1.1 集合的概念 （Word学生用书）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一学生用书（人教A版）

**基本信息** 该同步练习围绕“集合的概念”，通过“知识点梳理—诊断分析—探究应用”三层递进设计，构建从概念理解到综合应用的巩固路径，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |知识点梳理|元素与集合含义、表示法等基础概念|填空形式强化符号语言，夯实抽象能力| |诊断分析|集合元素特性、关系判断|正误判断与简单问答结合，培养推理意识| |探究应用|元素特性综合应用、集合表示|例题与变式搭配选择、解答题，提升问题解决能力|

第一章　集合与常用逻辑用语 1.1　集合的概念 【学习目标】 　　1.了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系. 　　2.能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合. ◆ 知识点一　元素与集合的含义 1.元素的含义与表示:一般地,我们把研究对象统称为　　　　,用小写拉丁字母a,b,c,…表示.  2.集合的含义与表示:把一些元素　　　　　　叫作集合(简称为集),通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示.  3.集合元素的特性:　　　　性、　　　　性、无序性.  4.集合相等:只要构成两个集合的　　　　是一样的,我们就称这两个集合是相等的.  5.元素与集合的关系:如果a是集合A中的元素,就说a　　　　集合A,记作　　　　;如果　　　　　　　　　　　,就说a不属于集合A,记作　　　　.  6.常用数集及其记法: 常见的数集 符号表示 自然数集 　　　  正整数集 　　　　或　　　　  整数集 　　　  有理数集 　　　  实数集 　　　  【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)中国著名的科学家可以组成一个集合. (　 ) (2)参加2026年冬奥会的国家和地区代表团可以组成一个集合. (　 ) (3)不超过π的实数可以组成一个集合. (　 ) 2.某中学高一年级共8个班,这8个班组成一个集合A. (1)高一(2)班、高二(8)班是集合A中的元素吗? (2)若a∈A,b∈A,则元素a,b有什么关系?为什么? ◆ 知识点二　集合的表示法 1.列举法:把集合的所有元素一一列举出来,并用　　　　　　括起来表示集合的方法叫作列举法(注意元素间要用“,”隔开,如{-1,0,1,2}).  2.描述法:设A是一个集合,把集合A中所有具有　　　　特征P(x)的元素x所组成的集合表示为 　　　　　　,这种表示集合的方法称为描述法.  【诊断分析】 1.方程(x+1)(x-2)=0的实数根组成的集合中有多少个元素?并用适当的方法表示这个集合. 2.由抛物线y=x2上的点组成的集合中有多少个元素?并用适当的方法表示这个集合. ◆ 探究点一　元素与集合的含义 例1 下列各项中,不可以组成集合的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.所有的正数 B.方程x2=1的实数根 C.2025年第四季度见义勇为勇士榜上榜勇士 D.我校很喜欢足球的同学 变式 (多选题)下列各项中,不能组成集合的是 (　 ) A.无限接近0的实数 B.周长为10 cm的三角形 C.高一(1)班视力比较好的同学 D.参加中国共产党第二十届三中全会的全体代表 例2 (1)用符号“∈”或“∉”填空:0　　　 N;　　　 Q;2.4　　　 Z;　　　 Q;4　　　 Z.  (2)已知集合A=,则 (　 ) A.∈A B.+∉A C.∈A D.-∉A 变式 (1)下列元素与集合的关系中,正确的是(　 ) A.-1∈N B.0∉N* C.∈Q D.∉R (2) (多选题)下列说法正确的是 (　 ) A.N*中最小的数是1 B.若-a∉N*,则a∈N* C.若a∈N*,b∈N*,a≠b,则a+b的最小值是3 D.x2+4=4x的实数解组成的集合中含有2个元素 (3)设集合M满足:①2∉M;②若x∈M,则∈M.已知3∈M,则M中必含有的元素是　　　　　　.  [素养小结] (1)判断元素能否组成集合,关键是集合中元素的确定性,即能否找到一个明确的评判标准来衡量元素是否为集合中的元素,若标准明确则可以组成集合,否则不可以. (2)判断一个元素是否属于某一集合,就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足,就是“属于”关系;若不满足,就是“不属于”关系.特别注意,符号“∈”与“∉”只表示元素与集合的关系. ◆ 探究点二　集合中元素的特性 例3 (1)若以集合A中的四个元素a,b,c,d(a,b,c,d均为正数)为边长构成一个四边形,则这个四边形可能是 (　 ) A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 (2)已知集合A中有三个元素0,a-3,a2-2a,且-1∈A,则实数a=　　　　.  变式 (1)已知集合A中含有三个元素x,x+1,1,集合B中含有三个元素x,x2+x,x2,且A与B中的元素相同,则实数x的值为　　　　.  (2)若集合{x|ax2+2x+1=0}中只含有一个元素b,则b的值为　　　　.  [素养小结] (1)对于求集合中字母参数的问题,常根据集合中元素的确定性得出字母的所有可能取值,再利用集合中元素的互异性进行检验. (2)在利用集合中元素的特性解题时常用分类讨论思想,注意分类的标准要明确. ◆ 探究点三　集合的表示 角度1　列举法表示集合 例4 用列举法表示下列集合. (1)中国的直辖市组成的集合; (2)15的正约数组成的集合; (3)满足-2≤x≤3且x∈Z的数组成的集合; (4)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合. [素养小结] 用列举法表示集合应注意的三点: (1)应先弄清集合中的元素是什么,是数还是点,还是其他元素; (2)集合中的元素一定要写全,但不能重复; (3)若集合中的元素是点,则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素. 角度2　描述法表示集合 例5 用描述法表示下列集合. (1)二次函数y=x2+1的函数值组成的集合A; (2)被3除余2的正整数组成的集合B; (3)正奇数组成的集合C. 变式 用适当的方法表示下列集合. (1)中国古代四大发明组成的集合; (2)二次函数y=x2-4的函数值组成的集合; (3)方程x2=x的所有实数解组成的集合; (4)不等式3x≥4-2x的解组成的集合. [素养小结] (1)用描述法表示集合,应先弄清集合的属性,是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,而点集则用一个有序实数对来代表其元素. (2)若描述部分出现元素记号以外的字母时,则要对新字母说明其含义或指出其取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 　　　　　　　　　第一章　集合与常用逻辑用语 1.1　集合的概念 【课前预习】 知识点一 1.元素　2.组成的总体 3.确定　互异　4.元素 5.属于　a∈A　a不是集合A中的元素 a∉A 6.N　N*　N+　Z　Q　R 诊断分析 1.(1) ×　(2)√　(3)√ [解析] (1)中国著名的科学家是不确定的,不能组成集合. (2)参加2026年冬奥会的国家和地区代表团是确定的,可以组成一个集合. (3)任给一个实数x,可以明确地判断x是不是“不超过π的实数”,故不超过π的实数可以组成一个集合. 2.解:(1)因为集合A是由高一年级的8个班组成的,所以高一(2)班是集合A中的元素,高二(8)班不是集合A中的元素. (2)a,b是高一年级的8个班中两个不同的班.因为集合A中的元素具有互异性,所以a与b是不同的班. 知识点二 1.花括号“{　}”　2.共同　{x∈A|P(x)} 诊断分析 1.解:解方程(x+1)(x-2)=0,可得x=-1或x=2,故方程(x+1)(x-2)=0的实数根组成的集合中有2个元素,分别是-1,2. 用列举法表示这个集合为{-1,2}. 2.解:由抛物线y=x2上的点组成的集合中有无限个元素,用描述法表示这个集合为{(x,y)| y=x2,x∈R}. 【课中探究】 探究点一 例1　D　[解析] 集合中的元素需满足确定性、互异性、无序性.因为“我校很喜欢足球的同学”中的“很喜欢”没有明确的判定标准,是不确定的,所以不能组成集合,故选D. 变式　AC　[解析] 根据集合中元素的确定性可知,对于选项A,C中的“无限接近0的实数”“高一(1)班视力比较好的同学”均没有判定标准,不满足确定性,故A,C均不能组成集合;对于选项B,周长为10 cm的三角形具有确定性,只是数量有无限个,故B能组成集合;对于选项D,“参加中国共产党第二十届三中全会的全体代表”有统一的判定标准,满足确定性,故D能组成集合.故选AC. 例2　(1)∈　∈　∉　∉　∈　(2)C [解析] (1)因为N是自然数集,Q是有理数集,Z是整数集,所以0∈N,∈Q,2.4∉Z,∉Q,4∈Z. (2)对于A选项,若∈A,则=m+,可得m==1-∉Z,所以∉A,故A错误;对于B选项,+=×1+∈A,故B错误;对于C选项,=×0+∈A,故C正确;对于D选项,-=×(-1)+∈A,故D错误.故选C. 变式　(1)B　(2)AC　(2)-2,,,3 [解析] (1)N表示自然数集,-1不是自然数,故A错误;N*表示正整数集,0不是正整数,故B正确;Q表示有理数集,不是有理数,故C错误;R表示实数集,是实数,故D错误.故选B. (2)对于A,N*中最小的数是1,故A正确;对于B,-∉N*,且∉N*,故B错误;对于C,若a∈N*,b∈N*,a≠b,则a+b的最小值是1+2=3,故C正确;对于D,x2+4=4x的实数解组成的集合中含有一个元素2,故D错误.故选AC. (3)由3∈M,得=-2∈M;由-2∈M,得=∈M;由∈M,得=∈M;由∈M,得=3∈M.所以M中必含有的元素是-2,,,3. 探究点二 例3　(1)A　(2)1　[解析] (1)由题知a,b,c,d四个元素互不相同,则它们组成的四边形的四条边长都不相等.故选A. (2)若-1∈A,则a-3=-1或a2-2a=-1.当a-3=-1时,a=2,此时a2-2a=0,不满足集合中元素的互异性;当a2-2a=-1时,a=1,此时a-3=-2,集合A={0,-2,-1}.因此,实数a=1. 变式　(1)-1　(2)-或-1 [解析] (1)∵A与B中的元素相同,∴或解得x=±1.当x=1时,不符合集合中元素的互异性,∴x=-1. (2)由题意知ax2+2x+1=0只有一个实数根. ①当a=0时,ax2+2x+1=0即为2x+1=0,解得x=-,此时集合{x|2x+1=0}即为,故b=-; ②当a≠0时,由Δ=4-4a=0,得a=1,此时集合{x|x2+2x+1=0}即为{x|x=-1},故b=-1.所以b的值为-或-1. 探究点三 例4　解:(1)中国的直辖市组成的集合为{北京市,天津市,上海市,重庆市}. (2)15的正约数组成的集合为{1,3,5,15}. (3)因为-2≤x≤3,x∈Z,所以x=-2,-1,0,1,2,3,所以所求集合为{-2,-1,0,1,2,3}. (4)由解得即两直线的交点为(1,1),故所求集合为{(1,1)}. 例5　解:(1)函数值组成的集合就是y的取值组成的集合,所以A={y|y=x2+1,x∈R}. (2)设被3除余2的正整数为x,则x=3n+2,n∈N,所以B={x|x=3n+2,n∈N}. (3)正奇数x可用式子x=2n-1,n∈N*表示,所以C={x|x=2n-1,n∈N*}. 变式　解:(1)中国古代四大发明组成的集合为{造纸术,印刷术,指南针,火药}. (2)二次函数y=x2-4的函数值y组成的集合为{y|y=x2-4,x∈R}={y|y≥-4}. (3)由x2=x得x=0或x=1,所以方程x2=x的所有实数解组成的集合为{0,1}. (4)由3x≥4-2x,得x≥,所以不等式3x≥4-2x的解组成的集合为. 学科网（北京）股份有限公司 $