学易金卷：高二数学上学期第一次月考02（江苏专用，范围：苏教版选择性必修第一册第1～2章）

**基本信息** 聚焦直线与圆模块，基础题（如直线平行求参数）、能力题（如圆上存在点满足条件）、创新题（12圆环绕几何模型）梯度分布，渗透几何直观、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|直线方程与位置关系、圆的方程与性质|多选第10题结合曲线轨迹方程，考查对称性与覆盖问题，培养抽象能力| |填空题|3题15分|截距式方程、圆上动点距离最值|第14题以线段运动为情境，探究圆上存在两点满足条件，发展空间观念| |解答题|5题77分|弦长计算、轨迹方程、面积与最值问题|第16题以正方形区域圆形跑道为背景，融合坐标系建立与直线相切，体现应用意识；第18题两圆外离切线问题，考查逻辑推理与分类讨论|

■■■ ■■ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) D ·F ·E B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A D D C C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ABC ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．或 13．/ 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1） 由圆可知，圆心为，半径为， 由可知，， 因为，所以点在圆之外， 显然，当直线的斜率不存在时，与圆相离，不符合题意，（2分） 所以直线的斜率存在，设为， 设直线的方程为，即， 所以，圆心到直线的距离，即弦心距， 不妨设直线被圆截得的弦为， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系可得， ，即， 所以，解得或， 所以直线的方程为或，即或， 综上，直线的方程为或.（6分） （2） 由可知，， 因为，所以点在圆之内， 不妨设直线被圆截得的弦为， 当时，最短，此时弦心距， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系， 则， 因为直线的斜率，且， 所以直线的斜率为，代入点斜式可得， 直线的方程为，即， 综上，被圆截得的线段的最短长度为， 此时的方程为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）如图以 为原点， 为 轴， 为轴建立平面直角坐标系. 则 ， ， ， ， . ∵圆形跑道经过 、 两点， ∴圆心在线段 的垂直平分线上. ∵ ， ∴线段 的垂直平分线的斜率为 . ∵ 中点坐标为 ， ∴线段 的垂直平分线的方程为 ，即 . ∴圆形跑道圆心所在的直线方程为 . （7分） （2）∵直线 与该圆形跑道有且只有一个交点， ∴直线 与该圆相切，即圆心到轴距离为半径 . 设圆心为 ，则. ∴，即 . 解得，则. ∴圆形跑道的周长为 或 . （15分） 17．（15分） 【解析】（1）由题，，当时，为， 则斜率， 因为直线经过x轴的正半轴，y轴的正半轴， 所以设直线的倾斜角为，则， 所以.（4分） （2）由题，， 设直线，将点代入方程可得， 所以，所以，当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以的最小值为.（9分） （3）由（1），直线的倾斜角为，设， 则直线的方程为， 将代入可得，， 所以斜边长 ，则设 ， 令 ，则， 所以， 由 ，所以， 当且仅当 ，即 时取等， 此时 .（15分） 18．（17分） 【解析】（1）∵分别为，的切线，分别为，的半径， ∴. 由勾股定理可得. 又，∴. 又，是线段上的一点，∴， ∴，解得.（5分） （2）存在，假定存在一点，使得，（6分） 设，则， 由可得. 即， 代入可得，即， 解得（舍去），， ∴满足条件的点只有一个，此时.（10分） （3）当时，有，此时直线与相切. 证明：当时，,此时， ∴. 又，∴， 如图，为的延长线上一点， 则，∴点在的角平分线上， ∴点到的距离相等, 又为的切线， ∴点到的距离都为1，即直线与相切. （17分） 19．（17分） 【解析】（1）圆，圆心，半径， 对圆外一点，点在圆上，则：， 由题意，即，所以. 设，则， 整理得，.（5分） （2）（i）点的轨迹圆方程：，即① 圆，即② ①②得公共弦所在直线方程：， 点的轨迹圆圆心、圆圆心，两点连线的斜率， 所以直线，直线垂直平分，故圆心就是直线与的交点， 联立，解得. 将代入， 得，即，所以， 所以圆的方程为.（10分） （ii）假设存在点，满足，设，， 则，将代入， 得，即.    联立，得，. 根据根与系数的关系，得，， 所以，代入式，得， 即，因为对任意，等式恒成立，所以， 解得，因此存在定点满足条件. （17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线：和直线：，若，则（ ） A． B． C． D． 2．条件：“直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍”；条件“直线的斜率为”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 4．已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 6．第一象限内有一动点，在过点且方向向量的直线l上运动，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 7．一个半径为的圆，周围环绕着12个半径为1的圆，如图所示，这12个圆都与中心圆外切，且相邻的两个圆也互相外切．此时可表示为的形式，其中均为整数．问是多少？（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 E．11 8．已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（     ） A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知曲线E的轨迹方程为，其中，不同时为0，则（   ） A．曲线E关于直线对称 B．曲线E围成的图形面积为 C．若点在曲线E上，则 D．若圆能覆盖曲线E，则的最小值为 11．已知圆的圆心为，圆与圆交于，两点，过作圆的两条切线，切点为，，过作圆的两条切线，切点为，，则（   ） A． B． C．当时， D．存在一条直线截三个圆所得的弦长相等 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 13．已知圆：，圆：，M，N分别是圆，上的动点，P是轴上的动点，则的最小值为___________. 14．已知圆，线段在直线上运动，点为上任意一点，若圆上存在两点，，使得成立，则线段长度的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知点，圆. (1)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程. 16．（15分） 如图，正方形区域边长为， 距 、 的距离都为 ， 距 、 的距离都为 ，有一个圆形跑道经过 、 两点． (1)建立适当的坐标系，求圆形跑道圆心所在的直线方程； (2)若直线与该圆形跑道有且只有一个交点，求圆形跑道的周长（结果保留两位小数）． 17．（15分） 已知过点的直线l分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于点． (1)当时，求直线l的倾斜角大小； (2)求面积的最小值； (3)求的最小值． 18．（17分） 如图，与相外离，的半径为2，的半径为1，，为连接两圆圆心的线段上的一点，切于点，切于点． (1)若，求的长； (2)试问线段上是否存在一点，使，若存在，问这样的点有几个？并求出的值；如果不存在，说明理由； (3)当点在线段上运动到某处使时，．试问除上述情况外，当点在线段上运动到何处（说明的长是多少）时，与仍相似，并判断此时直线与的位置关系，证明你的结论． 19．（17分） 已知圆 ，圆上一动点，圆外一动点，满足的最大值为其最小值的2倍. (1)求点的轨迹方程； (2)若圆，，是圆与（1）中所求的点轨迹的交点. （i）求以为直径的圆的方程; （ii）若直线与圆交于，两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一定点，使得直线的斜率互为相反数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线：和直线：，若，则（ ） A． B． C． D． 2．条件：“直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍”；条件“直线的斜率为”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 4．已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 6．第一象限内有一动点，在过点且方向向量的直线l上运动，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 7．一个半径为的圆，周围环绕着12个半径为1的圆，如图所示，这12个圆都与中心圆外切，且相邻的两个圆也互相外切．此时可表示为的形式，其中均为整数．问是多少？（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 E．11 8．已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（     ） A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知曲线E的轨迹方程为，其中，不同时为0，则（   ） A．曲线E关于直线对称 B．曲线E围成的图形面积为 C．若点在曲线E上，则 D．若圆能覆盖曲线E，则的最小值为 11．已知圆的圆心为，圆与圆交于，两点，过作圆的两条切线，切点为，，过作圆的两条切线，切点为，，则（   ） A． B． C．当时， D．存在一条直线截三个圆所得的弦长相等 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 13．已知圆：，圆：，M，N分别是圆，上的动点，P是轴上的动点，则的最小值为___________. 14．已知圆，线段在直线上运动，点为上任意一点，若圆上存在两点，，使得成立，则线段长度的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知点，圆. (1)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程. 16．（15分） 如图，正方形区域边长为， 距 、 的距离都为 ， 距 、 的距离都为 ，有一个圆形跑道经过 、 两点． (1)建立适当的坐标系，求圆形跑道圆心所在的直线方程； (2)若直线与该圆形跑道有且只有一个交点，求圆形跑道的周长（结果保留两位小数）． 17．（15分） 已知过点的直线l分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于点． (1)当时，求直线l的倾斜角大小； (2)求面积的最小值； (3)求的最小值． 18．（17分） 如图，与相外离，的半径为2，的半径为1，，为连接两圆圆心的线段上的一点，切于点，切于点． (1)若，求的长； (2)试问线段上是否存在一点，使，若存在，问这样的点有几个？并求出的值；如果不存在，说明理由； (3)当点在线段上运动到某处使时，．试问除上述情况外，当点在线段上运动到何处（说明的长是多少）时，与仍相似，并判断此时直线与的位置关系，证明你的结论． 19．（17分） 已知圆 ，圆上一动点，圆外一动点，满足的最大值为其最小值的2倍. (1)求点的轨迹方程； (2)若圆，，是圆与（1）中所求的点轨迹的交点. （i）求以为直径的圆的方程; （ii）若直线与圆交于，两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一定点，使得直线的斜率互为相反数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线：和直线：，若，则（ ） A． B． C． D． 1．【答案】C 【解析】已知直线： ，其斜率为，直线：，其斜率为， 因为，所以，解得． 故选：C 2．条件：“直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍”；条件“直线的斜率为”，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．【答案】B 【解析】记直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 若直线的斜率为， 当截距均为时，直线在轴上的截距是在轴上的截距的两倍， 当截距均不为时，设直线方程为，变形为， 得，，则能推出，必要性成立； 若，当截距都不为时，斜率为， 当截距均为时，直线斜率可以是任何实数，不一定是， 所以不能推出，充分性不成立. 所以是的必要不充分条件. 故选：B 3．若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 3．【答案】A 【解析】∵直线与直线之间的距离为，   ，，或（负值舍去）． ． 故选：A. 4．已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．【答案】D 【解析】圆的圆心，半径为， 依题意，以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则， 而，因此，解得， 所以的取值范围为. 故选：D. 5．直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 5．【答案】D 【解析】由的斜率为，其范围是， 设倾斜角为，则，解得， 因为倾斜角的范围是，所以. 故选：D 6．第一象限内有一动点，在过点且方向向量的直线l上运动，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 6．【答案】C 【解析】，得， ， ，等号当且仅当时成立，此时， 满足定义域条件， 所以的最大值为3. 故选：C. 7．一个半径为的圆，周围环绕着12个半径为1的圆，如图所示，这12个圆都与中心圆外切，且相邻的两个圆也互相外切．此时可表示为的形式，其中均为整数．问是多少？（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 E．11 7．【答案】C 【解析】如图所示，设半径为的圆的圆心为，在12个小圆中任取两个小圆，两个小圆的切点为， 其中一个小圆的圆心为，连接，，，由圆与圆相切可得， 所以，，， 所以， 所以解得，所以. 故答案为：C． 8．已知圆，，圆与圆相交于点，，，过点M的直线l与圆，圆分别交于P，Q两点，则错误的结论是（     ） A． B．直线的方程是 C．四边形的面积是48 D．的最大值是 8．【答案】C 【解析】对于A：若，代入，即点点在圆上， 联立，化简得：， 所以直线的方程是，故B正确； 联立，解得：，或， 由于，所以，，所以A正确； 圆心距， 公共弦长， 由于，所以四边形的面积是，故C错误； 当直线斜率不存在时，，，此时， 当直线斜率存在时，设方程为， 所以点到直线的距离为，此时， 点到直线的距离为，此时 所以， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，此时 的最大值是， 当时，， 设，， 所以由，可得：， 所以，当且仅当，即时取等号，不满足，此时， 综上的最大值是，故D正确. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 9．【答案】AD 【解析】由图象可知， 所以，， 函数在上单调递增，所以， 综上所述，. 故选：AD 10．已知曲线E的轨迹方程为，其中，不同时为0，则（   ） A．曲线E关于直线对称 B．曲线E围成的图形面积为 C．若点在曲线E上，则 D．若圆能覆盖曲线E，则的最小值为 10．【答案】ABC 【解析】曲线E上任意点满足：， 该点关于的对称点也满足：， 即由曲线E上任意点关于直线的对称点仍在曲线E上，故选项A正确； 因为点在曲线E上，点，点也都在曲线E上，则曲线E关于x轴，y轴对称， 当时，曲线E的方程为， 曲线E表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆（含端点）， 因此，曲线E是四个顶点为的正方形各边为直径向正方形外作半圆围成，如图， 所以曲线E围成的图形的面积是，故选项B正确； 若点在曲线E上，则，所以， 所以，故选项C正确； 曲线E上的点到原点距离最大值为， 圆能覆盖曲线E，则，故选项D不正确． 故选：ABC． 11．已知圆的圆心为，圆与圆交于，两点，过作圆的两条切线，切点为，，过作圆的两条切线，切点为，，则（   ） A． B． C．当时， D．存在一条直线截三个圆所得的弦长相等 11．【答案】ACD 【解析】选项 A,, , 两式相减得公共弦直线方程,即， ，半径，圆心到直线距离是, 所以，A 正确； 选项 B，联立与，解得；, 不妨设， 设与交于点， 因为，，，所以， 所以，故, 即，, ,, , , 由,得， 所以，所以， 设与交于点，同理可知, 即，, ,, , , 由,得， 所以，所以， , B错误； 选项 C, , 则 ，， ,, 在：，, , 所以, 因为，所以 ，C 正确； 选项 D，三个圆的半径都是1，若存在一条直线截三个圆所得的弦长相等， 由弦长公式，可得三个圆的圆心到该直线的距离都相等， 设存在直线，满足， 等价于 解方程：，去掉绝对值： 情况①：， 情况②：， 解方程：，去掉绝对值： 情况①：， 情况②： ， 联立与，得舍去， 联立与，令，则， 代入，直线的方程为：， 所以存在直线截三个圆所得的弦长相等，D 正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 12．【答案】或 【解析】依题意，该直线的截距不能为0，则可设其方程为， 因为直线过点，所以， 整理得，解得或． 于是所求直线方程的截距式为或． 故答案为：或. 13．已知圆：，圆：，M，N分别是圆，上的动点，P是轴上的动点，则的最小值为___________. 13．【答案】/ 【解析】作出图形，如图所示： 圆关于轴的对称圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为， 由图象可知当三点共线时，取得最小值，同时取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：/. 14．已知圆，线段在直线上运动，点为上任意一点，若圆上存在两点，，使得成立，则线段长度的最大值为______． 14．【答案】2 【解析】由圆得圆心，半径. 圆心到直线的距离. 所以直线与圆相离，点在圆外. 因为圆上存在两点，，使得成立， 所以. 所以从点向圆作两条切线，设切线夹角为，则. 设切线与的夹角为，则. 又因为，所以. 所以，则. 所以线段全部落在以为圆心，半径为3的圆内部或圆上. 直线被以为圆心，半径为3的圆截得的弦长为. 所以线段长度的最大值为2. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知点，圆. (1)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程. 15．（13分） 【解析】（1） 由圆可知，圆心为，半径为， 由可知，， 因为，所以点在圆之外， 显然，当直线的斜率不存在时，与圆相离，不符合题意， 所以直线的斜率存在，设为， 设直线的方程为，即， 所以，圆心到直线的距离，即弦心距， 不妨设直线被圆截得的弦为， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系可得， ，即， 所以，解得或， 所以直线的方程为或，即或， 综上，直线的方程为或. （2） 由可知，， 因为，所以点在圆之内， 不妨设直线被圆截得的弦为， 当时，最短，此时弦心距， 由圆半径、弦长、弦心距之间的关系， 则， 因为直线的斜率，且， 所以直线的斜率为，代入点斜式可得， 直线的方程为，即， 综上，被圆截得的线段的最短长度为， 此时的方程为. 16．（15分） 如图，正方形区域边长为， 距 、 的距离都为 ， 距 、 的距离都为 ，有一个圆形跑道经过 、 两点． (1)建立适当的坐标系，求圆形跑道圆心所在的直线方程； (2)若直线与该圆形跑道有且只有一个交点，求圆形跑道的周长（结果保留两位小数）． 16．（15分） 【解析】（1）如图以 为原点， 为 轴， 为轴建立平面直角坐标系. 则 ， ， ， ， . ∵圆形跑道经过 、 两点， ∴圆心在线段 的垂直平分线上. ∵ ， ∴线段 的垂直平分线的斜率为 . ∵ 中点坐标为 ， ∴线段 的垂直平分线的方程为 ，即 . ∴圆形跑道圆心所在的直线方程为 . （2）∵直线 与该圆形跑道有且只有一个交点， ∴直线 与该圆相切，即圆心到轴距离为半径 . 设圆心为 ，则. ∴，即 . 解得，则. ∴圆形跑道的周长为 或 . 17．（15分） 已知过点的直线l分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于点． (1)当时，求直线l的倾斜角大小； (2)求面积的最小值； (3)求的最小值． 17．（15分） 【解析】（1）由题，，当时，为， 则斜率， 因为直线经过x轴的正半轴，y轴的正半轴， 所以设直线的倾斜角为，则， 所以. （2）由题，， 设直线，将点代入方程可得， 所以，所以，当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以的最小值为. （3）由（1），直线的倾斜角为，设， 则直线的方程为， 将代入可得，， 所以斜边长 ，则设 ， 令 ，则， 所以， 由 ，所以， 当且仅当 ，即 时取等， 此时 . 18．（17分） 如图，与相外离，的半径为2，的半径为1，，为连接两圆圆心的线段上的一点，切于点，切于点． (1)若，求的长； (2)试问线段上是否存在一点，使，若存在，问这样的点有几个？并求出的值；如果不存在，说明理由； (3)当点在线段上运动到某处使时，．试问除上述情况外，当点在线段上运动到何处（说明的长是多少）时，与仍相似，并判断此时直线与的位置关系，证明你的结论． 18．（17分） 【解析】（1）∵分别为，的切线，分别为，的半径， ∴. 由勾股定理可得. 又，∴. 又，是线段上的一点，∴， ∴，解得. （2）存在，假定存在一点，使得， 设，则， 由可得. 即， 代入可得，即， 解得（舍去），， ∴满足条件的点只有一个，此时. （3）当时，有，此时直线与相切. 证明：当时，,此时， ∴. 又，∴， 如图，为的延长线上一点， 则，∴点在的角平分线上， ∴点到的距离相等, 又为的切线， ∴点到的距离都为1，即直线与相切. 19．（17分） 已知圆 ，圆上一动点，圆外一动点，满足的最大值为其最小值的2倍. (1)求点的轨迹方程； (2)若圆，，是圆与（1）中所求的点轨迹的交点. （i）求以为直径的圆的方程; （ii）若直线与圆交于，两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一定点，使得直线的斜率互为相反数?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19．（17分） 【解析】（1）圆，圆心，半径， 对圆外一点，点在圆上，则：， 由题意，即，所以. 设，则， 整理得，. （2）（i）点的轨迹圆方程：，即① 圆，即② ①②得公共弦所在直线方程：， 点的轨迹圆圆心、圆圆心，两点连线的斜率， 所以直线，直线垂直平分，故圆心就是直线与的交点， 联立，解得. 将代入， 得，即，所以， 所以圆的方程为. （ii）假设存在点，满足，设，， 则，将代入， 得，即.    联立，得，. 根据根与系数的关系，得，， 所以，代入式，得， 即，因为对任意，等式恒成立，所以， 解得，因此存在定点满足条件. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $