第六章 数列（举一反三综合训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 以数列核心概念为统领，整合等差等比性质、递推关系及数学文化，通过分层题型系统考查数学思维与表达能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-4、填空12-13|等差等比基本量计算|从定义到通项、前n项和公式的直接应用| |性质综合|单选5-6、多选9-10|前n项和性质及单调性分析|公式推导与性质拓展的逻辑关联| |创新探究|单选7、填空14、解答19|高阶等差及递推数列|从一阶差分到高阶概念的生成递进| |综合解答|解答15-18|数学文化与交汇证明|知识整合与数学语言表达的综合应用|

第六章 数列（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2026·河北沧州·一模）已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（2026·陕西榆林·二模）已知数列满足，则（    ） A．-1 B． C．2 D．3 3．（5分）（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，，若 是递增数列，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（5分）（2026·陕西西安·模拟预测）记为正项等比数列的前项和，若，，则（   ） A．24 B．30 C．36 D．48 5．（5分）（2026·山东青岛·三模）《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（2026·天津武清·模拟预测）等差数列的前n项和为，已知，则数列的前10项和为（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（2026·内蒙古呼和浩特·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列，高阶等差数列是指逐项差数之差或者高次差相等的数列，例如数列1，3，6，10，15，…的逐项差，，，，，…构成一个等差数列，则数列1，3，6，10，15，…是一个高阶等差数列（二阶等差数列），现有一个高阶等差数列，其前5项为2，3，6，11，18，则其第8项是（   ） A．38 B．51 C．66 D．83 8．（5分）（2026·广东广州·模拟预测）已知是首项为2，公比为2的等比数列，记，其中，记数列的前项和为，则（    ） A．9143 B．9145 C．10009 D．10154 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2026·广西·模拟预测）已知数列的前项和为，，且，则（   ）． A．不是等比数列 B． C． D． 10．（6分）（2026·吉林松原·模拟预测）已知公差为的等差数列的前项和为，则（　　） A． B． C．中最小 D．使成立的最小正整数的值为4050 11．（6分）（2026·安徽六安·模拟预测）已知数列满足，记数列的前n项和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2026·山东聊城·模拟预测）已知数列的前项和，则__________. 13．（5分）（2026·河北·模拟预测）已知数列为等差数列，为的前项和，若，则__________． 14．（5分）（2026·江苏淮安·模拟预测）已知递增等比数列前项和为，且，则数列的前项和为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2026·四川成都·三模）已知等比数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 16．（15分）（2026·山西忻州·模拟预测）记为数列的前项和，已知，是等差数列，且，． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 17．（15分）（2026·云南·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 18．（17分）（2026·河南郑州·二模）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)设数列的前项和 ①求； ②对于恒成立，求实数的最大值． 19．（17分）（2026·天津武清·模拟预测）对于数列（），记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，……，一般地，对于，记，规定：，，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列． (1)分别求出数列，的二阶差分数列，并判断是否为2阶等差数列； (2)已知数列满足，对，且，恒成立． （ⅰ）求证：数列为二阶等差数列； （ⅱ）令，求证：数列的前项和． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 数列（举一反三综合训练） （全国通用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2026·河北沧州·一模）已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用已知条件建立关于首项和公差的方程组求解. 【解答过程】由题意：，化简可得：， 所以，解得：. 故选：D. 2．（5分）（2026·陕西榆林·二模）已知数列满足，则（    ） A．-1 B． C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】利用递推公式先判断周期，利用周期数列即可求解. 【解答过程】解法1：由数列满足， 可取，则； 取，则； 取，则， 猜想数列是周期为3的周期数列，. 解法2：由得，，逐项代换可得， 数列是周期为3的周期数列，. 故选：C. 3．（5分）（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，，若 是递增数列，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合已知条件，利用数列的单调性即可求解. 【解答过程】因为数列为递增数列， ， 所以对恒成立， 化简整理得，对恒成立， 由二次函数性质知当时，有最小值，即， 所以，故实数的取值范围是. 故选：A. 4．（5分）（2026·陕西西安·模拟预测）记为正项等比数列的前项和，若，，则（   ） A．24 B．30 C．36 D．48 【答案】B 【解题思路】设出等比数列的首项和公比，结合等比数列的求和公式计算. 【解答过程】设正项等比数列的首项为，公比为， 则，， 因为， 得，解得或（舍去），所以， 则． 故选：B. 5．（5分）（2026·山东青岛·三模）《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设第所得钱数为钱，设数列、、、、的公差为，根据已知条件可得出关于、的值，即可求得的值. 【解答过程】设第所得钱数为钱，则数列、、、、为等差数列， 设数列、、、、的公差为， 则，解得，故. 故选：C. 6．（5分）（2026·天津武清·模拟预测）等差数列的前n项和为，已知，则数列的前10项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先利用等差数列的通项公式与前项和公式求解首项和公差，得到的表达式后对裂项，通过裂项相消法计算前10项和 【解答过程】设等差数列的公差为， 由等差数列通项公式，结合可得：，即， 由等差数列前项和公式，结合可得：，即. 将代入上式，解得，， 因此，故. 设的前10项和为， 则， 故选：B. 7．（5分）（2026·内蒙古呼和浩特·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列，高阶等差数列是指逐项差数之差或者高次差相等的数列，例如数列1，3，6，10，15，…的逐项差，，，，，…构成一个等差数列，则数列1，3，6，10，15，…是一个高阶等差数列（二阶等差数列），现有一个高阶等差数列，其前5项为2，3，6，11，18，则其第8项是（   ） A．38 B．51 C．66 D．83 【答案】B 【解题思路】由高阶等差数列的定义，通过列举即可求解. 【解答过程】由， ， ， ，可知： ，即 ，即 ，即， 即第8项是， 故选：B. 8．（5分）（2026·广东广州·模拟预测）已知是首项为2，公比为2的等比数列，记，其中，记数列的前项和为，则（    ） A．9143 B．9145 C．10009 D．10154 【答案】D 【解题思路】由题意得，结合题意可得，当时，，利用等差数列的前项和公式求出这10 项和，当时，，这些项的和为，利用分组求和法及等差数列、等比数列的前项和公式求解，再加上时的10项和即可求解. 【解答过程】由题意得， ，，， 所以， 当时，， 共10项，这10项的和为, 其余项有项， 当时，， 这些项的和为 ， 所以. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2026·广西·模拟预测）已知数列的前项和为，，且，则（   ）． A．不是等比数列 B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】当时，可求出的值；当时，由得，两式作差可得出，可求出数列的通项公式，逐项判断即可. 【解答过程】因为数列的前项和为，，且， 当时，， 当时，由得， 上述两个等式作差得，可得，但， 所以数列从第二项开始成公比为的等比数列， 故当时，，所以， 对于A选项，数列不是等比数列，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：ACD. 10．（6分）（2026·吉林松原·模拟预测）已知公差为的等差数列的前项和为，则（　　） A． B． C．中最小 D．使成立的最小正整数的值为4050 【答案】ABD 【解题思路】先根据已知条件判断的符号，进而可判断公差的符号，然后根据等差数列的通项公式和前项和公式逐项判断即可. 【解答过程】因为，所以，即，故A正确；，故B正确； 由，得当时，，当，， 所以当时，最小，故C错误； 结合C选项中数列各项的符号可知： ， , 所以使成立的最小正整数的值为4050，故D正确． 故选：ABD． 11．（6分）（2026·安徽六安·模拟预测）已知数列满足，记数列的前n项和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】分析数列中项的规律：奇数项构成等差数列，偶数项构成等比数列，通过等差、等比数列的通项公式及分组求和法、等差等比公式求和法可逐一判断. 【解答过程】因为， 所以当为奇数时，， 即数列的奇数项按先后顺序构成首项为，公差为1的等差数列， 记为数列，则； 当为偶数时，，且， 即数列的偶数项按先后顺序构成首项为，公比为2的等比数列， 记为数列，则. 对于A，因为，，所以是数列的第3项，是数列的第3项， 所以，，所以，故A正确. 对于C，当，时，，，所以； 当，时，，，所以； 综上，，故C正确. 对于B， ，故B错误. 对于D， ，，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2026·山东聊城·模拟预测）已知数列的前项和，则__________. 【答案】29 【解题思路】由数列前项和的定义即可得 【解答过程】根据题意可得. 故答案为：. 13．（5分）（2026·河北·模拟预测）已知数列为等差数列，为的前项和，若，则__________． 【答案】2027 【解题思路】利用等差数列性质得到，再利用求和公式 化简求值. 【解答过程】由等差数列性质知， 则． 故答案为：2027. 14．（5分）（2026·江苏淮安·模拟预测）已知递增等比数列前项和为，且，则数列的前项和为__________． 【答案】 【解题思路】根据等比数列的通项公式及前项和公式得到方程组，求出和，即可得到，从而得到，再利用裂项相消法求和即可； 【解答过程】由于，则， 解得或，因为等比数列为递增数列，， 所以 所以，故. 因为， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2026·四川成都·三模）已知等比数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等比数列的定义及的关系求解即可； （2）利用错位相减法求和即可. 【解答过程】（1）当时，， 相减可得当，即，． 因为是等比数列，． 当时，，可解得． 数列的通项公式为． （2）∵， ∴，① ①3得，② 由①②得， 即， 化简得． 16．（15分）（2026·山西忻州·模拟预测）记为数列的前项和，已知，是等差数列，且，． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) ， (2) 【解题思路】（1）对利用前项和与通项的关系推导其为等比数列求通项，对利用等差数列基本量求公差得通项； （2）数列为等差乘等比的结构，采用错位相减法求解前项和. 【解答过程】（1）当时，，解得； 当时，，整理得，故是首项为2、公比为2的等比数列， ， 设等差数列的公差为，由，得，解得， . （2）由（1）得，故①， 又②， ①②得，化简得， . 17．（15分）（2026·云南·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用，结合等差数列的定义求得. （2）对进行分类讨论，利用裂项求和法、错位相减求和法求得. 【解答过程】（1）由，得，当时，，即， 又，所以．当时，， 所以， 即，整理得， 因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以． （2）由（1）得， ①当n为偶数时， ， 设，则， 令，所以， 两式相减得：， ， 所以，所以； ②当n为奇数时， ， 所以． 18．（17分）（2026·河南郑州·二模）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项． (1)求和的通项公式； (2)设数列的前项和 ①求； ②对于恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)， (2)①；② 【解题思路】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式及等比数列的通项公式求解； （2）①求出，利用错位相减法求和.②将代入恒成立不等式：，从而得到对恒成立，设，问题转化为求,利用单调性求出的最小值，从而得到的最大值. 【解答过程】（1）因为数列是等差数列，，， 所以， 解得，则. 则，则 ，，， 因为，所以 ， 则 ，. （2）①由（1）得，代入数列通项：， 因此数列前项和为：， 将上式两边同乘公比：， 用错位相减法，作差： ， . ②将代入恒成立不等式：， 解得： ，即：对恒成立， 设，问题转化为求, , 当时， ， ，数列单调递减； 当时， ，，数列单调递增， 因此数列在处取得最小值，， 因此的最大值为. 19．（17分）（2026·天津武清·模拟预测）对于数列（），记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，……，一般地，对于，记，规定：，，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列． (1)分别求出数列，的二阶差分数列，并判断是否为2阶等差数列； (2)已知数列满足，对，且，恒成立． （ⅰ）求证：数列为二阶等差数列； （ⅱ）令，求证：数列的前项和． 【答案】(1)数列不是2阶等差数列；数列是2阶等差数列； (2)（ⅰ）证明见解析； （ⅱ）证明见解析 【解题思路】（1）根据二阶差分数列及2阶等差数列的定义逐一判断即可； （2）（ⅰ）取，根据二阶等差数列的定义证明即可； （ⅱ）由（ⅰ）可知，利用累加法可得，中，，可求得，从而得，代入，利用放缩法可得，利用错位相减即可得证. 【解答过程】（1）由数列的阶差分数列可得： 数列的一阶差分数列为， 二阶差分数列为， 此差不是不为0的常数， 故数列不是2阶等差数列； 数列的一阶差分数列为 二阶差分数列为， 故数列是2阶等差数列； （2）（ⅰ）证明：取，则有， 又因为， 所以，， 所以， 所以， 所以数列为二阶等差数列； （ⅱ）证明：由（ⅰ）可知， 令， 则， 所以是等差数列，首项为，公差， 所以， 即， 当时，， ， ， 将以上个式子相加，得， 所以， 所以， 在中，取， 得，所以 即，解得， 所以， 所以， 设数列的前项和为， 所以， ， 两式相减，得 ， 所以, 所以，得证. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $