2.1.2认识实数（第2课时）-教学设计 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

认识实数（第2课时） 成都市蜀西实验学校 王莉萍 1、 设计思路： 本教学设计以《义务教育数学课程标准 (2022年版)》为依据，围绕“实数概念建构与数形结合能力培养”的核心目标，结合学生已有知识基础与认知特点设计教学逻辑。本教学设计整体采用“问题驱动—探究建模—技术辅助—素养落地”的实施路径。首先以“和这样的无限小数是否循环”为核心设问，引导学生通过有理数与小数的互化教学活动，自主发现无理数“无限不循环”的本质特征，突破无理数概念抽象的认知难点；其次通过类比有理数分类的小组合作活动，让学生自主构建实数分类体系，强化新旧知识的关联性与系统性；接下来依托“实物操作与技术辅助”的双重探究模式，重点突破无理数在数轴上的表示——既用圆规、棉线等实物实现“几何图形→无理数→数轴点”的转化，又通过网络画板数字化工具的动态演示与交互操作，让抽象概念可视化、可验证；最后通过总结反思与分层作业，实现知识巩固与素养提升的闭环。 数字化工具不仅是教学辅助手段，更是帮助学生突破认知瓶颈的重要支撑，比如借助网络画板的图形动态调整功能动态演示呈现的表示过程；同时通过自主探究、动手实验、逻辑推理等活动，落实“直观想象”“逻辑推理”等核心素养，最终达成让学生掌握实数知识，更学会用数字化工具解决数学问题、用科学方法探究数学规律的育人目标。 2、 学情分析: 学生知识技能基础：学生在七年级已经学习过有理数，能将有理数用数轴上的点表示出来，会求有理数的相反数、倒数、绝对值等。学生在八年级已经学习了勾股定理，能由直角三角形两边的长度求第三边的长度，并且会用勾股定理解决一些简单实际问题。这些知识技能为本课时学习实数的有关概念、大小比较、数轴表示等奠定了基础。 学生活动经验基础：学生在七年级学习有理数时，已经经历了初中阶段数系的第一次扩充，积累了一些数系扩充的学习经验。在之前的学习中，学生已经多次经历了由特殊到一般、由具体到抽象认识概念本质特征的过程，具备了一定的学习数学概念的经验。学生在八年级学习勾股定理的过程中，经历了操作、猜测、验证、推理等活动，积累了较为丰富的数学活动经验，具备了一定的小组合作学习经验，有较强的合作与交流的能力。 3、 学习目标: 1. 教学目标 （1）结合具体例子探索有理数与有限小数或无限小数的对应关系，发展学生逻辑推理能力； （2）了解无理数和实数及其相关概念，会判断一个数是有理数还是无理数，能按照要求对实数进行分类； （3）了解有理数的运算法则和运算规律在实数范围内仍然成立； （4）能用数轴上的点表示实数，初步认识实数与数轴上的点具有一一对应关系。 2. 教学重难点 教学重点：无理数与有理数的区别，用数轴上的点表示实数； 教学难点：用数轴上的点表示无理数。 4、 教学过程 1. 课前准备： 实物类：学生学案、半径为的硬质圆片、直尺、圆规、无弹性的棉线、铅笔等 软件类：希沃白板、网络画板 2. 课堂教学 教学步骤 教学活动 设计意图 第一环节 【复习回顾，提出问题】 1. 上节课我们通过夹逼法对，中的和进行了近似计算，得到，，它们是无限小数，怎么确定它们是“循环”还是“不循环”呢？ 2. 如果和是无限循环小数，它们是有理数吗？如果和是无限不循环小数，它们是有理数吗？ 引导学生回顾上节课的学习过程与学习内容。学生在前面的探索与交流活动中对于“无限”已经有所体会，但是对于“不循环”，此时只有直观层面的理解，通过设问“循环”和“不循环”激发学生的探知欲望，同时引出下面要研究的问题。 第二环节 【解决问题，探究新知】 1. 为了判断和是否为有理数，我们先看看有理数的小数表示有什么特征？ （1）下列各数都是有理数，把它们表示成小数，你发现了什么？ ，，，，。 （2）试一试：将下列小数表示成分数形式。 ，，，。 2. 通过上面的探究活动，你认为有理数与“有限小数或无限循环小数”有什么关系？“不是有理数的数”是什么样的小数？ 3. 和既不是 ，也不是 ，因此和是无限 小数，它们不是 。 4. 无理数的定义： 小数称为无理数。 （1）除了前面的，，我们十分熟悉的圆周率也是一个无理数，再如（相邻两个之间的个数逐次加）也是无理数。 （2）下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ ，，，（相邻两个之间的个数逐次加）。 （3）请你再举出一些无理数的例子。 5. 实数的定义： 和 统称为实数，即实数可以分为 和 。 问题（1）引导学生将有理数表示成小数，问题（2）让学生尝试将有限小数、无限循环小数表示成分数，让学生体验感悟有理数与“有限小数或无限循环小数”的等价关系，思考“不是有理数的数”的特征，从而为引出无理数的定义做好准备。 明晰无理数的定义，让学生通过练习题和举例，充分理解和掌握无理数的特征，并在此基础上给出实数的定义。 第三环节 【类比迁移，深化新知】 1. 实数的分类 对数系分类，能清晰梳理数系结构、把握数的本质差异，还能简化运算与问题解决，并培养分类思考的数学思维。回顾有理数的分类方法，你能用类似的方法对实数进行分类吗？ 要求：（1）以小组为单位合作交流，明确实数分类的标准，并依据分类标准对实数进行分类；（2）每个小组确定名成员分享展示本小组的分类结果。 2. 实数的运算 可以发现，实数是有理数的自然拓展，基于这样的思路，请回答下列问题：是一个实数，则的相反数为 ，的绝对值为 ，若，则的倒数为 。实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 让学生通过类比的方法，对扩充后的数系有更加明确的认识，进一步认识与感受新旧知之间的联系与区别，促进学生知识系统的建构和完善。 第四环节 【动手操作，数形结合】 1. 思考·交流 前面讨论的两个正方形，边长分别是，。 满足，的和是无理数，如何在数轴表示这样的和呢？ （1）如图，，则 ，数轴上点对应的数是 。（填“”或“”） （2）你能在数轴上找到所对应的点吗？ 要求：合理地使用圆规和直尺，保留作图痕迹，并将你的思考和作法与同伴进行交流。 （3）结合前面积累的数学经验，尝试在数轴上找到满足的数所对应的点。 要求：先独立思考，尝试找到满足的数所对应的点， 并在此基础上思考如何找到满足的数所对应的点，保 留作图痕迹，然后将你的思考和作法与同伴进行交流。 2. 拓展·探究 对于不能使用勾股定理构建的数，如，如何在数轴上找到一个点与之对应？ 要求：合理地使用手中半径为的硬质圆片以及没有弹性的棉线。 3. 事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，也就是说，实数和数轴上的点是 的。 《思考·交流》 聚焦于在数轴上表示，先是提供范例让学生明确作法，接着让学生借助实物动手操作，归纳并总结一般化的操作方法，最后通过网络画板的精准性与交互性，帮助学生深化认知。 《拓展·探究》聚焦于非根号型的无理数的表示，选取了常见的圆周率作为代表。通过棉线、圆片的操作，学生能够直观看到“曲线长度转化为直线长度”，将抽象的最终转化为数轴上的一个点。最终，依赖于网络画板的精准性，动态演示，确定精确的位置。 通过表示两种不同类型的无理数，丰富了学生对无理数的认识，避免认知局限，同时拓展表示方法，帮助学生掌握数形结合、转化思想，积累科学探究经验，落实核心素养。 第五环节 【课堂小结，提升认识】 1. 请说说你对无理数的认识，对有理数你又有哪些新的认识？ 2. 实数与有理数及相关概念、性质、运算有哪些联系和区别？ 3. 你积累了在数轴上表示无理数的哪些方法？ 让学生对实数、实数的运算、实数与数轴上的点的对应关系进行全方位总结，进一步感悟分类讨论、数形结合、类比等数学思想方法，并畅谈自己的认识与收获。 第六环节 【因材施教，分层作业】 一、基础性作业 1. 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ ，，，，。 2. 比较与的大小。 3. 判断正误： （1）所有无限小数都是无理数； （ ） （2）所有无理数都是无限小数； （ ） （3）有理数都是有限小数； （ ） （4）不是有限小数的数不是有理数。 （ ） 4. 如图，的方格纸中每个小方格的边长均为1，连接任意两个格点便可以得到一条线段。试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段。 二、发展性作业 5. 请你在方格纸上分别按照如下要求设计一个直角三角形： （1）使它的三边中恰有一边边长不是有理数； （2）使它的三边中恰有两边边长不是有理数； （3）使它的三边边长都不是有理数。 6. 阅读教材29页的《阅读·思考》，并尝试用文中的方法证明满足的数是无理数。 7. 查阅资料，进一步了解数学史上无理数的发现历程。 基础性作业面向全体学生，聚焦实数概念、分类等核心知识，确保所有学生巩固基础，达到教学目标底线要求。 发展性作业从三方面设计：“设计无理数边长直角三角形”需结合勾股定理与实数知识建模，培养数学建模能力；“证明中的是无理数” 需严谨逻辑推理，强化逻辑推理核心素养；“查阅无理数发现历程” 融入数学文化，提升数学文化素养，整体满足学有余力学生的能力提升需求。 板书设计 五、教学反思 1. 教学成效 （1）概念建构自然 以“和是否为无限循环小数”设问，通过有理数与小数互化探究，学生自主推导有理数等价于有限小数或无限循环小数，无理数等价于无限不循环小数，落实逻辑推理素养，避免概念灌输。 （2）有效突破难点 用圆规、直尺画直角三角形表示满足的数，用棉线、圆片表示，结合网络画板动态演示，破解无理数数轴表示难点，让实数与数轴点一一对应可视化，高度贴合实物操作与技术辅助的设计思路。 （3）作业分层落地 基础性作业巩固实数分类、大小比较等核心知识，发展性作业满足不同学生需求，兼顾基础与提升。 2. 存在不足 （1）动手操作耗时 部分学生因圆规使用不熟练、棉线绕圆松紧不均，导致的数轴表示操作滞后，未充分参与小组交流。 （2）概念辨析不足 仍有学生混淆“无限小数”与“无理数”，未针对“无限循环或不循环”设计专项对比练习，对无理数本质理解不牢。 （3）运算铺垫欠缺 仅提及“有理数运算律适用于实数”，未设计相关近似计算等练习，衔接后续实数运算不足。 3. 改进方向 （1）课前用微视频演示圆规、棉线操作规范，课堂采用异质分组互助，减少操作耗时； （2）增设“无限循环或不循环小数分类辨析”题，强化无理数无限不循环特征； （3）补充1-2道实数近似运算题，如计算，铺垫运算方法。 学科网（北京）股份有限公司 $