集合滚动习题(一)-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练以分层递进设计覆盖集合核心知识，通过基础巩固、综合应用到创新探究的路径，培养数学抽象、逻辑推理与应用意识，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|集合运算、元素与集合关系|单选1-5题，如并集求解、集合表示法，强化概念辨析| |提升层|含参子集、集合间关系|单选6-7题及多选、填空，如第6题参数范围讨论，培养推理能力| |综合层|新定义与实际应用|解答题13-15题，如第15题集合新运算探究，发展创新思维与模型意识|

滚动习题(一) (时间:45分钟　分值:105分) 一、选择题:本题共7小题,每小题5分,共35分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|-1<x<1},B={x|0≤x≤2},则A∪B= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.{x|-1<x<2} B.{x|-1<x≤2} C.{x|0≤x<1} D.{x|0≤x≤2} 2.[2026·曲靖高一期中] 下列关系式正确的是 (　 ) A.-⊆Q B.0∈⌀ C.N⊆Z D.{0}∈N 3.已知一个三角形的三边长为一个集合的3个元素,则该三角形一定不可能是 (　 ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 4.已知集合S={x|x=2y+1,y∈Z},集合T={y|y=x+2,x∈Z},则 (　 ) A.S⊆T B.S=T C.S⊇T D.S与T没有包含关系 5.[2026·重庆一中高一期中] 已知全集U={0,1,2,3,4,5},M={1,2},P={2,3,4},则图中阴影部分表示的集合是 (　 ) A.{2} B.{0,2} C.{2,5} D.{0,2,5} 6.[2026·天津中学高一检测] 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B为A的子集,则m的取值范围是 (　 ) A.{m|m<2} B.{m|2≤m<3} C.{m|m≤3} D.{m|2<m≤3} 7.已知[x]表示不超过x的最大整数,集合A={x∈Z|0<[x]<3},B={x|(x2+ax)(x2+2x+b)=0},且A∩(∁RB)=⌀,则集合B的子集的个数为 (　 ) A.4 B.8 C.16 D.32 二、选择题:本题共2小题,每小题6分,共12分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 8.[2026·湖南岳阳一中高一月考] 下列用描述法表示的集合,正确的是 (　 ) A.奇数集可以表示为{x∈Z|x=2k+1,k∈Z} B.“小于10的整数”构成的集合可以表示为{x|x<10} C.{x|x>2}表示大于2的全体实数 D.集合{(x,y)|3x+2y=16,x∈N,y∈N}与集合{(2,5),(4,2)}相等 9.已知非空集合A⫋R,若对任意x,y∈A,都有x+y∈A,xy∈A成立,则称集合A是封闭集.下列说法中正确的是 (　 ) A.集合{x|x=2k,k∈Z}是封闭集 B.若集合A是封闭集,则∁RA也是封闭集 C.若集合P,Q为封闭集,且P∪Q≠R,则P∪Q也是封闭集 D.若集合P,Q为封闭集,且P∩Q≠⌀,则P∩Q也是封闭集 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 10.设集合A={(x,y)|x2+y2≤2,x∈N,y∈N},则A中元素的个数为　　　　.  11.若集合A={1,9,a2},B={9,3a},则满足A∩B=B的实数a的个数为　　　　.  12.2026年国庆节来临之际,某学校组织了“迎国庆”活动.该校高一某班级共有50名同学自愿报名参加该活动,据统计其中有25人去过A处,30人去过B处,30人去过C处,有15人既去过A处也去过B处,16人既去过B处也去过C处,18人既去过A处也去过C处,10人三处都去过,则三处都没去过的同学有　　　　人.  四、解答题:本题共3小题,共43分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13.(13分)已知集合A={x|2<x≤4},集合B={x|k+1≤x≤2k-1}. (1)当k=3时,求A∪B,(∁RA)∩B; (2)若A∪B=A,求k的取值范围. 14.(15分)已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|x2+2x-8=0},C={x|x2-ax+a2-19=0}. (1)若(A∩B)⊆C,求实数a的值; (2)若A∩C≠⌀,B∩C=⌀,求实数a的值. 15.(15分)对于非空的有限整数集X,定义X2={x2|x∈X},Xn={x+n|x∈X,n∈Z}. (1)若集合A={-3,-2,0,2},求A2和A2. (2)已知A,B为非空的有限整数集,A1⊆B且B2􀱇(-1)⊆A. ①若A={-1,0},求集合B; ②证明:A⊆{-2,-1,0}. 学科网（北京）股份有限公司 $ 滚动习题(一) 1.B　[解析] 由题得A∪B={x|-1<x≤2}.故选B. 2.C　[解析] -是元素,不是集合,所以-∈Q,故A错误;⌀不含任何元素,故B错误;N表示自然数集,Z表示整数集,所以N是Z的子集,故C正确;{0}表示的是集合,所以{0}⊆N,故D错误.故选C. 3.D　[解析] 因为三角形的三边长为一个集合的3个元素,所以根据集合元素的互异性知,三角形的三条边长互不相等,所以一定不可能是等腰三角形.故选D. 4.A　[解析] x=2y+1=(2y-1)+2,因为y∈Z,所以2y-1∈Z,所以S⊆T,又4∈T,4∉S,所以S⊆T.故选A. 5.D　[解析] 由题可知M∪P={1,2,3,4},则∁U(M∪P)={0,5},又M∩P={2},所以图中阴影部分表示的集合是[∁U(M∪P)]∪(M∩P)={0,2,5}.故选D. 6.C　[解析] 当B=⌀时,m+1>2m-1,解得m<2,符合B是A的子集;当B≠⌀时,解得2≤m≤3.综上,m的取值范围是{m|m≤3}.故选C. 7.C　[解析] 由题知,A={x∈Z|0<[x]<3}={1,2},因为A∩(∁RB)=⌀,所以A⊆B.B={x|(x2+ax)(x2+2x+b)=0}={x|x(x+a)(x2+2x+b)=0},若a=-1,则2是x2+2x+b=0的根,解得b=-8,此时B={x|x(x-1)(x2+2x-8)=0}={0,1,2,-4};若a=-2,则1是x2+2x+b=0的根,解得b=-3,此时B={x|x(x-2)(x2+2x-3)=0}={0,1,2,-3},所以集合B中有4个元素,则集合B的子集个数为24=16.故选C. 8.AC　[解析] 对于A,当k∈Z时,2k+1表示所有的奇数,故A正确;对于B,{x|x<10}表示小于10的实数集,故B错误;对于C,{x|x>2}表示大于2的全体实数,故C正确;对于D,若x,y满足3x+2y=16且x∈N,y∈N,则y=≥0,可得x≤,所以只需讨论x=0,1,2,3,4,5时的情形,由此列出如下表格, x 0 1 2 3 4 5 y 8 5 2 由表可知,集合{(x,y)|3x+2y=16,x∈N,y∈N}与集合{(0,8),(2,5),(4,2)}相等,故D错误.故选AC. 9.AD　[解析] 对于A,记T={x|x=2k,k∈Z},任取x1,x2∈T,其中x1=2k1,k1∈Z,x2=2k2,k2∈Z,则x1+x2=2(k1+k2)∈T,x1x2=4k1k2=2(2k1k2)∈T,所以集合T={x|x=2k,k∈Z}是封闭集,故A正确;对于B,取集合A={x|x是有理数},任取x,y∈A,都有x+y∈A,xy∈A成立,故集合A是封闭集,∁RA={x|x是无理数},取x=,y=-,则x+y=0∉∁RA,xy=-2∉∁RA,故∁RA不是封闭集,故B错误;对于C,取P={x|x=2k,k∈Z},由A知P是封闭集,取Q={x|x=3k,k∈Z},任取x,y∈Q,设x=3k,k∈Z,y=3n,n∈Z,则x+y=3(k+n)∈Q,xy=3(3kn)∈Q,可知Q是封闭集,且P∪Q≠R,取x=2,y=3,则x,y∈(P∪Q),但x+y=5∉(P∪Q),因此P∪Q不是封闭集,故C错误;对于D,设x,y∈(P∩Q),则x,y∈P,x,y∈Q,若集合P,Q为封闭集,且P∩Q≠⌀,则x+y∈P,xy∈P,x+y∈Q,xy∈Q,从而x+y∈(P∩Q),xy∈(P∩Q),故P∩Q是封闭集,故D正确.故选AD. 10.4　[解析] 满足x2+y2≤2的整数对(x,y)有(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),故A中元素的个数为4. 11.2　[解析] 若A∩B=B,则B⊆A.当1=3a,即a=时,A=,B={9,1},满足题意.当3a=a2时,a=3或a=0.当a=0时,A={1,9,0},B={9,0},满足题意;当a=3时,集合A中的元素不满足元素的互异性,舍去.综上所述,a=0或a=,故满足A∩B=B的实数a的个数为2. 12.4　[解析] 如图所示,因为有15人既去过A处也去过B处,10人三处都去过,所以同时去过A处和B处,且未去过C处的有15-10=5(人);同理可得,同时去过A处和C处,且未去过B处的有8人;同时去过B处和C处,且未去过A处的有6人.则只去过A处的有25-5-10-8=2(人),只去过B处的有30-5-10-6=9(人),只去过C处的有30-8-10-6=6(人),可得至少去过一处的有2+5+10+8+6+9+6=46(人),所以三处都没去过的同学有50-46=4(人). 13.解:(1)当k=3时,B={x|4≤x≤5}, 所以A∪B={x|2<x≤5}, 又因为∁RA={x|x≤2或x>4}, 所以(∁RA)∩B={x|4<x≤5}. (2)因为A∪B=A,所以B⊆A. 当k+1>2k-1,即k<2时,B=⌀,符合题意; 当k+1≤2k-1,即k≥2时, 若B⊆A,则解得2≤k≤. 综上,k的取值范围为. 14.解:(1)∵A={x|x2-5x+6=0}={2,3},B={x|x2+2x-8=0}={-4,2},∴A∩B={2},若(A∩B)⊆C,则2∈C,则22-2a+a2-19=0,解得a=-3或a=5. (2)∵A∩C≠⌀,B∩C=⌀,∴3∈C,2∉C,-4∉C, 则解得a=-2. 15.解:(1)由题意可得A2={9,4,0},A2={-1,0,2,4}. (2)①设x∈B2,则x-1∈B2 (-1). 因为B2 (-1)⊆A,所以x-1∈A, 所以(x-1)+1∈A1,即x∈A1,因此B2⊆A1, 因为A={-1,0},所以A1={0,1},所以B2⊆{0,1}⊆B,故B中至少有0和1两个元素,所以B2={0,1}, 故B={0,1}或B={-1,0,1}. ②证明:设x∈A,因为A1⊆B,所以x+1∈B, 又因为B2 (-1)⊆A,所以(x+1)2-1∈A,即x2+2x∈A,若0∈A,则02+2×0=0∈A,故A可以是{0}; 若-1∈A,则(-1)2+2×(-1)=-1∈A,故A可以是{-1},{-1,0};若-2∈A,则(-2)2+2×(-2)=0∈A,故A可以是{-2,0},{-2,-1,0}; 若1∈A,则12+2×1=3∈A,32+2×3=15∈A,…, 像这样可以得到无限个A中的元素,不符合A是有限集; 若-3∈A,则(-3)2+2×(-3)=3∈A,32+2×3=15∈A,…,同样不符合A是有限集;同理可得,当x>1或x<-3(x∈Z)时,也不符合A是有限集. 综上,A可以是{0},{-1},{-1,0},{-2,0},{-2,-1,0}, 均满足A⊆{-2,-1,0}. 学科网（北京）股份有限公司 $