专题 2.2 平方根与立方根（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦平方根与立方根核心知识点，系统梳理算术平方根（定义、双重非负性）、平方根（性质、开平方运算）、立方根（符号规律、开立方）及无理数估算，构建从概念到应用的学习支架。 资料亮点在于分层题型设计，基础夯实与巩固提升结合，如“非负数和为0模型”“几何实际应用”等题型，培养抽象能力与模型意识。同步检测多样化，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺，提升运算能力与应用意识。

专题 2.2 平方根与立方根（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】算术平方根 1 【知识点二】平方根（二次方根） 2 【知识点三】立方根（三次方根） 2 【知识点四】无理数估算与大小比较 3 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】求算术平方根 3 【题型 2】求平方根 5 【题型 3】求立方根 6 【题型 4】根式基础求值 8 三.题型精析（巩固提升） 10 【题型 5】利用开方解方程 10 【题型 6】非负数和为0模型（重难点） 11 【题型 7】无理数估算与大小比较 13 【题型 8】几何实际应用 15 四.同步检测 18 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 18 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 22 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 25 一.知识梳理与解读 【知识点一】算术平方根 1. 定义：若一个正数的平方等于，即，则这个正数叫做的算术平方根。 2. 表示方法：的算术平方根记作，读作“根号”。 3. 特殊规定：0的算术平方根是0，即。 4. 取值范围：被开方数，负数没有算术平方根。 【要点提示】 ① 算术平方根具有双重非负性：被开方数，结果； ② 核心恒等式：； ③ ，化简必须加绝对值，再根据正负去绝对值符号。 【知识点二】平方根（二次方根） 1. 定义：若，则叫做的平方根（二次方根）。 2. 表示方法：正数的平方根记作。 3. 平方根性质： ① 正数有两个平方根，互为相反数； ② 0的平方根是0； ③ 负数没有平方根。 4. 开平方：求一个数平方根的运算，叫做开平方，与平方互为逆运算。 【要点提示】 ① 算术平方根是平方根中正的那一个，平方根包含一正一负两个值； ② 题目若求“平方根”必须写，求“算术平方根”只取非负值； ③ 只有非负数可以开平方，负数无法进行开平方运算。 【知识点三】立方根（三次方根） 1. 定义：若，则叫做的立方根（三次方根）。 2. 表示方法：的立方根记作，3为根指数，不可省略。 3. 立方根性质： ① 正数的立方根为正数； ② 负数的立方根为负数； ③ 0的立方根是0。 4. 开立方：求一个数立方根的运算，与立方互为逆运算。 【要点提示】 ① 任意实数都有且只有一个立方根，无取值限制； ② 核心恒等式：，； ③ 符号规律：，立方根符号与被开方数一致。 【知识点四】无理数估算与大小比较 1. 估算方法：无限逼近法，找到被开方数相邻的两个完全平方数（完全立方数），逐步精确小数位数。 2. 大小比较：正数范围内，被开方数越大，算术平方根越大；立方根同理。 3. 近似取值：计算时多保留一位小数，最后再取舍，减小误差。 【要点提示】 比较带根号数与小数大小时，可平方或立方后比较，避免近似取值误差。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】求算术平方根 【例题1】（26-27八年级·上海·暑假作业）求下列各数的算术平方根： （1）64； （2）225； （3）． 【答案】（1）8；（2）15；（3） （1）解：∵， ∴64的算术平方根是8； （2）解：∵， ∴225的算术平方根是15； （3）解：∵， ∴的算术平方根是． 【变式1】（25-26七年级下·河南信阳·期末）有理数64的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根，算术平方根一定为非负数． 解：∵． ∴的算术平方根是． 【变式2】（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）如图，中，，，，则____________． 【答案】 【分析】在 中，已知斜边和一条直角边，利用勾股定理即可求出另一条直角边． 解：∵在 中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ， ∴ ． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： （1）2.25； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了算术平方根．一个正数有一个算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根． （1）根据算术平方根的意义，即可解答； （2）根据算术平方根的意义，即可解答． （1）解：因为， 所以2.25的算术平方根是1.5，即； （2）解：， 所以289的算术平方根是17，即． 【题型 2】求平方根 【例题2】（26-27八年级·上海·暑假作业）求下列各数的平方根． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） （1）解：∵， ∴的平方根是； （2）解：∵， ∴的平方根是； （3）解：∵， ∴的平方根是； （4）解：∵，， ∴的平方根是． 【变式1】（24-25八年级上·山东菏泽·开学考试）的平方根是（     ） A． B．9 C． D． 【答案】A 【分析】本题需先计算出的值，再根据平方根的定义求解． 解：∵， ∴根据平方根的定义，一个正数有两个互为相反数的平方根，3的平方根为． 【变式2】（25-26七年级下·湖北恩施·期末）如果的两个平方根是，，那么_______． 【答案】 【分析】根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，可知，，再利用整体代入法求出代数式的值． 解：、是的两个平方根， 、互为相反数，即，， ． 【变式3】（25-26七年级下·广东广州·期中）若，求的平方根． 【答案】 【分析】根据绝对值，算术平方根和平方的非负性，可得，从而得到，即可求解． 解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为 【题型 3】求立方根 【例题3】（26-27八年级·上海·暑假作业）求下列各数的立方根： （1）27； （2）； （3）； （4）0． 【答案】（1）3；（2）；（3）；（4）0 （1）解：因为， 所以27的立方根是； （2）解：因为， 所以的立方根是； （3）解：因为， 所以的立方根是； （4）解：因为， 所以0的立方根是． 【变式1】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先需要找到哪个数的立方等于，计算结果即可． 解：， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）的绝对值是________． 【答案】/0.25 【分析】先根据立方根的定义计算出的值，再根据绝对值的性质计算最终结果． 解：，则． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的立方根： （1）216； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）6；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握该定义是本题解题的关键．立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根． 利用立方根的定义即可得到结果． 解：（1）因为， 所以； （2）因为， 所以； （3）因为， 所以； （4）因为， 所以． 【题型 4】根式基础求值 【例题4】（25-26七年级下·湖南郴州·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根的计算和有理数的混合运算． 解题思路是先分别计算出每一项的值，再按照有理数加减运算法则计算最终结果． 解：． 【变式1】（25-26七年级下·广东广州·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值、平方根、算术平方根与立方根的计算，根据相关定义和性质逐一判断选项即可． 解：A、∵，， ∴， ∴， 根据绝对值的性质，负数的绝对值等于它的相反数，可得，A计算正确； B、，B计算错误； C、，故，C计算错误； D、∵，∴，D计算错误． 【变式2】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）小明编写了一个程序，如图．若输入，则输出的数为___________． 【答案】 【分析】根据流程图和实数运算法则即可求解． 解：输入， 则， 然后， 4的倒数为， 然后得到， ∴输出的数为． 【变式3】（25-26七年级下·陕西渭南·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据立方根及算术平方根的定义将原式化简，再进行加减运算． 解： ． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 5】利用开方解方程 【例题5】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）求的值： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） （1）解：， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， 解得：． 【变式1】（25-26七年级下·全国·周测）若，则的算术平方根是（    ） A．49 B．53 C．7 D． 【答案】D 【分析】先根据已知方程求出的值，再计算的算术平方根，最后逐一判断选项． 解：∵ = 7， ∴ 两边平方得：． ∴ ． ∴ 的算术平方根为 ． 故选：D． 【点拨】本题考查了算术平方根的定义与方程求解，解题关键是先通过方程求出的值，再根据算术平方根的定义计算结果，避免混淆“”与“的算术平方根”这两个概念． 【变式2】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）若，则的算术平方根为_______． 【答案】或 【分析】先根据平方根的定义求出的所有可能值，再代入计算的值，最后根据算术平方根的定义求解即可． 解：， ， 当时，，此时的算术平方根为， 当时，，此时的算术平方根为， 综上所述，的算术平方根为或． 【变式3】（25-26七年级下·陕西·期末）求的值： （1）； （2）． 【答案】（1）, ；（2） 【分析】（1）移项，根据得到或，由此即可求解； （2）原式变形得，根据，得到，由此即可求解． （1）解：， ， ∵， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ∵， ∴， 解得，． 【题型 6】非负数和为0模型（重难点） 【例题6】（25-26八年级下·湖北十堰·期末）若是的三边长，且满足． （1）求的值； （2）是直角三角形吗？请说明理由． 【答案】（1），，；（2）是直角三角形． 【分析】根据“几个非负数的和为，则每个非负数都为”求出的值； 计算两条较短边的平方和，验证是否等于最长边的平方，即可判断是否为直角三角形． （1）解：∵且，，， ∴，，， 解得，，； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，，其中是最长边， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 【变式1】（25-26八年级下·河北保定·期末）已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用绝对值、平方数、算术平方根的非负性求出三角形三边长，再根据勾股定理逆定理判断三角形形状，最后计算三角形面积． 解：∵，且，，， ∴ ，，， 解得，，， ∵，即， ∴该三角形是直角三角形，和为直角边， ∴三角形面积． 【变式2】（25-26八年级下·山东东营·期末）已知，则______． 【答案】8 【分析】根据算术平方根的非负性的条件求出的取值，再求出的值，最后代入计算即可． 解：根据算术平方根的非负性的条件，被开方数为非负数，得：且， 解得， 将代入原等式，得， 即， 将代入，得． 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知实数a、b满足，求： （1）a、b的值； （2）求代数式的值． 【答案】（1），；（2）代数式的值为 （1）解：∵，，且两者和为0， ∴，， 解得：，； （2）解：将，代入代数式： . 【题型 7】无理数估算与大小比较 【例题7】（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知的立方根是的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）利用立方根、算术平方根的定义求出a和b的值，再通过估算无理数的大小得到它的整数部分c； （2）将的值代入求出，再根据平方根的定义计算结果即可． （1）解：的立方根是，的算术平方根是 ， 解方程，得 将代入，得， 解得 的整数部分； （2）解：将，，代入得 的平方根是． 【变式1】（25-26七年级下·云南昭通·期末）已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 【答案】B 解：∵， ∴， ∵整数满足， ∴． 【变式2】（2026·安徽合肥·一模）已知整数n满足 ，若随机选择一个n的值，恰好是正整数的概率为_____． 【答案】 【分析】先确定满足的整数n的取值，再找出其中正整数的个数，最后根据概率公式计算恰好是正整数的概率． 解：∵，根据算术平方根的性质，被开方数越大，其算术平方根越大， ∴，即， ∴， 由于，同理可得，即， 结合和， 可得满足的整数n为，，0，1，2，3，4，共7个， 在7个整数中，正整数有4个， ∴恰好是正整数的概率为． 【变式3】（25-26七年级下·甘肃定西·期末）已知的平方根是，的立方根为2，的整数部分为． （1）求、、的值； （2）求的算术平方根与的小数部分的差． 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）根据平方根，立方根的定义解答，再根据确定答案； （2）先求出，再求出算术平方根，小数部分：，然后求出差即可． （1）解：∵的平方根是， ∴， 解得； ∵的立方根是， ∴， 解得； ∵， ∴整数部分； （2）解：，算术平方根为4， 小数部分：， 差值：． 【题型 8】几何实际应用 【例题8】（25-26七年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． （1）求，，的值； （2）求：的立方根． 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）根据平方根的定义列方程求出，进而求出，再根据算术平方根的定义列方程求出； （2）先求出，再根据立方根的定义求解即可． （1）解：一个非负数的平方根是与， ， 解得， 非负数的一个平方根是， ， 的算术平方根是，， ， 解得； （2）解：，，， ， 的立方根为． 【变式1】（25-26七年级下·青海西宁·期末）如图1，小明把长为2，宽为1的两个长方形沿对角线剪开，围成如图2所示的一个大正方形，则空白部分小正方形的边长的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：由题意，空白部分小正方形的面积为大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，大正方形的边长为长方形的长和宽的和， ∴， ∵， ∴. 【变式2】（25-26七年级下·北京大兴·期末）教材上有这样一个探究：把两个边长均为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形．所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长．因此，可得原小正方形的对角线长为________；由此，我们得到了一种在数轴上画出无理数所对应的点的方法：如图②，以单位长度为边长画一个正方形，以点C为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B两点，则点A表示的数为________． 【答案】 【分析】根据正方形面积公式及勾股定理求出对角线长，结合数轴上点的位置关系及两点间距离公式求解． 解：∵两个边长为的小正方形拼成的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长， ∴原小正方形的对角线长为； 由图可知，点表示的数为，圆的半径为 ∵点在点的左侧， ∴点表示的数为． 【变式3】（25-26七年级下·山东滨州·期末）如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8． （1）求这个魔方的棱长； （2）图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，求正方形的边长． （3）把正方形放到数轴上，如图②，使得点D与重合，那么点A在数轴上表示的数为 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，可求出侧面面积为4，阴影部分正方形面积为2，由此求出边长即可得解； （3）用点表示的数加上边长即可得解． （1）解：设魔方的棱长为， 则， 解得； ∴这个魔方的棱长为2； （2）解：∵棱长为2， ∴每个小立方体的边长都是1， ∴正方形的面积为：，即, ∴正方形的边长； （3）∵正方形的边长为，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为：． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列四个选项中，无理数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数，根据无理数和有理数的定义，逐个判断选项． 解：A、开平方开不尽，是无限不循环小数，故是无理数； B、，是分数，属于有理数； C、是有限小数，属于有理数； D、是整数，属于有理数． 2．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期末）如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察数轴，确定点M所在的整数区间，明确点M对应的数值范围．对每个选项中的算术平方根，利用“若（为正整数），则”将各算术平方根的范围与点M的数值范围比对，找到符合条件的选项． 解：从数轴可知，点在和之间，即 ， 对不等式三边平方得：． 逐一分析选项： 选项A：，因为 ，所以 ，符合点M的范围； 选项B：，因为 ，所以 ，不符合； 选项C：，因为 ，所以 ，不符合； 选项D：，因为 ，所以 ，不符合． 因此答案选A． 3．（25-26七年级下·天津东丽·期末）的平方根是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根的基本定义，解题需区分平方根和算术平方根，明确正数的平方根有两个，且互为相反数． 解：根据平方根的定义：若，则是的平方根， ∵ ， ∴ 的平方根是． 4．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）制作一个表面积为的正方体纸盒，则这个正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设这个正方体的棱长为，根据已知表面积列方程求解即可． 解：设这个正方体的棱长为， ∵正方体的表面积为， ∴， ∴， ∴这个正方体的棱长为． 5．（25-26七年级下·河北沧州·期末）先观察规律，再求值：已知，，，…，则（     ） A．2000 B．20000 C．200000 D．2000000 【答案】B 【分析】先观察已知算式，总结被开方数与对应算术平方根的变化规律，再利用规律求解，也可利用积的算术平方根性质直接计算． 解：观察已知式子可得规律：被开方数中后每增加个，结果中后就增加个． 所求中，被开方数后共有个， 结果中后应有个，即． 6．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列结论中，正确的是（     ） A．的立方根是 B．没有平方根 C．算术平方根等于它本身的数是0，1， D． 【答案】D 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根的定义，根据相关定义逐一判断各选项即可得到结果． 解：选项A：， 的立方根是， 选项A错误，不符合题意； 选项B：正数都有平方根，， 有平方根， 选项B错误，不符合题意； 选项C：负数没有算术平方根，是负数， 算术平方根等于它本身的数只有和， 选项C错误，不符合题意； 选项D：， ， 选项D正确，符合题意． 7．（2026·山东淄博·三模）若，则的平方根是（     ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据非负数的性质求出、的值，然后代入求出，最后根据平方根的定义求解即可. 解：∵ ，，且 ， ∴ ， ， 解得， ， ∴ ， ∴ 的平方根为. 8．（25-26七年级下·广西防城港·期末）如图是一个数值转换器，当输入的为时，输出的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数值转换器示意图可得输入的数值首先求算术平方根，算术平方根若是有理数，则对所得算术平方根继续求算术平方根，直到得到的结果是无理数，就是输出的的值． 解：∵的算术平方根是，是有理数， ∴取的算术平方根是，是无理数， ∴输出. 9．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）若一直角三角形的两边长x，y满足，则此三角形第三边的边长为（     ） A． B．3或 C．3或 D．或 【答案】D 【分析】先利用非负数的性质求出x和y的值，再分两种情况结合勾股定理计算第三边，需要考虑已知两边均为直角边，或较长边为斜边两种情况． 解：∵，，且 ∴，， 解得， 分两种情况计算第三边： （1）当，都为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得： 第三边长， （2）当为斜边，为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得： 第三边长， ∴此三角形第三边的边长为或． 10．（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察已知等式总结a和b的变化规律，再求出的值，代入式子计算即可． 解：观察已知等式可得规律：对于正整数，有， 对比，可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·山东济宁·期末）的整数部分为_________． 【答案】 【分析】通过比较被开方数与相邻整数的立方大小，确定的取值范围，即可得到其整数部分． 解：，， 又， ， 即， 的整数部分为． 12．（25-26七年级下·广西柳州·期末）已知，则________． 【答案】 【分析】几个非负数的和为时，每个非负数均为，据此分别求出和的值，再计算即可． 解：∵，，， ，， ∴，， ∴． 13．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）正数4有两个互为相反数的平方根，其中一个平方根为2，则另一个平方根为_____． 【答案】 【分析】利用正数的两个平方根互为相反数的性质即可求解． 解：∵正数4的其中一个平方根为2，且2的相反数为， ∴另一个平方根为． 14．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）已知一个正数x的两个平方根分别是和，则正数_________． 【答案】 解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·四川南充·期中）已知、、在数轴上位置如图所示，化简____________． 【答案】/ 【分析】先根据数轴得到，，那么，，再化简即可． 解：由数轴可得，，， ∴， ∴ ． 16．（25-26七年级下·云南昭通·期末）如图，面积为10的正方形的顶点O在数轴的原点上，以点O为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点为M，则点M表示的数是________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积是10，先求出边长，再在数轴上求出点M对应的数． 解：∵面积为10的正方形的顶点O在数轴的原点上， ∴ ∵以点O为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点为M， ∴， ∴点M所表示的数为． 17．（25-26七年级下·天津·阶段检测）（1）已知，则的平方根是___________． （2）若，则___________． 【答案】 512 【分析】（1）利用算术平方根的非负性求出，的值，再计算，最后求出它的平方根． （2）根据立方根的定义求出的值，再计算即可． 解：（1），，， ，， 解得，， ， ∴的平方根是； （2）， ∴， ． 18．（25-26八年级下·广西贺州·期末）课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出，……线段（如图所示）．”即：，过A作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；…以此类推，则_______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求得、、，观察归纳得，即可求解． 解：∵是直角三角形，，， ∴； ∵是直角三角形，，， ∴； ∵是直角三角形，，， ∴； ⋯， ∴， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·广西玉林·期中）已知的平方根是，的立方根是． （1）求，的值． （2）求的平方根． 【答案】（1）；；（2）． 【分析】（1）根据平方根以及立方根的定义解决此题； （2）先将由（1）得，代入，再求解的平方根即可． 解：（1）∵的平方根是， ∴，解得：， ∵的立方根是， ∴，解得：； （2）∵由（1）得，， ∴， ∴的平方根为． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·四川绵阳·期中）计算与解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）根据算术平方根，立方根，绝对值求解即可； （2）根据平方根，求解即可； （1）解：原式 ； （2）解： 或． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若的算术平方根是2，是27的立方根，c是的整数部分， （1）求a、b、c的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查平方根、算术平方根以及立方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）算术平方根、立方根、平方根的定义求出a、b、c的值即可； （2）将a，b，c的值代入，求出代数式的值即可． （1）解：∵的算术平方根是2， ∴ 解得：； ∵是27的立方根， ∴ 解得：； ∵，c是的整数部分 ∴． （2）解：∵，，， ∴ 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·河北唐山·期中）如图，夕夕同学想把一个用铁丝围成面积为的正方形改为面积为的长方形，且长和宽之比为． （1）求正方形的边长； （2）请通过计算说明铁丝是否够用． 【答案】（1）；（2）铁丝够用 【分析】（1）利用算术平方根的定义求解； （2）设长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积为”列方程求出，进而求解即可． （1）解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为：； （2）解：设长方形的长为，宽为， 根据题意得，， 解得：或（舍去）， ∴长方形的长为，宽为． ∴长方形的周长， ∵正方形的周长为． ∴铁丝够用． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，这是建筑工人搭建的临时施工支架，竖直立柱垂直地面于点A，斜梁为斜边．初始时立柱顶端B离地面的距离，斜梁的长度比水平距离多．立柱位置不动，斜梁长度保持不变，现将立柱顶端竖直向下降低至点D． （1）求初始状态下的水平距离的长． （2）当立柱顶端竖直向下降低至点D时，求斜梁落点C在水平方向向外移动的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设初始状态下的水平距离为，则斜梁的长为，进而根据勾股定理求解即可； （2）先求出和的长度，进而运用勾股定理进行求解即可． （1）解：设初始状态下的水平距离为，则斜梁的长为． ， 为直角三角形， 解得， 答：初始状态下的水平距离的长为； （2）解：由于斜梁的长度比水平距离多， ∴斜梁的长为， 由题意得，降低后竖直高度为． 在中，， 解得． ∴斜梁底部移动距离为， 答：斜梁落点C向外移动了． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·河南信阳·期末）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． （1）任务一：的小数部分为________． （2）任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． （3）任务三：，其中x是整数，且，求的平方根 【答案】（1）；（2）1；（3） 【分析】（1）根据题干提供的方法进行计算即可； （2）先估算出，，然后再代入计算即可； （3）的整数部分为12，小数部分为，根据是整数，且，得出，，代入求值，最后求出平方根即可． （1）解：，即， 的整数部分为4，小数部分为， （2）解：，即， 的小数部分， ，即， 的整数部分， ； （3）解：，即， ， 的整数部分为12，小数部分为， 是整数，且， ，， ， 的平方根为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.2 平方根与立方根（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】算术平方根 1 【知识点二】平方根（二次方根） 2 【知识点三】立方根（三次方根） 2 【知识点四】无理数估算与大小比较 3 二.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】求算术平方根 3 【题型 2】求平方根 4 【题型 3】求立方根 4 【题型 4】根式基础求值 4 三.题型精析（巩固提升） 5 【题型 5】利用开方解方程 5 【题型 6】非负数和为0模型（重难点） 5 【题型 7】无理数估算与大小比较 6 【题型 8】几何实际应用 6 四.同步检测 7 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 7 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 10 一.知识梳理与解读 【知识点一】算术平方根 1. 定义：若一个正数的平方等于，即，则这个正数叫做的算术平方根。 2. 表示方法：的算术平方根记作，读作“根号”。 3. 特殊规定：0的算术平方根是0，即。 4. 取值范围：被开方数，负数没有算术平方根。 【要点提示】 ① 算术平方根具有双重非负性：被开方数，结果； ② 核心恒等式：； ③ ，化简必须加绝对值，再根据正负去绝对值符号。 【知识点二】平方根（二次方根） 1. 定义：若，则叫做的平方根（二次方根）。 2. 表示方法：正数的平方根记作。 3. 平方根性质： ① 正数有两个平方根，互为相反数； ② 0的平方根是0； ③ 负数没有平方根。 4. 开平方：求一个数平方根的运算，叫做开平方，与平方互为逆运算。 【要点提示】 ① 算术平方根是平方根中正的那一个，平方根包含一正一负两个值； ② 题目若求“平方根”必须写，求“算术平方根”只取非负值； ③ 只有非负数可以开平方，负数无法进行开平方运算。 【知识点三】立方根（三次方根） 1. 定义：若，则叫做的立方根（三次方根）。 2. 表示方法：的立方根记作，3为根指数，不可省略。 3. 立方根性质： ① 正数的立方根为正数； ② 负数的立方根为负数； ③ 0的立方根是0。 4. 开立方：求一个数立方根的运算，与立方互为逆运算。 【要点提示】 ① 任意实数都有且只有一个立方根，无取值限制； ② 核心恒等式：，； ③ 符号规律：，立方根符号与被开方数一致。 【知识点四】无理数估算与大小比较 1. 估算方法：无限逼近法，找到被开方数相邻的两个完全平方数（完全立方数），逐步精确小数位数。 2. 大小比较：正数范围内，被开方数越大，算术平方根越大；立方根同理。 3. 近似取值：计算时多保留一位小数，最后再取舍，减小误差。 【要点提示】 比较带根号数与小数大小时，可平方或立方后比较，避免近似取值误差。 二.题型精析（基础夯实） 【题型 1】求算术平方根 【例题1】（26-27八年级·上海·暑假作业）求下列各数的算术平方根： （1）64； （2）225； （3）． 【变式1】（25-26七年级下·河南信阳·期末）有理数64的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）如图，中，，，，则____________． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的算术平方根： （1）2.25； （2）． 【题型 2】求平方根 【例题2】（26-27八年级·上海·暑假作业）求下列各数的平方根． （1） （2） （3） （4） 【变式1】（24-25八年级上·山东菏泽·开学考试）的平方根是（     ） A． B．9 C． D． 【变式2】（25-26七年级下·湖北恩施·期末）如果的两个平方根是，，那么_______． 【变式3】（25-26七年级下·广东广州·期中）若，求的平方根． 【题型 3】求立方根 【例题3】（26-27八年级·上海·暑假作业）求下列各数的立方根： （1）27； （2）； （3）； （4）0． 【变式1】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）的绝对值是________． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各数的立方根： （1）216； （2）； （3）； （4）． 【题型 4】根式基础求值 【例题4】（25-26七年级下·湖南郴州·期末）计算： 【变式1】（25-26七年级下·广东广州·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）小明编写了一个程序，如图．若输入，则输出的数为___________． 【变式3】（25-26七年级下·陕西渭南·期末）计算：． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 5】利用开方解方程 【例题5】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）求的值： （1）； （2） 【变式1】（25-26七年级下·全国·周测）若，则的算术平方根是（    ） A．49 B．53 C．7 D． 【变式2】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）若，则的算术平方根为_______． 【变式3】（25-26七年级下·陕西·期末）求的值： （1）； （2）． 【题型 6】非负数和为0模型（重难点） 【例题6】（25-26八年级下·湖北十堰·期末）若是的三边长，且满足． （1）求的值； （2）是直角三角形吗？请说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·河北保定·期末）已知，，是一个三角形的三条边，且满足，则这个三角形的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东东营·期末）已知，则______． 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知实数a、b满足，求： （1）a、b的值； （2）求代数式的值． 【题型 7】无理数估算与大小比较 【例题7】（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知的立方根是的算术平方根是4，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【变式1】（25-26七年级下·云南昭通·期末）已知整数满足：，参考下表数据，判断的值为（    ） 43 44 45 46 1849 1936 2025 2116 A．46 B．45 C．44 D．43 【变式2】（2026·安徽合肥·一模）已知整数n满足 ，若随机选择一个n的值，恰好是正整数的概率为_____． 【变式3】（25-26七年级下·甘肃定西·期末）已知的平方根是，的立方根为2，的整数部分为． （1）求、、的值； （2）求的算术平方根与的小数部分的差． 【题型 8】几何实际应用 【例题8】（25-26七年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． （1）求，，的值； （2）求：的立方根． 【变式1】（25-26七年级下·青海西宁·期末）如图1，小明把长为2，宽为1的两个长方形沿对角线剪开，围成如图2所示的一个大正方形，则空白部分小正方形的边长的值是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·北京大兴·期末）教材上有这样一个探究：把两个边长均为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形．所得到的面积为的大正方形的边长就是原先边长为的小正方形的对角线长．因此，可得原小正方形的对角线长为________；由此，我们得到了一种在数轴上画出无理数所对应的点的方法：如图②，以单位长度为边长画一个正方形，以点C为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于A，B两点，则点A表示的数为________． 【变式3】（25-26七年级下·山东滨州·期末）如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8． （1）求这个魔方的棱长； （2）图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，求正方形的边长． （3）把正方形放到数轴上，如图②，使得点D与重合，那么点A在数轴上表示的数为 ． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列四个选项中，无理数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期末）如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·天津东丽·期末）的平方根是（     ）． A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）制作一个表面积为的正方体纸盒，则这个正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河北沧州·期末）先观察规律，再求值：已知，，，…，则（     ） A．2000 B．20000 C．200000 D．2000000 6．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列结论中，正确的是（     ） A．的立方根是 B．没有平方根 C．算术平方根等于它本身的数是0，1， D． 7．（2026·山东淄博·三模）若，则的平方根是（     ） A．1 B． C． D．0 8．（25-26七年级下·广西防城港·期末）如图是一个数值转换器，当输入的为时，输出的是（     ）． A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）若一直角三角形的两边长x，y满足，则此三角形第三边的边长为（     ） A． B．3或 C．3或 D．或 10．（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·山东济宁·期末）的整数部分为_________． 12．（25-26七年级下·广西柳州·期末）已知，则________． 13．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）正数4有两个互为相反数的平方根，其中一个平方根为2，则另一个平方根为_____． 14．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）已知一个正数x的两个平方根分别是和，则正数_________． 15．（24-25七年级下·四川南充·期中）已知、、在数轴上位置如图所示，化简____________． 16．（25-26七年级下·云南昭通·期末）如图，面积为10的正方形的顶点O在数轴的原点上，以点O为圆心，长为半径画弧，与数轴正半轴的交点为M，则点M表示的数是________． 17．（25-26七年级下·天津·阶段检测）（1）已知，则的平方根是___________． （2）若，则___________． 18．（25-26八年级下·广西贺州·期末）课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出，……线段（如图所示）．”即：，过A作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；…以此类推，则_______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·广西玉林·期中）已知的平方根是，的立方根是． （1）求，的值． （2）求的平方根． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·四川绵阳·期中）计算与解方程 （1）； （2）． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若的算术平方根是2，是27的立方根，c是的整数部分， （1）求a、b、c的值； （2）求的值． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·河北唐山·期中）如图，夕夕同学想把一个用铁丝围成面积为的正方形改为面积为的长方形，且长和宽之比为． （1）求正方形的边长； （2）请通过计算说明铁丝是否够用． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，这是建筑工人搭建的临时施工支架，竖直立柱垂直地面于点A，斜梁为斜边．初始时立柱顶端B离地面的距离，斜梁的长度比水平距离多．立柱位置不动，斜梁长度保持不变，现将立柱顶端竖直向下降低至点D． （1）求初始状态下的水平距离的长． （2）当立柱顶端竖直向下降低至点D时，求斜梁落点C在水平方向向外移动的距离．（结果保留根号） 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·河南信阳·期末）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上笔记内容，请完成如下任务． （1）任务一：的小数部分为________． （2）任务二：a为的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． （3）任务三：，其中x是整数，且，求的平方根 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $