1.5.1 全称量词与存在量词（Word学生用书）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一学生用书（人教A版）

**基本信息** 以“概念理解-命题辨析-综合应用”为路径，分层设计基础诊断、能力探究与拓展提升练习，适配新授课知识巩固与素养发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础诊断层|全称量词与存在量词的概念及命题识别|通过判断题巩固基础概念，培养抽象能力与推理意识| |能力探究层|命题判断、真假辨析及简单参数应用|例与变式结合（如命题符号化），发展逻辑推理与数学表达能力| |拓展提升层|综合参数范围与函数性质应用|多选题深化数学思维，体现创新意识与应用能力|

1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 【课前预习】 知识点一 1.∀　2.全称量词 知识点二 1.∃　2.存在量词　∃x∈M,p(x) 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)√　(4)× [解析] (1)是无理数,但()2=3是有理数,该命题是假命题. (2)∵当x=6时,6∈Z,6能被2和3整除,且命题中含有存在量词“至少存在一个”,∴该命题是存在量词命题且是真命题. (3)∵任给x∈Z,2x是偶数,∴2x+1是奇数,又命题中含有全称量词“任给”,∴该命题是全称量词命题且是真命题. (4)∵菱形是四边形且对角线互相垂直,且命题中含有存在量词“存在一个”,∴该命题是存在量词命题且是真命题. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)该语句可以改为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”,含有全称量词“所有的”,故为全称量词命题. (2)含有存在量词“有些”,故为存在量词命题. (3)该语句可以改为“任意三个连续整数的乘积都是6的倍数”,含有全称量词“任意”,故为全称量词命题. (4)含有存在量词“存在一个”,故为存在量词命题. 变式　解:(1)∀x∈R,x2≥0. (2)∃x<0,ax2+2x+1=0(a<0). (3)设A,B为两个集合,∀x∈A,x∈B. (4)∃x∈N,∈N. 探究点二 例2　解:(1)由于2是素数也是偶数,故“所有的素数都是奇数”是假命题. (2)因为x2≥0,所以x2+1≥1>恒成立,所以“∀x∈R,x2+1>”是真命题. (3)由于所有的三角形有且只有一个外接圆,所以“任何一个三角形都有一个外接圆”是真命题. 变式　解:(1)空集中不含有任何元素,因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题. (2)矩形的四个角都是直角,即都相等,因此“有的平行四边形的四个角都相等”为真命题. (3)因为Δ=22-4×4=-12<0,所以方程无实数根,因此“存在一个实数x,使x2+2x+4=0”为假命题. (4)因为整数3只有正因数1和3,所以“有些整数只有两个正因数”为真命题. 探究点三 例3　解:(1)因为p:∀x∈B,x∈A是真命题,所以B⊆A,可得 解得2≤m≤3.故m的取值范围为2≤m≤3. (2)因为q:∃x∈A,x∈B是真命题,所以A∩B≠⌀,又由B≠⌀,知m+1≤2m-1,即m≥2,则m+1≥3,故只需满足m+1≤5即可,即m≤4,故2≤m≤4,故m的取值范围为2≤m≤4. 变式　a≤4　[解析] ∵命题“∃x∈R,x2-4x+a=0”为真命题,∴关于x的方程x2-4x+a=0有实数根,则Δ=(-4)2-4a≥0,解得a≤4. 拓展　ABD　[解析] 由方程2ax+b=0,可得m=-.由当x=m时,y=ax2+bx+c的函数值记为M知选项A,B均为真命题;∵a>0,∴函数y=ax2+bx+c在x=-=m处取得最小值,∴M是函数y=ax2+bx+c的最小值,因此选项D为真命题,C为假命题.故选ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 【学习目标】 　　通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义. ◆ 知识点一　全称量词与全称量词命题 1.全称量词的定义与表示:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词,并用符号“　　　　”表示.  常见的全称量词有:所有的、任意一个、每一个、全部. 2.全称量词命题的定义及表示:含有　　　　的命题叫作全称量词命题.“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x).   ◆ 知识点二　存在量词与存在量词命题 1.存在量词的定义与表示:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词,并用符号“　　　　”表示.  常见的存在量词有:存在一个、至少有一个、有一个、有些. 2.存在量词命题的定义及表示:含有　　　　的命题叫作存在量词命题. “存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为　　　　　　.   【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)“对每一个无理数x,x2也是无理数”是全称量词命题,也是真命题. (　 ) (2)“至少存在一个x∈Z,x能被2和3整除”是存在量词命题且是真命题. (　 ) (3)“任给x∈Z,2x+1为奇数”是全称量词命题且是真命题. (　 ) (4)“存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直”是存在量词命题且是假命题. (　 ) ◆ 探究点一　全称量词命题与存在量词命题的判断 例1 判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于360°; (2)有些实数没有倒数; (3)三个连续整数的乘积是6的倍数; (4)存在一个二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴无交点. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 将下列命题用“∀”或“∃”表示. (1)实数的平方是非负数; (2)方程ax2+2x+1=0(a<0)至少存在一个负根; (3)设A,B为两个集合,满足A⊆B; (4)有些自然数,它的算术平方根是自然数. [素养小结] (1)判断一个命题是否为全称量词命题,主要看命题中是否有“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等全称量词,有些命题的全称量词是隐藏的,要仔细辨别. (2)判断一个命题是否为存在量词命题,主要看命题中是否有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“有的”等存在量词,有些命题的存在量词是隐藏的,要仔细辨别. ◆ 探究点二　全称量词命题与存在量词命题真假的判断 例2 判断下列全称量词命题的真假. (1)所有的素数都是奇数. (2)∀x∈R,x2+1>. (3)任何一个三角形都有一个外接圆. 变式 判断下列存在量词命题的真假. (1)有的集合中不含有任何元素. (2)有的平行四边形的四个角都相等. (3)存在一个实数x,使x2+2x+4=0. (4)有些整数只有两个正因数. [素养小结] 判断全称量词命题和存在量词命题的真假时,一定要结合生活中的实例,运用相关的数学知识进行判断.有些命题没有直接给出量词,需要自己“破译”,找出其中隐含的量词,判断其是全称量词命题还是存在量词命题,进而再判断其真假. ◆ 探究点三　利用全称量词命题与存在量词命题求参数的范围 例3 已知集合A={x|-2≤x≤5},非空集合B={x|m+1≤x≤2m-1}, (1)若p:∀x∈B,x∈A是真命题,求m的取值范围; (2)若q:∃x∈A,x∈B是真命题,求m的取值范围. 变式 若命题“∃x∈R,x2-4x+a=0”为真命题,则实数a的取值范围是　　　　.  [素养小结] 根据全称量词命题与存在量词命题的真假等价转化为关于集合间的关系或函数的最值问题,再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围. 拓展 (多选题)已知a>0,函数y=ax2+bx+c,若m满足关于x的方程2ax+b=0,当x=m时,y=ax2+bx+c的函数值记为M,则下列选项中的命题为真命题的是 (　 ) A.∃x∈R,ax2+bx+c≤M B.∃x∈R,ax2+bx+c≥M C.∀x∈R,ax2+bx+c≤M D.∀x∈R,ax2+bx+c≥M 学科网（北京）股份有限公司 $