2.1.3 方程组的解集教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“方程组的解集”，通过“尝试与发现”活动从二元一次方程的解与解集类型切入，衔接初中消元法，延伸至三元一次、二元二次方程组解法，构建知识支架。 融合《九章算术》问题培养数学建模与抽象能力，借助GeoGebra软件提升运算效率，分层评价任务检测核心素养达成，助力学生提升问题解决能力，教师高效把握教学效果。

课题 2.1.3 方程组的解集 学校 课型 新授 授课人 时间 课时 教材 学生 分析 教材讨论了方程组的解法，强调了加减消元法和代入法，在复习初中二元一次方程组解法的基础上进一步学习了三元一次方程组、二元二次方程组的解法，这都为学生今后的学习打下了基础。 教学 目标 1．掌握解方程组的方法. 2．判断方程组解集是有限集还是无限集. 3．解读古代数学语境，能正确列出方程组. 核心 素养 数学抽象：学会消元法解方程组的思想方法。 数学建模：在实际情景中分析问题，构建方程组模型，计算结果，检验结果实际性。 数学运算: 理解集合运算对象，在方程组中有的放矢选择运算法则。 数据分析: 根据方程组未知数的个数和方程的个数，判断方程组的解集为有限解还是无限解。 重点 难点 教学重点：用消元法解方程组；判断方程组是有限集还是无限集；在古代语境中能正确列出方程组. 教学难点：在应用题中正确解读语境，能够列出题目要求的方程组. 教法 教具 讲授法：借助多媒体设备、教学软件和网络资源，通过生动的语言和丰富的教学经验深入讲解，确保学生能够准确理解并掌握相关知识点，并配备导学案，数学卡片和尺规等教具。 评价 任务 评价任务1检测目标1、3的达成 评价任务2检测目标1、2的达成 评价任务3检测目标1、2、3的综合达成 评价 量规 评价要点 评价标准 评价层级 不达标预判与 补救措施 1.课堂参与度； 2.知识的掌握程度； 3.小组合作能力。 1.小组参与度高，与组员积极合作交流，并正确得出结论；主动表达自己的观点和上台展示自己的成果且正确；思路清晰、知识梳理合理。 2.评价任务对题率达到80%及以上。 优秀 预判： 措施： 1.基本能参与小组合作讨论与交流；主动表达自己的观点，但不全面，知识梳理基本全面。 2.评价任务对题率达到60%以上。 达标 1.不参与小组合作，不主动表达观点；提问回答不全面；知识点理解不透，梳理不到位，缺少层次。 2. 评价任务对题率低于60%。 不达标 教 学 活 动 设 计 环节1：任务一：通过发现探究掌握解方程组的方法. 设计意图与反思 教师 活动 一、方程组的解集 【尝试与发现】 将x-y=1看成含有两个未知数x，y的方程： x=3 （1）判断（x，y）=（3，2）（指的是 y=2下同）是否是这个方程的解； （2）判断这个方程的解集是有限集还是无限集。 因为3-2=1，所以（x，y）=（3，2）是方程x-y=1的解，而且方程x-y=1的解集是无限集。 我们知道， x-y=1, ① x+y=3, ② 是一个方程组，而且通过①+②可以消去y，得到x=2；②－①可以消去x，得到y=1，从而得出这个方程组的解为（x，y）=（2，1）. 一般地，将多个方程联立，就能得到方程组.方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集。 因此，方程组 x-y=1, x+y=3, 的解集是 {（x，y）| x-y=1 } ∩ {（x，y）| x+y=3 }={（2，1）}. 由上可以看出，求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是以前学过的消元法。 【情境与问题】 《九章算术》第八章“方程”问题一：今有上禾三秉⑧，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗⑤；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何。 请列方程组求解这个问题. 设上禾实一秉x斗，中禾实一秉y斗，下禾实一秉z斗，根据题意，可列方程组 3x+2y+z=39， 2x+3y+z=34， x+2y+3z=26. 由此可解得这个方程组的解集 【拓展阅读】 《九章算术》中的代数成就简介 《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，全书分为九章，共246个问题，包含了算术、代数、几何等多方面的成就，代数方面，《九章算术》的第八章为“方程”，但指的是一次方程组，情境与问题中的题是其中的第一个问题。《九章算术》给出了解这个问题的“方程术”，其实质是将方程中未知数的系数与最后的常数项排成长方形的形式，然后采用“遍乘直除”的算法来解，过程可表示如下。 3 2 1 39 3 2 1 39 3 2 1 39 4 0 0 37 2 3 1 34 0 5 1 24 0 5 1 24 0 4 0 17 1 2 3 26 0 4 8 39 0 0 4 11 0 0 4 11 其中第一步是将第二行的数乘以3，然后不断地减去第一行，直到第一个数变为0为止，然后对第三行做同样的操作，其余的步骤都类似。 不难看出，“遍乘直除”的目的在于消元.按照我国著名数学史学家李文林先生的说法，《九章算术》的方程术，是世界数学史上的一颗明珠， 《九章算术》在代数方面的另一项成就是引进了负数，在用“方程术”解方程组时，可能出现减数大于被减数的情形，为此，《九章算术》给出了“正负术”，即正负数的加减运算法则。 另外，“开方术”也是《九章算术》的代数成就之一，其实质是给出了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的数值求解步骤。 而且，“开方术”中还提到：若开之不尽者，为不可开。这是意识到了无理数的存在。你知道其他地区类似的代数成就出现的时间吗？感兴趣的同学请查阅有关书籍或网络进行了解吧！ 【尝试与发现】 x-y+z=1 设方程组 x+y-3z=5 的解集为A.判断（x，y，x）=（3，2，0）和（x，y，z）=（4，4，1）是否是集合A中的元素；判断A是一个有限集还是一个无限集. （x，y，z）=（3，2，0）和（x，y，x）=（4，4，1）均为上述方程组的解，而且，如果我们将z看成已知数，就可以解得x=z+3，y=2z+2， 这样一来，方程组的解集可以写成A={（x，y，z）|x=z+3，y=2z+2，z∈R）. 不难看出，这个集合含有无限多个元素，是一个无限集，这说明，当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来. 【典型例题】 例1．求方程组的解集. 解：将②代入①，整理得x2+x-2=0，解得x=1或x=-2. 利用②可知，x=1时，y=2；x=-2时，y=-1. 所以原方程组的解集为 {（1，2），（-2，-1）}. 例2．求方程组 x2+y2=2, ① (x-1)2+(y-2)2=1 ② 的解集. 【尝试与发现】 观察方程组中两个方程之间的联系，给出消元的方案. 解：由①-②，整理得 x+2y-3=0.③ 由③解得x=3-2y.代人①，并整理，得5y2-12y+7=0，解得 y=1或y= 利用③可知，y=1时，x=1；y=时，x= 因此，原方程组的解集为{（1，1），（ ， ）} 当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来． 求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式． 学生 活动 1.认真听课作好笔记，思考课中老师提出问题，不明白的问题通过小组合作进行探讨； 2.完成评价任务1，并进行自我评价. 评价任务1.方程组的解集为（ ） A．{1，1} B．{（x，y）|x＝1，y＝1} C．{2，－1} D．{（x，y）|x＝2，y＝－1} 评价结果 优秀 达标 不达标 学以致用，学用然后知不足！ 环节2：任务二：用信息技术求方程和方程组的解集 设计意图与反思 教师 活动 二、用信息技术求方程和方程组的解集 利用计算机软件可以迅速求出方程和方程组的解集。 在动态数学软件GeoGebra①中的“运算区”用solve命令，就可以得到方程和方程组的解集信息。 如下图所示是求解示例，其中第2个示例中的“{}”表示解集为空集，即不存在实数解；第5个示例表示将x，y看成未知数，求解方程组 x-y+z=1， x+y-3z=5. 其他结果请读者自行尝试与解读. ①GeoGebra是一个开源软件，可以免费下载、使用，软件的用法以及相关课件的下载，请参考本书的教师教学用书或本套教材的官方配套资源网站。 通过例题让学生知道求三元一次方程组解集的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程求解． 学生 活动 1.认真听课作好笔记，思考课中老师提出问题，不明白的问题通过小组合作进行探讨； 2.完成评价任务2，并进行自我评价. 评价任务2. 方程组的解集为________． 评价结果 优秀 达标 不达标 学以致用，学用然后知不足！ 环节3：任务三：师生共研，走素养之路 设计意图与反思 教师 活动 类型一 n元一次方程组 例1．解方程组 类型二 “二·一”型的二元二次方程组 例2．求方程组的解集． 类型三 “二·二”型的二元二次方程组 例3．解方程组 规律方法：“二·一”型的二元二次方程组的实数解有三种情况：有一解、两解和没有解．把一元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程．由根的判别式可知，解的情况可能是有两个不相等的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情况．简言之，有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的情况，一般可通过一元二次方程的根的判别式来判断． 通过典型例题和类型分类培养学生的逻辑推理、数学抽象和数学运算等素养。 学生 活动 1.认真听课作好笔记，思考课中老师提出问题，不进行探讨； 2.完成评价任务3明白的问题通过小组合作，并进行自我评价. 评价任务3. 1：用适当的方法解方程组： 2：解方程组 3：解方程组 评价结果 优秀 达标 不达标 学以致用，学用然后知不足！ 环节4：板书设计与课堂小结 设计意图与反思 1.学生根据教师的板书内容自主归纳总结本节课学习的主要内容，可以利用口头描述，也可以用思维导图或知识架构图来归纳，并展示； 2.教师适时补充完善板书内容和学生的知识总结，帮助学生构建知识体系和知识网络。 培养学生的语言表达概括能力； 同时加深对知识的构建和理解。 环节5：训练巩固评价提升 设计意图与反思 1．方程组的解集为（ ） A．{－1，2} B．{（－1，2）} C．{2，－1} D．{（2，－1）} 2．方程组的解集为（ ） A．{（3，5），（－1，－3）} B．{（3，5）} C．{（－1，3）} D．{（3，5），（3，－1）} 3．若＝＝，且x＋y＋z＝102，则x＝________． 4．若方程组的解集为{（8.3，1.2）}，则方程组 的解集为________． 5．解下列三元一（二）次方程组： （1） （2） 针对本节学习目标，通过检测便于教师及时了解学生的目标达成情况，也便于查缺补漏，评价量化。 环节6：回扣目标 设计意图与反思 1.请大家回看本节学习目标，通过这节课的学习，你达到目标了吗？ 2.学生对照学习目标，在自我评价表中自评 3.根据课堂检测情况，教师对学生进行最后综合评价。 结合前面量规和过程性评价给学生进行量化。 环节7：迁移应用及作业设计 设计意图与反思 1．方程组的解集为（ ） A． B．{（1，2），（1，－2）} C．{（1，2），（－1，－2）} D．{（2，1），（－2，1）} 2．已知方程组的解也是方程3x＋my＋2z＝0的解，则m的值为________． 3．解方程组： （1） （2） 4．k为何值时，方程组 （1）有一个实数解，并求出此解； （2）有两个不相等的实数解； （3）没有实数解． 因材施教，分层练习，让每名学生各有所学，体验学习的快乐。 . 学科网（北京）股份有限公司 $