5.3.2 事件之间的关系与运算 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦事件的包含、相等、和、积、互斥与对立关系及概率公式，通过复习集合的包含、并、交、补运算，建立事件与集合的对应联系，以集合语言为学习支架实现知识迁移。 资料亮点在于运用多媒体课件中的维恩图动态演示辅助概念构建，结合抛掷骰子、射击等实例，培养学生数学眼光（几何直观）、思维（推理能力）与语言（模型意识），帮助学生理解复杂事件表示，提升教师教学效率与学生应用能力。

人教B版 5.3.2 事件之间的关系与运算 数学 必修第二册 高一 教学设计-2026-2027学年 一、教学目标 教学目标 目标内容 语言与知识 （1）能正确理解事件的包含、相等、和（并）、积（交）、互斥与对立的概念，会用集合符号表示事件之间的关系与运算结果。 能力与技能 （2）掌握互斥事件的概率加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)与对立事件的概率关系P(A)+P(Ā)=1，能区分互斥与对立的充要关系。 素养与应用 （3）能运用事件运算表示复杂事件（如恰有一个发生），将集合语言与自然语言相互转化并解决实际概率问题。 二、教学重难点 教学重点：事件的包含与相等、和（并）、积（交）、互斥与对立的定义及其概率性质，互斥事件的概率加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)，对立事件的概率关系P(A)+P(Ā)=1。 教学难点：用事件的运算表示复杂事件（如AB̄+ĀB表示恰有一个发生），互斥与对立的关系（对立是互斥的充分不必要条件），用集合语言与自然语言相互转化描述事件。 三、教学准备 教师准备多媒体课件，包含维恩图动态演示素材与例题板书设计；学生复习集合的包含、并集、交集、补集运算及古典概型概率公式。 四、教学流程设计 （一）复习引入，激活旧知 教师活动：教师回顾随机试验的样本空间与基本事件概念，提出问题——前面我们在事件与集合之间建立了对应关系，从而可用集合的一些术语、符号去描述事件之间的关系与运算，那么集合的包含、并、交、补运算对应到事件中应该如何定义？预设学生回答：集合的包含对应事件的包含，并集对应事件的和，交集对应事件的积，补集对应事件的对立事件。 学生活动：学生回忆集合运算符号⊆、∪、∩、∁，尝试将集合语言翻译为事件语言，在笔记本上画出对应的维恩图草图。 （二）探究发现，构建概念 教师活动：教师依次讲解事件的包含、相等、和、积、互斥、对立六个概念。一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称A包含于B（或B包含A），记作A⊆B（或B⊇A）；A⊆B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的充分条件，B发生是A发生的必要条件；如果A⊆B，则P(A)≤P(B)。如果事件A发生时事件B一定发生，而且事件B发生时事件A也一定发生，则称A与B相等，记作A=B；A=B⇔A⊆B且B⊆A；当A=B时P(A)=P(B)。 教师追问：给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和（或并），记作A+B（或A∪B），事件A+B发生当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生，那么A⊆(A+B)与B⊆(A+B)是否成立？预设学生回答：成立，因此P(A)≤P(A+B)且P(B)≤P(A+B)，且P(A+B)≤P(A)+P(B)。 学生活动：学生对照教材逐条理解定义，在维恩图中标注A⊆B、A+B、AB的区域，记录关键符号A+B、AB、Ā的含义，完成从集合运算到事件运算的知识迁移。 教师活动：教师继续讲解互斥与对立。给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥，记作AB=∅（或A∩B=∅）；当A与B互斥时，有P(A+B)=P(A)+P(B)，这称为互斥事件的概率加法公式；一般地，如果，，…，是两两互斥的事件，则P(++…+)=P()+P()+…+P()。给定样本空间Ω与事件A，由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件，记作Ā，用集合的观点来看，Ā是A在Ω中的补集；每次随机试验，在事件A与Ā中有一个发生而且只有一个发生，因此P(A)+P(Ā)=1。 教师追问：如果A与B相互对立，则A与B一定互斥吗？反之成立吗？预设学生回答：相互对立一定互斥，但互斥不一定对立（互斥事件可以同时不发生），即A与B相互对立是A与B互斥的充分不必要条件。 教师活动：教师讲解事件的混合运算。事件的三种运算——求和、求积、求对立事件，运算结果仍是事件，可以进行混合运算；例如(AB̄)+(ĀB)表示A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，即A与B中恰有一个发生；规定求积运算的优先级高于求和运算，因此(AB̄)+(ĀB)可简写为AB̄+ĀB。 上图为事件包含、和、积、对立关系的维恩图示意图，阴影区域分别对应A⊆B、A+B、AB、Ā所表示的样本点集合。 （三）例题精讲，巩固应用 教师活动：教师出示例题并引导学生分析。例：抛掷一枚均匀骰子，观察朝上的面的点数，记事件A=“点数为偶数”，事件B=“点数大于3”，事件C=“点数为质数”。（1）用样本点列举法写出A、B、C；（2）判断A与B是否互斥，并求P(A+B)；（3）求事件“C发生且A不发生”的概率。 解析：样本空间Ω={1，2，3，4，5，6}，A={2，4，6}，B={4，5，6}，C={2，3，5}。 （1）A={2，4，6}，B={4，5，6}，C={2，3，5}。 （2）A∩B={4，6}≠∅，故A与B不互斥。P(A)==，P(B)==，P(A∩B)==。由P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)（此处利用集合基数计算）=+−=。 （3）“C发生且A不发生”即CĀ。Ā={1，3，5}，C∩Ā={3，5}，故P(CĀ)==。 答案：（1）A={2，4，6}，B={4，5，6}，C={2，3，5}；（2）A与B不互斥，P(A+B)=；（3）P(CĀ)=。 学生活动：学生独立完成例题的样本点列举与概率计算，同桌互查互斥判定与对立事件书写是否规范，口头复述AB̄+ĀB表示恰有一个发生的含义。 （四）变式思考，解决问题 教师活动：教师给出变式练习。练习：甲、乙两人独立射击同一目标，甲命中的概率为0.6，乙命中的概率为0.5，两人恰有一人命中的概率为0.5，求目标被命中的概率。 解析：设A=“甲命中”，B=“乙命中”，则P(A)=0.6，P(B)=0.5，恰有一人命中即AB̄+ĀB，故P(AB̄+ĀB)=0.5。目标被命中为A+B，由P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)，而P(AB̄)=P(A)−P(AB)=0.6−P(AB)，P(ĀB)=P(B)−P(AB)=0.5−P(AB)，故P(AB̄+ĀB)=0.6−P(AB)+0.5−P(AB)=1.1−2P(AB)=0.5，解得P(AB)=0.3。因此P(A+B)=0.6+0.5−0.3=0.8。 答案：目标被命中的概率为0.8。 学生活动：学生思考变式题中事件A+B与AB̄+ĀB的关系，尝试用对立事件性质验证：目标未被命中即ĀB̄，P(ĀB̄)=1−P(A+B)=1−0.8=0.2，也可由P(Ā)·P(B̄)独立计算为0.4×0.5=0.2，结果一致。 （五）课堂小结 教师活动：教师引导学生回顾本节核心概念。思考题：互斥事件的概率加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)与一般情形P(A+B)≤P(A)+P(B)有何联系与区别？预设回答：互斥时AB=∅，P(AB)=0，公式取等号；一般情形P(AB)>0时为严格不等。对立事件满足P(A)+P(Ā)=1，常用于“至少有一个”型概率的正难则反求解。 （六）课后作业 1. 教材课后练习第1题：写出抛掷两枚硬币样本空间中事件“至少一个正面”与“恰好一个正面”的集合表示，并判断二者是否互斥。答案：Ω={正正，正反，反正，反反}，“至少一个正面”={正正，正反，反正}，“恰好一个正面”={正反，反正}，二者不互斥（前者包含后者）。 2. 某电路由元件A、B串联组成，A正常工作的概率为0.8，B正常工作的概率为0.9，两元件独立工作，求电路畅通的概率。答案：电路畅通即A∩B，P(AB)=0.8×0.9=0.72。 学科网（北京）股份有限公司 $