第2章 一元二次函数、方程和不等式 本章总结提升（Word学生用书）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一学生用书（人教A版）

**基本信息** 以“题型-方法-变式”构建不等式专项训练体系，系统整合性质应用、基本不等式、一元二次不等式三大模块，突出方法迁移与逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式的性质与应用|例1(2)+变式(2)|性质应用、作差法比较大小|从不等式基本性质到大小比较，构建“概念-应用”基础逻辑| |基本不等式及其应用|例2(2)+例3(1)+变式(4)|最值求解、证明、实际应用|以“一正二定三相等”为核心，延伸至实际问题建模，体现应用意识| |一元二次不等式及其应用|例4(2)+变式(3)|解法、解集与函数零点关系|结合二次函数图像，建立“不等式-函数-方程”转化思维，培养推理能力|

本章总结提升 ◆ 题型一　不等式的性质与应用 [类型总述] (1)不等式性质的应用;(2)作差法比较两个数的大小.　　　　　 　　　　　 　　　　　 例1 (1)已知a>0,b>0,且a≠b,M=+,N=a+b,则M与N的大小关系是 (　 ) A.M≥N B.M>N C.M≤N D.M<N (2)(多选题)已知a,b,c∈R,则下列说法正确的是 (　 ) A.若>,则a>b B.若a>b且ab>0,则a2>b2 C.若a2>b2且ab>0,则> D.若-1<2a+b<1,-1<a-b<2,则-3<4a-b<5 变式 (1)若A=-y2+4x-3,B=x2+2x+2y,则A,B的大小关系为 (　 ) A.A>B B.A<B C.A=B D.无法确定 (2)(多选题)下列说法中正确的是 (　 ) A.若ac2>bc2,则a>b B.若a>b>0,c<d<0,|b|>|c|,则≥ C.已知-1≤a+b≤4,2≤a-b≤3,则≤3a-2b≤ D.若a,b,c为互不相等的正数,且a2+b2=2bc,则ac+b2>ab+bc ◆ 题型二　基本不等式及其应用 [类型总述] (1)利用基本不等式求最值;(2)利用基本不等式证明不等式;(3)基本不等式的实际应用. 例2 (1)(多选题)已知x>0,y>0且3x+2y=10,则下列结论正确的是 (　 ) A.xy的最大值为 B.+的最大值为2 C.+的最小值为 D.x2+y2的最大值为 (2)实数x,y满足x2+2xy-3y2=1,则x2+y2的最小值是　　　　　.  变式 (1)(多选题)[2026·杭州学军中学高一期中] 下列说法正确的是 (　 ) A.x+的最小值为2 B.x2+1的最小值为1 C.x(2-x)的最大值为2 D.x2+的最小值为2-2 (2)(多选题)[2026·厦门双十中学高一期中] 设正实数x,y满足x+y=1,则 (　 ) A.xy有最大值 B.x2+y2有最小值 C.+有最小值5 D.+有最大值2 (3)已知x,y为实数,若4x2+xy+y2=1,则2x+y的最大值为　　　　.  例3 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,且50≤x≤100.假设汽油的价格是每升8元,而卡车每小时耗油升,司机的工资是每小时80元. (1)求这次行车的总费用y(单位:元)关于x的表达式. (2)当x为何值时,这次行车的总费用最低?并求出最低总费用. 变式 [2026·荆州中学高一期中] 居民小区要建一座八边形的休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为4200元/m2;在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪,造价为210元/m2;再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪,造价为80元/m2.设AD的长为x m. (1)现沿着休闲场所边界铺设灯带,总长度为64 m,求花岗岩地坪面积的最大值. (2)若十字形地域的面积为200 m2,设总造价为T元,试建立T关于x的函数关系式.当x为何值时,T最小?并求出这个最小值. ◆ 题型三　一元二次不等式及其应用 [类型总述] (1)一元二次不等式的解法;(2)一元二次不等式的解集与二次函数的零点. 例4 (1)(多选题)关于x的不等式ax2+(2-4a)x-8>0,下列说法正确的是 (　 ) A.当a=0时,不等式的解集为{x|x>4} B.当a<0时,不等式的解集为 C.当a<0时,不等式的解集为 D.当a=-时,不等式的解集为⌀ (2)若x1,x2是关于x的方程x2+ax+a=0的解,且满足-2<x1<x2<1,则a的取值范围是 (　 ) A.-2<a<0 B.-2<a<4 C.-<a<0或a>4 D.-<a<0 变式 (1)(多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|-3≤x≤4},则下列说法正确的是 (　 ) A.a<0 B.不等式cx2-bx+a<0的解集为 C.a+b+c<0 D.+的最小值为-4 (2)[2026·湖北武钢三中高一月考] 对于实数x,规定<x>表示不小于x的最小整数,例如:<-3.5>=-3,<2.1>=3,则不等式3<x>2-13<x>+4<0成立的一个必要不充分条件是 (　 ) A.x∈{x|0<x≤3} B.x∈{x|0≤x<3} C.x∈{x|1<x≤2} D.x∈{x|0<x≤4} (3)若关于x的不等式x2+(m+1)x+m<0的解集中恰有两个整数,则实数m的取值范围是　　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 本章总结提升 【素养提升】 题型一 例1　(1)B　(2)AD　[解析] (1)M-N=-(a+b)=-b+-a=+=(a2-b2)=(a2-b2)·=,因为a>0,b>0,且a≠b,所以(a-b)2>0,a+b>0,ab>0,所以-(a+b)>0,即M>N,故选B. (2)对于A,因为c2+1>0,>,所以a>b,故A正确;对于B,a2-b2=(a+b)(a-b),由a>b且ab>0,可知a-b>0,但a+b的范围不确定,故无法判断a2与b2的大小,故B错误;对于C,不妨设a>b>0,则-=<0,即<,故C错误;对于D,令4a-b=m(2a+b)+n(a-b),则4a-b=(2m+n)a+(m-n)b,所以所以所以4a-b=(2a+b)+2(a-b),因为-1<2a+b<1,-1<a-b<2,所以-3<(2a+b)+2(a-b)<5,即-3<4a-b<5,故D正确.故选AD. 变式　(1)B　(2)ACD　[解析] (1)因为B-A=(x2+2x+2y)-(-y2+4x-3)=(x-1)2+(y+1)2+1>0,所以A<B.故选B. (2)对于A,由ac2>bc2,得c2>0,故a>b,因此A正确;对于B,取a=4,b=3,c=-2,d=-1,则==,==,显然<,因此B错误;对于C,3a-2b=(a+b)+(a-b),因为-1≤a+b≤4,2≤a-b≤3,所以-≤(a+b)≤2,5≤(a-b)≤,则≤(a+b)+(a-b)≤,即≤3a-2b≤,因此C正确;对于D,由a,b,c为互不相等的正数,可得a2+b2>2ab,又a2+b2=2bc,所以2bc>2ab,即c>a,所以c(a+b)>a(a+b),即ac+bc>a2+ab,所以ac+2bc>a2+ab+bc,又a2+b2=2bc,所以ac+a2+b2>a2+ab+bc,即ac+b2>ab+bc,因此D正确.故选ACD. 题型二 例2　(1)BC　(2) [解析] (1)∵x>0,y>0且3x+2y=10,∴0<x<,0<y<5.对于A,利用基本不等式得10=3x+2y≥2,化简得xy≤,当且仅当3x=2y,即x=,y=时,等号成立,所以xy的最大值为,故A错误;对于B,(+)2=3x+2y+2=10+2≤10+10=20,当且仅当3x=2y,即x=,y=时,等号成立,所以+的最大值为2,故B正确;对于C,+=×(3x+2y)=×≥×=,当且仅当=,即x=y=2时,等号成立,所以+的最小值为,故C正确;对于D,x2+y2=+y2=(0<y<5),利用二次函数的性质知,当y=时,x2+y2取得最小值,所以(x2+y2)min==,对任意0<x<,0<y<5,x2+y2<=,故D错误.故选BC. (2)由x2+2xy-3y2=1,得(x+3y)(x-y)=1,则可设x+3y=t,x-y=,t≠0,所以x=,y=,所以x2+y2=≥=,当且仅当t2=时取等号,即x2+y2的最小值是. 变式　(1)BD　(2)BC　(3) [解析] (1)当x<0时,x+无最小值,故A错误;因为x2≥0,所以x2+1≥1,故B正确;x(2-x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,所以x(2-x)的最大值为1,故C错误;x2+=x2+2+-2≥2-2=2-2,当且仅当x2+2=,即x2=-2时,等号成立,故D正确.故选BD. (2)对于A,由x>0,y>0,x+y=1,得xy≤=,当且仅当x=y=时取等号,A错误;对于B,x2+y2=≥(x+y)2=,当且仅当x=y=时取等号,B正确;对于C,+=+=++1≥2+1=5,当且仅当=,即x=2y=时取等号,C正确;对于D,+=≤ =2,当且仅当=,即x=1,y=0时取等号,而x>0,y>0,因此不能取等号,D错误.故选BC. (3)因为4x2+y2≥4xy,当且仅当2x=y时等号成立,所以4x2+y2+xy≥5xy,当且仅当2x=y时等号成立,则1≥5xy,即xy≤,所以(2x+y)2=4x2+4xy+y2=1+3xy≤,所以-≤2x+y≤,即2x+y的最大值为. 例3　解:(1)卡车行驶时间为小时,则y=×8×+80×=130,所以这次行车的总费用y关于x的表达式是y=130,50≤x≤100. (2)由(1)知,y=130≥130×2=,当且仅当=,即x=12时等号成立, 故当x=12时,这次行车的总费用最低,最低总费用为元. 变式　解:(1)设DQ=y,则灯带的长度为4x+4y=64(m),即x+y=16, 花岗岩地坪面积为4xy m2. ∵x>0,y>0∴x+y≥2,即16≥2, ∴xy≤32,4xy≤128,当且仅当x=y=8时取等号,∴花岗岩地坪面积的最大值为128 m2. (2)设DQ=y,∵十字形地域的面积为200 m2,∴4xy+x2=200,即y=-,∵x>0,y>0,∴0<x<10, ∴DQ=y=-(0<x<10), ∴S△DQH=DQ2=,矩形ADQM的面积为xy=x=50-,正方形MNPQ的面积为x2,∴总造价T=4200x2+4××210+4××80=4200x2+42 000-210x2+-4000+10x2=4000x2+38 000+(0<x<10).∵T=38 000+4000x2+≥38 000+2=118 000,当且仅当4000x2=,即x=时,等号成立,∴Tmin=118 000,∴当x=时,总造价T最小,最小值为118 000元. 题型三 例4　(1)AD　(2)D　[解析] (1)当a=0时,不等式为2x-8>0,解得x>4,所以不等式的解集为{x|x>4},故A正确.由ax2+(2-4a)x-8>0可得(ax+2)(x-4)>0,当a≠0时,对应方程(ax+2)(x-4)=0的两根为-,4,若即a<-,则原不等式的解集为;若即-<a<0,则原不等式的解集为;若-=4,即a=-,则原不等式的解集为⌀,故B,C不正确,D正确.故选AD. (2)因为x1,x2是关于x的方程x2+ax+a=0的解,且满足-2<x1<x2<1,所以y=x2+ax+a在-2<x<1时有两个零点,所以解得则-<a<0,所以a的取值范围是-<a<0.故选D. 变式　(1)AB　(2)D　(3)-2≤m<-1或3<m≤4　[解析] (1)因为关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|-3≤x≤4},所以-3,4是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0,故A正确;由根与系数的关系得解得所以cx2-bx+a<0,即-12ax2+ax+a<0,即12x2-x-1<0,解得-<x<,所以不等式cx2-bx+a<0的解集为,故B正确;a+b+c=a-a-12a=-12a>0,故C错误;因为a<0,b=-a,c=-12a,所以-3a+4>4,则+=-6a=+2(-3a+4)-8≥2-8=-4,当且仅当=2(-3a+4),即a=1或a=时,等号成立,与a<0矛盾,所以+取不到最小值-4,故D错误.故选AB. (2)由不等式3<x>2-13<x>+4<0,得(3<x>-1)(<x>-4)<0,解得<<x><4,又<x>表示不小于x的最小整数,所以0<x≤3,观察选项,只有D选项的{x|0<x≤4}满足{x|0<x≤3}⫋{x|0<x≤4},满足要求,故选D. (3)不等式x2+(m+1)x+m<0可化为(x+1)(x+m)<0,由已知得m≠1.当m>1时,-m<-1,解不等式得-m<x<-1;当m<1时,-m>-1,解不等式得-1<x<-m.由不等式的解集中恰有两个整数可得-4≤-m<-3或1<-m≤2,解得3<m≤4或-2≤m<-1. 学科网（北京）股份有限公司 $