1.3 第2课时 集合的全集、补集 （Word学生用书）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一学生用书（人教A版）

**基本信息** 高中数学集合的全集、补集新授课同步练，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层递进设计，实现从概念辨析到含参问题的知识巩固，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|全集与补集的概念及性质|诊断分析判断正误，强化概念理解| |技能应用层|补集的简单运算与综合运算|例题结合Venn图、数轴，提升运算技能| |综合拓展层|集合关系中的参数求解|含参问题培养分类讨论与逻辑推理能力|

第2课时　集合的全集、补集 【学习目标】 　　1.在具体情境中,了解全集的含义. 　　2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集. 　　3.能使用Venn图表示集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用. ◆ 知识点一　全集 (1)定义:一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的　　　　　　,那么就称这个集合为全集.  (2)记法:全集通常记作　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)在集合运算中,全集一定是实数集R. (　 ) (2)为了研究集合A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},C={1,3,5}之间的关系,要从中选一个集合作为全集,这个集合是A. (　 ) ◆ 知识点二　补集的概念及性质 定义 文字 语言 对于一个集合A,由全集U中　　　　　　　的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作　　　　  符号语言 ∁UA={x|　　　　　　　　　}  图形 语言 性质 (1)∁UA⊆U; (2)∁UU=　　　　,∁U⌀=　　　　;  (3)∁U(∁UA)=　　　　;  (4)A∪(∁UA)=　　　　,A∩(∁UA)=　　　　  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)一个集合的补集一定含有元素. (　 ) (2)设全集U=R,存在x0∈U,x0∉A,且x0∉∁UA. (　 ) (3)设全集U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y)|x>0且y>0},则∁UA={(x,y)|x≤0且y≤0}. (　 ) ◆ 探究点一　补集的简单运算 例1 (1)已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2,3,4},则∁UM= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.5 B.{5} C.{3,4} D.{1,2,3,4} (2)已知集合U=R,A={x|x≤-1或x>2},则∁UA= (　 ) A.{x|x<-1或x>2} B.{x|-1<x≤2} C.{x|x≤-1或x≥2} D.{x|-1<x<2} (3)已知全集U={2,4,6,8,10},集合A={2,a,8},∁UA={4,10},则a=　　　　.  变式 (1)集合A={x|y=},B={y|y=x2+2},则图中阴影部分表示的集合为 (　 ) A.{x|x≥1} B.{x|x≥2} C.{x|1≤x≤2} D.{x|1≤x<2} (2)已知全集U,集合A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},∁UB={1,4,6},则集合B=　　　　.  [素养小结] 求集合的补集的方法: (1)定义法:当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解. (2)Venn图法:借助Venn图可直观地求出补集. (3)数轴法:当集合中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时需注意端点取值. ◆ 探究点二　并集、交集、补集的综合运算 例2 (1)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩(∁UA)= (　 ) A.{1,6} B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7} (2)已知集合U={x|1<x≤7},A={x|2≤x<5},B={x|3≤x<7}. 求:①(∁UA)∩(∁UB);②∁U(A∩B). 变式 (1)(多选题)已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则 (　 ) A.A∩B= B.A∩(∁RB)= C.A∪B= D.(∁RA)∪B=R (2)[2026·合肥六中高一期中] 如图,U是全集,M,N,P是U的子集,则阴影部分表示的集合是 (　 ) A.(∁UM)∩(N∩P) B.M∪(N∩P) C.M∩(N∩P) D.(∁UM)∪(N∩P) [素养小结] (1)解决与集合的交、并、补集运算有关的综合问题时,一般先运算括号内的部分,如求(∁UA)∩B时,可先求出∁UA,再求交集;求∁U(A∪B)时,可先求出A∪B,再求补集. (2)不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视,还要注意补集是全集的子集. ◆ 探究点三　利用集合间的关系求参 例3 已知集合A={x|a-1<x<2a},B={x|2<x≤10},U是全集,若(∁UA)⊇(∁UB),求实数a的取值范围. 变式 (1)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(∁UA)∩B=⌀,则实数m=　　　　.  (2)已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤5},B={x|a+1≤x≤2a-1},且A⊆∁UB,求实数a的取值范围. [素养小结] 由集合的补集求解参数的方法: (1)当集合中元素个数有限时,可利用补集定义并结合集合知识求解. (2)当集合中元素个数无限时,一般利用数轴分析法求解. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　集合的全集、补集 【课前预习】 知识点一 (1)所有元素　(2)U 诊断分析 (1)×　(2) √　[解析] (1)全集是一个相对的概念,只包含研究问题中涉及的所有元素,所以在集合运算中,全集不一定是实数集R. (2)根据全集的定义知应选集合A作为全集. 知识点二 不属于集合A　∁UA　x∈U,且x∉A ⌀　U　A　U　⌀ 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)× [解析] (1)全集的补集是空集. (2)x0∈A和x0∈∁UA中有且只有一个成立. (3)全集U是由平面直角坐标系内的所有点构成的集合,而集合A表示第一象限内的点构成的集合,显然所求的∁UA是错误的. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)B　(2)B　(3)6　[解析] (1)因为全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2,3,4},所以∁UM={5}.故选B. (2)因为集合U=R,A={x|x≤-1或x>2},所以∁UA={x|-1<x≤2}.故选B. (3)全集U={2,4,6,8,10},由∁UA={4,10},得A={2,6,8},又A={2,a,8},所以a=6. 变式　(1)D　(2){2,3,5,7} [解析] (1)由x-1≥0,得x≥1,则A={x|y=}={x|x≥1}.由x2+2≥2,得B={y|y≥2},则题图中阴影部分表示的集合是∁AB={x|1≤x<2}.故选D. (2)因为集合A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},所以U={1,2,3,4,5,6,7}.又∁UB={1,4,6},所以B={2,3,5,7}. 探究点二 例2　(1)C　[解析] ∵U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},∴∁UA={1,6,7},则B∩(∁UA)={6,7},故选C. (2)解:①因为集合U={x|1<x≤7},A={x|2≤x<5},B={x|3≤x<7}, 所以∁UA={x|1<x<2或5≤x≤7},∁UB={x|1<x<3}∪{7},因此(∁UA)∩(∁UB)={x|1<x<2}∪{7}. ②因为A={x|2≤x<5},B={x|3≤x<7},所以A∩B={x|3≤x<5},又因为集合U={x|1<x≤7},所以∁U(A∩B)={x|1<x<3或5≤x≤7}. 变式　(1)AB　(2)C　[解析] (1)集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0}=,∁RB=,所以A∩B=,A∩(∁RB)=,故A,B正确;A∪B={x|x<2},∁RA={x|x≥2},(∁RA)∪B=,故C,D错误.故选AB. (2)由图可以直接看出阴影部分表示的集合是M,N,P三个集合的交集,故选C. 探究点三 例3　解:(∁UA)⊇(∁UB)等价于A⊆B.当A=⌀时,a-1≥2a,解得a≤-1,满足A⊆B;当A≠⌀时,a-1<2a,解得a>-1,要使A⊆B,只需 解得3≤a≤5.综上,实数a的取值范围为a≤-1或3≤a≤5. 变式　(1)1或2　[解析] 由题意知A={x|x2+3x+2=0}={-1,-2},B={x|x2+(m+1)x+m=0}={x|(x+m)(x+1)=0},若(∁UA)∩B=⌀,则B⊆A,所以m=1或m=2. (2)解:若B=⌀,则a+1>2a-1,即a<2,此时∁UB=R,所以A⊆∁UB;若B≠⌀,则a+1≤2a-1,即a≥2,此时∁UB={x|x<a+1或x>2a-1},又A⊆∁UB,所以a+1>5或2a-1<-2,所以a>4或a<-(舍去).综上,实数a的取值范围为a<2或a>4. 学科网（北京）股份有限公司 $