专题 2.7 二次根式混合运算综合培优讲义【知识储备+题型精析+同步检测】- 2026-2027学年北师大版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理二次根式混合运算的知识体系，将四则运算法则、分母有理化核心技巧、乘法公式培优应用及混合运算标准顺序按基础到培优递进呈现，突出分母有理化与乘法公式等重难点，清晰展现知识内在逻辑链。 讲义亮点在于分层题型设计，基础夯实含带括号运算等基础题型，综合提升设平方差公式分母有理化、乘法公式简便运算等培优题型，结合法则与公式培养运算能力和推理意识。同步检测覆盖选择、填空、解答题，助力不同层次学生提升，支持教师精准教学与学生自主复习。

专题 2.7 二次根式混合运算综合培优讲义【知识储备+题型精析+同步检测】 目录 一.知识储备 1 【知识要点一】 二次根式四则运算法则 1 【知识要点二】 分母有理化核心技巧 2 【知识要点三】 乘法公式在根式中的培优应用 2 【知识要点四】 混合运算标准顺序 2 二、题型精析（基础夯实） 2 【题型1】 二次根式乘除混合运算 2 【题型2】 二次根式加减混合运算 4 【题型3】单项分母有理化运算 6 【题型4】 带括号的二次根式基础混合运算 7 三、题型精析（综合提升） 8 【题型5】 利用平方差公式分母有理化 8 【题型6】 乘法公式简便运算 11 【题型7】 复杂多层混合运算 13 四、同步检测 15 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 15 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 18 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 20 一.知识储备 【知识要点一】 二次根式四则运算法则 1. 二次根式乘法：，可以双向运用，用于拆分、化简根式。 2. 二次根式除法：，注意分母不能为0，被开方数非负。 3. 二次根式加减法：先全部化为最简二次根式，再合并同类二次根式，类比整式合并同类项，非同类根式不能合并。 4. 运算规律：根式运算满足乘法交换律、结合律、分配律，可灵活简便运算。 【知识要点二】 分母有理化核心技巧 1. 单项分母有理化：。 2. 两项分母有理化：利用平方差公式： 3. 运算要求：最终结果必须是最简二次根式，分母不含根号、被开方数无分数、无开得尽方的因式。 【知识要点三】 乘法公式在根式中的培优应用 1. 平方差公式： 2. 完全平方公式： （1） （2） 3. 培优重点：根式混合运算绝大多数简便计算、压轴化简，全部依赖两大公式变形、逆用、整体代换。 【知识要点四】 混合运算标准顺序 1. 先化简：所有根式先化为最简； 2. 先乘方、再乘除、最后加减； 3. 有括号先算括号内； 4. 最后必须合并同类根式、彻底最简。 二、题型精析（基础夯实） 【题型1】 二次根式乘除混合运算 【例题1】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据二次根式的除法法则进行计算即可； （2）原式根据二次根式乘除法法则进行计算即可． （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级下·山东威海·阶段检测）计算：的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 解：原式为同级运算，从左到右依次计算， ∵， ∴ 原式． 【变式2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算：________________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除法，先化简，将除法转化为乘法，然后进行乘法运算，通过约分得到结果． 解： ， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． （1）（2）直接利用二次根式的乘除法运算法则计算即可得出答案． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型2】 二次根式加减混合运算 【例题2】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算，性质解答即可； 解：原式； 【变式1】（24-25八年级下·广西河池·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加减运算，只有同类二次根式才能合并，合并时系数相加减，被开方数不变，据此判断各选项即可 解：A选项：与不是同类二次根式，不能合并，A错误； B选项：是整数，是无理数，不是同类项，不能合并，B错误； C选项：，C错误； D选项：，计算正确，D正确 【变式2】（25-26八年级下·全国·暑假作业）计算：________． 【答案】 解： 【变式3】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型3】单项分母有理化运算 【例题3】（25-26八年级下·浙江衢州·期末）计算：． 【答案】 解： ． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）将分母有理化的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 解： 对进行分母有理化，需给分子分母同乘， ． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）把化去分母中的根号后得______． 【答案】/ 【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可． 解：由二次根式有意义及分式有意义可得，， ∴，， ∴原式． 【变式3】（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的减法法则． 先对二次根式进行化简，再进行减法运算即可． 解： ． 【题型4】 带括号的二次根式基础混合运算 【例题4】（25-26七年级下·北京·期末）计算：． 【答案】 解：原式 ． 【变式1】（25-26七年级下·天津河西·期中）下列计算结果不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式与立方根的运算，利用乘法分配律和乘方开方的运算法则，分别计算各选项结果，即可找出错误选项. 解：选项A： ，故A计算正确，不符合题意； 选项B：，故B计算正确，不符合题意； 选项C：，故C计算不正确，符合题意； 选项D： ，故D计算正确，不符合题意． 【变式2】（2025九年级下·广东广州·专题练习）计算：___． 【答案】 【分析】先将原式中的化为最简二次根式，合并括号内的同类二次根式，再利用二次根式的乘法法则计算即可． 解： ． 【变式3】（25-26八年级下·天津·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解： ； （2）解： ． 三、题型精析（综合提升） 【题型5】 利用平方差公式分母有理化 【例题5】（25-26八年级下·湖北恩施·期末）在学习二次根式的过程中，小明发现一些分母有理化的规律：对于，若，则．如：，，． 根据小明发现的规律，完成下列问题： （1） ， ． （2）若，则 ． （3）求的值． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】（1）直接套用题目中的规律计算即可； （2）根据规律列等式求解； （3）先拆分每一项，再利用裂项相消法计算求和，中间项相互抵消后得到最终结果． （1）解：对于，，可得， 根据题目规律得， 对于，，可得， 根据题目规律得； （2）已知，根据规律可得， 整理得，解得， 由二次根式的非负性可知， ∴； （3）根据题意可知，原式中每一项满足分子， 因此可得， ∴原式 ． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段检测）已知，，则a，b之间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式四则运算，熟练掌握利用分母有理化进行化简是关键． 根据分母有理化将a化简，再计算，，的值，，即可得出答案． 解：∵， ∴A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）分母有理化：_______． 【答案】 解：． 【变式3】（25-26八年级下·浙江台州·期末）小萍在学习“二次根式的运算”中，发现了如下一系列奇妙的等式： ；；． 【发现问题】 （1）任务一：请根据上述等式的规律，写出第n个等式，并证明该等式成立； 【理解应用】 （2）任务二：比较与的大小． 【答案】（1）解：（为正整数），证明如下： ∵左边右边， ∴等式成立；（2） 【分析】（1）先观察已知等式的数字变化规律，归纳得到第个等式，再利用平方差公式证明等式成立； （2）先利用平方差公式对进行分母有理化化简，再通过比较常数大小得到两个式子的大小关系． 解：（1）略； （2）解：， ∵， ∴， 不等式两边同时加得：， 即． 【题型6】 乘法公式简便运算 【例题6】（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级下·福建福州·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意． 【变式2】（24-25八年级下·云南昭通·阶段检测）a、b分别是的整数部分和小数部分，则的值为_________． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，得到的整数部分和小数部分，再代入，利用平方差公式计算即可． 解：∵，，， ∴， ∵是的整数部分，是的小数部分， ∴，， ∴ ． 【变式3】（25-26八年级下·山西吕梁·期末）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解： ； （2）解： ． 【题型7】 复杂多层混合运算 【例题7】（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】先分别计算二次根式乘法、平方差公式、二次根式除法及绝对值运算，再由二次根式加减运算法则化简即可． 解： ． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简与同类二次根式的合并，掌握将二次根式化为最简形式并合并同类二次根式，结合二次根式有意义的条件求解方程是解题的关键． 本题通过简化方程，将各项转化为的倍数，然后求解． 解：∵， ，， ∴原方程化为， ∴， 两边平方得， ∴ 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）若（其中，为有理数），______． 【答案】 【分析】先对等式左边的分式进行分母有理化，整理等式后分离有理数部分与无理数部分，根据对应系数相等得到关系，计算得出的值． 解： ， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 【变式3】（24-25八年级下·河南信阳·阶段检测）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可． （2）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． （1）解： ． （2）解： ． 四、同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：与、均不是同类二次根式，不能直接合并，故A、B错误； ，故C正确； ，故D错误. 2．（25-26八年级下·广东阳江·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解： ． 3．（25-26八年级下·云南红河·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：对于选项A：与不是同类二次根式，不能合并，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误． 4．（25-26八年级下·陕西商洛·期末）计算的结果是（     ） A． B．3 C．6 D． 【答案】A 解：原式 ． 5．（25-26八年级下·河南新乡·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 解：． 6．（2026·河北邯郸·模拟预测）计算的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 解：． 7．（2026·河北邯郸·一模）计算：（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式化简和乘方运算，先化简二次根式，再计算得数的平方即可得到答案． 解：． 8．（25-26八年级下·江苏南京·期末）若，则值为（     ） A． B． C． D．无理数 【答案】B 【分析】设1013为中间量，将1012、1014转化为含该量的式子，利用完全平方公式简化运算． 解：设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解：A： ，∴ A错误； B： ，∴ B正确； C：，∴ C错误； D：，∴ D错误． 10．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）计算的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用积的乘方逆运算将原式变形再结合平方差公式进行计算． 解：原式 ． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·湖南益阳·期末）计算______． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式的乘除运算法则求解即可． 解： ． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·广东惠州·阶段检测）（1）______；（2）______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，熟知二次根式的乘除法计算法则是解题的关键． （1）根据二次根式乘法计算法则求解即可； （2）根据二次根式乘除法计算法则求解即可． 解：（1）， 故答案为：； 解：， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·新疆克拉玛依·开学考试）计算：（1）=________．（2）=__________． 【答案】 解：（1） ； （2） ． 14．（25-26八年级下·天津和平·期末）计算的结果为__________________ ． 【答案】 【分析】观察式子符合平方差公式的形式，利用平方差公式简化计算． 解： ． 15．（23-24八年级上·上海·阶段检测）的倒数是_____． 【答案】/ 【分析】根据倒数的定义写出所求表达式，再利用平方差公式进行分母有理化化简即可得到结果． 解：的倒数是： ． 16．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）规定，则的值是______． 【答案】 【分析】首先根据新定义得到，然后利用分母有理化求解即可． 解：∵， ∴ ． 17．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）计算：______． 【答案】 【分析】先通分化成同分母再利用平方差公式、完全平方公式相加化简即可． 解：， ， ， ． 18． （25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）计算：_______． 【答案】/ 解：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分别进行二次根式乘法，绝对值化简，零指数幂的运算再进行合并． （2）分别利用平方差公式和完全平方公式展开后，合并同类项即可． （1）解： （2）解： 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）计算 （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据二次根式的四则混合运算法则，计算即可； （2）根据，（，且p是正整数），有理数的乘方，二次根式的性质，绝对值，计算即可； （1）解：原式 ； （2）解：原式； 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·天津河东·阶段检测）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解： ； （2）解： ． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·天津和平·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） （1）解：原式 （2）解：原式 ． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·山东德州·阶段检测）计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2） （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）化简计算． （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】（1）先把各项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先把分子中的二次根式化简并合并、运用二次根式乘法法则计算乘法项，再相减即可； （3）先利用乘法分配律展开，再化简根式后合并同类二次根式即可； （4）先分别用乘方运算法则、平方差公式化简前后两段式子，再相减即可； （5）先把各项二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （6）先按二次根式乘除法则计算前一个式子，并把后一个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.7 二次根式混合运算综合培优讲义【知识储备+题型精析+同步检测】 目录 一.知识储备 1 【知识要点一】 二次根式四则运算法则 1 【知识要点二】 分母有理化核心技巧 2 【知识要点三】 乘法公式在根式中的培优应用 2 【知识要点四】 混合运算标准顺序 2 二、题型精析（基础夯实） 2 【题型1】 二次根式乘除混合运算 2 【题型2】 二次根式加减混合运算 3 【题型3】单项分母有理化运算 3 【题型4】 带括号的二次根式基础混合运算 3 三、题型精析（综合提升） 4 【题型5】 利用平方差公式分母有理化 4 【题型6】 乘法公式简便运算 5 【题型7】 复杂多层混合运算 5 四、同步检测 5 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 5 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 6 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 7 一.知识储备 【知识要点一】 二次根式四则运算法则 1. 二次根式乘法：，可以双向运用，用于拆分、化简根式。 2. 二次根式除法：，注意分母不能为0，被开方数非负。 3. 二次根式加减法：先全部化为最简二次根式，再合并同类二次根式，类比整式合并同类项，非同类根式不能合并。 4. 运算规律：根式运算满足乘法交换律、结合律、分配律，可灵活简便运算。 【知识要点二】 分母有理化核心技巧 1. 单项分母有理化：。 2. 两项分母有理化：利用平方差公式： 3. 运算要求：最终结果必须是最简二次根式，分母不含根号、被开方数无分数、无开得尽方的因式。 【知识要点三】 乘法公式在根式中的培优应用 1. 平方差公式： 2. 完全平方公式： （1） （2） 3. 培优重点：根式混合运算绝大多数简便计算、压轴化简，全部依赖两大公式变形、逆用、整体代换。 【知识要点四】 混合运算标准顺序 1. 先化简：所有根式先化为最简； 2. 先乘方、再乘除、最后加减； 3. 有括号先算括号内； 4. 最后必须合并同类根式、彻底最简。 二、题型精析（基础夯实） 【题型1】 二次根式乘除混合运算 【例题1】（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式1】（25-26八年级下·山东威海·阶段检测）计算：的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）计算：________________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）． （2）． 【题型2】 二次根式加减混合运算 【例题2】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）计算：． 【变式1】（24-25八年级下·广西河池·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·暑假作业）计算：________． 【变式3】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）计算： （1）； （2）． 【题型3】单项分母有理化运算 【例题3】（25-26八年级下·浙江衢州·期末）计算：． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）将分母有理化的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）把化去分母中的根号后得______． 【变式3】（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）计算： 【题型4】 带括号的二次根式基础混合运算 【例题4】（25-26七年级下·北京·期末）计算：． 【变式1】（25-26七年级下·天津河西·期中）下列计算结果不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级下·广东广州·专题练习）计算：___． 【变式3】（25-26八年级下·天津·期中）计算： （1）； （2）． 三、题型精析（综合提升） 【题型5】 利用平方差公式分母有理化 【例题5】（25-26八年级下·湖北恩施·期末）在学习二次根式的过程中，小明发现一些分母有理化的规律：对于，若，则．如：，，． 根据小明发现的规律，完成下列问题： （1） ， ． （2）若，则 ． （3）求的值． 【变式1】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段检测）已知，，则a，b之间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·上海·期中）分母有理化：_______． 【变式3】（25-26八年级下·浙江台州·期末）小萍在学习“二次根式的运算”中，发现了如下一系列奇妙的等式： ；；． 【发现问题】 （1）任务一：请根据上述等式的规律，写出第n个等式，并证明该等式成立； 【理解应用】 （2）任务二：比较与的大小． 【题型6】 乘法公式简便运算 【例题6】（26-27九年级上·江苏南京·开学考试）计算： （1）； （2）． 【变式1】（25-26八年级下·福建福州·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·云南昭通·阶段检测）a、b分别是的整数部分和小数部分，则的值为_________． 【变式3】（25-26八年级下·山西吕梁·期末）计算： （1）； （2）． 【题型7】 复杂多层混合运算 【例题7】（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）计算：． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【变式2】（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）若（其中，为有理数），______． 【变式3】（24-25八年级下·河南信阳·阶段检测）计算： （1）； （2）． 四、同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·河北邯郸·开学考试）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东阳江·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·云南红河·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·陕西商洛·期末）计算的结果是（     ） A． B．3 C．6 D． 5．（25-26八年级下·河南新乡·期中）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河北邯郸·模拟预测）计算的结果是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．（2026·河北邯郸·一模）计算：（     ）． A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·江苏南京·期末）若，则值为（     ） A． B． C． D．无理数 9．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·山东菏泽·期中）计算的结果是（    ） A．1 B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·湖南益阳·期末）计算______． 12．（24-25八年级下·广东惠州·阶段检测）（1）______；（2）______． 13．（24-25八年级下·新疆克拉玛依·开学考试）计算：（1）=________．（2）=__________． 14．（25-26八年级下·天津和平·期末）计算的结果为__________________ ． 15．（23-24八年级上·上海·阶段检测）的倒数是_____． 16．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）规定，则的值是______． 17．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）计算：______． 18． （25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）计算：_______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）计算： （1） （2） 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）计算 （1）； （2） 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·天津河东·阶段检测）计算： （1）； （2）． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·天津和平·期末）计算： （1） （2） 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·山东德州·阶段检测）计算 （1） （2） 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·山东青岛·阶段检测）化简计算． （1） （2） （3） （4） （5） （6） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $