精品解析：江西省南康中学2025-2026学年高一上学期开学考试数学试题

高一数学训练题 本试卷共4页，19小题，满分150分. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某班30位同学的安全知识测试成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖，不影响下列关于成绩的统计量的是（ ） 成绩 24 25 26 27 28 29 30 人数 ▄ ▄ 3 3 6 7 9 A. 平均数，众数 B. 中位数，众数 C. 平均数，方差 D. 中位数，方差 5. 如图，用相同的小正方形拼成大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……．拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多（ ） A. 个小正方形 B. 个小正方形 C. 个小正方形 D. 个小正方形 6. 已知，，，则的最小值为（ ）． A. 4 B. C. 6 D. 7. 若，，则代数式的值为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 8. 一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 某同学抽取一个学习小组统计这些同学本学期的用笔情况，结果如下表： 用笔数（支） 学生数 则关于这名学生本学期的用笔数量，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是支 B. 平均数是支 C. 众数是支 D. 方差是 10. 下列叙述中正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件； D. 命题“”是真命题. 11. 如图，点D为等边三角形内一点，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论正确的有（ ） A. 可以由绕点A逆时针旋转得到 B. C. 点D到的距离为4 D. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. =________． 13. 2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是___________． 14. 设集合，，，则集合的真子集个数为________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，一次函数（k，b为常数，）图象与反比例函数（m为常数，）的图象交于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）根据函数图象直接写出关于x不等式的解集． 16 设集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 17. 如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. （1）用x，y 表示 S; （2）如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 18. 阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫作分母有理化． （1）化简：； （2）已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值． （3）计算：． 19. “必智、必勇、必忠、必诚”是我们学校的校训，“智勇”出自《列子·仲尼》孔子曰：“三王善任智勇者，圣则丘弗知.”忠诚出自《荀子·尧问》荀子曰：“忠诚盛于内，贲于外，形于四海.”我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“智勇点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“忠诚点”．把函数图象至少经过一个“智勇点”和一个“忠诚点”的函数称为“智勇忠诚函数”． （1）一次函数是一个“智勇忠诚函数”，分别求出该函数图象上“智勇点”和“忠诚点”； （2）已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点就是一个“智勇点”，并且该函数图象还经过一个“忠诚点”，求该二次函数的解析式； （3）已知二次函数（c，d为常数，）图象的顶点为M，与y轴交于点N，经过点M，N的直线l上存在无数个“智勇点”，当时，函数有最小值，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学训练题 本试卷共4页，19小题，满分150分. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算，再根据只有符号不同的两个数互为相反数可得答案． 【详解】，则的相反数是， 故选：D． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的概念可求出结果. 【详解】因为，，所以. 故选：C. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例的方法结合充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】若，显然所以“”不是“”的充分条件； 若，显然，所以“”不是“”必要条件； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4. 某班30位同学的安全知识测试成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖，不影响下列关于成绩的统计量的是（ ） 成绩 24 25 26 27 28 29 30 人数 ▄ ▄ 3 3 6 7 9 A. 平均数，众数 B. 中位数，众数 C. 平均数，方差 D. 中位数，方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数和众数的定义求解即可得． 【详解】∵， ∴被遮盖的两个数据之和为， ∴这组数据中，30出现的次数最多， ∴这组数据的众数是30，不受被遮盖的两个数据的影响， ∵将30位同学的成绩按从小到大进行排序后，第15个数和第16个数的平均数即为中位数，且，， ∴这组数据的中位数是，不受被遮盖的两个数据的影响， 故选：B． 5. 如图，用相同的小正方形拼成大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……．拼一拼，想一想，按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多（ ） A. 个小正方形 B. 个小正方形 C. 个小正方形 D. 个小正方形 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知，可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形，则第个正方形需个小正方形，根据，计算求解即可． 【详解】由题意知，拼第1个正方形需个小正方形， 拼第2个正方形需个小正方形， 拼第3个正方形需个小正方形，…… ∴可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形， ∴第个正方形需个小正方形， ∴， 即按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多个小正方形． 故选：C． 6. 已知，，，则的最小值为（ ）． A. 4 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由于，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为. 故选：B 7. 若，，则代数式的值为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，得，结合，代入计算即可． 【详解】∵，，∴， ∵， ∴． 故选：A． 8. 一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分析可得相遇时间为4小时，此时两车距离为0，排除B选项；再求出快车继续行驶到达乙地所需要的时间排除A选项；再分析可得当特快车停止行驶时，快车还在行驶，结合速度排除D选项. 【详解】当两车同时相向出发时，相遇时间小时， 此时两车距离0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项； 相遇时，快车已经行驶的路程为千米， 还需要行驶小时才能到达乙地，故排除A选项； 特快车相遇时已经行驶的路程为千米， 只需要再行驶小时才能到达甲地， 所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项. 故选：C. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 某同学抽取一个学习小组统计这些同学本学期的用笔情况，结果如下表： 用笔数（支） 学生数 则关于这名学生本学期的用笔数量，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是支 B. 平均数是支 C. 众数是支 D. 方差是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据中位数定义求中位数判断A，根据平均数定义求平均数判断B，根据众数定义确定众数判断C，根据方差定义求方差判断D. 【详解】将20名学生本学期的用笔数量从小到大排列可得 ， 排在第位的数为，排在第位的数为， 所以这名学生本学期的用笔数量的中位数为，A正确； 这名学生本学期的用笔数量的平均数为，B错误， 这名学生本学期的用笔数量的众数为，C正确； 这名学生本学期的用笔数量的方差为 ，D正确； 故选：ACD. 10. 下列叙述中正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件； D. 命题“”是真命题. 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据交集和子集概念得到；B选项，根据得到；C选项，举出反例得到充分性不成立，再作差法得到必要性成立，得到结论；D选项，举出反例得到D错误. 【详解】A选项，若，则，A错误； B选项，，又，则，B正确； C选项，已知，若，满足，但，充分性不成立， 当时，，故， 故，必要性成立， 则“”是“”的必要不充分条件，C正确； D选项，当时，，故命题“”是假命题，D错误. 故选：BC 11. 如图，点D为等边三角形内的一点，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论正确的有（ ） A. 可以由绕点A逆时针旋转得到 B. C. 点D到的距离为4 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据旋转的性质得，，由△ABC为等边三角形得到，，则把绕点逆时针旋转后，与重合，与重合，于是可对A进行判断； 再根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，则可对BC进行判断； 由于，利用等边三角形的面积公式和直角三角形面积公式计算后可对D进行判断． 【详解】线段以点旋转中心逆时针旋转得到线段， ，， 为等边三角形， ，， 把绕点逆时针旋转后，与重合，与重合， 可以由绕点逆时针旋转得到，所以A正确； ， ，在中，，，为直角三角形， ， 为等边三角形，， ，所以B错误； ，，点到距离为，所以C错误； ，所以D正确． 故选:AD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. =________． 【答案】 【解析】 【分析】由幂指数的运算及特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】， 故答案为：. 13. 2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分别记“巳”、“巳”、“如”、“意”为A，B，C，D，利用树状图可得所有等可能结果；再找恰好组成“如意”字样的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】分别记“巳”、“巳”、“如”、“意”为A，B，C，D， 画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好组成“如意”字样的结果数有2种， 所以抽取的两张卡片上的文字恰好组成“如意”字样的概率为：. 故答案：． 14. 设集合，，，则集合的真子集个数为________. 【答案】7 【解析】 【分析】先求出集合C，再根据元素个数即可求出真子集个数. 【详解】，， 有3个元素， 集合的真子集个数为个. 故答案为：7. 【点睛】本题考查集合子集个数的求解，属于基础题. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，一次函数（k，b为常数，）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象交于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是． （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）根据函数图象直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）或 【解析】 【分析】（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式，求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【小问1详解】 把点代入，得，解得， 反比例函数的解析式为， 把点代入，得，解得，， 把，代入得，解得， 一次函数的解析式为. 【小问2详解】 由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， ∴关于x的不等式的解集为或． 16. 设集合，． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，求出集合，解不等式化简集合，再根据补集和交集的定义即可求出； （2）根据，可得，对集合是否为空集分类讨论，得到关于a的不等式组，解出即可. 【小问1详解】 当时，，由得或 所以或则 所以 【小问2详解】 由得 ①若，则，解得 ②若，则或，解得或 综上，实数的取值范围是 17. 如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. （1）用x，y 表示 S; （2）如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 【答案】（1） （2）纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 【解析】 【分析】（1）由题意知，再代入化简即可； （2）利用基本不等式即可求出最值. 【小问1详解】 由题意，， . 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 18. 阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫作分母有理化． （1）化简：； （2）已知的整数部分为a，小数部分为b，求的值． （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3）9 【解析】 【分析】（1）分母有理化化简即可； （2）分母有理化再求出整数部分后计算即可； （3）分母有理化化简求解即可； 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴ ． 19. “必智、必勇、必忠、必诚”是我们学校的校训，“智勇”出自《列子·仲尼》孔子曰：“三王善任智勇者，圣则丘弗知.”忠诚出自《荀子·尧问》荀子曰：“忠诚盛于内，贲于外，形于四海.”我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“智勇点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“忠诚点”．把函数图象至少经过一个“智勇点”和一个“忠诚点”的函数称为“智勇忠诚函数”． （1）一次函数是一个“智勇忠诚函数”，分别求出该函数图象上的“智勇点”和“忠诚点”； （2）已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点就是一个“智勇点”，并且该函数图象还经过一个“忠诚点”，求该二次函数的解析式； （3）已知二次函数（c，d为常数，）图象的顶点为M，与y轴交于点N，经过点M，N的直线l上存在无数个“智勇点”，当时，函数有最小值，求m的值． 【答案】（1）“智勇点”为：，“忠诚点”为： （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义求解即可； （2）由题设易得，，，进而求得的值，即可求解； （3）由题设易得，，进而得到二次函数解析式，再结合对称轴分类讨论求解即可. 【小问1详解】 ∵一次函数是一个“智勇忠诚函数”， ∴根据定义得：得，由得， ∴一次函数图象上的“智勇点”为：，“忠诚点”为：. 【小问2详解】 ∵二次函数图象可以由二次函数平移得到， ∴， ∵二次函数的顶点就是一个“智勇点”，∴， ∴二次函数解析可变为， ∵二次函数图象经过一个“忠诚点”， ∴，∴， ∴P点坐标为， ∴将代入， 得，∴， ∴二次函数解析为或. 【小问3详解】 ∵经过点M，N的直线l上存在无数个“智勇点”， ∴直线l上的点横纵坐标相等， ∵二次函数（c，d为常数，c≠0）的顶点为M，与y轴的交点为N， ∴，N点坐标为原点，M，N为“智勇点”， ∴二次函数解析式可变为， 二次函数的图象经过“智勇点”M，N， ∴将代入， ∴，∴（舍去）， ∴二次函数解析式可变为，对称轴为直线， 当时，时，y取最小值， ∴，解得：， ∵，∴； 当时，在时，y取最小值， ∴，解得：， ∵，∴，∴. 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $