第六章 数列（综合训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦数列核心概念与性质，通过基础计算、性质应用及创新题型，系统训练数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|选择1-3、填空12|基本量计算、等差等比定义应用|从定义生成通项公式与前n项和公式，构建概念推导链条| |性质综合|选择5-7、多选9-10|单调性、最值、前n项和性质|结合函数、不等式分析数列性质，体现知识交叉逻辑| |创新拓展|选择4、11、14、解答19|新定义、交叉学科、实际情境|通过“0-1数列”“完全随机数列”等迁移概念，建立数学与现实世界的表达联系|

第六章 数列（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知三个正数，，成等比数列，且，，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】D 【详解】因为三个正数，，成等比数列， 所以，又，所以，则， 又， 所以． 2．设等差数列的前项和为，若，则数列的公差为（    ） A．6 B．3 C．-3 D．-4 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为， ， 所以， 即， 整理得：， 解得 3．某装置按如下规则亮灯：第1次亮2盏灯，以后每次亮灯数比前一次多3盏．现将每连续两次的亮灯数合并为一组，记第组亮灯总数为．若为该装置每次亮灯数，则数列的公差为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【详解】由题意，是首项为2、公差为3的等差数列， 所以． 于是． 即． 所以. 4．我们把由0和1组成的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列（，）中的奇数换成0，偶数换成1可得到数列，若数列的前项和为，且，则的值可能是（   ） A．100 B．201 C．302 D．399 【答案】C 【详解】因为，， 所以， 所以数列的前若干项为： ， 则， 所以，， ，. 故选：C. 5．已知正项等比数列的前项和为，，，则数列中的最大项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为（）， 由，，知， 即，解得， 所以，， 所以. 当为奇数时，； 当为偶数时，， 所以数列的奇数项递增，偶数项递减，因此最大项一定出现在偶数项中， 则最小的偶数的对应项最大，此时， 故最大项为. 6．正项数列的前项积为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意当时，可得，即，解得或（舍）； 当时，，可得， 由可得， 所以， 整理可得，即， 又因为数列的各项为正，所以，可得， 因此， 由此可知数列是以为首项，公差为的等差数列， 因此， 所以，可得. 7．已知等差数列的首项，且满足.若，令，数列的前项和为，则当时，的最大值为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】C 【详解】设数列的公差为，则， 所以，， 因为，所以， 解得，所以， 又因为，， 所以， 所以， 当，即，则， 当时，， 当时，， 数列是单调递增数列，数列是单调递减数列， 所以的最大值为9. 8．设为不超过的最大整数，若数列的通项公式为，记的前项和为，则使得的最大正整数的值为（    ） A．42 B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】已知是不超过的最大整数，设（为整数）， 则. 变形得，即. 因为是正整数，所以的整数取值为，所以对，满足的正整数共有个，每个项的值为，该组的和为. 我们分组计算前项和的累计值： ：共项，和为，累计和，对应最大； ：共项，和为，累计和，对应最大； ：共项，和为，累计和，对应最大； ：共项，和为，累计和，对应最大； ：共项，和为，累计和，对应最大. 当时，满足的的取值范围为，设还可以取个这样的项，则， 解得，即最大取.总，此时； 若，，不符合要求. 因此使得的最大正整数为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记等差数列 的前 项和为 ，已知 ，，则（   ） A． B． C． D． 的最小值为 【答案】BCD 【详解】对于A：设等差数列的公差为，由，， 则，解得，所以，故A错误； 对于B：，所以，故B正确； 对于C：，则，，，，，， 当且时，， 得到，所以，所以，故C正确； 对于D：因为，所以当时，取最小值， 且最小值为，故D正确. 10．设周期数列的前项和为，若，则的取值可以为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】ABC 【详解】因为数列的是周期数列，又， 数列在一个周期内的所有项的和为0，如周期若为3，则， 则会逐渐增大或逐渐减小，不满足， 所以，则或或， 解得或或， 如时，，周期为4的数列的前4项为符合题意， 如时，，周期为4的数列的前4项为，符合题意， 如时，，周期3的数列的前3项为，符合题意. 故选：ABC. 11．已知数列，数列满足.若在数列中去掉所有与数列中某项的值相同的项，余下的项组成数列，则（    ） A． B．中存在连续三项成等比数列 C． D． 【答案】ACD 【详解】因为，所以，又因为，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即， 所以，故A正确； 由于，， 所以数列是首项为，公差为2的等差数列，即， 假设中存在连续三项成等比数列，设为：， 则， 化简得：，即等式无解； 所以中不存在连续三项成等比数列，故B错误； 由于，所以，故C正确； 数列的项在数列中对应的位置满足：， 即，即中被去掉的项为： ，，即第一项， ，，即第三项， ，，即第七项， ，，即第十五项， 所以,故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，则__________. 【答案】12 【详解】解：由，，成等比数列，则， 又是公差不为零的等差数列，设公差为， 则，化简整理得，解得或（舍）， 所以. 13．数列满足，，且对任意，都有.若是数列中第一个大于100的项，则______. 【答案】11 【详解】令. 由得， 所以数列是公差为2的等差数列， 又，所以. 所以 当，， ， … ， ， 将以上个等式左右两边分别相加得 ， 所以，因为也满足，所以， 要找第一个大于100的项，即，所以 所以第一个大于100的项是第11项，所以. 14．已知为数列的前项和，记，且满足．给出下列四个结论： ①的第1项等于； ②数列为等差数列； ③为递减数列； ④当时，存在．其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【详解】由，可得， 当时，，所以，故，故①正确； 当时，，代入， 可得，所以， 所以是首项为，公差为的等差数列，故②正确； 得， 由，可得， 当时，也满足上式， 当时，， 当时，， ， 所以当时，数列单调递增，故③错误； 当时，，满足， 所以当时，存在，故④正确. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知数列满足，对且，． (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【详解】（1）当时，， 1分 当时，，有， 整理有，即有， 3分 由，所以，所以数列是等比数列. 4分 （2）由（1）知，，即， 当时，，……，， 相加有， 所以有， 7分 当时也成立，从而， 8分 记数列的前项和为，则， ，① 可得，② 10分 ①②，， 所以， 12分 故. 13分 16．（15分）已知数列的前项和为，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是公差为2的等差数列，且．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值． 【详解】（1）由等差数列性质得： ①， 当时，，解得， 1分 当时，有： ②， ①-②得：， 整理得： ， 4分 因此是首项为，公比为2的等比数列， 故. 6分 （2）设，代入得： ， 因此，是首项为，公差为的等差数列， 8分 令，即，得，为正整数， 故所有的都在中（小于，不在中）， 要得到的前30项，即从前项中去掉个属于的项，满足， 去掉的项为，共个（，故不在的前35项中）， 故，即的前30项和等于前35项和减去5个的和， 11分 前35项和：， 13分 去掉的5个的和：， 因此. 15分 17．（15分）设数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和； (3)令，记数列的前n项和为，求证：． 【详解】（1）由，当时，，解得， 1分 当，，则，即， 3分 故是公比为3的等比数列，，所以，也适合此式，. 5分 （2）因为所以，. 从而， ， 7分 两式相减得:， ， 9分 解得 10分 （3）由（1）可知：，， 12分 ， 14分 ， 所以{}为递增数列，， 所以. 15分 18．（17分）已知正项等比数列满足且，，成等差数列． (1)求及其的前项和； (2)从，，，…，中任取三项，求这三项按照原顺序排列依然构成等比数列的概率； (3)设每项均不为的数列满足、均为等比数列．证明：为等比数列． 【详解】（1）设的公比为，且． 依题意得， 2分 解得， 3分 所以，． 5分 （2）记事件“这三项按照原顺序排列依然构成等比数列”， 则事件包含如下基本事件：，，；，，；……；，，； ，，；，，；……；，，； ，，；，，；，，；，，； ，，；，，； 则， 8分 于是． 10分 （3）因为、均为等比数列， 所以， 13分 整理得， 上述两式相加得， 15分 又数列的每项均不为0，所以为等比数列． 17分 19．（17分）将数列中的各项随机排列后构成一个数列为，则称是的一个“随机数列”；若中的各项均满足，则称是的“完全随机数列”，记的“完全随机数列”的个数为. (1)直接用表示的最小值和最大值；（不需要写出过程） (2)分别计算，并证明：是公比为的等比数列； (3)若从中随机选取一个数列，记此数列是的“完全随机数列”的概率为，证明：. 【详解】（1）最小值为， 1分 最大值为. 2分 (2)，，，，证明如下： 显然； 当时，为数列1，2， 则其完全随机数列必为2，1， 故； 4分 当时，为数列， 则完全随机数列可以为或， 故； 5分 当时，为数列，为得到数列的完全随机数列， 可先排1，有3种排法，比如1排到2的位置，那就再排2，也有3种排法，剩下的两个数字只有1种排法， 由乘法原理可得. 7分 当数列有项时，其“完全随机数列”的排法可以分为两个步骤： 第一步：随机排且不排在第项的位置，有种排法； 8分 第二步：随机排其余项，根据第一步的排法，可以分为两类； 第一类：若.排在第项的位置，但不排在第项的位置，这样的排法有种； 第二类：若排在第项的位置，排在第项的位置，这样的排法有种， 10分 所以由计数原理得，又， 所以， 12分 所以数列是公比为的等比数列. 13分 (3)证明如下： 由（2）得， 所以， ， ， ， 以上各式相加可得， 所以， 15分 又数列的随机数列的个数为， 所以. 17分 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 数列（综合训练） 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D B D C B D C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD ABC ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．12 13．11 14．①②④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．【详解】（1）当时，， 1分 当时，，有， 整理有，即有， 3分 由，所以，所以数列是等比数列. 4分 （2）由（1）知，，即， 当时，，……，， 相加有， 所以有， 7分 当时也成立，从而， 8分 记数列的前项和为，则， ，① 可得，② 10分 ①②，， 所以， 12分 故. 13分 16．【详解】（1）由等差数列性质得： ①， 当时，，解得， 1分 当时，有： ②， ①-②得：， 整理得： ， 4分 因此是首项为，公比为2的等比数列， 故. 6分 （2）设，代入得： ， 因此，是首项为，公差为的等差数列， 8分 令，即，得，为正整数， 故所有的都在中（小于，不在中）， 要得到的前30项，即从前项中去掉个属于的项，满足， 去掉的项为，共个（，故不在的前35项中）， 故，即的前30项和等于前35项和减去5个的和， 11分 前35项和：， 13分 去掉的5个的和：， 因此. 15分 17．【详解】（1）由，当时，，解得， 1分 当，，则，即， 3分 故是公比为3的等比数列，，所以，也适合此式，. 5分 （2）因为所以，. 从而， ， 7分 两式相减得:， ， 9分 解得 10分 （3）由（1）可知：，， 12分 ， 14分 ， 所以{}为递增数列，， 所以. 15分 18．【详解】（1）设的公比为，且． 依题意得， 2分 解得， 3分 所以，． 5分 （2）记事件“这三项按照原顺序排列依然构成等比数列”， 则事件包含如下基本事件：，，；，，；……；，，； ，，；，，；……；，，； ，，；，，；，，；，，； ，，；，，； 则， 8分 于是． 10分 （3）因为、均为等比数列， 所以， 13分 整理得， 上述两式相加得， 15分 又数列的每项均不为0，所以为等比数列． 17分 19．【详解】（1）最小值为， 1分 最大值为. 2分 (2)，，，，证明如下： 显然； 当时，为数列1，2， 则其完全随机数列必为2，1， 故； 4分 当时，为数列， 则完全随机数列可以为或， 故； 5分 当时，为数列，为得到数列的完全随机数列， 可先排1，有3种排法，比如1排到2的位置，那就再排2，也有3种排法，剩下的两个数字只有1种排法， 由乘法原理可得. 7分 当数列有项时，其“完全随机数列”的排法可以分为两个步骤： 第一步：随机排且不排在第项的位置，有种排法； 8分 第二步：随机排其余项，根据第一步的排法，可以分为两类； 第一类：若.排在第项的位置，但不排在第项的位置，这样的排法有种； 第二类：若排在第项的位置，排在第项的位置，这样的排法有种， 10分 所以由计数原理得，又， 所以， 12分 所以数列是公比为的等比数列. 13分 (3)证明如下： 由（2）得， 所以， ， ， ， 以上各式相加可得， 所以， 15分 又数列的随机数列的个数为， 所以. 17分 答案第2页，共2页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 数列（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知三个正数，，成等比数列，且，，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 2．设等差数列的前项和为，若，则数列的公差为（    ） A．6 B．3 C．-3 D．-4 3．某装置按如下规则亮灯：第1次亮2盏灯，以后每次亮灯数比前一次多3盏．现将每连续两次的亮灯数合并为一组，记第组亮灯总数为．若为该装置每次亮灯数，则数列的公差为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 4．我们把由0和1组成的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛应用，把斐波那契数列（，）中的奇数换成0，偶数换成1可得到数列，若数列的前项和为，且，则的值可能是（   ） A．100 B．201 C．302 D．399 5．已知正项等比数列的前项和为，，，则数列中的最大项为（    ） A． B． C． D． 6．正项数列的前项积为，且，则（   ） A． B． C． D． 7．已知等差数列的首项，且满足.若，令，数列的前项和为，则当时，的最大值为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 8．设为不超过的最大整数，若数列的通项公式为，记的前项和为，则使得的最大正整数的值为（    ） A．42 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记等差数列 的前 项和为 ，已知 ，，则（   ） A． B． C． D． 的最小值为 10．设周期数列的前项和为，若，则的取值可以为（   ） A． B．0 C．1 D．2 11．【新考法】已知数列，数列满足.若在数列中去掉所有与数列中某项的值相同的项，余下的项组成数列，则（    ） A． B．中存在连续三项成等比数列 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列，则__________. 13．数列满足，，且对任意，都有.若是数列中第一个大于100的项，则______. 14．【新考法】已知为数列的前项和，记，且满足．给出下列四个结论： ①的第1项等于；②数列为等差数列； ③为递减数列；④当时，存在．其中所有正确结论的序号是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知数列满足，对且，． (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 16．（15分）【新考法】已知数列的前项和为，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是公差为2的等差数列，且．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值． 17．（15分）设数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和； (3)令，记数列的前n项和为，求证：． 18．（17分）【新角度】已知正项等比数列满足且，，成等差数列． (1)求及其的前项和； (2)从，，，…，中任取三项，求这三项按照原顺序排列依然构成等比数列的概率； (3)设每项均不为的数列满足、均为等比数列．证明：为等比数列． 19．（17分）【新定义】将数列中的各项随机排列后构成一个数列为，则称是的一个“随机数列”；若中的各项均满足，则称是的“完全随机数列”，记的“完全随机数列”的个数为. (1)直接用表示的最小值和最大值；（不需要写出过程） (2)分别计算，并证明：是公比为的等比数列； (3)若从中随机选取一个数列，记此数列是的“完全随机数列”的概率为，证明：. 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $