数列 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦数列核心概念，覆盖等差等比基本计算、性质应用及综合证明，题型全面且注重知识逻辑链构建，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|单选1-6、填空12-13（约9题）|考查等差等比通项、前n项和基本量运算|从定义出发，推导通项与求和公式，形成“概念-公式-计算”逻辑链| |性质应用|单选7-8、多选9-11（约5题）|结合中项、下标和性质及实际问题（如“两鼠穿墙”）|通过性质拓展公式应用，建立“公式-性质-应用”关联| |综合应用|解答15-19（5题）|递推数列证明、求和及参数求解|整合定义、性质与转化思想，体现“基础-综合-迁移”递进逻辑|

高中数学人教A版选择性必修二第四章数列 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C A C C C C BC AC 题号 11 答案 ABD 1．A 【解析】根据等比数列的性质可知，，由此即可求出，再根据等比数列的通项公式，和，即可求出结果. 【详解】设等比数列的共比为， 由题意，， 故， 解得． ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，属于基础题. 2．D 【分析】求出基本量，即可求解. 【详解】解：，所以，又，所以， 所以， 故选：D 3．C 【分析】设等差数列的公差为，根据，，可得，，．即可得出结论． 【详解】设等差数列的公差为， ， ，，． ，，，与是的最大值． 因此A，B，D正确． 对于C．，可得，因此不正确． 故选：A B D 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4．A 【分析】通过递推式求出数列前几项可得数列为周期数列，利用数列的周期性可得答案. 【详解】，，， 可得数列是以3为周期的周期数列， . 故选：A. 【点睛】本题考查数列的周期性，关键是通过递推式求出前几项观察出周期，是基础题. 5．C 【分析】根据题意，设{an}公比为q，由等比数列的通项公式可得6﹣6q2+6q4＝78，解可得q2的值，计算可得答案 【详解】根据题意，等比数列{an}中，设其公比为q， 已知a3＝6，a3﹣a5+a7＝78，则6﹣6q2+6q4＝78，解可得q2＝4或q2＝﹣3，舍； 故a5＝6q2＝24， 故选：C． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的性质，属于基础题． 6．C 【解析】设数列{an}的公差为d，利用基本量运算可得公差． 【详解】设数列{an}的公差为d，∵a4＝0，S9＝﹣9， ∴a1+3d＝0，9a1+36d＝﹣9. 解得d＝﹣1. 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列的基本量运算，考查等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题． 7．C 【解析】利用等比数列的性质计算出和，进而求得的值． 【详解】{an}为等比数列，a4+a7＝2，a5a6＝﹣8， 由等比数列的性质，a5a6＝﹣8＝a4a7， 或， 当时，， 则＝＝﹣8+1＝﹣7， 当时，q3＝﹣2， 则＝＝﹣8+1＝﹣7， 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等比数列的基本量运算，属于基础题． 8．C 【解析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，再分别求和构造等式求出的值. 【详解】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列， 则，所以. 设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列， 则，所以. 所以，即，化简得 解得：或(舍) 故选：C 9．BC 【解析】根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果. 【详解】由等差中项的性质可得为定值，则为定值，为定值，但不是定值. 故选：BC. 【点睛】本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 10．AC 【解析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】对于选项A，取前六项得：，满足条件； 对于选项B，取前六项得：，不满足条件； 对于选项C，取前六项得：，满足条件； 对于选项D，取前六项得：，不满足条件； 故选：AC 11．ABD 【分析】利用等差数列的前n项和，逐一验证即可出答案. 【详解】本题考查等差数列．设甲各月工资组成数列，乙各月工资组成数列，易知因为，所以选项正确；因为，所以选项正确；因为甲前11个月工资总收入为元，乙前11个月工资总收入为元，所以选项不正确，选项正确． 12． 【分析】设等比数列的公比为，由于，，成等差数列，可得，由此即可求出，进而求出结果. 【详解】设等比数列的公比为； ∵，，成等差数列， ∴， ∴， ∴ ， 所以是以首项为1，公比为的等比数列； ∴. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和等差中项的应用，属于基础题. 13． 【解析】先求出公差，再求出a､c即可. 【详解】2､a､b､c､8成等差数列,所以，所以,, 所以， 故答案为： 【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题. 14． 【分析】设等比数列的公比为，利用，，成等差数列求出的值，化简并代入求值即可． 【详解】设等比数列的公比为 由，得，解得(负值舍) 则 故答案为： 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的定义，得出要求的比值为q是解决问题的关键，属基础题． 15．（1）；（2）. 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意得出关于和的方程组，解出这两个量的值，然后利用等比数列的通项公式可求出数列的通项公式； （2）利用等比数列的求和公式求出，然后解方程可得的值. 【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意可得，解得， 因此，数列的通项公式为； （2），由，解得. 【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了利用等比数列的求和公式求参数，考查计算能力，属于基础题. 16．an＝﹣3n+10； 【解析】利用等差数列的求和公式计算出数列的首项和公差，进而可得通项公式和前项和． 【详解】∵{an}是首项为a1，公差为d的等差数列， Sn是其前n项的和，S5＝5，S6＝﹣3. ，解得 ∴an＝7+（n﹣1）（﹣3）＝﹣3n+10， ∴ 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式，考查学生计算能力，属于基础题． 17．（1）an＝2n；（2）. 【解析】（1）利用等差数列的基本量运算可得公差d，进而可得数列{an}的通项公式； （2）求出bn，利用裂项相消法求和可得Sn. 【详解】（1）等差数列{an}为递增数列，可得公差d＞0， 由a1＝2，a32+a42＝a52，可得（2+2d）2+（2+3d）2＝（2+4d）2， 解得d＝2（﹣舍去）， 则an＝2+2（n﹣1）＝2n； （2）bn＝， 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列的求和，属于基础题． 18．证明过程见详解，. 【分析】根据题意即可证明，从而确定为等比数列，再由等比数列的通项公式即可求解的通项公式. 【详解】因为，所以， 又，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列， 则，所以 19．（1）证明见解析，；（2）11. 【分析】（1）由，可得当时，，利用数列的递推关系式结合等比数列的定义可证得数列为等比数列，进而得出数列的通项公式； （2）利用错位相减法得出数列的前项和为，令，判断出数列的单调性，将数列的最值代入，可得正整数的最小值． 【详解】（1）证明：当时，，则. 当时，，即， 即，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列. 因为，所以. （2）由题设，，则， 从而. 两式相减，得， 所以. 令，则当时， ， 所以数列为递增数列. 因为，， 所以满足不等式的的最小值为11. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版选择性必修二第四章数列 一、单选题 1．在等比数列中，，，则 （　　） A． B． C． D．4 2．在等差数列中，若，则（    ） A．20 B．24 C．27 D．29 3．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论错误的是（    ）． A． B．与是的最大值 C． D． 4．在数列中，，（，），则（    ） A． B．1 C． D．2 5．在等比数列{an}中，已知a3＝6，a3﹣a5+a7＝78，则a5＝（　　） A．12 B．18 C．24 D．36 6．记Sn为等差数列{an}的前n项和，且a4＝0，S9＝﹣9，则数列{an}的公差是（    ） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 7．已知{an}为等比数列，a4+a7＝2，a5a6＝﹣8，则＝（    ） A．7 B．±7 C．﹣7 D．﹣5 8．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、多选题 9．等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也为定值的有 A． B． C． D． 10．已知数列，则前六项适合的通项公式为（    ） A． B． C． D． 11．两位大学毕业生甲､乙同时开始工作．甲第1个月工资为4000元，以后每月增加100元．乙第一个月工资为4500元，以后每月增加50元，则（    ） A．第5个月甲的月工资低于乙 B．甲与乙在第11个月时月工资相等 C．甲､乙前11个月的工资总收入相等 D．甲比乙前11个月的工资总收入要低 三、填空题 12．已知是首项为1的等比数列，若，，成等差数列，则_______. 13．若2､a､b､c､8成等差数列，则___________. 14．在各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则的值是________. 四、解答题 15．等比数列中，，． （1）求的通项公式； （2）记为的前项和，若，求． 16． 已知{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，Sn是其前n项的和，S5＝5，S6＝﹣3.求数列{an}的通项an及Sn. 17．已知等差数列{an}为递增数列，且满足a1＝2，a32+a42＝a52. （1）求数列{an}的通项公式； （2）令bn＝（n∈N*），Sn为数列{bn}的前n项和，求Sn. 18.已知数列满足，证明为等比数列，并求的通项公式. 19．设数列的前项和为，已知. （1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求满足不等式的正整数的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $