重难点16 平面向量中的四心问题与奔驰定理（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 以四心问题与奔驰定理为核心，构建“概念-定理-应用”三层方法体系，通过题型分类与变式训练培养几何直观与推理能力，实现向量几何综合突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |四心问题|4题型（各1例3变式）|向量表示法（重心：向量和为零；垂心：数量积为零等）、坐标公式法|从四心概念出发，通过向量表示建立代数模型，结合坐标运算实现几何问题代数化| |奔驰定理|1题型（1例3变式）|面积比例转化法、四心与系数对应关系|以奔驰定理为纽带，统一四心向量表达式，实现面积关系与向量运算互化|

重难点16 平面向量中的四心问题与奔驰定理 【全国通用】 【题型1 重心问题】 3 【题型2 垂心问题】 4 【题型3 内心问题】 4 【题型4 外心问题】 5 【题型5 奔驰定理】 5 1、平面向量中的四心问题与奔驰定理 三角形中的四心问题是平面向量中的重要问题，包括：重心问题、垂心问题、内心问题和外心问题四大类型，是高考的重点、热点内容，在高考复习中，对于四心问题要学会灵活求解。 奔驰定理是平面向量中的重要定理，这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题有着重要作用，在高考复习中，要掌握奔驰定理并能灵活运用和求解。 考点1 四心问题 知识点1 四心问题 1．三角形的重心及向量表示 (1)重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心将中线长度分成2:1. (2)重心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC重心. (3)重心坐标公式：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则△ABC的重心坐标为P. 2．三角形的垂心及向量表示 (1)垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心. (2)垂心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC垂心. 3．三角形的内心及向量表示 (1)内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心. (2)内心的向量表示：如图，在△ABC中，三角形的内心在向量所在的直线上，点P为△ABC内心. 4．三角形的外心及向量表示 (1)外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心，外心到三角形各顶点的距离相等. (2)外心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC外心. 考点2 奔驰定理 知识点2 奔驰定理 1．奔驰定理 如图，已知P为△ABC内一点，且满足，则有△APB、△APC、△BPC的面积之比为. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用. 2．三角形的四心与奔驰定理的关系 (1)O是△ABC的重心：. (2)O是△ABC的垂心：. (3)O是△ABC的内心：. (4)O是△ABC的外心：. 【题型1 重心问题】 【例1】（2026·山东滨州·二模）在中，为的重心，为上一点，且满足，则（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【变式1-2】（25-26高一下·福建泉州·阶段检测）如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（    ）    A． B． C． D．0 【变式1-3】（2026·河北·模拟预测）已知中，，，若G为的重心，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【题型2 垂心问题】 【例2】（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知是的垂心，满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D．-1 【变式2-1】（2026高三·全国·专题练习）已知，为三角形所在平面上的动点，且满足，则为三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式2-2】（2026高一·全国·专题练习）已知H为的垂心，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026高三上·全国·专题练习）在中，，，，点是的垂心，若存在实数，使得，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型3 内心问题】 【例3】（25-26高一下·山东菏泽·期中）已知O为的内心，三个角对应的边分别为，已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一下·全国·课后作业）已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式3-2】（25-26高一下·河南南阳·期末）已知在中，边上的高为是的内心，若 ，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高三·全国·一轮复习）A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【题型4 外心问题】 【例4】（2026·重庆·一模）边长为2的等边三角形的外心为，则（    ） A． B．2 C． D． 【变式4-1】（2026·浙江·三模）已知为的外心，且满足，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式4-2】（2026高三·全国·专题练习）设是所在平面内的一点，若，且，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式4-3】（25-26高三上·江苏盐城·期中）已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型5 奔驰定理】 【例5】（25-26高一下·湖北武汉·期末）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（   ）    A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一下·湖北·期中）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·安徽·三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【变式5-3】（25-26高一下·上海奉贤·阶段检测）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为、、，则有，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是（     ）    A．若，则O为△ABC的重心 B．若，则 C．若O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则 D．若，，，则 一、单选题 1．（2026·河南南阳·模拟预测）已知的重心为，延长DG交AB于点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·吉林·二模）在中，点D为的中点，点O为的重心，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）点G，O分别是的重心和外心，且，，则边BC的长为（ ） A．6 B．5 C．7 D．3 4．（2026·全国·模拟预测）已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 5．（25-26高一下·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·四川南充·三模）点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 7．（25-26高一下·河南濮阳·期末）点为所在平面内的点，且有，，，则点分别为的（    ） A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心 8．（25-26高一下·甘肃·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则点是的垂心 B．若，则 C．若，则动点的轨迹经过的内心 D．若，则动点的轨迹经过的外心 10．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且．设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，，，则 C．若为的内心，，则 D．若为的垂心，，则 11．（25-26高三上·安徽·阶段检测）在中，角的对边分别为，点为内部一动点，则下列命题正确的是（   ） A．若点为的中点，则 B．若点为的内心，则 C．若，则点过的外心 D．若为锐角三角形，点为的垂心，则 三、填空题 12．（2026·广东江门·模拟预测）已知点分别是的外心，重心，，则的值为__________. 13．（2026·四川南充·模拟预测）已知点是的重心，，，，则________． 14．（25-26高一下·安徽合肥·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则__________. 四、解答题 15．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）奔驰定理是一个关于三角形的几何定理，它的图形形状和奔驰轿车logo相似，因此得名.如图，P是内的任意一点，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，总有优美等式：.    (1)若P是的内心，，延长AP交BC于点D，求； (2)若P是锐角的外心，，，求的取值范围. 16．（25-26高一下·上海金山·阶段检测）如图所示，点是所在平面上一点，并且满足，已知. (1)若实数，求证：； (2)若是的外心，求的值； (3)如果是的平分线上某点，则当达到最小值时，求. 17．（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）已知在中，点满足与交于点． (1)若，求的值； (2)判断能否为的外心，并证明你的结论； (3)若为钝角，过作直线的垂线，垂足为，求的取值范围． 18．（25-26高一下·重庆·期末）阅读下列材料： 如图，已知点在锐角的内部，，，的面积记为，，，则．该结论因图像神似奔驰车标，因此称它为“奔驰定理”． 根据你对材料的理解请完成以下问题． (1)若为锐角的外心，请证明：； (2)若为锐角的内心，，，，且，求的值； (3)若为锐角的外心，且，求的值． 19．（25-26高一下·江西景德镇·期中）已知为三个内角的对边，且，线段边对应的高为的内心、重心、外心、垂心依次为点I、G、O、H． (1)求的高的长度； (2)若的角平分线交于，求，的值 (3)欧拉线定理：设的重心，外心，垂心分别是，，，则，，三点共线，且.请合理运用欧拉线定理，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点16 平面向量中的四心问题与奔驰定理 【全国通用】 【题型1 重心问题】 3 【题型2 垂心问题】 6 【题型3 内心问题】 8 【题型4 外心问题】 11 【题型5 奔驰定理】 14 1、平面向量中的四心问题与奔驰定理 三角形中的四心问题是平面向量中的重要问题，包括：重心问题、垂心问题、内心问题和外心问题四大类型，是高考的重点、热点内容，在高考复习中，对于四心问题要学会灵活求解。 奔驰定理是平面向量中的重要定理，这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题有着重要作用，在高考复习中，要掌握奔驰定理并能灵活运用和求解。 考点1 四心问题 知识点1 四心问题 1．三角形的重心及向量表示 (1)重心的概念：三角形各边中线的交点叫做重心，重心将中线长度分成2:1. (2)重心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC重心. (3)重心坐标公式：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则△ABC的重心坐标为P. 2．三角形的垂心及向量表示 (1)垂心的概念：三角形各边上高线的交点叫做垂心. (2)垂心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC垂心. 3．三角形的内心及向量表示 (1)内心的概念：三角形各角平分线的交点叫做内心，内心也为三角形内切圆的圆心. (2)内心的向量表示：如图，在△ABC中，三角形的内心在向量所在的直线上，点P为△ABC内心. 4．三角形的外心及向量表示 (1)外心的概念：三角形各边中垂线的交点叫做外心，外心也为外接圆的圆心，外心到三角形各顶点的距离相等. (2)外心的向量表示：如图，在△ABC中，点P为△ABC外心. 考点2 奔驰定理 知识点2 奔驰定理 1．奔驰定理 如图，已知P为△ABC内一点，且满足，则有△APB、△APC、△BPC的面积之比为. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用. 2．三角形的四心与奔驰定理的关系 (1)O是△ABC的重心：. (2)O是△ABC的垂心：. (3)O是△ABC的内心：. (4)O是△ABC的外心：. 【题型1 重心问题】 【例1】（2026·山东滨州·二模）在中，为的重心，为上一点，且满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据三角形重心的性质，结合向量的加法和减法即可判断结论． 【解答过程】由题意，画出几何图形如下图所示： 根据向量加法运算可得 , 因为G为的重心，所以. 又M满足，即. 所以 . 故选：D. 【变式1-1】（2026·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】A 【解题思路】根据向量的运算，并结合数形结合分析，即可判断. 【解答过程】设的中点为点，所以， 则， 若四点共线时，即点都在中线上，所以经过三角形的重心， 若四点不共线时，，且，连结，交于点， 如图， ，即点是三角形的重心，即经过的重心， 综上可知，经过的重心. 故选：A. 【变式1-2】（25-26高一下·福建泉州·阶段检测）如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（    ）    A． B． C． D．0 【答案】D 【解题思路】根据向量的线性运算，结合重心的性质即可化简求解. 【解答过程】如图所示，    延长交于，由已知为的重心，则点为的中点， 可得，且，又由， 可得是的三等分点，则， 因为，所以，，所以． 故选：D. 【变式1-3】（2026·河北·模拟预测）已知中，，，若G为的重心，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【解题思路】建立直角坐标系，设点根据数量积得出，再根据重心得出，再应用两点间距离公式得出，最后平方化简得出的最大值即可求解. 【解答过程】以中点为坐标原点，以为轴，以过中点垂直为轴，建立直角坐标系， 所以，设，因为， 又因为， 所以，所以， G为的重心，， 所以， 令，则， 当且仅当时，取得的最大值，即得的最大值. 故选：D. 【题型2 垂心问题】 【例2】（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）已知是的垂心，满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D．-1 【答案】B 【解题思路】结合题意和向量的线性运算，可得，两边点乘，再结合垂心向量公式求解即可. 【解答过程】由，得， 化简得. 左右点乘，得， 由是的垂心，可得，则, 所以，即， 同理可证,即， 所以 故. 故选：B. 【变式2-1】（2026高三·全国·专题练习）已知，为三角形所在平面上的动点，且满足，则为三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【解题思路】由向量的数量积运算可得，即，同理可证即可得出结果. 【解答过程】由，所以， 则，同理可证， 所以为三角形的垂心. 故选：D. 【变式2-2】（2026高一·全国·专题练习）已知H为的垂心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】，，利用、得，，解得， 再利用平方共线可得答案. 【解答过程】依题意，，同理． 由H为△ABC的垂心，得，即， 可知，即．同理有， 即，可知， 即，解得， ，又， 所以． 故选：C． 【变式2-3】（2026高三上·全国·专题练习）在中，，，，点是的垂心，若存在实数，使得，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】设交于，交于，可求得，进而得到，然后利用向量的运算和平面向量基本定理即可求解． 【解答过程】如图所示，设交于，交于， 由于， 故，又，故， 同理可得，故， 而，故，， 根据三点共线，三点共线，可得，， 解得． 故选：A. 【题型3 内心问题】 【例3】（25-26高一下·山东菏泽·期中）已知O为的内心，三个角对应的边分别为，已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用向量的线性运算结合角平分线性质可得，再利用余弦定理和数量积的运算律可得计算结果. 【解答过程】连接并延长，交于， 因为O为的内心，故为角平分线，由角平分线的性质可得， 同理， 而，故，且，故， 故， 而，故， 故， 故 ， 故选：C. 【变式3-1】（25-26高一下·全国·课后作业）已知为所在平面内一点，若，其中内角的对边分别为，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解题思路】由对称性知可任选其一作变换，如用，代换，将各向量转化为共起点的三个向量的关系式，进一步变形判断． 【解答过程】因为，， 所以， 所以（*）． 又因为，，其中分别表示，方向的单位向量， （*）式可进一步化为， 而表示与的平分线共线的向量， 所以平分． 同理，平分，平分， 所以是的内心， 故选：B． 【变式3-2】（25-26高一下·河南南阳·期末）已知在中，边上的高为是的内心，若 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意建立平面直角坐标系，根据三角形面积计算内切圆的半径，写出坐标，根据题意列出方程组计算即可. 【解答过程】设的中点为，因为，所以， 由已知，所以，所以， 以AC的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系. 设内切圆的半径为，则，解得. 因为为等腰三角形，所以的内心在线段BD上， 所以， 则.因为， 所以，即， 解得，故. 故选：A. 【变式3-3】（25-26高三·全国·一轮复习）A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（   ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解题思路】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解. 【解答过程】， 令， 则是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即在的平分线上， ，共线， 故点P的轨迹一定通过△ABC的内心， 故选：B. 【题型4 外心问题】 【例4】（2026·重庆·一模）边长为2的等边三角形的外心为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】取BC边的中点D，连接AD，可得，利用向量的数量积的运算法则计算可求得. 【解答过程】取BC边的中点D，连接AD， 因为O为边长为2的等边三角形的外心， 所以，所以， 所以 . 故选：A.    【变式4-1】（2026·浙江·三模）已知为的外心，且满足，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由三角形外心的性质，得到，，再通过，两边分别点乘，，结合数量积运算律即可求解. 【解答过程】因为为外心，（外心为三角形各边垂直平分线的交点，所以外心在各边的投影为各边中点）， 即在上的投影为，在上的投影为， 所以 ，， 又， 两边点乘得：， 即， 整理得：，（1） 两边点乘得：， 即， 整理得：，（2） 联立（1）（2），消去得：， 化简得：，即. 故选：C. 【变式4-2】（2026高三·全国·专题练习）设是所在平面内的一点，若，且，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【解题思路】取中点D，根据条件化简得，所以点P在中垂线上，所以，所以为三边中垂线交点，即为的外心. 【解答过程】    如图，取中点D， . ， ， ， ， ， 点P在中垂线上， ，又， 所以， 为的外心. 故选：A. 【变式4-3】（25-26高三上·江苏盐城·期中）已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题可得，从而得到为直角三角形，由投影向量的概念求解. 【解答过程】因为， 所以， 即，所以在上，故的外接圆以为圆心，为直径， 所以为直角三角形，且，为中点， 因为向量在向量上的投影向量为， 故, 由于为锐角，所以 故选：B． 【题型5 奔驰定理】 【例5】（25-26高一下·湖北武汉·期末）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】延长交与点，结合三角形面积公式得，再由已知有，最后由三角形内角性质及和角正切公式列方程求值. 【解答过程】∵是的垂心，延长交与点，    ，同理， ∴，又， ∴，又， ∴， 不妨设，，，其中， ， ∴，化简整理得，解得（负值舍）， 所以. 故选：B. 【变式5-1】（25-26高一下·湖北·期中）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】直接根据向量的基本运算得到，再结合“奔驰定理”即可求解结论． 【解答过程】解：为三角形内一点，且满足， ， ， ， 故选：D． 【变式5-2】（2026·安徽·三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解题思路】根据平面向量基本定理可得，，延长交于，延长交于，根据面积比推出 ，结合角平分线定理推出为的平分线，同理推出是的平分线，根据内心的定义可得答案. 【解答过程】由得， 由得， 根据平面向量基本定理可得，， 所以，， 延长交于，延长交于， 则，又，所以 ， 所以为的平分线， 同理可得是的平分线， 所以为的内心. 故选：B. 【变式5-3】（25-26高一下·上海奉贤·阶段检测）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为、、，则有，设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是（     ）    A．若，则O为△ABC的重心 B．若，则 C．若O为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则 D．若，，，则 【答案】D 【解题思路】对于A，假设为的中点，连接，由已知得在中线上，同理可得在其它中线上，即可判断；对于选项B，利用奔驰定理可直接得出B正确；对于C，由垂心的性质、向量数量积的运算律，得到，结合三角形面积公式及角的互补关系得结论，可判断C正确；选项D，根据奔驰定理可得，再利用三角形面积公式可求得，即可计算出，可得D错误； 【解答过程】对于A：如下图所示，    假设为的中点，连接，则，故共线，即在中线上， 同理可得在另外两边的中线上，故O为的重心，即A正确； 对于B：由奔驰定理O是内的一点，的面积分别为， 则有可知， 若，可得，即B正确； 对于C：由四边形内角和可知，，则， 同理，， 因为O为的垂心，则， 所以，同理得，， 则， 令， 由，则， 同理：，， 综上，， 根据奔驰定理得，即C正确. 对于D：由可知，， 又，所以， 由可得，； 所以，即D错误； 故选：D. 一、单选题 1．（2026·河南南阳·模拟预测）已知的重心为，延长DG交AB于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用三角形重心的向量表示，结合向量线性运算，利用共线向量定理的推论列式求解. 【解答过程】由是的重心，得，令， 由，得，则， 又点共线，即，解得，即，所以. 故选：A. 2．（2026·吉林·二模）在中，点D为的中点，点O为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合重心性质与向量运算化简可得. 【解答过程】 如图，连接，因为点O为的重心， 则为的三等分点，且， 所以， 故选：A. 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）点G，O分别是的重心和外心，且，，则边BC的长为（ ） A．6 B．5 C．7 D．3 【答案】A 【解题思路】延长交于点，过点作于点，作于点.将用，表示，根据向量数量积的几何意义化简已知式，推得，再由利用向量数量积的运算律求得，最后利用和已得结论求即可. 【解答过程】 如图，延长交于点，过点作于点，作于点. 因点分别是的重心和外心，则 ，，， 则 于是 即得. 又由和，可得 整理得解得 因，则 即边的长为6. 故选：A. 4．（2026·全国·模拟预测）已知平面上四个点，其中任意三个不共线．若，则直线一定经过三角形的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【解题思路】由题意得，即边上的高所在直线为，由此即可得解. 【解答过程】因为，所以， 所以，即直线一定经过三角形的边上的高，即直线一定经过三角形的垂心. 故选：D. 5．（25-26高一下·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据三边，先求出角B的余弦值,再由内心可得到，进而由“奔驰定理”得到，在对向量进行线性运算即可. 【解答过程】因为，，， 所以， 因为O为的内心，设，由题意， 则， 同理可得 所以根据“奔驰定理”有， 所以， 即， 所以， ． 故选：A． 6．（2026·四川南充·三模）点为所在平面内一点，若，则点为的（    ） A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【解题思路】分别在边上取同方向的单位向量和，由条件推得，进而得到平分，同理平分，即得结论. 【解答过程】如图，向量，分别表示在边和上取同方向的单位向量和， 则， 由可得， 因，则平分， 同理由，可知平分， 故为的内心. 故选：A． 7．（25-26高一下·河南濮阳·期末）点为所在平面内的点，且有，，，则点分别为的（    ） A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，内心 C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心 【答案】A 【解题思路】由题中向量的关系，根据数量积转化为位置上的关系，进而可判断. 【解答过程】由，得， 即， 则， 得 所以，则，同理可得，， 即是三边上高的交点，则为的垂心； 由，得， 设的中点为，则，即，，三点共线， 所以在的中线上，同理可得在的其余两边的中线上， 即是三边中线的交点，故为的重心； 由，得，即， 又是的中点，所以在的垂直平分线上， 同理可得，在，的垂直平分线上， 即是三边垂直平分线的交点，故是的外心， 故选：A. 8．（25-26高一下·甘肃·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据和得，从而可以得出，设，，得，，再结合垂心和直角三角形余弦值即可求解. 【解答过程】    如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 由为的垂心，，且， 得，所以， 又，则，同理可得，所以， 设，，则，， 所以，即，， 所以， 所以. 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则点是的垂心 B．若，则 C．若，则动点的轨迹经过的内心 D．若，则动点的轨迹经过的外心 【答案】ABD 【解题思路】根据向量数量积的运算，结合三角形内心，外心，垂心和重心的性质，即可判断选项. 【解答过程】A：由， 即，同理，，则点是的垂心，故A正确； B：若，则点是垂直平分线的交点，则，故B正确； C：由正弦定理得，故， 故， 取的中点，则， 故点在的中线上，则动点的轨迹经过的重心，故C错误； D： 设的中点为，， 所以， ， ， 所以， 故点在的中垂线上，故动点的轨迹经过的外心，故D正确. 故选：ABD. 10．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且．设是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，，，则 C．若为的内心，，则 D．若为的垂心，，则 【答案】ACD 【解题思路】利用“奔驰定理”可判断A选项；求出，结合“奔驰定理”可判断B选项；利用“奔驰定理”可得出的值，结合勾股定理可判断C选项；对D，结合“奔驰定理”可得，如图所示分别为垂足，设，由得到，设，则，结合在直角三角形中求解即可. 【解答过程】对于A，由奔驰定理可知，若，则，故A正确； 对于B，在中，由，可知， 又，所以，所以，， 所以，故B错误； 对于C，由奔驰定理可知，为的内心，，则. 设内切圆半径为，故，，，所以， 由勾股定理得为直角三角形，，故C正确； 对于D，延长交于点，延长交于点，延长交于点， 因为为三角形的垂心，所以，.    由奔驰定理可知，. 又，所以，设，则，， 同理，设，则，， ，可得， 所以，，故D正确． 故选：ACD. 11．（25-26高三上·安徽·阶段检测）在中，角的对边分别为，点为内部一动点，则下列命题正确的是（   ） A．若点为的中点，则 B．若点为的内心，则 C．若，则点过的外心 D．若为锐角三角形，点为的垂心，则 【答案】ABD 【解题思路】利用平面向量的加减运算判断A，利用内心的性质判断B，结合角平分线的性质判断C，利用锐角三角形结合垂心的性质判断D即可. 【解答过程】对于A，点为的中点，，，， ，， ，故A正确； 对于B，若点为内部一动点，且， 设，，， ∴点为的重心，可得， 分析可得，，， ，可得， ，又∵点为的内心， 的高相等，都为内切圆的半径， ，可得， 可得，故B正确； 对于C，由题意得， 其中表示角的平分线所在直线上的向量，过的内心，故C错误； 对于D，由B可得，，， 而点为的垂心，如图，连接与相交于点，    则，而，， ， 又，， ，， 同理可得，， ， ，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题 12．（2026·广东江门·模拟预测）已知点分别是的外心，重心，，则的值为__________. 【答案】 【解题思路】设的中点为，连接，，由为的重心可得，由于为的外心，过点作，垂足为，可得，同理可得，进而求解即可. 【解答过程】设的中点为，连接，， 由于为的重心，则一定在线段上，且， 所以， 由于为的外心，过点作，垂足为，则为中点， 则， 同理可得， 则. 故答案为：. 13．（2026·四川南充·模拟预测）已知点是的重心，，，，则________． 【答案】 【解题思路】根据三角形重心的性质可得，平方后即可求得答案. 【解答过程】由于点是的重心，故， 故， 即， 故 ， 故答案为：. 14．（25-26高一下·安徽合肥·期中）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则__________. 【答案】 【解题思路】作出辅助线，由奔驰定理得到，设，则，设，则，由，得到，求出，根据互补得到，由同角三角函数关系得到答案. 【解答过程】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 故⊥,⊥,⊥, ，由“奔驰定理”得，， 则，即，设，则， 同理，即，设，则. 由，得，即，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以， 则. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一下·河南南阳·阶段检测）奔驰定理是一个关于三角形的几何定理，它的图形形状和奔驰轿车logo相似，因此得名.如图，P是内的任意一点，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，总有优美等式：.    (1)若P是的内心，，延长AP交BC于点D，求； (2)若P是锐角的外心，，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据奔驰定理以及内切圆的性质可得，即可根据得，进而根据线性运算得,由共线即可求解， （2）根据奔驰定理以及外接圆的性质可得，即可得，结合三角恒等变换可得，即可根据函数的性质求解. 【解答过程】（1）由于P是的内心，设内切圆的半径为， 由可得，即， 由，不妨设， 故， 设，则, 故, 由于与共线，而与不共线， 因此必然，故，    （2）设外接圆的半径为, 则由得， 即， 由于，所以, 因此，又， 所以 , 由于三角形为锐角三角形，所以，解得， 故, 故当时，取最小值， 当或时，， 故.    16．（25-26高一下·上海金山·阶段检测）如图所示，点是所在平面上一点，并且满足，已知. (1)若实数，求证：； (2)若是的外心，求的值； (3)如果是的平分线上某点，则当达到最小值时，求. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【解题思路】（1）运用平面向量加法的几何意义，结合共线向量的性质进行证明即可； （2）根据三角形外心的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可； （3）根据三角形内心的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【解答过程】（1）证明：时，， ， ； （2） 设的中点为，显然， ， 由， 设的中点为，显然， ， 由， 即； （3）是的平分线上某点， ， ， ，当且仅当，即时取最小值， 所以， . 17．（25-26高一下·江西上饶·阶段检测）已知在中，点满足与交于点． (1)若，求的值； (2)判断能否为的外心，并证明你的结论； (3)若为钝角，过作直线的垂线，垂足为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)不可能为的外心，证明见解析； (3) 【解题思路】（1）通过已知条件得到关于的两种不同表达式，再利用向量基本定理列出方程组求解未知数，进而得出的值. （2）通过对已知向量等式进行整理、平方等操作，结合外接圆半径以及向量夹角余弦值的相关知识来得出矛盾，从而证明不可能为的外心. （3）依据向量的运算法则进行向量的线性运算，再利用向量垂直的性质得到关于的等式，最后结合角的范围求解的取值范围. 【解答过程】（1）由，得， 又三点共线， 可设， 由，得， 又三点共线， 可设， 因为不共线， 所以解得 所以， 所以． （2）不可能为的外心，证明： 假设是的外心，设的外接圆半径为， 由（1）得， 整理得， 两边平方得， 所以，矛盾， 所以不可能为的外心． （3）由（1）知，， 所以， 因为， 所以 ， 所以， 因为为钝角，所以，所以， 解得，即的取值范围是． 18．（25-26高一下·重庆·期末）阅读下列材料： 如图，已知点在锐角的内部，，，的面积记为，，，则．该结论因图像神似奔驰车标，因此称它为“奔驰定理”． 根据你对材料的理解请完成以下问题． (1)若为锐角的外心，请证明：； (2)若为锐角的内心，，，，且，求的值； (3)若为锐角的外心，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【解题思路】（1）求出三块三角形的面积，转化为 ，约去可得； （2）为的内心，则，再利用奔驰定理求解； （3）利用（1）的结论，得出,,,利用二倍角公式求出 ，，，从而得出. 【解答过程】（1）证明：设锐角的外接圆半径为，外心为，则,根据圆心角与圆周角的关系：，，， 三个小三角形的面积分别为： ， ， ， 由奔驰定理：，代入面积表达式： ， 两边同除以（），得： ， 证毕. （2）为的内心，内切圆半径为， 则三个小三角形面积是 ， ， ， 因此， 由奔驰定理得。 将向量用表示：,, , 代入奔驰定理等式： 整理得： 则 对比，得： ，所以 因此 （3）由（1）的结论，外心满足； 又，所以 设（）， 由三角形内角和，得， 因此, 所以，所以① 同理可得另外两个方程：② ③ 联立①②③解得：,,, 因为A,为锐角，所以，，， 由正弦定理 . 19．（25-26高一下·江西景德镇·期中）已知为三个内角的对边，且，线段边对应的高为的内心、重心、外心、垂心依次为点I、G、O、H． (1)求的高的长度； (2)若的角平分线交于，求，的值 (3)欧拉线定理：设的重心，外心，垂心分别是，，，则，，三点共线，且.请合理运用欧拉线定理，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1） 首先利用余弦定理求出，进一步求出，再利用正弦定理和三角形面积相等求出长； （2）根据角平分线定理，得到，再根据向量的几何运算求解即可. （3）由（2）同理可得，利用重心的性质和欧拉线定理求得，再利用外心的性质和数量积的定义求得的值. 【解答过程】（1）， 由三角形的面积相等得，，则. （2）因为内心是三角形三条角平分线的交点，故连接延长交于点，如图所示： 由角平分线定理， . （3）平分，由角平分线定理， ， 由重心的性质可知 由欧拉线定理，， ， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $