专题 1.6 勾股定理与折叠问题复习讲义【知识梳理+题型精析+同步检测】- 2026-2027学年北师大版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学复习讲义通过知识梳理与模型总结构建勾股定理与折叠问题的知识体系，以框架图呈现折叠性质、通用解题模型及三大必考图形模型，清晰梳理对应边相等、方程思想四步法等核心要点，突出折叠与勾股定理的内在联系及重难点分布。 讲义亮点在于分层题型精析设计，夯实基础部分涵盖直角三角形顶点折叠等4类基础题型，综合提升部分包含矩形两次折叠等5类复杂题型，通过例题与变式题培养推理能力和模型意识，同步检测分选择、填空、解答题全面考查，助力不同层次学生提升，为教师实施精准分层教学提供有力支持。

专题 1.6 勾股定理与折叠问题复习讲义【知识梳理+题型精析+同步检测】 目录 一.专题导学 1 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】折叠的性质 2 【知识点二】勾股定理折叠通用解题模型 2 【知识点三】三大必考折叠图形模型 2 三.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】过直角三角形顶点折叠问题 2 【题型 2】过直角三角形边折叠问题 6 【题型 3】过矩形顶点折叠问题 8 【题型 4】过矩形两边折叠问题 12 四.题型精析（综合提升） 15 【题型 5】直角三角形折叠问题（一次折叠） 15 【题型 6】直角三角形折叠问题（两次折叠） 18 【题型 7】矩形折叠问题（一次折叠） 22 【题型 8】矩形折叠问题（两次折叠） 26 【题型 9】正方形折叠问题 32 五.同步检测 37 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 37 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 45 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 52 一.专题导学 折叠问题是本章中的核心重难点、也是期中期末高频压轴题型，完美融合轴对称图形性质与勾股定理方程思想。解题逻辑为：依托折叠的轴对称性质锁定相等线段，在直角图形中构造直角三角形，通过设未知数、列勾股方程求解未知线段、面积、折痕长度等问题。本讲义系统化梳理核心知识、归类四大必考题型、总结高频易错点、配套分层练习题，助力专项突破，彻底吃透折叠类勾股考题。 二.知识梳理与解读 【知识点一】折叠的性质 图形折叠属于轴对称变换，折叠前后两个图形完全重合，形状、大小保持不变，解题核心等量关系如下： （1）对应边相等：折叠后重合的两条线段长度完全相等，是找等量关系的首要依据； （2）对应角相等：折叠后重合的角度大小相等，常用来判定等腰三角形、直角三角形； （3）折痕性质：折痕是对应点连线的垂直平分线，折痕上任意一点到两个对应点的距离相等。 【知识点二】勾股定理折叠通用解题模型 所有折叠勾股问题均可套用方程思想四步法： （1）观察图形：识别矩形、正方形、直角三角形等含直角的基础图形，确定可用的直角三角形； （2）利用折叠：找出折叠前后相等的线段，梳理图形中已知、隐藏的等量关系； （3）设元表示：设最短未知线段为，用含的代数式表示出同一直角三角形的另外两条边； （4）列解方程：根据勾股定理列方程，求解后舍去边长为负的不合理答案。 【知识点三】三大必考折叠图形模型 初中折叠勾股题型集中三类基础图形，依次为：矩形折叠、正方形折叠、直角三角形折叠，所有复杂题型均由三类模型变形而来。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】过直角三角形顶点折叠问题 【例题1】（25-26八年级上·四川雅安·期中）有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 【答案】3 【分析】先由勾股定理求解，然后利用折叠的性质得到，再由面积法得到，据此求解即可． 解：∵有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴， 解得． 【点拨】对于本题，重点把握折叠的不变性，勾股定理的应用，以及面积思想的应用，也可以通过设，再对运用勾股定理建立方程求解． 【变式1】（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）如图一直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解决问题的关键．首先由勾股定理求得，然后由翻折的性质求得，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 解：在中，，， ． 由折叠的性质可知：，，， ，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在中，，，，把折叠，使落在直线上，则 的长为___． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理反推出，是直角三角形，，再由折叠的性质得到，设，则，得到，解方程即可解答． 本题考查了勾股定理，直角三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵折叠落在直线上， ∴，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得：， ． 故答案为：6． 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的点． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）在中，根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得：，即可求解； （2）由折叠的性质可得：，，设，则，在中，根据勾股定理求出x，即可求解． （1）解：在中，，，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴； （2）解：由折叠的性质得：，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∴的面积为． 【点拨】本题主要考查了勾股定理，图形的折叠，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【题型 2】过直角三角形边折叠问题 【例题2】（24-25八年级下·西藏·期中）在中，，，，点D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是．如图，如果点和点A重合，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设，则，根据折叠的性质得到，由勾股定理列方程求解即可． 解：设，则， 由折叠性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即的长为． 【变式1】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用折叠的性质和勾股定理求解即可． 解：由折叠得， 设，则， ， ， ，在中，， ． 【变式2】（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，将点A沿折叠，恰好可以落在点B处，则_____． 【答案】 【分析】先由勾股定理求解，然后根据折叠的性质得到，再设，对运用勾股定理建立方程求解即可． 解：∵ ∴ 由折叠得， 设，则 ∵ ∴ ∴， 解得 ∴． 【变式3】（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，在中，，，把进行折叠，使点A与点D重合，，折痕为，点E在上，点F在上，求的长． 【答案】 【分析】连接，，在中，根据折叠的性质和勾股定理求出的长，再在中，根据勾股定理即可求出的长． 解：如图，连接，， ∵，， ∴， 由折叠得：， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了折叠的性质和勾股定理的运用，根据折叠前后两个三角形全等，得到对应边相等进而求出是解题的关键． 【题型 3】过矩形顶点折叠问题 【例题3】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在长方形中，点E在边上，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点F处，，． （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1）18；（2） 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）由折叠的性质可知，，然后再直角中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得到答案． （1）解：由折叠可知：， 在长方形中，， 在中，由勾股定理得： ， ∴； （2）解：由折叠可知：， 在长方形中，，，， 设，则， 在中，由勾股定理得： ∴， 解之得：， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·广东揭阳·阶段检测）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线处，若，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，利用勾股定理求出的长，由折叠的性质得到，根据列式求解即可． 解：由题意得，， ∴； 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为_________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了折叠的性质与勾股定理的综合应用，利用折叠的性质转化线段是解题的关键． 通过折叠得到对应边相等，运用勾股定理建立方程，进而求出线段长度． 解：∵四边形是长方形，且，， ∴，，， 设， ∴， 由折叠性质得：，，， ∵直线恰好经过点B， ∴， ∴和都是直角三角形， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求： （1）的长． （2）的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】题目主要考查折叠的性质，勾股定理解三角形，求三角形的面积，结合图形求解是解题关键． （1）根据长方形的性质得出，再由折叠的性质确定，利用勾股定理求解即可； （2）结合图形直接求面积即可． （1）解：因为四边形为长方形， 所以． 由折叠的性质，得． 由勾股定理，得， 所以， 所以． 设，则． 所以， 解得， 所以． （2）． 【题型 4】过矩形两边折叠问题 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，把长方形折叠，使点C与点A重合，折痕为．若，求的长． 【答案】3 【分析】设，由折叠性质可知，用x表示出，在中，由勾股定理可得到关于x的方程，求解即可．本题考查了折叠变换的性质，勾股定理等知识，主要利用了翻折前后对应线段相等，关键在于利用勾股定理列出方程. 解：设，则． 由折叠的性质，得． ∵四边形为长方形，∴． 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 故的长为3． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，问题随之得解． 解：由折叠的性质可得， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 解：根据折叠的性质得到，， ， ， 四边形是长方形， ， ， ， ， ． 【变式3】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如下图，在长方形纸片中，．现将该纸片沿折叠，使点A，C重合．求： （1）的长； （2）重叠部分的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题： （1）先得到，再设，则，据此利用勾股定理得到，解方程即可得到； （2）由（1），得，再根据三角形面积计算公式求解即可． （1）解：由折叠和长方形的性质得． 设，则． 在中，由勾股定理，得 ∴， 解得， 的长为． （2）解：由（1），得， ． 四.题型精析（综合提升） 【题型 5】直角三角形折叠问题（一次折叠） 【例题5】（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形纸片，，，． （1）在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； （2）在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得，由折叠可知，，，设，则，，在中，根据，列出方程即可求解； （2）由折叠知，设，则，在中，根据，列出方程即可求解． （1）解：在中，，， ． 由题意知，，． ． 设，则，． 在中，， ． 解得． ． （2）由题意知， 设，则． 在中，， ． 解得． ． 【变式1】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与B重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为折叠后点与点重合，可得．设的长为，那么．在中运用勾股定理建立方程求解． 解：∵折叠后点与点重合， ∴． 设， ∵， ∴ ， ∴． 在中，，， 根据勾股定理，代入得： ， 解得 ， ∴的长为． 【变式2】（2025·宁夏吴忠·模拟预测）如图中，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为________． 【答案】5 【分析】设，由翻折的性质可知，则，在中利用勾股定理列方程求解即可． 解：设，由翻折的性质可知，则， 是的中点， ． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 即． 【变式3】（24-25八年级下·河北·期中）如图，一张直角三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． （1）求的面积． （2）求的长． （3）求折痕的长． 【答案】（1）24；（2）10；（3） 【分析】（1）直接利用三角形面积公式求解即可； （2）利用勾股定理求解即可； （3）根据折叠的性质可以得到，，90°．设，则，然后利用勾股定理求解即可. 解：（1）∵是直角三角形，，， ∴． （2）∵是直角三角形，，， ∴． （3）由折叠可知：，，90°． 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴， 在中，． 【点拨】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【题型 6】直角三角形折叠问题（两次折叠） 【例题6】（24-25八年级下·福建龙岩·阶段检测）如图的实线部分是由 经过两次折叠得到的，首先将 沿 BD 折叠，使点 落在斜边上的点 处，再沿DE折叠，使点A落在的延长线上的点 处．若图中，，，求 的长．    【答案】的长为cm 【分析】根据折叠的性质得到，，利用勾股定理求得，利用等面积法求得，即可求解． 解：由题意可得：是直角三角形，， 由折叠的性质得：，，， ∵ ∴，， ∴， ∵的面积， ∴（cm）； 故答案为：cm． 【点拨】此题考查了折叠的性质，勾股定理，等面积法求高，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 【变式1】（24-25八年级上·河南郑州·期中）小明在帮妹妹完成手工作业的时候发现了其中的数学问题，如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点E，则的长度为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【点拨】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处，， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点D重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， 则， ∴， 解得， 即， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·广西来宾·期末）如图所示，由经过两次折叠得到的，首先将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．若图中，，，则的长为_____________ ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得出，再利用勾股定理求出，最后根据等面积法求解． 解：∵将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，， ∴，， ∴， ∵再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，三角形纸片中，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等，根据折叠，可知，，进一步可知，设，在中，根据勾股定理列方程，求解即可． 解：根据折叠，可知， ∵， ∴， ∴， ∴ 设， ∵， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，得， 解得． 所以，的长为． 【题型 7】矩形折叠问题（一次折叠） 【例题7】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段检测）把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于． （1）求证：长方形各内角均为； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：由折叠的性质知，，． 四边形是长方形， ∴， 在和中， ， ， ； （2） 【分析】本题考查了折叠问题，全等三角形的性质与判定，勾股定理； （1）由折叠的性质知，，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）勾股定理求得，由（）知，根据得出，即可求解． 解：（1）略； （2）解：四边形是长方形， ，， ， 由（）知， ， ， ， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在长方形纸片中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的面积为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】由折叠可知，设，则，利用勾股定理建立方程求出的长，进而计算三角形面积． 解：由折叠的性质可知， 设，则， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 即， ． 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，将矩形沿折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查折叠性质、勾股定理，根据矩形的性质结合三角形的面积求出的长，勾股定理求出的长，进而得到的长，则可求出，设，则，在中，由勾股定理得，则，解方程即可得到答案． 解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴的面积， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴ 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·河南郑州·期末）学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸片，进行如下操作： 操作一：在中，，，，如图①，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，请求出的长； 操作二：如图②，在长方形中，，，在边上取一点P，将沿直线折叠，点C恰好与边上的点E重合，求的长． 【答案】操作一∶；操作二：的长为． 【分析】本题考查直角三角形，矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理列方程． （1）求出，，设，可得∶ ，即可解得答案∶ （2）求出，设，可得，即可解得的长． 解：操作一：在中，，，， ， 由翻折可得，，， ， 设，则，， 在中，，由勾股定理得：， 解得： ， ∴； 操作二：在长方形中，，， 根据折叠的性质得，， 在中，， 根据勾股定理可得，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 的长为． 【题型 8】矩形折叠问题（两次折叠） 【例题8】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）将长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，折叠后，点落在点处，并且点落在边上的处，连接． （1）求证： （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：由题可知： （2） 【分析】本题考查了翻折性质、全等三角形的性质、勾股定理的应用、补角的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据翻折，易得，结合全等三角形的性质，再根据角的运算以及等量代换，即可作答． （2）先算出的值，再设，根据勾股定理建立等式，表达出，再在中，代入数值计算，即可作答． 解：（1）略 （2）解：在中 在中，设 在中， 在中 解 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，关键是线段的转换； 设，利用折叠及勾股定理可得，，由是等腰直角三角形及折叠可得，则可求. 解：设， 由折叠可知，是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴， 由折叠可知：， ∵矩形中， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·山西太原·期末）如图，将长方形纸片沿对折后展开，再沿折叠使点落在折痕上的点处，再将点折至点处，折痕为，点恰为的中点，已知，，则_________． 【答案】20 【分析】过点作于，则四边形为矩形，先由折叠性质得出，在中用勾股定理求出，再根据是中点及折叠性质得到，最后在中用勾股定理求出，进而求得． 解：过点作于，则四边形是长方形， ∴，． ∵长方形纸片沿对折， ∴． ∵， ∴． ∵沿折叠使落在处， ∴． ∵，，， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， ∴， ∴． ∵沿折叠使落在处，为中点， ∴． ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（24-25八年级下·吉林长春·期末）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容． 把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？ （1）【问题解决】如图①，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A的对应点落在边DC上，折痕为DE，点E在边AB上．求证：四边形是正方形． （2）【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的为等腰三角形．若将矩形纸片沿PF折叠，如图②，使点A的对应点为点Q（点Q在点C的左侧），点F在边DC上，点P在边AB上，那么还是等腰三角形吗？请说明理由． （3）【结论应用】在图②中，当时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为QG，点G在边AB上．若，，则的周长为______，四边形PGQF的面积为______． 【答案】（1）见解析；（2）是等腰三角形，理由见解析；（3）6，5 【分析】（1）由题意根据邻边相等的矩形是正方形进行分析证明即可． （2）根据题意证明∠QFP=∠FPQ即可解决问题． （3）连接AF．由题意易证，即得出，．设，则．在中，由勾股定理列出关于x的等式，解出x，即可求出，．由规律探索可得出，从而可证四边形PGQF为平行四边形，再利用平行四边形的面积公式即可求出四边形PGQF的面积．又易证，即得出，从而可求出的周长． 解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴． 由翻折可知， ∴， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形； （2）结论：是等腰三角形 理由：∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴． 由翻折可知，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）如图，连接AF． ∵，，， ∴， ∴，． 设，则， 在中，，即， 解得：， ∴，． 由规律探索可知，同理可证， ∴． ∵， ∴四边形PGQF为平行四边形， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为6，四边形PGQF的面积为5． 故答案为：6，5． 【点拨】本题属于四边形综合题，考查折叠的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性强，较难．熟练掌握上述知识是解题关键． 【题型 9】正方形折叠问题 【例题9】（23-24八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，在四边形纸片中，，点，分别在边，上，将，分别沿，折叠，点，恰好都和点重合，． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，点F是的中点，求的长度． 【答案】（1）证明：由折叠的性质得，，， ， 四边形是矩形， ，， ， 四边形是正方形； （2） 【分析】本题考查了勾股定理以及翻折变换的知识，解答本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：翻折前后对应边相等． （1）由题意得，，，于是得到，推出四边形是矩形，根据正方形的判定定理即可得到结论； （2）设，则，由折叠的性质得，，在中，利用勾股定理列式计算即可得到结论． 解：（1）略 （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵点F是的中点，∴，设，则， 由折叠的性质得，， ， 在中， ，即， 解得， ∴． 【变式1】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知正方形，边长为12．现将正方形沿折叠，使得点折到边上的点，且折痕，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、全等三角形的性质和判定．过点N作，垂足为H，在中，由勾股定理可求得，轴对称的性质可知，再证明，故此可知，最后在中利用勾股定理列方程求解即可． 解：如图，过点N作，垂足为H， ∵正方形纸片的边长为， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵对称轴的性质可得知， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 设，由翻折的性质可知，则. 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：． ∴． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，一张四边形纸片，，且，，．现在把纸片按折痕（如图1）折叠成一个正方形（如图2）．若该正方形之间无缝隙，翻折图形无重叠，则折叠成的正方形面积为__________，的长为__________． 【答案】 ； ． 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理、梯形的面积．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． （1）根据折叠的性质可知正方形的边长为，根据正方形的面积公式求出正方形的面积即可； （2）过点D作，利用勾股定理求出，设，根据梯形的面积公式可知四边形的面积是，由折叠的性质可知梯形的面积是，得到关于的方程，解方程求出的值，即为的长． 解：解：由折叠可知，，， ， ， ， 正方形的面积是， 故答案为：； 解：如下图所示，过点D作， 则， ，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， 设， 则， 四边形的面积是， 由可知正方形的面积是， 由折叠可知：四边形的面积是， ， 解得：， 的长为． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，将边长为的正方形折叠，使点D落在边的中点E处，点A落在F处，折痕为． （1）求线段长． （2）求线段的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，翻折问题关键是找准对应重合的量，哪些边、角是相等的，本题中翻折是解题的关键． （1）设长度为．由题意得，，在中，，根据勾股定理得：，建立方程求解即可； （2）连接，设的长度为，在中，，根据勾股定理得：，在中，，根据勾股定理得；，建立方程求解即可． （1）解：设长度为． 由题意得，， 在中，，根据勾股定理得：， 解得： ∴线段的为； （2）解：连接，设的长度为． 由题意得，， ∴在中，，根据勾股定理得：， 在中，，根据勾股定理得；， 解得： 的长为． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）如图，在中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由题意知，，由折叠的性质设，则，由勾股定理得，，代入计算求解即可． 解：由题意知，， 由折叠的性质可知，， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 故选：B． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图所示，在中，，，，点在上，将沿折叠，使点落在上的点处．设，则可得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由勾股定理求出的长，再由折叠的性质得到，据此求出的长，再在利用勾股定理可建立方程，据此可得答案． 解：∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级上·贵州毕节·阶段检测）如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠变换的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据折叠的性质折叠，从而得到，，根据勾股定理求得，假设，则，在中，由勾股定理列式求解即可． 解：根据折叠的性质得： ， 在中，设，则 即 解得 故选：C． 4．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，理解折叠的性质，掌握勾股定理的运用是解题的关键． 根据折叠的性质可证，得，设，则，在中运用勾股定理得到，由此列式求解即可． 解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵折叠，点与点重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故选：D ． 5．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解决本题的关键．证出，设，则，在直角中利用勾股定理即可列方程求得的值，然后根据三角形面积公式求解． 解：∵四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则， 则． 故选B． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，．将折叠，使点与边的中点重合，折痕为，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，根据题意得出，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 解：∵是的中点， ∴， 设， ∵将折叠，使点与边的中点重合，折痕为， ∴， ∵， 在中，，即 解得： 即线段的长为 故选：B． 7．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积为（   ） A．24 B．18 C．15 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，设，根据折叠的性质得，则，然后根据勾股定理求出，再根据三角形的面积公式求出答案． 解：设， 根据折叠的性质得， ∴， ∵根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴阴影部分的面积． 故选：D． 8．（25-26八年级下·广西崇左·期中）如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据四边形是长方形，则，，，由折叠的性质可知，,，由勾股定理得到，则，在中，由勾股定理得到，解方程即可． 解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵折叠长方形的一边，点D落在边的点F处， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得到，即， 解得． 9．（25-26八年级下·安徽六安·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】求出，由勾股定理可得，设，由折叠得，，由勾股定理求出，在中，由勾股定理建立方程求出的值即可． 解：如图， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 设，则 由折叠得，，， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ∴． 10．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，将正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，使边AB，BC在BF处重合，折痕为BE，BG．若正方形ABCD的边长为6，E是AD边的中点，则CG的长是（    ） A．3 B．2.5 C．2 D．1 【答案】C 【分析】由点E为AD的中点可得AE＝DE＝3，设CG＝x，DG＝CD−CG＝6−x，由折叠性质可得EF＝AE＝3，FG＝CG＝x，利用勾股定理即可求解． 解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝CD＝6，∠D＝90°， ∵点E是AD边的中点， ∴AE＝DE＝3， ∵正方形ABCD分别沿BE，BG折叠， ∴EF＝AE＝3，FG＝CG， 设CG＝x，则： DG＝CD−CG＝6−x，FG＝CG＝x， ∴EG＝EF＋FG＝3＋x， 在Rt△DEG中，DE2＋DG2＝EG2， 即32＋（6−x）2＝（3＋x）2， 解得：x＝2， ∴CG＝2， 故选：C． 【点拨】本题考查折叠的性质，正方形的性质等知识点，解题的关键是将Rt△DEG各边表示出来． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，有一张直角三角形纸片，，，，现将三角形纸片折叠，使得点与边上的点重合，折痕为，则的长为________． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求得，设，根据折叠的性质可得，，，则，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 解：在中，，， ∴， 设， 依题意，，，， ∴，， 在中， 即， 解得：，即， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·北京朝阳·期末）如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为，点刚好落在边上．图中与线段相等的线段是______；若，，则的长为______． 【答案】 3 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．设，则，利用勾股定理列式计算即可求解． 解：由折叠的性质知， 设，则， ∵，， ∴，即， 解得， 故答案为：；3． 13．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点落在边的中点处，压平后得到折痕，则线段的长为________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，连接，，，折叠得到，设，则，在和中，，进而得到，列出方程进行求解即可． 解：如图①，连接，，， ∵将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕， ∴垂直平分，，， ∴，， 设，则，   在和中， ∴， 即， 解得． 故线段的长为． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，则_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的运用，掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 根据长方形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，在中，由勾股定理可得，则，设，则，在中，由勾股定理即可求解． 解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故答案为： ． 15．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是_____________． 【答案】/3厘米 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 解：由题意可得：，， ∵点是边的中点， ∴， 由折叠的性质可得：， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处．，，则的值为______． 【答案】9 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，由折叠的性质可得，根据，，求出，根据勾股定理可求的值． 解：将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处， ， ，， 在中，， 在中，， ， 故答案为：9． 17．（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为___________． 【答案】或（或） 【分析】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段． 由题意可知，需要分为点位于靠近点的三等分点和点位于靠近点的三等分点两种情况进行讨论，根据题意可得，的长度，设出的长度，由折叠的性质可依次求出，的长度，由勾股定理可知，，建立方程并解方程即可得解． 解：如图1所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， ， 由折叠的性质可知，， 设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 如图2所示，当点位于靠近点的三等分点时， 由题意可知，， ， 由折叠的性质可知，， 此时，设， 则由折叠的性质可知，， ， 又， 在中，由勾股定理可知，， ， 整理得，， 解得，， 当点位于靠近点的三等分点时，的长为． 综上所述，当点是边的三等分点时，的长为或． 故答案为：或（4.5或1.8）． 　 18．（25-26八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则_____；的长为_____． 【答案】 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可知，根据折叠的性质可知；根据折叠的性质可知，，设，则，根据勾股定理列方程求解即可． 解：在中，， ， 由折叠可知，， ； 在中，，，， ， 由折叠可知，， 设，则， 在中，， ， 解得：； （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，将长方形沿折叠，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为点G．若，，求的面积． 【答案】6 【分析】由折叠的性质得，设，在中，建立方程，求出，再由三角形面积公式即可求解． 本题考查了勾股定理，折叠的性质，根据折叠的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 解：由折叠的性质得，设， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， ∴的面积为． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·广东江门·期末）如图是一张直角三角形纸片示意图，． （1）现将该纸片对折，使边落在边上，的对应点为，折痕为，请用尺规作图作出及，并连接；（保留清晰作图痕迹，不必写作法与证明） （2）在（1）的基础上，已知，请求出的长度． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2） 【分析】此题考查了尺规作图作角平分线，勾股定理的应用，正确掌握角平分线的作图方法及勾股定理是解题的关键． （1）作的角平分线即可； （2）根据勾股定理求出，得到，设，则，根据勾股定理得，列得，求出x的值，可得答案． 解：（1）略 （2）解：由折叠得，，，， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在长方形纸片中，，，E为边上一点．将长方形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由长方形的性质得到，，再由折叠的性质得到，，先由勾股定理得到，则，设，则，再由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 解：由长方形的性质可得，， 由折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江西吉安·阶段检测）如图，将直角三角形纸片折叠，使得点与点重合，折痕为，，，． （1）求折痕的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键． （1）连接，根据勾股定理求出，由折叠可知，，．设，则．根据勾股定理可列方程，即可求得，再根据勾股定理即可得解． （2）根据求解即可． （1）解：连接， 在中，，，， ． 由折叠可知， ，，． 设，则． 在中，由勾股定理得：， ， 解得，即． 在中，，， 由勾股定理得：． （2）解：，． ． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段检测）【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 【答案】（1）12；（2）3 【分析】此题考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理． （1）先求出，由折叠性质得：，在中，由勾股定理即可求出的长； （2）根据长方形性质得，，，由折叠性质得，，由此依据判定和全等得，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 解：（1）在中，，， ∵， ∴， 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：； （2）∵四边形是长方形，，， ∴，，， 由折叠性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 24．（本小题满分12分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，掌握翻折的性质以及勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解； 当共线时，的值最小，为的长，线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，在中，由勾股定理得，设，由折叠的性质得，，从而得到，在中，利用勾股定理求出y的值，即可求解． （1）解：在长方形中，， 为线段的中点， ， 由折叠的性质，得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 故答案为：． （2）连接， ， 当共线时，的值最小，为的长， 此时，点在上的点处，点在点处，如图， ， 在中，由勾股定理得， 设， 由折叠的性质得，， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 线段的值最小时，的长度为． 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.6 勾股定理与折叠问题复习讲义【知识梳理+题型精析+同步检测】 目录 一.专题导学 1 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】折叠的性质 2 【知识点二】勾股定理折叠通用解题模型 2 【知识点三】三大必考折叠图形模型 2 三.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】过直角三角形顶点折叠问题 2 【题型 2】过直角三角形边折叠问题 3 【题型 3】过矩形顶点折叠问题 5 【题型 4】过矩形两边折叠问题 6 四.题型精析（综合提升） 7 【题型 5】直角三角形折叠问题（一次折叠） 7 【题型 6】直角三角形折叠问题（两次折叠） 8 【题型 7】矩形折叠问题（一次折叠） 9 【题型 8】矩形折叠问题（两次折叠） 10 【题型 9】正方形折叠问题 12 五.同步检测 13 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 13 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 16 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 18 一.专题导学 折叠问题是本章中的核心重难点、也是期中期末高频压轴题型，完美融合轴对称图形性质与勾股定理方程思想。解题逻辑为：依托折叠的轴对称性质锁定相等线段，在直角图形中构造直角三角形，通过设未知数、列勾股方程求解未知线段、面积、折痕长度等问题。本讲义系统化梳理核心知识、归类四大必考题型、总结高频易错点、配套分层练习题，助力专项突破，彻底吃透折叠类勾股考题。 二.知识梳理与解读 【知识点一】折叠的性质 图形折叠属于轴对称变换，折叠前后两个图形完全重合，形状、大小保持不变，解题核心等量关系如下： （1）对应边相等：折叠后重合的两条线段长度完全相等，是找等量关系的首要依据； （2）对应角相等：折叠后重合的角度大小相等，常用来判定等腰三角形、直角三角形； （3）折痕性质：折痕是对应点连线的垂直平分线，折痕上任意一点到两个对应点的距离相等。 【知识点二】勾股定理折叠通用解题模型 所有折叠勾股问题均可套用方程思想四步法： （1）观察图形：识别矩形、正方形、直角三角形等含直角的基础图形，确定可用的直角三角形； （2）利用折叠：找出折叠前后相等的线段，梳理图形中已知、隐藏的等量关系； （3）设元表示：设最短未知线段为，用含的代数式表示出同一直角三角形的另外两条边； （4）列解方程：根据勾股定理列方程，求解后舍去边长为负的不合理答案。 【知识点三】三大必考折叠图形模型 初中折叠勾股题型集中三类基础图形，依次为：矩形折叠、正方形折叠、直角三角形折叠，所有复杂题型均由三类模型变形而来。 三.题型精析（夯实基础） 【题型 1】过直角三角形顶点折叠问题 【例题1】（25-26八年级上·四川雅安·期中）有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 【变式1】（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）如图一直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在中，，，，把折叠，使落在直线上，则 的长为___． 【变式3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的点． （1）求的长； （2）求的面积． 【题型 2】过直角三角形边折叠问题 【例题2】（24-25八年级下·西藏·期中）在中，，，，点D、E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是．如图，如果点和点A重合，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，将点A沿折叠，恰好可以落在点B处，则_____． 【变式3】（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，在中，，，把进行折叠，使点A与点D重合，，折痕为，点E在上，点F在上，求的长． 【题型 3】过矩形顶点折叠问题 【例题3】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在长方形中，点E在边上，将沿直线翻折，点A恰好落在边上的点F处，，． （1）求的长； （2）求的面积． 【变式1】（25-26八年级上·广东揭阳·阶段检测）如图，将长方形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D点落在对角线处，若，则（   ） A． B．3 C． D．4 【变式2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在长方形纸片中，，．点E在边上，将这张纸片沿翻折，使点D落在长方形内的点F处．若直线恰好经过点B，则的长为_________． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求： （1）的长． （2）的面积． 【题型 4】过矩形两边折叠问题 【例题4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，把长方形折叠，使点C与点A重合，折痕为．若，求的长． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，，则的长为______． 【变式3】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如下图，在长方形纸片中，．现将该纸片沿折叠，使点A，C重合．求： （1）的长； （2）重叠部分的面积． 四.题型精析（综合提升） 【题型 5】直角三角形折叠问题（一次折叠） 【例题5】（24-25八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形纸片，，，． （1）在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长； （2）在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与B重合，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·宁夏吴忠·模拟预测）如图中，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，则线段的长为________． 【变式3】（24-25八年级下·河北·期中）如图，一张直角三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． （1）求的面积． （2）求的长． （3）求折痕的长． 【题型 6】直角三角形折叠问题（两次折叠） 【例题6】（24-25八年级下·福建龙岩·阶段检测）如图的实线部分是由 经过两次折叠得到的，首先将 沿 BD 折叠，使点 落在斜边上的点 处，再沿DE折叠，使点A落在的延长线上的点 处．若图中，，，求 的长．    【变式1】（24-25八年级上·河南郑州·期中）小明在帮妹妹完成手工作业的时候发现了其中的数学问题，如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点E，则的长度为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】（25-26八年级上·广西来宾·期末）如图所示，由经过两次折叠得到的，首先将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．若图中，，，则的长为_____________ ． 【变式3】（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，三角形纸片中，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，求的长． 【题型 7】矩形折叠问题（一次折叠） 【例题7】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段检测）把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于． （1）求证：长方形各内角均为；（2）若，，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在长方形纸片中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的面积为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，将矩形沿折叠，使点D落在上的F处，已知，的面积为24，则的长为___________． 【变式3】（24-25八年级上·河南郑州·期末）学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸片，进行如下操作： 操作一：在中，，，，如图①，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，请求出的长； 操作二：如图②，在长方形中，，，在边上取一点P，将沿直线折叠，点C恰好与边上的点E重合，求的长． 【题型 8】矩形折叠问题（两次折叠） 【例题8】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）将长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，折叠后，点落在点处，并且点落在边上的处，连接． （1）求证： （2）若，求的长． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山西太原·期末）如图，将长方形纸片沿对折后展开，再沿折叠使点落在折痕上的点处，再将点折至点处，折痕为，点恰为的中点，已知，，则_________． 【变式3】（24-25八年级下·吉林长春·期末）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容． 把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？ （1）【问题解决】如图①，已知矩形纸片，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A的对应点落在边DC上，折痕为DE，点E在边AB上．求证：四边形是正方形． （2）【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的为等腰三角形．若将矩形纸片沿PF折叠，如图②，使点A的对应点为点Q（点Q在点C的左侧），点F在边DC上，点P在边AB上，那么还是等腰三角形吗？请说明理由． （3）【结论应用】在图②中，当时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为QG，点G在边AB上．若，，则的周长为______，四边形PGQF的面积为______． 【题型 9】正方形折叠问题 【例题9】（23-24八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，在四边形纸片中，，点，分别在边，上，将，分别沿，折叠，点，恰好都和点重合，． （1）求证：四边形是正方形；（2）若，点F是的中点，求的长度． 【变式1】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知正方形，边长为12．现将正方形沿折叠，使得点折到边上的点，且折痕，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，一张四边形纸片，，且，，．现在把纸片按折痕（如图1）折叠成一个正方形（如图2）．若该正方形之间无缝隙，翻折图形无重叠，则折叠成的正方形面积为__________，的长为__________． 【变式3】（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，将边长为的正方形折叠，使点D落在边的中点E处，点A落在F处，折痕为． （1）求线段长． （2）求线段的长． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）如图，在中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为（    ） A．5 B． C． D． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图所示，在中，，，，点在上，将沿折叠，使点落在上的点处．设，则可得方程（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·贵州毕节·阶段检测）如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 5．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在点处，交于E．若，，则的面积是（） A．5 B．10 C．15 D．20 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，．将折叠，使点与边的中点重合，折痕为，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 7．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积为（   ） A．24 B．18 C．15 D．9 8．（25-26八年级下·广西崇左·期中）如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·安徽六安·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 10．（24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，将正方形ABCD分别沿BE，BG折叠，使边AB，BC在BF处重合，折痕为BE，BG．若正方形ABCD的边长为6，E是AD边的中点，则CG的长是（    ） A．3 B．2.5 C．2 D．1 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，有一张直角三角形纸片，，，，现将三角形纸片折叠，使得点与边上的点重合，折痕为，则的长为________． 12．（24-25八年级下·北京朝阳·期末）如图，在中，，点D，E分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为，点刚好落在边上．图中与线段相等的线段是______；若，，则的长为______． 13．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点落在边的中点处，压平后得到折痕，则线段的长为________． 14．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，则_________． 15．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是_____________． 16．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处．，，则的值为______． 17．（25-26八年级上·山西太原·阶段检测）如图，动点，分别是正方形的边，上的动点，沿，折叠正方形，点，的对应点恰好都落在处，若，当点是边的三等分点时，的长为___________． 18．（25-26八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则_____；的长为_____． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，将长方形沿折叠，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为点G．若，，求的面积． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·广东江门·期末）如图是一张直角三角形纸片示意图，． （1）现将该纸片对折，使边落在边上，的对应点为，折痕为，请用尺规作图作出及，并连接；（保留清晰作图痕迹，不必写作法与证明） （2）在（1）的基础上，已知，请求出的长度． 21．（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，在长方形纸片中，，，E为边上一点．将长方形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，求的长． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江西吉安·阶段检测）如图，将直角三角形纸片折叠，使得点与点重合，折痕为，，，． （1）求折痕的长； （2）求四边形的面积． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段检测）【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 24．（本小题满分12分）（2025八年级上·全国·专题练习）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $