精品解析：山东省济南市历城第二中学2021-2022学年高三上学期开学考试数学试题

高三数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 某校甲、乙、丙、丁四位同学报名参加A，B，C三所高校的强基计划考试，每所高校报名人数不限，因为三所高校的考试时间相同，所以甲、乙、丙、丁只能随机各自报考其中一所高校，则恰有两人报考同一所高校的报名种数为（ ） A. B. C. D. 5. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱锥中，已知平面，，，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 统计学家克利夫兰对人体的眼睛详细研究后发现；我们的眼睛看到图形面积的大小与此图形实际面积的0.7次方成正比.例如：大图形是小图形的3倍，眼睛感觉到的只有（约2.16）倍.观察某个国家地图，感觉全国面积约为某县面积的10倍，那么这国家的实际面积大约是该县面积的（，，）（ ） A. l8倍 B. 21倍 C. 24倍 D. 27倍 8. 已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，则|PF|+|PQ|的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、选择题：本题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知，，下列不等式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 函数在上增函数 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到 11. 在如图所示的棱长为1的正方体中，点P在侧面所在的平面上运动，则下列命题中正确的为（ ） A. 若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线 B. 若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一个周长为的圆 C. 若点P到直线距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆 D. 若点P到直线与直线距离相等，则动点P的轨迹是双曲线 12. 数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为的小圆在一个半径为的大圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线．如图，已知星形线的方程为，周长为，有如下结论： ①曲线的周长大于星形线的周长； ②曲线上任意两点距离的最大值为； ③曲线与圆有且仅有个公共点； ④从曲线上任一点作，轴的垂线，垂线与，轴所围成图形的面积最大值为．其中所有正确结论的序号是________． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知直线和圆相切，则实数___________． 14. 已知函数是偶函数，则______ ． 15. 袋中有4个红球个黄球，个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则___________． 16. 已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是△的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是________． 四、解答题:本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 某地政府为解除空巢老年人缺少日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场.从2016年开始新建社区养老机构，下表是该地近五年新建社区养老机构数量对照表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码（） 1 2 3 4 5 新建社区养老机构（） 12 15 20 25 28 （1）根据上表数据可知，与之间存在线性相关关系，用最小二乘法求关于的经验回归方程； （2）若该地参与社区养老的老人，他们的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少人？ 参考公式：线性回归方程，，. 参考数据：， 18. 的内角，，的对边分别为，，，已知. （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，，求. 19. 已知首项为数列的前项和为，且． （1）求证：数列为等差数列； （2）记数列的前项和为，求． 20. 如图，四边形为正方形，，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，短轴端点为，，四边形的面积为，离心率为． （1）求椭圆的标准方程． （2）试问：在椭圆的长轴上是否存在