1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用Word（人教A版）

**基本信息** 聚焦全称与存在量词命题否定，通过基础概念辨析、逻辑推理应用到综合问题解决的三阶分层设计，强化推理意识与运算能力，适配新授课知识巩固与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-2题）|命题否定基本法则|直接考查量词转换与否定形式，巩固核心概念| |进阶层（3-9题）|否定命题真假判断、简单参数范围|结合二次函数、方程根等知识，培养逻辑推理能力| |综合层（10-15题）|多量词命题否定、跨模块综合应用|设置开放题与实际情境问题，提升数学应用意识与综合解题能力|

1．命题“∀x≤0，x2≤1”的否定为(　　) A．∀x>0，x2>1 B．∀x≥0，x2≤1 C．∃x≤0，x2>1 D．∃x≥0，x2≤1 解析：选C．根据全称量词命题的否定可得∀x≤0，x2≤1的否定为∃x≤0，x2>1. 2．命题“至少有一个实数x，使得x3＋x＝0”的否定是(　　) A．∃x∈R，x3＋x＝0 B．∀x∈R，x3＋x＝0 C．∃x∈R，x3＋x≠0 D．∀x∈R，x3＋x≠0 解析：选D．“至少有一个实数x，使得x3＋x＝0”是存在量词命题，其否定为∀x∈R，x3＋x≠0. 3．下列命题的否定是全称量词命题且为真命题的是(　　) A．∃x∈R，x2－x＋<0 B．所有的正方形都是矩形 C．∃x∈R，x2＋2x＋2>0 D．任意一个实数x，使x2＋2x－3≠0 解析：选A．对于A，其否定为∀x∈R，x2－x＋≥0，即≥0，显然恒成立，故是真命题，A正确；对于B，D，其否定为存在量词命题，B，D错误；对于C，其否定为∀x∈R，x2＋2x＋2≤0，即(x＋1)2＋1≤0，显然不成立，故是假命题，C错误． 4．(2026·潮州月考)已知命题p：∃x∈R，x2＋8x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．a>16 B．a≥16 C．a<0 D．a≥4 解析：选A．由题意得¬p：∀x∈R，x2＋8x＋a≠0，因为p是假命题，所以¬p是真命题，则Δ＝64－4a<0，解得a>16. 5．(多选)关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　) A．¬p：∃x∈R，x2＋1＝0 B．¬p：∀x∈R，x2＋1＝0 C．p是真命题，¬p是假命题 D．p是假命题，¬p是真命题 解析：选AC．命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”，且p是真命题，¬p是假命题． 6．(多选)下列说法正确的有(　　) A．“∃x∈R，1<x3≤2”的否定是“∀x∈R，x3≤1或x3>2” B．“至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是全称量词命题 C．“∃x∈R，x－2>”是真命题 D．“∀x∈R，x2>0”的否定是真命题 解析：选ACD．由存在量词命题的否定是全称量词命题，知选项A中说法正确；“至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是存在量词命题，选项B中说法错误；当x＝9时，x－2>，即7>3成立，故选项C中说法正确；命题“∀x∈R，x2>0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”，当x＝0时，x2≤0成立，故选项D中说法正确． 7．命题p：“有的三角形是直角三角形”，则¬p是________命题．(填“真”或“假”) 解析：命题p：“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，则命题¬p：“所有的三角形都不是直角三角形”，是假命题． 答案：假 8．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2”的否定为______________________． 解析：由题意，原命题的否定是：∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2. 答案：∃x∈R，∀n∈N*，使得n≤x2 9．(2026·柳州月考)已知命题p：∃x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0.若命题¬p为真命题，则实数a的取值范围是________． 解析：因为p：∃x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0，则¬p：∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a<0. 因为命题¬p为真命题，所以a>(x2)max， 当1≤x≤2时，1≤x2≤4，当x＝2时，(x2)max＝4，所以a>4. 答案：a>4 10．(13分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并判断这些命题的否定的真假． (1)对任意的实数x，都有x2≥|x|；(4分) (2)存在实数x，使得x2＋x－2≤0；(4分) (3)方程x2－3x＋1＝0的每一个根都是正数．(5分) 解：(1)全称量词命题． 原命题的否定：存在一个实数x，使得x2<|x|.原命题的否定是真命题． (2)存在量词命题． 原命题的否定：对任意的实数x，都有x2＋x－2>0.原命题的否定是假命题． (3)全称量词命题． 原命题的否定：方程x2－3x＋1＝0至少有一个根不是正数．原命题的否定是假命题． 11．哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，其中关于偶数的哥德巴赫猜想的内容是“每一个大于2的偶数都能写成两个质数之和”，则该猜想的否定为(　　) A．每一个小于2的偶数都不能写成两个质数之和 B．存在一个小于2的偶数不能写成两个质数之和 C．每一个大于2的偶数都不能写成两个质数之和 D．存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和 解析：选D．全称量词命题的否定为存在量词命题，故A，C错误；条件“大于2的偶数”不变，故哥德巴赫猜想的否定为“存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和”． 12．(多选)(2026·长沙月考)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x2>x，则(　　) A．¬q：∀x≤0，x2≤x B．¬p是真命题 C．p和¬q都是假命题 D．q是真命题 解析：选BCD．命题q：∃x>0，x2>x，则¬q：∀x>0，x2≤x，故A错误；当x＝0时，|x＋1|＝1，故命题p为假命题，则¬p是真命题，故B正确；¬q：∀x>0，x2≤x，当x＝2时，x2>x，故¬q是假命题，q为真命题，故C，D正确． 13．已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x；命题q：∃x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x.若命题p为真命题，q的否定为假命题，则实数m的取值范围是________． 解析：因为q的否定为假命题，所以q为真命题，所以m≥1.因为命题p为真命题，所以m≥3，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}． 答案：{m|m≥3} 14．(13分)已知方程(a＋5)x2＋2(a＋1)x＋a－5＝0. (1)若∃a∈R，使方程只有一个实根，求实数a的值；(6分) (2)若∀a∈M，方程至少有一个实根，求集合M.(7分) 解：(1)当a＋5＝0，即a＝－5时，方程化为－8x－10＝0，解得x＝－，符合题意；当a＋5≠0，即a≠－5时，方程只有一个实根，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－25)＝8(a＋13)＝0，解得a＝－13. 综上所述，实数a的值为－5或－13. (2)由(1)知，a＝－5时符合题意；当a≠－5时，方程至少有一个实根，则Δ＝8(a＋13)≥0，解得a≥－13且a≠－5. 综上所述，集合M＝{a|a≥－13}． 15．(15分)已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤2}，x2＋x－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋3x＋2－a＝0. (1)当p为假命题时，求实数a的取值范围；(6分) (2)若p和q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围．(9分) 解：(1)由p为假命题，得¬p为真命题，即∃x∈{x|1≤x≤2}，x2＋x－a<0，即a>x2＋x在x∈{x|1≤x≤2}上有解，易知 当x＝1时，(x2＋x)min＝2，所以a>2，即实数a的取值范围是{a|a>2}． (2)由(1)可知，当p为真命题时，a≤2；当p为假命题时，a>2.当q为真命题时，方程x2＋3x＋2－a＝0在x∈R上有解，故Δ＝9－4(2－a)≥0，解得a≥－；当q为假命题时，a<－.所以当p为真命题，q为假命题时，a<－；当p为假命题，q为真命题时，a>2. 所以当p和q中有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围是{a|a<－或a>2}． 学科网（北京）股份有限公司 $