1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 （Word学生用书）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一学生用书（人教A版）

**基本信息** 聚焦全称量词与存在量词命题否定，通过基础诊断-核心探究-综合应用三层设计，强化概念辨析到参数应用的递进，培养数学推理与逻辑思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础诊断层|命题否定概念辨析|4道判断正误题，强化量词与结论否定的双重性，夯实数学语言表达基础| |核心探究层|单一命题否定技能|例题+变式（各3-4题），对比全称/存在量词命题否定，培养逻辑推理能力| |综合应用层|含参数命题应用|1道例题+1道变式，结合函数求参数范围，体现数学应用意识与问题解决能力|

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 【学习目标】 　　1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定. 　　2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. ◆ 知识点　全称量词命题与存在量词命题的否定 1.(1)全称量词命题的否定:∀x∈M,p(x),它的否定:∃x∈M,　　　　,也就是说,全称量词命题的否定是存在量词命题.   (2)存在量词命题的否定:∃x∈M,p(x),它的否定:　　　　　　　　,也就是说,存在量词命题的否定是全称量词命题.   2.常见命题的表述 命题 全称量词命题 存在量词命题 表 述 ①对所有的x∈M,p(x)恒成立; ②对一切x∈M,p(x)恒成立; ③对每一个x∈M,p(x)恒成立; ④任给一个x∈M,p(x)恒成立; ⑤对任意一个x∈M,p(x)恒成立 ①存在x∈M,使p(x)能成立; ②至少有一个x∈M,使p(x)能成立; ③有些x∈M,使p(x)能成立; ④至少存在一个x∈M,使p(x)能成立; ⑤对某些x∈M,p(x)能成立 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)“所有的菱形都是平行四边形”的否定是“存在一个菱形不是平行四边形”. (　 ) (2)“任意奇数的平方还是奇数”的否定是“所有奇数的平方都不是奇数”. (　 ) (3)“有些实数的绝对值是正数”的否定是“∀x∈R,|x|≤0”. (　 ) (4)从存在量词命题的否定看,是对“量词”和“p(x)”同时否定. (　 ) ◆ 探究点一　全称量词命题的否定 例1 写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假. (1)所有自然数的平方都是正数; (2)∀x∈R,x2+2x+1≠0; (3)等腰梯形的对角线相等. 变式 写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假. (1)任何一个末位数字为9的整数都能被3整除; (2)所有的素数都是奇数; (3)∀x,y∈R,x2+y2+2x-4y+5=0; (4)∀x∈R,x2+1>0. [素养小结] (1)对全称量词命题进行否定的两步操作:①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再改变量词;②对原命题的结论进行否定. (2)判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;要判定一个全称量词命题是假命题,只要举出集合M中的一个特殊值x,使p(x)不成立即可. ◆ 探究点二　存在量词命题的否定 例2 写出下列存在量词命题的否定,并判断所得命题的真假. (1)有些三角形的三个顶点不在同一个圆上; (2)有一个奇数不能被3整除; (3)存在k∈R,使函数y=kx+b随x的增大而减小. 变式 写出下列存在量词命题的否定,并判断所得命题的真假. (1)存在一个实数,它的绝对值不是正数; (2)有些三角形是等边三角形; (3)有些无理数不是实数. [素养小结] 存在量词命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即将存在量词改为全称量词.要判断存在量词命题是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个x,使p(x)成立即可,否则就是假命题. ◆ 探究点三　全称量词命题、存在量词命题的应用　　　　　 　　　　　 　　　　　 例3 若“∃x∈{x|1≤x≤2},2x-λx+1<0”是假命题,则实数λ的取值范围是 (　 ) A.λ≤ B.λ≤3 C. λ≥ D.λ≥3 变式 已知p:∀x∈R,x2+4x≥m,则p的否定是　　　　　　　　　,若p的否定是假命题,则实数m的取值范围为　　　　.  [素养小结] (1)p与p的否定只能一真一假,解决问题时可以相互转化. (2)在求参数范围的问题中,往往分离参数,转化成求函数的最值问题. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 【课前预习】 知识点 1.(1)¬p(x)　(2)∀x∈M, ¬p(x) 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)√　(4)× [解析] (1)“所有的菱形都是平行四边形”的否定是“存在一个(或有些)菱形不是平行四边形”. (2)“任意奇数的平方还是奇数”的否定是“有些(或存在一个)奇数的平方不是奇数”. (3)由词语“有些”知原命题为存在量词命题,故其否定为全称量词命题,且命题的否定只否定结论,故正确. (4)存在量词命题的否定是全称量词命题,只是对“p(x)”进行否定,而将“存在量词”变成“全称量词”,不能将其理解为“同时否定”. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1) 该命题的否定是“有的自然数的平方不是正数”,为真命题. (2) 该命题的否定是“∃x∈R,x2+2x+1=0”,为真命题. (3)该命题的否定是“有的等腰梯形的对角线不相等”,为假命题. 变式　解:(1)该命题的否定是“存在一个末位数字为9的整数不能被3整除”,为真命题. (2) 该命题的否定是“存在一个素数不是奇数”,为真命题. (3)该命题的否定是“∃x,y∈R,x2+y2+2x-4y+5≠0”,为真命题. (4)该命题的否定是“∃x∈R,x2+1≤0”,为假命题. 探究点二 例2　解:(1)该命题的否定:所有三角形的三个顶点都在同一个圆上.真命题. (2)该命题的否定:每一个奇数都能被3整除.假命题. (3)该命题的否定:对任意k∈R,函数y=kx+b不随x的增大而减小.假命题. 变式　解:(1)该命题的否定: 任意实数的绝对值都是正数.假命题. (2)该命题的否定:所有的三角形都不是等边三角形.假命题. (3)该命题的否定:所有的无理数都是实数.真命题. 探究点三 例3　A　[解析] 由题意可知,“∀x∈{x|1≤x≤2},2x-λx+1≥0”是真命题,则解得λ≤,所以实数λ的取值范围是λ≤.故选A. 变式　∃x∈R,x2+4x<m　m≤-4 [解析] p的否定为“∃x∈R,x2+4x<m”.因为p的否定是假命题,所以p是真命题,令y=x2+4x,因为y=x2+4x=(x+2)2-4的最小值为-4,所以m≤-4. 学科网（北京）股份有限公司 $