江西省抚州市2026-2027学年高一上学期开学自编模拟数学卷2（北师大版）

**基本信息** 2026-2027学年抚州高一开学模拟卷（北师大版必修第一册），聚焦集合、不等式、函数核心知识，通过基础选择、分层填空及综合解答题（如矩形折叠、集合S元素探究），考查数学抽象、逻辑推理与模型应用能力，适配开学衔接需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|集合运算、命题否定、充要条件|基础巩固，衔接初高中知识| |选择题（多选）|3/18|不等式性质、二次函数图象|多选项设计提升思维严谨性| |填空题|3/15|集合交集、最值问题、函数交点整数解|小切口考查数学语言表达| |解答题|5/77|集合运算、函数不等式、矩形折叠应用、集合S创新探究|矩形折叠题体现数学眼光观察现实世界，集合S问题培养逻辑推理与创新意识|

2026-2027学年江西省抚州市高一数学上学期开学自编模拟卷2 （北师大版2019） 一、单选题 1．已知集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由并集的定义求解即可. 【详解】由题意可知. 2．已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】因为，，所以，. 3．设：实数满足且，：实数满足，则是的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义，分别判断能否推出、能否推出即可得到结论. 【详解】充分性： 若实数满足且，根据不等式的同向可加性， 可得，即，因此是的充分条件. 必要性： 取反例：令，此时，满足， 但，不满足，即，因此不是的必要条件. 综上，是的充分条件. 4．已知，下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ ，根据不等式性质，不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变， ∴ ， 不等式两边加同一个常数，不等号方向不变， ∴ ，因此A错误； ∵ 不等式两边减同一个常数，不等号方向不变， ∴ ，因此B正确； ∵ 不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变， ∴ ，因此C正确； 不等式两边减，得，因此D正确． 5．的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 【答案】B 【详解】，当且仅当，即时取等. 6．，，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为有两个不等根，其中一根小于，另一根为即可求解. 【详解】因为，， 所以有两个不等根，其中一根小于，另一根为， 则，即，故B、D选项错误； 消元解得，故A错误，C选项正确. 7．，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D．10 【答案】A 【分析】先排除的情况，再根据一元二次不等式恒成立，得出的值，最后利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】当时，不会恒成立，所以， 所以，即， 所以，，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 故选：A. 8．已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对不等式进行变形，然后利用已知条件，将其转化为关于的函数，再通过均值不等式求函数的最值来确定实数的取值范围. 【详解】令，则代入得， 将代入原不等式，得， 两边同时除以，得， 把代入，得， 即， 由均值不等式可得，，当且仅当，即时等号成立，， 恒成立， 故实数的取值范围为. 故选：. 二、多选题 9．以下四个命题中，是真命题的是（   ） A． B．存在整数x，y，使得 C．，二次函数的图象都关于轴对称 D．若命题，则的否定为： 【答案】AC 【分析】逐项判断各选项的正确性即可. 【详解】对于A，显然为真命题； 对于B，一定为偶数，故B选项为假命题； 对于C，设，易知其定义域为，又，所以为偶函数，故C选项为真命题； 对于D，若命题，则p的否定为：，故D选项为假命题， 故选：AC. 10．设正实数，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式依次判断选项即可. 【详解】由题设且， 对于A，，当且仅当时取等号，A对； 对于B，，则，故，当且仅当时取等号，B对； 对于C，，由于， 所以，当且仅当时取等号，C不正确； 对于D，因为， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故D正确 11．已知关于x的一元二次不等式的解集为M，则下列说法正确的有（   ） A．若，则关于x的不等式的解集也为M B．若，则的最小值是3 C．若，则关于x的不等式的解集为或 D．若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据同号异号可判断A；根据解集可判断出的正负，根据韦达定理可得到它们之间的关系，代入后根据基本不等式可判断B，代入后解不等式可判断C；根据值域为，可得，从而可得的表达式，代入后换元，根据基本不等式可得最值，从而判断D. 【详解】当同号时，，即，亦即，此时解集相同； 当异号时，，即，亦即，显然一元二次不等式与的解集不同，故A错误. 若，即的解集为， 则是方程的两个根，所以， 所以， 所以， 又，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是3，故B正确. 若，即的解集为， 则是方程的两个根， 所以，所以， 则关于x的不等式，即， 两边同时除以负数a得，即，其解集为或，故C正确. 因为一元二次函数的值域为，且， 所以，所以， 所以，由知， 令，则，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 三、填空题 12．已知集合 ，，则__________． 【答案】 【分析】利用集合的性质求解即可. 【详解】由于集合 ，，根据集合的互异性可知，， 故，解得或（舍去）. 13．已知，，且，则的最小值为______. 【答案】 【分析】利用基本不等式求和的最小值. 【详解】因为，所以，所以. 又， 当且仅当即，时取“”. 所以，即的最小值为11. 14．已知二次函数，反比例函数.若这两个函数的图象的所有交点横、纵坐标都是整数，则符合条件的正整数有________个. 【答案】12 【分析】联立方程去分母整理成三次形式，然后将其分解，讨论二次函数根的情况，逐个分析即可求出结果. 【详解】联立这两个函数解析式，得到，注意到始终是方程的根， 所以可以将方程整理为， 当时，， 只要为正整数，， 因此不是方程的根. （1）若无实根，则两个函数图象只有1个交点， 此时，解得， 又，所以,共11个； （2）若有整数根，显然， 分离参数有，这说明可能是，. 当时，不符合题意；当时，； 当时，不符合题意；当时，， 此种情况下，只能取16. 综上，符合条件的正整数有12个. 四、解答题 15．已知集合，全集． (1)求，； (2)若集合，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或. (2) 【分析】（1）利用集合的交集运算，补集运算，并集运算即可； （2）根据集合的包含关系建立不等式，解出即可. 【详解】（1）因为， 所以； 又全集，所以或， 所以或. （2）因为恒成立，所以， 又，所以，解得：， 所以若，则实数的取值范围为：. 16．已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若不存在实数x，使得不等式成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）当时，不等式等价于，             ∴．                              ∴或． ∴不等式的解集为． （2）∵不存在实数x，使得不等式成立， ∴不等式的解集为空集．               ∴方程的判别式，即，                  ∴．∴实数b的取值范围为． 17．已知函数. (1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）先考虑的情况，再考虑的情况即可； （2）先进行因式分解，然后求出对应方程的两个根，再对分类讨论求出不同情况下的不等式的解集即可. 【详解】（1）的解集是实数集，则该不等式在上恒成立. 当时，，则，解集不是实数集，故排除. 当时，要使的解集为，必须满足抛物线开口向上且与 轴最多有一个交点，即： ，，即， 解得，综合，可得，即. （2）， 不等式两边同时除以，，. 这是一个开口向上的二次不等式，解集在两根之外， 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为. 18．已知一矩形纸片的周长为，如图，将沿向折叠，折过去后交于点．    (1)证明：． (2)若改变的长度矩形的周长保持不变，设，的面积为. ①试用表示面积； ②是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：设折叠后点变成， 在与中，因为，，所以． 因为，，所以， 又，所以，所以． (2)①； ②存在，且最大值为. 【分析】（1）证明出，即可证得结论成立； （2）①设，，则，，，在中，利用勾股定理可得出，再由三角形的面积公式可得出关于的函数关系式，由求出函数的定义域，即可得出答案； ②利用基本不等式可求出的最大值，利用等号成立的条件求出的值，再验证成立，即可得出结论. 【详解】（1）设折叠后点变成， 在与中，因为，，所以． 因为，，所以， 又，所以，所以．    （2）①由题意可知矩形的周长为． 设，，则，，． 因为为直角三角形，所以，即， 解得， 从而， 所以， 由得可得， 因此，； ②因为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 此时，，满足， 故当时，的面积取得最大值，最大值为. 19．设正整数S可以表示成n个正整数，，…，（）之和，且，用所有满足上述条件的数组，，…，组成集合．对于，记，集合中元素的最大值为． (1)直接写出中的所有元素； (2)对于，若，求证：并直接写出，； (3)求，并写出中相应的所有元素． 【答案】(1) (2)证明：因为均为正整数，且，所以 又所以 下面求和． 固定数组的项数，若其中两个数相差至少，把较小的数增加、较大的数减少，则各项之和不变，而乘积增大． 反复调整可知：固定时，乘积最大当且仅当各项之差不超过． 对于，分别比较不同项数下的最大乘积：      2 3 4 5 6 对应数值依次为． 当时，最优数组中的各项只能为或，故 因此取得最大值的数组为和． 对于 ，同理有      2 3 4 5 6 7 对应数值依次为 ． 当 时， 因此. (3)中相应的元素为和. 【分析】（1）根据定义对5进行拆解，再分析得到满足题意的情况即可； （2）首先分析得，再作差即可证明，再分和计算即可； （3）分5类情况进行讨论即可. 【详解】（1）的所有元素有． 理由：因为或或或或或， 而又要满足，即各项数字乘积大于2， 则中满足的所有元素有． （2）略. （3）设且，当时， ①．事实上，若存在不大于的正整数，使得，则，此时 ，令， 设，则，这与矛盾，所以； ②，事实上，若存在不大于的正整数，使得， 令，因为， 所以， 令， 则，这与矛盾，所以； ③中2与4不同时出现．事实上，若2与4同时出现， 设， 则，因为，所以将都换成3得到的更大， 所以中2与4不同时出现： ④中最多有一个4．事实上，，而， 所以中最多有一个4； ⑤中最多有两个2，事实上，，而，所以中最多有两个2： 所以当时，，或， 或，而， 所以中相应的元素为和. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年江西省抚州市高一数学上学期开学自编模拟卷2 （适用于：北师大版 必修第一册） 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．已知命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．设：实数满足且，：实数满足，则是的（   ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 4．已知，下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 5．的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 6．，，若，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D．10 8．已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．以下四个命题中，是真命题的是（   ） A． B．存在整数x，y，使得 C．，二次函数的图象都关于轴对称 D．若命题，则的否定为： 10．设正实数，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C． D． 11．已知关于x的一元二次不等式的解集为M，则下列说法正确的有（   ） A．若，则关于x的不等式的解集也为M B．若，则的最小值是3 C．若，则关于x的不等式的解集为或 D．若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合 ，，则__________． 13．已知，，且，则的最小值为______. 14．已知二次函数，反比例函数.若这两个函数的图象的所有交点横、纵坐标都是整数，则符合条件的正整数有________个. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合，全集． (1)求，； (2)若集合，且，求实数的取值范围． 16．已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若不存在实数x，使得不等式成立，求实数b的取值范围． 17．已知函数. (1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 18．已知一矩形纸片的周长为，如图，将沿向折叠，折过去后交于点．    (1)证明：． (2)若改变的长度矩形的周长保持不变，设，的面积为. ①试用表示面积； ②是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由． 19．设正整数S可以表示成n个正整数，，…，（）之和，且，用所有满足上述条件的数组，，…，组成集合．对于，记，集合中元素的最大值为． (1)直接写出中的所有元素； (2)对于，若，求证：并直接写出，； (3)求，并写出中相应的所有元素． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $