第四章 专题微课 指、对函数图象与性质的综合-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（人教B版）

专题微课　指、对函数图象与性质的综合 [建构知识体系] [融通学科素养] 1.浸润的核心素养 (1)通过指数、对数运算性质的学习与运用，重点提升数学运算素养. (2)通过作指数函数、对数函数的图象以及简单图象的平移翻折变换，提升直观想象和逻辑推理素养.(3)通过对指数函数、对数函数的图象及性质的运用，重点提升数学运算和逻辑推理素养. 2.渗透的数学思想 (1)涉及数形结合思想的题目类型有知式选图，图象变换和指数函数、对数函数图象的应用.函数图象形象地展示了函数的性质，为研究函数的性质提供了形象的直观性，它是探求解题路径，获得问题结果的重要工具. (2)常见的分类讨论有两种：一是当指数函数、对数函数的底数为字母参数时，要确定它的单调性需要讨论；二是含参数的不等式、方程，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需要分类讨论. 题型(一)　指数、对数函数的图象及应用 [例1]　(1)华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇.他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.若函数f(x)=loga(x+b)(a>0且a≠1，b∈R)的大致图象如图所示，则函数g(x)=a-x-b的大致图象是 (　　) (2)若关于x的不等式4x-logax≤在x∈恒成立，则实数a的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析：(1)由题意，根据函数f(x)=loga(x+b)的图象，可得0<a<1，0<b<1，根据指数函数y=a-x(0<a<1)的图象与性质，结合图象变换向下移动b个单位长度，可得函数g(x)=a-x-b的图象只有选项C符合.故选C. (2)由题意知关于x的不等式4x-≤logax在x∈恒成立，所以当x∈时，函数y=4x-的图象不在y=logax的图象的上方. 由图可知解得≤a<1.故选A. 答案：(1)C　(2)A |思|维|建|模| 　　指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图象，并会进行平移、对称、翻折等变换.　 　　[针对训练] 1.已知a>0，且a≠1，则函数f(x)=ax和g(x)=loga的图象只可能是 (　　) 解析：选C　函数g(x)的定义域是(-∞，0)，排除A、B；若0<a<1，则f(x)=ax是减函数，此时g(x)=loga是减函数，C、D都不满足；若a>1，则f(x)=ax是增函数，此时g(x)=loga是增函数，C满足. 2.已知函数f(x)=直线y=a与函数f(x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是　　　　.  解析：根据指数函数和对数函数的图象，画出f(x)的图象如图所示，数形结合可知，要满足题意，只需a∈(0，1]. 答案：(0，1] 题型(二)　解不等式、比较大小 [例2]　(1)已知a=0.20.3，2b=0.3，c=log0.30.2，则a，b，c的大小关系是 (　　) A.c>b>a B.c>a>b C.b>a>c D.a>c>b (2)设0<a<1，函数f(x)=loga(a2x-2ax-2)，则使f(x)<0的x的取值范围是 (　　) A.(-∞，0) B.(0，+∞) C.(-∞，loga3) D.(loga3，+∞) 解析：(1)因为y=0.2x在R上单调递减，所以0<0.20.3<0.20=1.所以0<a<1.又2b=0.3且y=log2x在(0，+∞)上单调递增，所以b=log20.3<log21=0.所以b<0.又y=log0.3x在(0，+∞)上单调递减，所以log0.30.2>log0.30.3=1.所以c>1.综上可知，c>a>b.故选B. (2)由已知得f(x)=loga(a2x-2ax-2)<0=loga1.又当0<a<1时，函数y=logax在(0，+∞)上单调递减，得a2x-2ax-2>1，即a2x-2ax-3>0，(ax-3)(ax+1)>0.因为ax+1>0，所以ax>3.又0<a<1，所以x<loga3.故选C. 答案：(1)B　(2)C |思|维|建|模| 　　方程、不等式的求解可利用单调性进行转化，对含参数的问题要进行分类讨论，同时还要注意变量本身的取值范围，以免出现增根；比较大小问题可直接利用单调性和中间值解决. 　　[针对训练] 3.若0<x<y<1，则 (　　) A.3y<3x B.logx3<logy3 C.log4x<log4y D.< 解析：选C　对于A，函数y=3x在R上单调递增，因为0<x<y<1，故3x<3y，A错误；对于B，根据底数a对对数函数y=logax的影响：当0<a<1时，在x∈(1，+∞)上“底小图高”.因为0<x<y<1，所以logx3>logy3，B错误；对于C，函数y=log4x在(0，+∞)上单调递增，故log4x<log4y，C正确；对于D，函数y=在R上单调递减，故>，D错误. 4.已知函数f(x)=lg(2x-b)(b为常数)，若x∈[1，+∞)时，f(x)≥0恒成立，则b的取值范围是　　　　.  解析：因为要使f(x)=lg(2x-b)在x∈[1，+∞)时，恒有f(x)≥0，所以有2x-b≥1在x∈[1，+∞)时恒成立，即2x≥b+1在x∈[1，+∞)上恒成立.又因为指数函数g(x)=2x在定义域上是增函数，所以只需2≥b+1成立即可，解得b≤1. 答案：(-∞，1] 题型(三)　指数、对数函数的创新问题 [例3]　设函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是增函数；②存在[m，n]⊆D(n>m)，使得f(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，那么就称y=f(x)是定义域为D的“成功函数”.若函数g(x)=loga(a2x+t)(a>0，a≠1)是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是 (　　) A.　 B.　 C.　 D. 解析：选A　依题意，函数g(x)=loga(a2x+t)的定义域为R，令u=a2x+t，显然u>0，函数y=logau在(0，+∞)上单调性与u=a2x+t在R上单调性相同，则函数g(x)在R上单调递增，显然t≥0，而当t=0时，函数g(x)=2x不满足条件②，因此t>0，由于函数g(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，则即于是m，n是方程(ax)2-ax+t=0的两个不等实根，令z=ax，则方程z2-z+t=0有两个不等的正实根，因此解得0<t<，所以t的取值范围是.故选A. |思|维|建|模| (1)研究函数的性质要树立定义域优先的原则. (2)换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题，该类问题中，常设u=logax或u=ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题.要注意换元后u的取值范围. [针对训练] 5.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2.已知函数f(x)=-，则函数y=[f(x)]+[f(-x)]的值域是 (　　) A.{1} B.{0，1} C.{-1，0} D.{-1，0，1} 解析：选C　∵f(x)=-=，f(-x)===-f(x)，∴f(x)为奇函数.易知f(x)=-=-， ∵1+ex>1，∴0<<1， 则-<-<. ∴当f(x)∈时，[f(x)]=-1，[f(-x)]=0；当f(x)∈时，[f(x)]=0，[f(-x)]=-1；当f(x)=0时，[f(x)]=[f(-x)]=0. ∴函数y=[f(x)]+[f(-x)]的值域是{-1，0}. 学科网（北京）股份有限公司 $