正整数， ∴③是勾股数， ∵④组中，，，， ∴④不是勾股数， 综上，是勾股数的有2组， 故选C． 【变式2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）我们把能够成为直角三角形三条边的三个正整数a，b，c称为勾股数． 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … 10 17 26 37 50 … （1）若5，13，k是一组勾股数，则____； （2）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在表格中．则当时，的值为___． 【答案】（1）12；（2）200 【分析】（1）由题意可分为当k为最大边时，当13是最大边时，然后分类进行求解即可； （2）由表格得规律：，根据勾股定理可得，然后问题可求解． （1）解：当k最大时，，不是正整数，舍去； 当13是最大边时，由勾股定理得， 解得或（舍去），符合题意； （2）解：由表格得规律：，根据勾股定理得：， 将代入得，， 解得， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·广东清远·期中）（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？请说明理由． （3）如果m表示大于1的整数，，，，请说明a，b，c为勾股数． 【答案】（1）是勾股数，理由： ，，（k是正整数）， ， ，，是一组勾股数； （2）是勾股数，理由： a，b，c是一组勾股数， ∴，，（k是正整数）也是一组正整数， ， ， ∴，，（k是正整数）也是一组勾股数； （3）是勾股数，理由： 表示大于1的整数， 由，，得到、、均为正整数； 又， 而， ， 、、为勾股数． 【分析】本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方； （1）直接利用勾股数的定义去验证即可； （2）根据勾股数的定义得出，推出的成立即可； （3）得到即可得到这是一组勾股数． 解：（1）略 （2）略 （3）略 【题型4】勾股定理逆定理的应用 【题型解读】逆定理用于判断三角形是否为直角三角形：先找最长边，验证最长边平方是否等于另两边平方和。也可用于证明两直线垂直、判断三角形是锐角还是钝角三角形。注意与勾股定理的区别：逆定理是“由边定角”。 【例题4】（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口、，其中，，由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． （1）从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； （2）求新修的路比原来的路短多少？ 【答案】（1）解：∵，，， ∴，， ∵ ∴ ∴是直角三角形， ∴ ∴从村庄到公路，是距离最近的路； （2） 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，得到，即可说明； （2）利用勾股定理运算出的长，再作比较即可． 解：（1）略 （2）∵，， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴在中，， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·新疆巴州·阶段检测）五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找出能构成直角三角形的三组数，并确定公共边，即可解答． 解：， 长度为，24，25的三根木棒能构成直角三角形，且25为斜边； ， 长度为15，20，25的三根木棒能构成直角三角形，且25为斜边； 共有五根木棒， 这两个直角三角形共用长度为25的木棒，即两个直角三角形共用斜边25组成，且直角边分别为，24和15，20，符合题意的只有C． 【变式2】（25-26八年级下·安徽池州·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形空地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，则的长为______米． 【答案】140 【分析】先在中，利用三边关系判断是否为直角，若，则在中用勾股定理求出，进而求出． 解：在中，，，， ， ， ， 是直角三角形，， 即． 在中，，， 由勾股定理得： ， （米）． 【变式3】（25-26八年级下·河北张家口·期末）图1是露营时用的天幕帐篷，搭天幕帐篷时，用天幕杆作为支撑，在点A处用绳子向地面固定，地面上的固定点为C，如图2所示，其中米，米，米（绳子始终处于紧绷状态，图中所有点都在同一平面内）． （1）通过计算判断此时是否与垂直； （2）由于风力增大，为了更稳固地固定帐篷，在点A处又增加一条绳子，与地面的固定点为点D（点D在的延长线上）．若米，求的长度． 【答案】（1）解：在中，，， ，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴； （2） 【分析】（1）根据勾股定理逆定理解答即可； （2）在中，根据勾股定理可得，即可求解． 解：（1）略 （2）解：在中，， 根据勾股定理得， ∴（米）， 即的长度为米． 【题型5】勾股定理与面积问题 【题型解读】勾股定理与面积结合的核心是：以直角三角形三边为边向外作正方形（或半圆、等边三角形），两个小图形面积之和等于大图形面积。利用面积法可求斜边上的高。解题时注意识别图形中的面积关系。 【例题5】（2026·湖南长沙·二模）如图，在中，．垂足为D，，延长至E，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ． （2）22 【分析】（1）利用全等三角形的判定方法证明，即可得证； （2）利用勾股定理求出的长，利用全等三角形的性质得到，得出的长，再利用勾股定理求出的长，最后利用三角形的面积公式即可求解． 解：（1）略 （2）解：∵，，， ， ， 由（1）得，， ， ， ， ∴， 的面积． 【变式1】（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）如图，分别以的三边为边作正方形，再以为斜边作，最后以为边作两个小正方形的面积分别是1、3，以为边的正方形面积为2，则图中5个正方形的面积总和是（   ） A．5 B．3 C．16 D．6 【答案】C 【分析】先分别求出以和以为边的正方形的面积，然后相加即可． 解：∵四边形是正方形， ∴． ∵以为边的作两个小正方形的面积分别是1、3， ∴． ∵以为边的正方形面积为2， ∴， ∴以为边的正方形面积为：， ∴图中5个正方形的面积总和是：． 【变式2】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．图中正方形的面积是90，，则正方形的面积是_____． 【答案】36 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质，理解题意是解题的关键． 根据题意得到，根据正方形的面积是90，结合勾股定理求出的长，得出的长，再利用正方形的面积公式即可求解． 解：∵大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的， ∴， ∵大正方形的面积是90， ∴， ∵， ∴， 则， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴正方形的面积是． 故答案为：36． 【变式3】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，点在线段上，，，，． （1）求证：； （2）已知，，求的面积． 【答案】（1）证明：∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）． 【分析】（）由，，，得，则，即可根据“”证明； （）由全等三角形的性质得，，则 由勾股定理得，然后用面积公式即可求解； 解：（1）略 （2）由（）得， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴． 【题型6】勾股定理与方程思想（含折叠） 【题型解读】当题目中边长关系不直接给出时，设未知数表示相关线段，利用勾股定理列方程求解。折叠问题中，折叠前后对应边相等，关键是找到折叠后形成的直角三角形，设未知边列方程。这是中考高频考点。 【例题6】（25-26八年级下·广东珠海·期末）如图，教室地面放着一个课桌，桌面与地面平行，点到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．图1中，一扫帚的一端与墙角重合，另一端靠在点处，． （1）求课桌的高度； （2）在图2中，教室里准备节日庆祝布置彩带，彩带拉直后一端与点重合，另一端挂在墙上的点处．若，彩带比桌宽长，求桌宽的长度． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）如图①，过作垂直于墙面，垂足为点，然后利用勾股定理求解即可； （2）如图②，延长交墙面于点，则，设，则，，求出，然后利用勾股定理求解． （1）解：如图①，过作垂直于墙面，垂足为点， 由题意可知，， ∵桌面与地面平行， ∴， 在中，由勾股定理得， 答：课桌的高度为； （2）解：如图②，延长交墙面于点，则， 设，则，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， 答：桌宽的长度为． 【变式1】（2026·山东东营·二模）古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竹竿的长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题先根据题意得到门框的宽、高和对角线的长度，再利用勾股定理即可列出方程． 解：设竹竿的长为尺， ∵ 横放竹竿时比门框宽多尺， ∴ 门框的宽为尺， ∵ 竖放竹竿时比门框高多尺， ∴ 门框的高为尺， ∵ 斜放竹竿刚好顶住门框两个对角， ∴ 门框对角线长等于竹竿长尺， ∵ 门框是矩形，四个角为直角，根据勾股定理可得 ． 【变式2】（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，某厂的自动化流水线由两条平行的传送带a、b组成，a、b之间的距离为1米，在a、b之间要布置跨线工位，使得，物料供应点A到传送带a的距离米，物料供应点B到传送带b的距离米，A，B之间的距离为米，若要求两个物料供应点到工位的搬运距离相等，即，则________． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，求得，利用勾股定理求得，设，则，利用勾股定理分别求得，，根据，列式计算即可求解． 解：过点作交的延长线于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴，， ∵，即， ∴， 解得； 即． 【变式3】（25-26八年级下·河北邯郸·期末）王爷爷家有一片露天鱼池，为避免太阳直射，王爷爷在鱼池上方搭建了遮阳网．如图，鱼池的截面呈长方形（长方形），B点到C点的距离为，池子正中央的支撑杆垂直于鱼池底部且高出、为同样大小的遮阳网，一根与同规格的支撑杆斜放在池内（点D，B，O在同一条直线上），且．，求支撑杆的长． 【答案】 【分析】记与的交点为E，设，在中，利用勾股定理进行求解即可. 解：如解图，记与的交点为E． 由题意，得，，E为的中点． ∵， ∴． ∵池子正中央的支撑杆高出， ∴． 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得 ，即， 解得； 答：支撑杆的长是． 【题型7】勾股定理与最短路径问题 【题型解读】最短路径问题的核心是“两点之间线段最短”。立体图形表面最短路径需将立体展开为平面，再用勾股定理求线段长；将军饮马模型需作对称点转化为两点间线段。注意比较不同展开方式，取最小值。 【例题7】（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）如图①，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长度最短的金属丝． （1）现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图（图③）是______； （2）求该长度最短的金属丝的长； （3）如图②，若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝的最短长度为，则的值为______． 【答案】（1）A；（2）20；（3）2368 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． （1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （3）根据勾股定理即可得到结论． （1）解：根据两点之间线段最短可得：所得的圆柱侧面展开图为A． 故选A． （2）解：∵圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴金属丝的长为． （3）解：根据勾股定理可得：． 【变式1】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，，，将边沿翻折，点B落在点E处，连接交于点F，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题、垂线段最短，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，则当的值最小时，取得最大值，然后根据垂线段最短可得当时，的值最小，利用三角形的面积公式可求出的最小值，由此即可得． 解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴当的值最小时，取得最大值， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， 此时， ∴， ∴的最大值为， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，一个圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条线上，小辰用一根彩带从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根彩带的长度最短是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 解：圆柱体的展开图如图所示：用一根彩带从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：； 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短； ∵圆柱底面半径为 ∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长： ； 又∵圆柱高为， ∴小长方形的一条边长是； 根据勾股定理求得； ∴； 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·河南南阳·期末）阅读材料： 我们曾经解决过如下问题：“如图1，点M，N分别在直线同侧，在直线上，使得最小？” 我们可以经过如下步骤解决这个问题： （1）画草图（或目标图）分析思路：在直线上任取一点，连接，根据题目需要，作点M关于直线的对称点，“化曲为直”寻找的最小值； （2）设计画图步骤； （3）回答结论并验证． 解决下列两个问题： （1）如图2，在中，，，，垂直且平分，在直线上，直接写出的最小值，回答：的最小值是______，取最小值时点P的位置是（在图中标出来）______； （2）如图3，点M，N分别在直线两侧，在直线上，使得．要求画图，并简要叙述确定点P位置的步骤．（无需尺规作图，保留画图痕迹，无需证明） 解：确定点P位置的简要步骤：______． 【答案】（1）4，如图所示，线段与直线的交点 （2）如图所示；先画点M关于直线的对称点，射线与直线的交点即为点P 【分析】本题考查轴对称变换、最短路径问题，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决问题，属于中考常考题型． （1）根据题意知点B关于直线的对称点为点C，记，的交点为，连接，此时的值最小即的长，求出的长度即可得到结论． （2）先画点M关于直线的对称点，射线与直线的交点即为点P． （1）解：∵在中，，，， ∴， 如图，记，的交点为，连接， ∵垂直平分， ∴B、C关于对称， ∴， ∴，此时的值最小，最小值为4． （2）解：先画点M关于直线的对称点，射线与直线的交点即为点P． 理由如下： ∵由作图可得：是的垂直平分线， ∴，， ∴． 故答案为：先画点M关于直线的对称点，射线与直线的交点即为点P． 【题型8】勾股定理与网格问题 【题型解读】在正方形网格中，格点间线段长度=√（水平格数²+垂直格数²）。求三角形面积用割补法（矩形面积减周围直角三角形面积）。判断三角形形状用勾股定理逆定理。网格问题是中考常考题型，关键是准确数格数。 【例题8】（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图，每一个小正方形的边长为， （1）画出格点关于直线对称的； （2）在上画出点，使最小； （3）在上画出点，使最大； （4）直接写出的最大值为 ． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）先作出三个顶点的对称点，和，再顺次连接即可； （2）先作出点A的对应点，连接，交于点，此时的值最小，即为的值； （3）延长交于点，此时最大，即为的长； （4）根据勾股定理，计算即可求解． 解：（1）略 （2）解：作出点A的对应点，连接，交于点，点即为所求， 此时的值最小，即为的值，图形略； （3）解：延长交于点，点即为所求， 此时最大，即为的长，图形略； （4）解：由图可得，， 的最大值为． 【变式1】（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（  ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于D，根据勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式求出中边上的高即可． 解：过点A作于D，如图所示： ∵小正方形的边长为1， ∴， ∵， ∴， 解得． 【变式2】（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图所示的网格为正方形网格，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，全等三角形的判定和性质，由网格可证，所以，由，从而求得，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 解：如图， 由网格可知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，点、、在正方形网格点上，每个小正方形边长为1个单位长度．根据要求完成下列问题： （1）是直角三角形吗？请说明理由； （2）如图，点在格点上，连接、，则四边形的面积是__________； （3）在上画一点，使得的和最小． 【答案】（1）解：是，理由如下： 因为，，， 所以， 所以是直角三角形； （2）10 （3）如图所示： 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，轴对称的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据勾股定理及其逆定理进行证明即可； （2）根据勾股定理及其逆定理证明为直角三角形，然后利用直角三角形的面积公式进行求解即可； （3）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短进行求解即可． 解：（1）略 （2）解：如图所示， 由勾股定理得， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ， ∴四边形的面积是， 故答案为：10； （3）解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接，交于点，连接， ∴垂直平分线段， ∴， 此时，的和最小，且等于的长． 【题型9】勾股定理的实际应用 【题型解读】勾股定理在实际生活中应用广泛，包括航海、测高、测速、台风影响、选址、梯子、大树折断等。解题关键是将实际问题抽象为直角三角形模型，明确已知量和未知量，再用勾股定理求解。 【例题9】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口三个半小时后分别位于点Q，R处，且相距70海里． （1）试判断的形状；并说明理由 （2）如果“远航”号沿北偏东方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下： 由题意知，（海里），（海里）， ∵， ∴， ∴是直角三角形． （2）北偏西 【分析】（1）根据“距离速度时间”求出的值，再利用勾股定理逆定理求出结果； （2）利用方向角求解即可． 解：（1）略 （2）解：由（1）知，， ∵“远航”号沿北偏东50°方向航行， ∴， ∴， ∴“海天号”沿北偏西航行． 【变式1】（25-26八年级下·天津西青·期末）如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端沿墙下滑（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】梯子顶端沿墙下滑的距离为．利用勾股定理求出，．即可得到答案． 解：在中，根据勾股定理得， 在中，根据勾股定理得， 所以，． 因此，当梯子底端向外移动时，梯子顶端下滑． 【变式2】（24-25八年级下·重庆·阶段检测）如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为_____________．（假设蜂蜜不会下滑） 【答案】20 【分析】将圆柱侧面展开为矩形，作点关于杯口上沿的对称点，连接即为最短路径，确定直角三角形的两条直角边长，利用勾股定理求解； 解：如图，将圆柱侧面展开，作点关于杯口上沿的对称点，连接， 由对称性可得， ， 线段的长即为蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离， 由题意得，，，， ， 在中，由勾股定理得． 【变式3】（25-26八年级下·广东肇庆·期末）【问题情境】如图①，在中，为边上的高． （1）【数学知识】若，，，求证：； （2）【学以致用】如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 【答案】（1）证明：∵为边上的高， ∴， ∴，， ∵，， ∴，则， ∴， ∴是直角三角形，且． （2）小华设计的房梁不安全，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴与不垂直， ∴小华设计的房梁不安全． 【分析】（1）先利用勾股定理求得，，然后求得，则；最后根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而证明结论； （2）由勾股定理可得，进而得到，再利用勾股定理逆定理进行判断即可． 解：（1）略 （2）略 【题型10】勾股定理与几何综合（动点） 【题型解读】勾股定理与动点、旋转结合是中考压轴题的常见形式。动点问题中，设运动时间为t，表示相关线段，利用勾股定理建立方程或函数关系。 【例题10】（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，中，，，，若动点P从点C开始，路径运动，且速度为每秒，设运动时间为秒． （1）动点P运动2秒后，求的周长； （2）当动点P在上运动时，问为何值时，为直角三角形？ （3）另一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动，当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 【答案】（1）；（2）或；（3）2秒或6秒． 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积计算、一元一次方程的应用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由勾股定理求出的长，由题意得出，，再由勾股定理求出的长，即可得解； （2）分两种情况：当点在上运动时，为直角三角形；当P点在上时，时，为直角三角形，分别求解即可； （3）分两种情况：当P点在上，Q点在上时；当P点在上，Q点在上时；分别列出方程，求解即可． （1）解：如图， ， 由，，， 由勾股定理得：， 动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒， 出发2秒后，，， ， ， 的周长为：； （2）解：，动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒， ∴当点在上运动时，为直角三角形， ， 当P点在上时，时，为直角三角形， ， ， 解得：， ， ， 点P的速度为每秒， ， 综上所述：当或时，为直角三角形； （3）解：当P点在上，Q点在上时，则，， ，直线把的周长分成相等的两部分， ， ； 当P点在上，Q点在上时，则，， 直线把的周长分成相等的两部分， ， ， 当t为2秒或6秒时直线把的周长分成相等的两部分． 【变式1】（23-24八年级上·四川雅安·阶段检测）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了线路最短的问题，轴对称性质以及勾股定理，如图，过点P作的对称点，过点Q作的对称点，连接，交于点A，交于点B，则，，为最小值，再由勾股定理即可求得答案． 解：如图，过点P作的对称点，过点Q作的对称点，连接，交于点A，交于点B， 则， ∴为最小值， ∵点P与点关于对称，点Q与点关于对称， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为10， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为___________． 【答案】或（或） 【分析】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段． 由题意可知，需要分为点位于靠近点的三等分点和点位于靠近点的三等分点两种情况进行讨论，根据题意可得，的长度，设出的长度，由折叠的性质可依次求出，的长度，由勾股定理可知，，建立方程并解方程即可得解． 解：如图1所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， ， 由折叠的性质可知，， 设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 如图2所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， 由折叠的性质可知，， 此时，设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 综上所述，当点是边的三等分点时，的长为或． 故答案为：或（4.5或1.8）． 　 【变式3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知，如图①，在中，，，点D、E分别为线段上两动点，在点D、E运动过程中，始终是．探究线段、、三条线段之间的数量关系． （1）请猜想、、三条线段之间的数量关系，直接写出结果． （2）深入思考：当动点E在线段上，动点D运动到线段的延长线上时，如图②，其它条件不变，（1）中的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． （3）结论应用：若； ①在图1中，，求出和的长． ②在图2中，若，直接写出： ， ． 【答案】（1）；（2）解：关系式仍然成立． 证明：将绕点A顺时针旋转得到．连接． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）①，；②8，10 【分析】（1）将绕A顺时针旋转后得，根据题意证明，故，因为中，，所以，从而可得，在中，由勾股定理得线段之间的等量关系式； （2）将绕点A顺时针旋转得到．连接，根据题意证明，进而求解即可； （3）①首先根据勾股定理求出，然后求出①，然后利用得到②，然后联立求解即可； ②同①的方法求解即可． （1）解：，证明如下： 将绕A顺时针旋转后得，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）略 （3）解：①∵，， ∴， ∵， ∴①， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴②， 联立①②，解得，； ②∵， ∴①， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴②， 联立①②，解得，． 四、同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是（     ） A．15 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】未明确已知边是直角边还是斜边，需分类讨论，结合勾股定理计算后匹配选项． 解：分两种情况讨论. ∵当长为5的边为斜边时，第三边为直角边， ∴第三边长为； ∵当长为5的边为直角边时，第三边为斜边， ∴第三边长为． ∴D选项符合题意． 2．（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，某海警舰艇A在海岛O的北偏西，处，遇险渔船B与海警舰艇A相距，渔船B与海岛O相距，则渔船B在海岛O的（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理判断为直角三角形，得出，再结合方位角的定义计算即可. 解：由题意，， ， ，， 是直角三角形，且， 舰艇在海岛的北偏西方向 与正北方向的夹角为， 与正北方向的夹角为， 渔船在海岛的北偏东方向 上. 3．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，已知正方形的面积为4，正方形的面积为3，则正方形的面积为（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 【答案】C 【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理即可得出结论． 解：如图，正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为， 在中，， ∴，即正方形的面积为7． 4．（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义分别判断即可． 解：A、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项A不符合题意； B、∵，，，，，， ∴， 解得：，， ∵m、n无正整数解，故选项B符合题意； C、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项C不符合题意； D、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项D不符合题意． 5．（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则，据此可判断A；小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则，据此可判断B；C选项中的图形不能证明勾股定理；中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去个直角三角形面积，则，据此可判断D． 解：A、大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积等于， ， ， ， 故该选项能证明勾股定理，不符合题意； B、小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则小正方形的面积等于， ， ， ，故该选项能证明勾股定理，不符合题意； C、选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意； D、中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去个直角三角形面积，则中间等腰直角三角形的面积为， ， ， ，故该选项能证明勾股定理，不符合题意． 6．（2026·黑龙江佳木斯·三模）在中，，，，，点D在上，将沿对折，点C刚好落在上的E点，则的长（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠得出，，，设，则，根据勾股定理得出，即可求出结果即可． 解：在中，，，，根据题意得： ，，， 则， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即． 7．（25-26七年级下·四川绵阳·期末）如图，村庄C在新修的村道B端北偏西方向100米处，同时在新修的村道A端南偏西方向240米处，村道长为260米．现需在村道上修建一个公交车停靠站D，要求村庄C距公交车停靠站D的距离最近，则最近的距离是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，过点C作于点N，则的长为点C到的最近距离，根据的面积求出即可． 解：由题意得米，米，米， ∴， ∴是直角三角形，． ∴（平方米）． 过点C作于点N，则的长为点C到的最近距离． ∵， ∴， ∴米， ∴最近的距离是米． 8．（25-26八年级上·山东聊城·期末）在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板二尺离地，送行九尺与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语衣嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地2尺，将它往前推送9尺（水平距离）时．秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，绳索的长为（    ） A．12尺 B．12.5尺 C．14.5尺 D．15尺 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用．将题中条件转化为数学符号语言，可得四边形为长方形，推出，再设，在利用勾股定理列方程求解． 解：如图，由题意知：，，，，，． 由题意得四边形为长方形， ， 又， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得尺， 绳索的长度为15尺． 故选：D． 9．（2025九年级·香港·竞赛）在立方体的每个面上挖一个半球形状的洞．这些洞都是相同的，以每个面的中心为球心．每个洞与它相邻面上的洞只在一个点接触．立方体的边长为 2．每个洞的直径是多少？（   ） A．1 B． C． D． E．2 【答案】C 【分析】根据正方体的特征可知上表面上圆的圆心、右表面上圆的圆心到它们公共棱的距离为1，两圆心间的距离等于一个洞的直径，然后根据勾股定理求解即可． 解：如图，设上表面上圆的圆心为A，右表面上圆的圆心为B，上表面和右表面相交的棱的中点为C，连接、、， 根据题意，得，，等于两个洞的半径和，即为一个洞的直径， ∴， 即每个洞的直径是． 10．（25-26八年级上·全国·期末）如图是一个长、宽、高的长方体玻璃水槽，用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，外侧P处的小蚂蚁想去吃糖，则小蚂蚁所走的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点P关于的对称点A，则，由于用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，故展开图中，，连接，交于点E，此时最短，解答即可． 本题考查了长方体的展开图，勾股定理，轴对称，熟练掌握定理和展开图是解题的关键． 解：作点P关于的对称点A，则， 由于用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖， 故展开图中，， 连接，交于点E，此时最短， 且 故选：D    ． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）在中，，，则 __________ 【答案】51 【分析】设，根据勾股定理，得，得到，解答即可． 解：， 设， 根据勾股定理，得， 故， 解得， ， ． 12．（25-26八年级下·重庆长寿·期末）采用如图方法可以得到线段的黄金分割点：作，使，且，在上截取，在上截取．点即为线段的黄金分割点，若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据已知条件，及求出，在中利用勾股定理求出的长，结合求出的长，由得到的长，最后根据计算即可． 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，“赵爽弦图”是我国著名数学家赵爽创制的，它以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是______． 【答案】13 【分析】根据正方形面积公式求出阴影部分边长为7，结合图形得出与的数量关系，求出的长，再利用勾股定理计算的长即可． 解：阴影部分的面积是49， 中间小正方形的边长为， 由图可知，中间小正方形的边长等于， ， ， ， 在中，，由勾股定理得：， 大正方形的边长是13． 14．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，，，，，，则四边形的面积是______． 【答案】24 【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据四边形的面积求解即可． 解：连接， ，， ， ， ， ， 是直角三角形，且， 四边形的面积． 15．（25-26八年级下·湖北恩施·期末）如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是_________． 【答案】25 【分析】先根据勾股定理求出，同理可得正方形H的面积是9，则此题可解． 解：如图所示，令正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形G的边长为c， 根据勾股定理，得， 即， ∴正方形G的面积是16，同理可得正方形H的面积是9， 所以正方形E的面积是． 16．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为________． 【答案】 【分析】根据勾股定理，得，边上的高为4，利用三角形面积相同，计算即可； 解：根据题意，得，边上的高为4， ， 故， 故； 17．（2026九年级·吉林·专题练习）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”其大意为：有一架秋千（如图），当它静止时，踏板离地距离为1尺．将它往前水平推送10尺（尺），则秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高……若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，设绳索的长为尺，则可列方程为_________________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，解题的关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解． 设绳索的长为尺，由题意知：尺，尺，尺，根据勾股定理列方程即可． 解：设绳索的长为尺， 由题意知：尺，尺，尺， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 18．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，，则表示线段的长度，受此启发，学生在求的最小值时，想到构造几何图形来解，如图2，点为上一动点．，，，，设． （1）______； （2）的最小值是______． 【答案】 10 【分析】本题考查利用轴对称确定最短路线问题，运用数形结合思想和利用勾股定理等几何知识直观求解代数问题是解题的关键．（1）由，，即可得到；（2）作点关于的对称点，连接，交于点，过点作，交延长线于点，当点与重合时，值最小，根据勾股定理求出． 解：（1）∵，， ∴； （2）作点关于的对称点，连接，交于点，过点作，交延长线于点， 当与重合时，式子取等号，值最小． ， ． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·北京·期中）如图，在四边形中，． （1）连接，求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）15；（2） 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，再根据列式求解即可． （1）解：∵在中，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·贵州安顺·期末）为了防止电线杆倾斜、倒伏，一般会用钢丝绳将其固定．如图，钢丝绳一端固定在电线杆的点处，另一端固定在地面上的点处，电线杆垂直于地面．已知，（钢丝绳不可拉伸，始终处于紧绷状态）． （1）求钢丝绳的长度． （2）为了提升安全性能，有关部门将钢丝绳与地面的固定点由点调整为点（点在的延长线上），点的位置不变．若，两点的距离为，求钢丝绳增加的长度． 【答案】（1）钢丝绳的长度为；（2）钢丝绳增加的长度为 【分析】（1）在中，利用勾股定理求解即可； （2）先求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，由此即可得． （1）解：∵，，， ∴在中，， 答：钢丝绳的长度为． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴钢丝绳增加的长度为， 答：钢丝绳增加的长度为． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． （1）求快递投放点B，C之间的距离； （2）为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设出未知数，根据勾股定理求解未知数即可． （1）解：∵，，， ∴， ∴快递投放点B，C之间的距离为； （2）解：设， ∴， 在中，， ∴， 则有，解得， ∴自提柜D与快递投放点B之间的距离为． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，现从A地分别向C，D，B三地修了三条笔直的公路和，且C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直．已知． （1）求公路的长度． （2）若修公路每千米的费用是2000万元，请求出修建公路的费用． 【答案】（1）；（2）（万元） 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积公式及其应用，解题的关键在于利用勾股定理计算直角三角形的边长，通过三角形面积的不同表示方法建立等式求解未知量，最终计算所需费用，体现了数学知识在实际问题中的综合运用． （1）利用直角三角形中勾股定理求； （2）先通过与的长度差得到，再利用三角形面积的两种表示方法建立等式求出，最后计算费用． 解：（1）由题意，得， 所以由勾股定理，得，所以． （2）因为， 所以， 所以， 所以修建公路的费用为（万元）． 23．（本小题满分10分）（2026·四川南充·二模）如图，在四边形中，，点E是边上的一点，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）12 【分析】（1）先求出，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，根据勾股定理可得，再然后利用勾股定理求解即可得． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 24．（本小题满分12分）（2025·宁夏·模拟预测）材料阅读：小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题 发现： （1）如图①，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则； 类比： （2）如图②，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 拓展： （3）如图③，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时， 过点C作，交的延长线于点G，若，，连接，补全图形，求的面积． 【答案】（2）， 理由：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ． （3）补图如图所示． 10 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由中，即可得到三者的数量关系； （3）由（2）同理可得：，可得，分别求解，，，再利用割补法求解面积即可得到答案． 解：（2）略 （3）由（2）同理可得：， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.8 勾股定理全章考点分类讲义【八大考点十类题型】 目录 一、学习目标 2 二、全章考点知识梳理 2 【考点一】勾股定理的内容与证明 2 【考点二】勾股定理的直接应用——求边长 2 【考点三】勾股数 2 【考点四】勾股定理的逆定理 3 【考点五】勾股定理与面积问题 3 【考点六】勾股定理与方程思想 3 【考点七】勾股定理与几何综合 3 【考点八】勾股定理的实际应用 4 三、考点题型精析 2 【题型1】勾股定理的证明与面积法 4 【题型2】直接利用勾股定理求边长 5 【题型3】勾股数的识别与应用 6 【题型4】勾股定理逆定理的应用 7 【题型5】勾股定理与面积问题 9 【题型6】勾股定理与方程思想（含折叠） 10 【题型7】勾股定理与最短路径问题 11 【题型8】勾股定理与网格问题 13 【题型9】勾股定理的实际应用 14 【题型10】勾股定理与几何综合（动点） 16 四、同步检测 17 （一）选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 17 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 20 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 22 一、学习目标 1. 理解勾股定理的内容，掌握勾股定理的证明方法（面积法、拼图法）。 2. 能熟练运用勾股定理求直角三角形的边长，掌握常见勾股数。 3. 理解勾股定理逆定理，能运用逆定理判断三角形是否为直角三角形。 4. 掌握勾股定理与面积、方程、折叠、最短路径等问题的综合应用。 5. 能运用勾股定理解决航海、测高、测速、选址等实际问题。 二、全章考点知识梳理 【考点一】勾股定理的内容与证明 1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 符号语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，则（a、b为直角边，c为斜边）。 2. 证明方法：核心是“面积法“，通过拼图构造面积相等的图形，利用面积守恒推导。 常见证法：①赵爽弦图（四个全等直角三角形+中间小正方形拼成大正方形）；②毕达哥拉斯证法；③总统证法（梯形面积=三个直角三角形面积之和）。 3. 适用条件：必须在直角三角形中使用，非直角三角形不能直接套用。 【考点二】勾股定理的直接应用——求边长 1. 已知两边求第三边： ，，。 2. 已知一边和另两边的关系：设未知数，利用勾股定理列方程求解。 3. 求斜边上的高：利用面积法，（a、b为直角边，c为斜边，h为斜边上的高）。 4. 与特殊三角形结合：等腰三角形中作高构造直角三角形；等边三角形中高=√3/2×边长。 【考点三】勾股数 1. 定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数（勾股弦数）。 2. 常见勾股数：（3，4，5）、（5，12，13）、（6，8，10）、（8，15，17）、（7，24，25）、（9，40，41）、（20，21，29）。 3. 性质：若（a，b，c）是勾股数，则（ka，kb，kc）（k为正整数）也是勾股数。 4. 构造方法：若m、n为正整数且m>n，则a=m²-n²，b=2mn，c=m²+n²构成勾股数。 【考点四】勾股定理的逆定理 1. 逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形，且c边所对的角为直角。 2. 与勾股定理的关系：勾股定理是“由直角三角形得三边关系“（性质定理），逆定理是“由三边关系得直角三角形“（判定定理），二者互逆。 3. 判断步骤：①确定最长边c；②计算c²与a²+b²；③比较：若c²=a²+b²则为直角三角形；若c²>a²+b²则为钝角三角形；若c²<a²+b²则为锐角三角形。 4. 应用：判断三角形形状、证明两直线垂直、构造直角。 【考点五】勾股定理与面积问题 1. 弦图面积关系：大正方形面积=四个直角三角形面积+中间小正方形面积，即c²=4×½ab+（b-a）²，化简得a²+b²=c²。 2. 正方形面积关系：以直角三角形三边为边向外作正方形，两个小正方形面积之和等于大正方形面积，即S₁+S₂=S₃。 3. 斜边上的高：利用面积守恒，=ch，得。 4. 不规则图形面积：通过割补法转化为直角三角形面积的和或差。 【考点六】勾股定理与方程思想 1. 核心方法：当题目中出现边长关系但未直接给出时，设未知数表示边长，利用勾股定理列方程求解。 2. 常见模型： （1）绳子测高模型：绳长=旗杆高+余量，x²+a²=（x+b）²； （2）折叠模型：折叠前后对应边相等，设未知边利用勾股定理列方程； （3）实际问题建模：将实际问题转化为直角三角形，设未知数列方程。 3. 注意：解方程后需检验结果是否符合实际意义（边长为正）。 【考点七】勾股定理与几何综合 1. 折叠问题：折叠前后对应边相等、对应角相等，利用勾股定理求折叠后线段长度。关键是找到折叠后的直角三角形。 2. 最短路径问题：①立体图形表面最短路径——将立体展开为平面，用勾股定理求两点间线段长；②将军饮马模型——作对称点转化为两点间线段最短。 3. 网格问题：在正方形网格中，格点间线段长度=√（水平格数²+垂直格数²）；面积用割补法。 4. 动点问题：设动点运动时间为t，表示相关线段长度，利用勾股定理建立方程或函数关系。 5. 旋转问题：旋转前后对应边相等，利用旋转构造直角三角形，结合勾股定理求解。 【考点八】勾股定理的实际应用 1. 航海问题：利用方位角构造直角三角形，求两船距离或航行时间。 2. 测高问题：利用绳子、影子、标杆等构造直角三角形，求旗杆、大树、建筑物高度。 3. 测速问题：利用测速仪与汽车的位置关系构造直角三角形，求汽车行驶距离和速度。 4. 台风影响问题：求目标点到台风路径的最短距离（垂线段），与影响半径比较判断是否受影响。 5. 选址问题：在直线上找一点使到两定点距离相等，利用垂直平分线性质或列勾股方程。 6. 其他：梯子滑落、大树折断、水杯筷子、台阶地毯、河宽测量等。 三、考点题型精析 【题型1】勾股定理的证明与面积法 【题型解读】勾股定理的证明核心是“面积法”：通过拼图构造面积相等的图形，利用面积守恒推导a²+b²=c²。常见证法有赵爽弦图、总统证法（梯形法）等。解题关键是找到图形中各部分面积的表达式，建立等式。 【例题1】（25-26八年级下·北京昌平·期中）如图，两个全等的直角三角形与一个小直角梯形恰好拼成一个大直角梯形，请你利用此图证明勾股定理． 【变式1】（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·湖北武汉·自主招生）“数缺形不直观，形缺数不入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下面几幅图形并回答后面的问题： ①由图形_______可知；勾股定理成立； ②由图形_______可知；完全平方公式成立； ③由图形_______可知；平方差公式成立； ④由图形_______可知；公式成立． 【变式3】（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，将一个长为a，宽为b的长方形纸片（如图Ⅰ，）剪成2个完全相同的直角三角形纸片（如图Ⅱ）后，斜边记为c，并摆成图Ⅲ．两个直角三角形纸片分别记为和，点D在边上，与交于点F，连接和． （1）写出与的位置关系及理由； （2）利用图Ⅲ，验证． 【题型2】直接利用勾股定理求边长 【题型解读】这是勾股定理最基础的应用。在直角三角形中，已知任意两边可求第三边；已知一边和另两边的数量关系，可设未知数列方程求解。注意先确定斜边（最长边），再选择公式。 【例题2】（26-27八年级上·全国·课后作业）如图，在五边形中，的面积为与关于所在的直线成轴对称．求的长． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期中）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，已知是的中线，，垂足为点A，若，，则的长为_____． 【变式3】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，，，以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接，过点作于． （1）求证：． （2）连接，若，求的长． 【题型3】勾股数的识别与应用 【题型解读】勾股数是三个正整数满足a²+b²=c²。判断一组数是否为勾股数，只需验证最大数的平方是否等于另两数平方和。勾股数的正整数倍仍是勾股数。熟记常见勾股数可快速解题。 【例题3】（25-26八年级下·广东中山·期中）阅读理解并解答问题 如果、、为正整数，且满足 那么，、、叫做一组勾股数． （1）请你根据勾股数的意思，说明为什么是一组勾股数； （2）如果表示大于1的整数，且，，，请你根据勾股数的意思，说明、、为勾股数． 【变式1】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）下列四组数：；7，24，25；9，40，41；4，5，6，其中是勾股数的有（    ） A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 【变式2】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）我们把能够成为直角三角形三条边的三个正整数a，b，c称为勾股数． 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … 10 17 26 37 50 … （1）若5，13，k是一组勾股数，则____； （2）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在表格中．则当时，的值为___． 【变式3】（25-26八年级上·广东清远·期中）（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？请说明理由． （3）如果m表示大于1的整数，，，，请说明a，b，c为勾股数． 【题型4】勾股定理逆定理的应用 【题型解读】逆定理用于判断三角形是否为直角三角形：先找最长边，验证最长边平方是否等于另两边平方和。也可用于证明两直线垂直、判断三角形是锐角还是钝角三角形。注意与勾股定理的区别：逆定理是“由边定角”。 【例题4】（25-26八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口、，其中，，由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． （1）从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； （2）求新修的路比原来的路短多少？ 【变式1】（25-26八年级下·新疆巴州·阶段检测）五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·安徽池州·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形空地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，则的长为______米． 【变式3】（25-26八年级下·河北张家口·期末）图1是露营时用的天幕帐篷，搭天幕帐篷时，用天幕杆作为支撑，在点A处用绳子向地面固定，地面上的固定点为C，如图2所示，其中米，米，米（绳子始终处于紧绷状态，图中所有点都在同一平面内）． （1）通过计算判断此时是否与垂直； （2）由于风力增大，为了更稳固地固定帐篷，在点A处又增加一条绳子，与地面的固定点为点D（点D在的延长线上）．若米，求的长度． 【题型5】勾股定理与面积问题 【题型解读】勾股定理与面积结合的核心是：以直角三角形三边为边向外作正方形（或半圆、等边三角形），两个小图形面积之和等于大图形面积。利用面积法可求斜边上的高。解题时注意识别图形中的面积关系。 【例题5】（2026·湖南长沙·二模）如图，在中，．垂足为D，，延长至E，使得，连接． （1）求证：；（2）若，，求的面积． 【变式1】（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）如图，分别以的三边为边作正方形，再以为斜边作，最后以为边作两个小正方形的面积分别是1、3，以为边的正方形面积为2，则图中5个正方形的面积总和是（   ） A．5 B．3 C．16 D．6 【变式2】（25-26八年级上·湖南郴州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．图中正方形的面积是90，，则正方形的面积是_____． 【变式3】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，点在线段上，，，，． （1）求证：； （2）已知，，求的面积． 【题型6】勾股定理与方程思想（含折叠） 【题型解读】当题目中边长关系不直接给出时，设未知数表示相关线段，利用勾股定理列方程求解。折叠问题中，折叠前后对应边相等，关键是找到折叠后形成的直角三角形，设未知边列方程。这是中考高频考点。 【例题6】（25-26八年级下·广东珠海·期末）如图，教室地面放着一个课桌，桌面与地面平行，点到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．图1中，一扫帚的一端与墙角重合，另一端靠在点处，． （1）求课桌的高度； （2）在图2中，教室里准备节日庆祝布置彩带，彩带拉直后一端与点重合，另一端挂在墙上的点处．若，彩带比桌宽长，求桌宽的长度． 【变式1】（2026·山东东营·二模）古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竹竿的长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，某厂的自动化流水线由两条平行的传送带a、b组成，a、b之间的距离为1米，在a、b之间要布置跨线工位，使得，物料供应点A到传送带a的距离米，物料供应点B到传送带b的距离米，A，B之间的距离为米，若要求两个物料供应点到工位的搬运距离相等，即，则________． 【变式3】（25-26八年级下·河北邯郸·期末）王爷爷家有一片露天鱼池，为避免太阳直射，王爷爷在鱼池上方搭建了遮阳网．如图，鱼池的截面呈长方形（长方形），B点到C点的距离为，池子正中央的支撑杆垂直于鱼池底部且高出、为同样大小的遮阳网，一根与同规格的支撑杆斜放在池内（点D，B，O在同一条直线上），且．，求支撑杆的长． 【题型7】勾股定理与最短路径问题 【题型解读】最短路径问题的核心是“两点之间线段最短”。立体图形表面最短路径需将立体展开为平面，再用勾股定理求线段长；将军饮马模型需作对称点转化为两点间线段。注意比较不同展开方式，取最小值。 【例题7】（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）如图①，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长度最短的金属丝． （1）现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图（图③）是______； （2）求该长度最短的金属丝的长； （3）如图②，若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝的最短长度为，则的值为______． 【变式1】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，，，将边沿翻折，点B落在点E处，连接交于点F，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西安康·期中）如图，一个圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条线上，小辰用一根彩带从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根彩带的长度最短是_____． 【变式3】（25-26八年级上·河南南阳·期末）阅读材料： 我们曾经解决过如下问题：“如图1，点M，N分别在直线同侧，在直线上，使得最小？” 我们可以经过如下步骤解决这个问题： （1）画草图（或目标图）分析思路：在直线上任取一点，连接，根据题目需要，作点M关于直线的对称点，“化曲为直”寻找的最小值； （2）设计画图步骤； （3）回答结论并验证． 解决下列两个问题： （1）如图2，在中，，，，垂直且平分，在直线上，直接写出的最小值，回答：的最小值是______，取最小值时点P的位置是（在图中标出来）______； （2）如图3，点M，N分别在直线两侧，在直线上，使得．要求画图，并简要叙述确定点P位置的步骤．（无需尺规作图，保留画图痕迹，无需证明） 解：确定点P位置的简要步骤：______． 【题型8】勾股定理与网格问题 【题型解读】在正方形网格中，格点间线段长度=√（水平格数²+垂直格数²）。求三角形面积用割补法（矩形面积减周围直角三角形面积）。判断三角形形状用勾股定理逆定理。网格问题是中考常考题型，关键是准确数格数。 【例题8】（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图，每一个小正方形的边长为， （1）画出格点关于直线对称的； （2）在上画出点，使最小； （3）在上画出点，使最大； （4）直接写出的最大值为 ． 【变式1】（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（  ） A．2 B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图所示的网格为正方形网格，则______． 【变式3】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，点、、在正方形网格点上，每个小正方形边长为1个单位长度．根据要求完成下列问题： （1）是直角三角形吗？请说明理由； （2）如图，点在格点上，连接、，则四边形的面积是__________； （3）在上画一点，使得的和最小． 【题型9】勾股定理的实际应用 【题型解读】勾股定理在实际生活中应用广泛，包括航海、测高、测速、台风影响、选址、梯子、大树折断等。解题关键是将实际问题抽象为直角三角形模型，明确已知量和未知量，再用勾股定理求解。 【例题9】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口三个半小时后分别位于点Q，R处，且相距70海里． （1）试判断的形状；并说明理由 （2）如果“远航”号沿北偏东方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？ 【变式1】（25-26八年级下·天津西青·期末）如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端沿墙下滑（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·重庆·阶段检测）如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为_____________．（假设蜂蜜不会下滑） 【变式3】（25-26八年级下·广东肇庆·期末）【问题情境】如图①，在中，为边上的高． （1）【数学知识】若，，，求证：； （2）【学以致用】如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 【题型10】勾股定理与几何综合（动点） 【题型解读】勾股定理与动点、旋转结合是中考压轴题的常见形式。动点问题中，设运动时间为t，表示相关线段，利用勾股定理建立方程或函数关系。 【例题10】（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，中，，，，若动点P从点C开始，路径运动，且速度为每秒，设运动时间为秒． （1）动点P运动2秒后，求的周长； （2）当动点P在上运动时，问为何值时，为直角三角形？ （3）另一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动，当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 【变式1】（23-24八年级上·四川雅安·阶段检测）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 【变式2】（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为___________． 【变式3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知，如图①，在中，，，点D、E分别为线段上两动点，在点D、E运动过程中，始终是．探究线段、、三条线段之间的数量关系． （1）请猜想、、三条线段之间的数量关系，直接写出结果． （2）深入思考：当动点E在线段上，动点D运动到线段的延长线上时，如图②，其它条件不变，（1）中的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． （3）结论应用：若； ①在图1中，，求出和的长． ②在图2中，若，直接写出： ， ． 四、同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是（     ） A．15 B．8 C．6 D．4 2．（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，某海警舰艇A在海岛O的北偏西，处，遇险渔船B与海警舰艇A相距，渔船B与海岛O相距，则渔船B在海岛O的（     ） A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北 3．（25-26八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，已知正方形的面积为4，正方形的面积为3，则正方形的面积为（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 4．（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 5．（25-26八年级下·河南驻马店·阶段检测）我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·黑龙江佳木斯·三模）在中，，，，，点D在上，将沿对折，点C刚好落在上的E点，则的长（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·四川绵阳·期末）如图，村庄C在新修的村道B端北偏西方向100米处，同时在新修的村道A端南偏西方向240米处，村道长为260米．现需在村道上修建一个公交车停靠站D，要求村庄C距公交车停靠站D的距离最近，则最近的距离是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．（25-26八年级上·山东聊城·期末）在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板二尺离地，送行九尺与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语衣嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地2尺，将它往前推送9尺（水平距离）时．秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，绳索的长为（    ） A．12尺 B．12.5尺 C．14.5尺 D．15尺 9．（2025九年级·香港·竞赛）在立方体的每个面上挖一个半球形状的洞．这些洞都是相同的，以每个面的中心为球心．每个洞与它相邻面上的洞只在一个点接触．立方体的边长为 2．每个洞的直径是多少？（   ） A．1 B． C． D． E．2 10．（25-26八年级上·全国·期末）如图是一个长、宽、高的长方体玻璃水槽，用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，外侧P处的小蚂蚁想去吃糖，则小蚂蚁所走的最短路径长为（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）在中，，，则 __________ 12．（25-26八年级下·重庆长寿·期末）采用如图方法可以得到线段的黄金分割点：作，使，且，在上截取，在上截取．点即为线段的黄金分割点，若，则的长为________． 13．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，“赵爽弦图”是我国著名数学家赵爽创制的，它以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成．在一次数学实践活动中，某数学小组制作了“赵爽弦图”，其中，阴影部分的面积是49，，则大正方形的边长是______． 14．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，，，，，，则四边形的面积是______． 15．（25-26八年级下·湖北恩施·期末）如图是一棵美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是、、、，则最大正方形的面积是_________． 16．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为________． 17．（2026九年级·吉林·专题练习）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”其大意为：有一架秋千（如图），当它静止时，踏板离地距离为1尺．将它往前水平推送10尺（尺），则秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高……若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，设绳索的长为尺，则可列方程为_________________． 18．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，，则表示线段的长度，受此启发，学生在求的最小值时，想到构造几何图形来解，如图2，点为上一动点．，，，，设． （1）______； （2）的最小值是______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·北京·期中）如图，在四边形中，． （1）连接，求的长； （2）求四边形的面积． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·贵州安顺·期末）为了防止电线杆倾斜、倒伏，一般会用钢丝绳将其固定．如图，钢丝绳一端固定在电线杆的点处，另一端固定在地面上的点处，电线杆垂直于地面．已知，（钢丝绳不可拉伸，始终处于紧绷状态）． （1）求钢丝绳的长度． （2）为了提升安全性能，有关部门将钢丝绳与地面的固定点由点调整为点（点在的延长线上），点的位置不变．若，两点的距离为，求钢丝绳增加的长度． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． （1）求快递投放点B，C之间的距离； （2）为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，现从A地分别向C，D，B三地修了三条笔直的公路和，且C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直．已知． （1）求公路的长度． （2）若修公路每千米的费用是2000万元，请求出修建公路的费用． 23．（本小题满分10分）（2026·四川南充·二模）如图，在四边形中，，点E是边上的一点，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24．（本小题满分12分）（2025·宁夏·模拟预测）材料阅读：小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题 发现： （1）如图①，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则； 类比： （2）如图②，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 拓展： （3）如图③，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时， 过点C作，交的延长线于点G，若，，连接，补全图形，求的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $