江西省抚州市2025届高三第一次大联考数学试卷

2025届新高三第一次大联考 高三数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．某高中为鼓励全校师生增强身体素质，推行了阳光校园跑的措施，随机调查7名同学在某周周日校园跑的时长（单位：分钟），得到统计数据如下：．则该组数据的中位数和平均数分别为（ ） A．60，58 B．60，60 C．55，58 D．55，60 3．已知为实数，则（ ） A． B．2 C．1 D． 4．曲线低点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 5．已知锐角满足，则（ ） A． B． C． D． 6．过点的直线与曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的右焦点为，过且斜率为1的直线与交于两点，若线段的中点在直线上，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形中，为边上异于端点的一点，且，则（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知双曲线，则（ ） A．的取值范围是 B．时，的渐近线方程为 C．的焦点坐标为 D．可以是等轴双曲线 10．下列函数中，存在数列使得和都是公差不为0的等差数列的是（ ） A． B． C． D． 11．已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．二项式的展开式中的系数为__________． 13．已知函数在区间内恰有两个极值点，则实数的取值范围为__________． 14．已知三个正整数的和为8，用表示这三个数中最小的数，则的期望__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）2024年全国田径冠军赛暨全国田径大奖赛总决赛于6月30日在山东省日照市落幕．四川田径队的吴绝妮以12秒74分的成绩打破了100米女子跨栏的亚洲纪录，并夺得了2024年全国田径冠军赛女子100米跨栏决赛的冠军，通过跑道侧面的高清轨道摄像机记录了该运动员时间（单位：s）与位移（单位：m）之间的关系，得到如下表数据： 2.8 2.9 3 3.1 3.2 24 25 29 32 34 画出散点图观察可得与之间近似为线性相关关系． （1）求出关于的线性回归方程； （2）记，其中为观测值，为顶测值，为对应的残差，求前3项残差的和． 参考数据：，参考公式：． 16．（15分）已知的内角的对边分别为，且． （1）证明：； （2）若，求的周长． 17．（15分）已知直线交抛物线于两点，为的焦点，且． （1）证明：； （2）求的取值范围． 18．（17分）如图，在棱长为4的正方体中，将侧面沿逆时针旋转角度至平面，其中，点是线段的中点． （1）当时，求四棱锥的体积； （2）当直线与平面所成的角为时，求的值． 19．（17分）定义：若对于任意，数列满足：①；②，其中的定义域为，则称关于满足性质． （1）请写出一个定义域为的函数，使得关于满足性质； （2）设，若关于满足性质，证明：； （3）设，若关于满足性质，求数列的前项和． 2025届新高三第一次大联考 高三数学参考答案及评分细则 1．【答案】D 【解析】，故．故选D． 2．【答案】B 【解析】将样本数据从小到大排列为．易得中位数为60，平均数为．故选B． 3．【答案】D 【解析】由题意可得，由为实数．得，即，则．故．故选D． 4．【答案】C 【解析】因为，所以在点处的切线紏率为．所以切线方程为．即．故选C． 5．【答案】A 【解析】因为．所以．注意到，而在上单调递减，从而，即．故选A． 6．【答案】B 【解析】由题意易知直线的斜率存在且不为0，设直线．曲线是以为圆心．1为半径的半圆（如图所示）．设曲线的下端点为，要使与曲线有两个交点．则应位于直线和切线之间．所以．由，由．得．故直线斜率的取值范围为．故选B． 7．【答案】D 【解析】设，由題意可知，线段的中点是直线与直线的交点，联立解得，另一方面．联立得．易知，由韦达定理得，解得，所以．故离心率．故选D． 8．【答案】B 【解析】由知为锐角．又因为，所以设，即，．由，得，又，故．则．因此，即．在中．由正弦定理，以及．整理计算得．故选B． 9．【答案】ACD（每选对1个得2分） 【解析】对于A，表示双曲线，，解得，故A正确；对于B，时，双曲线方程为，其渐近线方程为，故B错误；对于C，由A得，设C的半焦距为．则，故其焦点坐标为，故C正确；对于D，若C为等轴双曲线，则，故D正确，故选ACD 10.【答案】AD（每选对1个得3分） 【解析】该题可转化为判断选项所给函数与一次函数是否存在3个交点，且其中一个交点是另外两个交点的中点的相关问题，过原点的直线与的对称交点均满足题意，故A正确；由于与一次函数不可能有三个交点，故B错误；为偶函数，且与二次函数图象形状一致，与一次函数不可能有三个交点，故C错误；过原点的直线可以与奇函数存在三个交点，故D正确，故选AD． 11.【答案】ABC（每选对1个得2分） 【解析】由题意，且，即①，用替换中的，得②．由①+②得，所以的图象关于点对称．且，故A正确；由，可得，．所以．所以是以8为周期的周期函数，故B正确；由①知，则，所以，故C正确；又因为，所以，令，则有，令．则有，令，则有，所以．所以，故D错误．故选ABC． 12．【答案】15 【解析】由二项式的展开式的通项为，令得其展开式中的系数为． 13．【答案】 【解析】由题意可得，当时，，由函数在内恰有两个极值点，可知，解得． 14．【答案】 【解析】设这三个正整数分别为，则题意可得，所以随机变量可能取值为1和2．用隔板法可求得：事件总情况为种，当时，分两种情况：①三个数中只有一个1，有种；②三个数中有两个1，有种．所以时，；当时．也分两种情况：①三个数中只有一个2，有种；②三个数中有两个2，有种，所以时，，所以． 15．解：（1）依题意可得．（1分） 所以关于的线性回归方程为（6分） （2）根据（1）得到；（8分） 所以 【评分细则】 第二问中计算出一个残差给2分．少算或算错一个扣2分． 16．（1）证明：由，得， 由正弦定理得．（5分） 因为，所以． （2）解：因为，所以， 由余弦定理得． 即．解得， 所以的周长为． 【评分细则】 第一问未说明的不扣分． 17．（1）证明：由题意联立得， ． （2）解：设，由（1）得， ，即， 即 整理得． 将代入并整理得，， ，且，解得或．（15分） 【评分细则】 第二问若只解出一个参数范围扣1分． 18．解：（1）由题意平面平面， 所以，又因为，得，所以， 因为， 所以， 故，又，故平面， 所以． （2）如图，易知两两垂直，以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 由题知，则， 故， 设平面的一个法向量为， 由得 取，得，故， 又， 即， 化简可得，解得或（舍去）． 【评分细则】 （1）求出给2分，求出给2分，体积正确给2分； （2）建系给2分．写出点坐标给1分，得出法向量再给3分． 19．（1）解：示例：（注：所有的定义城为R的偶函数均符合题意）． （2）证明：因为，所以， 移项得． 因为，所以．故． 由基本不等式，当且仅当时取到等号， 而．故，即． （3）解：由题意，，故． 设， 则． 故在上单调递增．而． 故时，时，， 因此在上单调递减．在上单调递增． 不妨设。因为。 所以当时，，当或时，， 且时，时，， 故对于任意，方程有且只有两个不同的根， 又，故的图象关于对称．故， 因此数列的前项和为． 【评分细则】 其他方法酌情给分。 学科网（北京）股份有限公司 $$