江苏南通市启东市第一中学2024-2025学年第一学期第一次素质检测高二数学试卷

启东市第一中学2024-2025年度第一学期第一次素质检测 高二数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分，命题人：龚飞 审题人：朱海林） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.直线恒经过定点(    ) A. B. C. D. 2.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为(    ) A. B. C. D. 3.若方程表示的曲线为一个圆，则(    ) A. B. 或 C. D. 或 4.设，，向量，，，且，，则    A. B. C. D. 5.使三条直线不能围成三角形的实数的值最多有几个(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6.下面命题正确的个数是(    ) 若，则与，共面； 若，则共面； 若，则共面； 若，则共面； A. B. C. D. 7.已知点到直线：和直线：的距离相等，则点到坐标原点距离的最小值为(    ) A. B. C. D. 8.已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9.在下列四个命题中，正确的是(    ) A. 若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于 B. 任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为 C. 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D. 直线的倾斜角越大，则其斜率越大 10.已知，点及直线，则(    ) A. 直线恒过的定点在直线上 B. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则 C. 若直线过第二、四象限，则 D. 若直线及与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则 11.已知曲线，下列结论正确的是(    ) A. 当时，曲线是一条直线 B. 当时，曲线是一个圆 C. 当曲线是圆时，它的面积的最小值为 D. 当曲线是面积为的圆时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.圆过点，，且圆心在直线上，则圆的标准方程为          ． 13.若直线与直线平行，则实数          ． 14.已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的值为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.本小题分 已知直线：和两点，． 在直线上求一点，使最小； 在直线上求一点，使最大． 16.本小题分 已知的顶点，边上的高所在直线方程为，点是边的中点． 求边所在直线的方程； 求点的坐标． 17.本小题分 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，， ． 求直线与平面所成角的余弦值； 求平面与平面夹角的大小． 18.本小题分 已知直线的方程为． （1）若与直线垂直，求实数的值 （2）当与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小时，求的方程． 19. 本小题分 如图所示的几何体中，平面，，，，是上的点不与端点重合，为上的点，为的中点． （1）若为的中点， ． 求证： 平面    求点到平面的距离． （2）若平面与平面所成角锐角的余弦值为，试确定点在上的位置． 启东市第一中学2024-2025年度第一学期第一次素质检测 高二数学试卷答案 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线过定点问题，判断，经过和的交点，是解题的关键，属基础题． 利用经过和的交点，即可求出该点的坐标． 【解答】 解：直线， 即， 经过和的交点， 故选C． 2【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量的投影向量的运算，属于基础题． 根据投影向量的公式求解即可． 【解答】 解：因为，，所以， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选B． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是二元二次方程表示的曲线与圆的关系，属于基础题． 将二元二次方程列出关于的不等式，求解即可． 【解答】 解：因为方程表示的曲线为一个圆，则，即， 解得或，故选B． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量的坐标运算以及模的计算，属于基础题． 先求出，，求出，再利用模的公式解决． 【解答】 解：由题意得，解得， 再由 得，解得， 故， 所以， 故选C． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查三条直线不能构成三角形的条件，考查两条直线平行的判定及两条支线的交点坐标，属于中档题． 三直线不能构成三角形时共有种情况，即三直线中其中有两直线平行或者是三条直线经过同一个点，在这四种情况中，分别求出实数的值． 【解答】 解：若三直线中其中有两直线平行： 当直线：平行于：时，． 当直线：平行于：时，， 当：平行于：时，，此时方程无解． 若三条直线经过同一个点， 当三条直线经过同一个点时，把直线与的交点代入：得：，解得或， 综上，满足条件的有个． 故选B． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了向量共面的定理的应用，属于中档题． 根据空间向量共面定理，结合图形解决即可． 【解答】 解：由空间向量共面定理可得，若，则与，共面，此命题正确； 由空间向量共面定理得：若，则共面，此命题正确； 如图，在正方体中，， 若，则显然此时不共面，此命题错误； 若， ， ， 则共面，此命题正确． 故选C． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查点到直线距离，两直线位置关系，属于基础题． 由两直线平行可判断点所在直线，再由点到直线的距离公式求出即可． 【解答】 解：因为直线：和直线：平行，且点到他们的距离相等， 所以可点所在的直线的方程为， 则，解得． 所以点在直线上， 当时，点到坐标原点距离的最小， 为． 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查点线距离的向量求法，属于中档题． 根据直线一个方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算，代入点到直线的距离公式计算即可． 【解答】 解：直线的一个方向向量为，取直线一个单位方向向量为 ， 又为直线外一点，且直线过点，， ， 点到直线的距离为 故选：． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题． 根据倾斜角和斜率的概念，对各选项逐项判定，即可求出结果． 【解答】 解：因为当时，其斜率，所以A正确 根据直线倾斜角的定义以及斜率的定义，知B正确 若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为，， 且，故C不正确 直线的倾斜角为锐角时，斜率大于，直线的倾斜角为钝角时，斜率小于，故D不正确． 故选AB． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线过定点问题，截距式方程，两条直线平行、垂直与倾斜角、斜率的关系，属于中档题． 选项，考虑直线斜率不存在和斜率存在两种情况，得到所过定点，得到答案；选项，分析出直线过原点或直线不过原点且斜率为两种情况，求出的值；选项，根据直线的斜率小于，得到；选项，根据题意得到只有时满足题意，求出． 【解答】 解：对于，直线斜率不存在时，，得，直线方程为， 直线斜率存在时，其方程为，得其过定点． 综上，直线恒过点，其不在直线上，错误； 对于，直线在两坐标轴上的截距相等， 则直线过原点或直线不过原点且斜率为， 当直线过原点时，解得：， 直线不过原点且斜率为时，解得：，错误； 对于，直线过第二、四象限，则直线斜率， 解得：，正确； 对于，若直线及与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则该四边形对角互补， 又直线过定点，经分析知只有时满足题意， 此时直线的斜率为，D正确． 故选：． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆的一般方程与标准方程之间的互化，利用基本不等式求最值，属于中档题． 将代入曲线的方程化简，可判断选项；利用即可判断选项；求出圆的半径，利用圆的面积公式结合基本不等式可判断选项；利用圆的半径即可求出的值，从而判断选项． 【解答】 解：对于选项，当时，曲线的方程为，此时曲线是一条直线，对； 对于选项，当时，曲线的方程可化为， 因为，此时曲线是一个圆，对； 对于选项，当曲线是圆时，其半径为， 当且仅当，即当时，等号成立，即的最小值为， 因此当曲线是圆时，它的面积的最小值为，错； 对于选项，当曲线是面积为的圆时，其半径为， 即，解得或，错． 故选：． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了圆的标准方程，属于基础题． 先求出垂直平分线所在直线的方程，与圆心所在直线方程联立，可得圆心坐标，再求出即为半径，即可解． 【解答】 解：易知直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 因为的中点的横坐标和纵坐标分别为，， 所以直线的方程为，即， 又圆心在直线上，所以圆心是直线与直线的交点， 联立得，解得 所以圆心为， 又半径，所以所求圆的标准方程是． 故答案为：． 13.【答案】 【解析】【分析】 本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 利用直线平行的性质直接求解． 【解答】 解：直线与直线平行， ，解得， 当时，两直线重合，不符合题意，舍去， 当时，两直线平行且不重合，符合题意， 故实数． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查两点间的距离公式，考查直线垂直的判定．属于基础题 由条件可知两直线垂直，因此，继而可求得结果． 【解答】 解：直线过定点，斜率为； 直线过定点，斜率为， 所以两直线垂直，因此． 故答案为． 15.【答案】解：可判断，在直线的同侧，设点关于直线的对称点为， 则，解得 ． 又为直线上的一点， ，当且仅当，，三点共线时， 取得最小值，易求得直线的方程为， 联立得，即点的坐标为 ，当且仅当，，三点共线时，取得最大值， 点即是直线与直线的交点，又直线的方程为，联立 得 即点的坐标为．   【解析】本题考查的是距离最值问题，解答此类题目的关键是根据轴对称的性质画出图形，再由两点之间线段最短的知识求解，属于拔高题． 可判断，在直线的同侧，设点关于直线的对称点为，，当且仅当，，三点共线时，取得最小值 ，当且仅当，，三点共线时，取得最大值，点即是直线与直线的交点． 16.【答案】解：因为边上的高所在直线方程为， 所以边所在直线的斜率为， 所以边所在直线的方程为， 即边所在直线的方程为． 设点的坐标为， 因为边上的高所在直线方程为， 所以， 又因为点是边的中点，所以点的坐标为， 又因为边所在直线的方程为， 所以，即， 由，得， 所以点的坐标为．  17.【答案】解：取的中点为，连接，． 因为，所以． 又因为平面，平面平面，且平面平面， 所以平面因为平面，所以． 因为，所以， 如图，建立空间直角坐标系， 由题意，，，，， 得，，， 则， 由，则， 所以平面的法向量可以取． 设直线与平面所成的角为， 则，， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为． 设平面的法向量为，由知， 则，即，令，可得，，即， 所以，， 因为平面与平面的夹角为锐角， 所以平面与平面的夹角的大小为．  【解析】本题考查了线面角的余弦值的求法，面面夹角的求法，考查了空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了运算求解能力，属于中档题． 取的中点为，连接，，由面面垂直的性质证明平面，建立空间直角坐标系，根据空间向量求解即可； 先求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求解即可． 18.【答案】解：由已知得直线的斜率为， 因为直线与直线垂直，所以， 解得． 令，得，令，得， 由且，解得． 所以与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积． 令，则，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时三角形面积最小． 此时的方程为，即．  19.【答案】证明：Ⅰ如图，以为原点，分别以、、为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 设平面的一个法向量， ，， 则，取，得， ， ，， 平面，平面； 解：平面的法向量， ， 则点到平面的距离： ． Ⅱ设，，，则， ，，， 设平面的一个法向量， ，， 则，取，得， 平面的法向量， 平面与平面所成角锐角的余弦值为， ， 解得或， 点是的中点或上靠近点的四等分点．  【解析】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查满足条件的点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题． Ⅰ以为原点，分别以、、为，，轴，建立空间直角坐标系利用向量法能证明平面； 求出平面的法向量，，利用向量法能求出点到平面的距离． Ⅱ设，，，求出，求出平面的一个法向量和平面的法向量，利用平面与平面所成角锐角的余弦值为，利用向量法能求出点的位置． 高二数学试卷 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $