1.1 空间向量及其运算讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量及其运算核心知识点，系统梳理从概念（模、相等向量等）到线性运算（加减、数乘）、共线共面判定、数量积及投影向量的递进脉络，构建立体几何学习的基础支架。 资料通过7大题型分类，结合典例与变式训练，强化概念辨析与运算逻辑，培养学生抽象能力（数学眼光）和推理意识（数学思维）。课中辅助教师分层教学，课后过关验收助学生查漏补缺，提升用数学语言表达空间关系的能力。

1.1 空间向量及其运算 内 容 导 航 题型1 空间向量及其线性运算 题型2 空间向量的概念及属性 题型3 空间向量的加减运算 题型4 空间向量的数乘及线性运算 题型5 空间向量的共线与共面 题型6 空间向量的数量积运算 题型7 空间向量的投影向量与投影 考 点 演 练 题型1 空间向量及其线性运算 解｜题｜知｜识 1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示． 2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，|| 特别地： ①规定长度为0的向量为零向量，记作； ②模为1的向量叫做单位向量； 3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量． 4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为． 5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量． 6．注意： ①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行； ②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1； ③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量； ④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量； ⑤一般来说，向量不能比较大小． 1．加减法的定义： 空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法． 空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则． 2．加法运算律： 空间向量的加法满足交换律及结合律． （1）交换律： （2）结合律：． 3．推广： （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量： （求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量） （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量 ． 1．空间向量的数乘运算 实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． ①当λ＞0时，与的方向相同； ②当λ＜0时，与的方向相反； ③当λ＝0时，． ④|λ|＝|λ|•|| 的长度是的长度的|λ|倍． 2．运算律 空间向量的数乘满足分配律及结合律． （1）分配律：① ②（λ+μ） （2）结合律： 注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算． 【典例1】如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M满足，若，，，则下列向量中与相等的是（　　） A． B． C． D． 题型2 空间向量的概念及属性 解｜题｜知｜识 1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示． 2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，|| 特别地： ①规定长度为0的向量为零向量，记作； ②模为1的向量叫做单位向量； 3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量． 4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为． 5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量． 6．注意： ①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行； ②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1； ③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量； ④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量； ⑤一般来说，向量不能比较大小． 【解题方法点拨】 ﹣熟悉空间向量的概念，以及空间向量的几何表示． ﹣类比平面向量的概念，延伸至三维空间． 【命题方向】 ﹣主要考查空间向量的基础概念、几何表示及性质． 【典例1】下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则，的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【变式1】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与向量相等的向量有（　　） A． B． C． D． 【变式2】在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点，则与向量相反的向量为（　　） A． B． C． D． 题型3 空间向量的加减运算 解｜题｜知｜识 1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示． 2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，|| 特别地： ①规定长度为0的向量为零向量，记作； ②模为1的向量叫做单位向量； 3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量． 4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为． 5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量． 6．注意： ①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行； ②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1； ③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量； ④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量； ⑤一般来说，向量不能比较大小． 1．加减法的定义： 空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法． 空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则． 2．加法运算律： 空间向量的加法满足交换律及结合律． （1）交换律： （2）结合律：． 3．推广： （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量： （求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量） （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量 ． 【解题方法点拨】 ﹣逐分量运算：按照向量的分量进行加减运算． 【命题方向】 ﹣向量运算：考查如何进行空间向量的加法和减法运算． 【典例1】在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC∩BD＝O，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P﹣ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，点E是PC边上一点，且，若，则2x+y+z＝（　　） A．1 B． C．2 D． 【变式2】如图所示的几何体是一个平行六面体，则（　　） A． B． C． D． 【变式3】若，，则（　　） A．（2，﹣4，2） B．（﹣2，4，﹣2） C．（2，0，2） D．（﹣2，﹣1，﹣3） 题型4 空间向量的数乘及线性运算 解｜题｜知｜识 1．空间向量的数乘运算 实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． ①当λ＞0时，与的方向相同； ②当λ＜0时，与的方向相反； ③当λ＝0时，． ④|λ|＝|λ|•|| 的长度是的长度的|λ|倍． 2．运算律 空间向量的数乘满足分配律及结合律． （1）分配律：① ②（λ+μ） （2）结合律： 注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算． 【解题方法点拨】 ﹣标量运算：进行数乘运算时，将标量与向量分量相乘． ﹣线性组合：应用线性组合公式，计算向量的线性组合结果． 【命题方向】 ﹣向量数乘和线性运算：考查如何进行空间向量的数乘和线性组合运算． 【典例1】如图，在三棱锥O﹣ABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC中点，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在三棱锥P﹣ABC中，点D满足，，则x﹣y+z＝（　　） A． B． C． D．2 【变式2】如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，，若，则（　　） A． B． C．6 D． 【变式3】如图，在四面体OABC中，D为BC的中点，，且P为OG的中点，则（　　） A． B． C． D． 题型5 空间向量的共线与共面 解｜题｜知｜识 1．定义 （1）共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作．与任意向量是共线向量． （2）共面向量 平行于同一平面的向量叫做共面向量． 2．定理 （1）共线向量定理 对于空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数λ，使得． （2）共面向量定理 如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使得． 【解题方法点拨】 空间向量共线问题： （1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出，从而． （2）表示与所在的直线平行或重合两种情况． 空间向量共面问题： （1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化． （2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使．满足这个关系式的点P都在平面MAB内，反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面． 证明三个向量共面的常用方法： （1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合； （2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行． 【典例1】已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），则（　　） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，5） 【变式1】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，，，，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则 ． 【变式2】已知向量（2，m，3），（﹣4，2，n），若∥，则m+n＝（　　） A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7 【变式3】已知A、B、C三点不共线，点O在平面ABC外，点P满足，则当点P、A、B、C四点共面时，实数x＝（　　） A． B． C． D． 题型6 空间向量的数量积运算 解｜题｜知｜识 1．空间向量的夹角 已知两个非零向量、，在空间中任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，． 2．空间向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量、，则||||cos，叫做向量与的数量积，记作•，即•||||cos， （2）几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积，或的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积． 3．空间向量的数量积运算律 空间向量的数量积满足交换律和分配律． （1）交换律：λ（）•（） （2）分配律：． 4．数量积的理解 （1）书写向量的数量积时，只能用符号，而不能用符号，也不能用 （2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． （3）当时，由0不能推出一定是零向量，这是因为任一个与垂直的非零向量，都有 【解题方法点拨】 利用数量积求直线夹角或余弦值的方法： 利用数量积求两点间的距离： 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小． 利用数量积证明垂直关系： （1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断时，须指明，； （2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量，，的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直． 【典例1】已知，且2，则m＝（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【变式1】棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 【变式2】已知向量（4，﹣2，﹣4），（6，﹣3，2），则下列结论正确的是（　　） A．（10，﹣5，﹣6） B．（2，﹣1，﹣6） C．•10 D．||＝6 【变式3】已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，M是C1D1的中点，则 　 　 ． 题型7 空间向量的投影向量与投影 解｜题｜知｜识 ﹣投影向量：向量在上的投影是． ﹣投影长度：投影的长度为． 【解题方法点拨】 ﹣计算投影：使用点积和向量模计算投影向量及其长度． 【命题方向】 ﹣向量投影：考查如何计算向量在另一个向量上的投影及其长度． 【典例1】已知为空间向量且，则在方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【变式1】向量，，则在上的投影向量的坐标为 ． 【变式2】如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，E，F分别为AB，A1C1的中点，则（　　） A． B． C．在平面BCC1B1上的投影向量的模长为 D．在上的投影向量为 【变式3】在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（　　） A．向量（﹣1，1，1）是的一个单位向量 B．若，则m＝±2 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则m＝﹣3 过 关 验 收 1．若，，，则的值为（　　） A．（4，6，﹣5） B．5 C．7 D．36 （多选）2．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，（　　） A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则y﹣x＝（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 4．已知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（　　） A．0 B．2 C．﹣1 D．﹣2 （多选）5．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1，点E是CC1上靠近C1的三等分点，设，，，则（　　） A． B． C．AE＝4 D．D1B1⊥AE 6．三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M为PG的中点，过点M的平面分别交PA，PB，PC于点A′，B′，C′，且，且x＞0，y＞0，z＞0，则的最小值为 　 ． （多选）7．下面四个结论正确的是（　　） A．若A，B，C三点不共线，面ABC外的任一点O，有，则M，A，B，C四点共面 B．有两个不同的平面α，β的法向量分别为，且（1，2，﹣2），（﹣2，﹣4，﹣4），则α∥β C．已知为平面α的一个法向量，为直线l的一个方向向量，若，，则l与α所成角为 D．已知向量（1，1，x），（﹣3，x，9），若x，则，为钝角 8．已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则xy的最大值为（　　） A． B． C．1 D．2 9．对于空间中任意三个向量，，2，它们一定是（　　） A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面向量 10．已知空间两点A（1，﹣1，﹣2），B（3，0，﹣4），向量满足∥，则实数m的值为（　　） A．0 B．1 C．0或1 D．不存在 11．已知空间向量，，则以为单位正交基底时的坐标为（　　） A．（5，﹣3，4） B．（5，﹣2，4） C．（2，﹣3，3） D．（3，1，1） 12．下列命题中正确的是（　　） ①若，则P，A，B三点共线； ②若，则A，B，C，D四点共面； ③若，则P，A，B，C四点共面． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 13．已知向量与共线，则（　　） A． B． C． D． 14．设x，y∈R，向量，，，则2x+y＝（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 15．设ABCD是空间四边形，E，F分别是AB，CD的中点，则满足（　　） A．共线 B．共面 C．不共面 D．可作为空间基向量 16．若直线L1，L2的方向向量分别为，则L1，L2的位置关系是（　　） A．垂直 B．重合 C．平行 D．平行或重合 17．已知空间向量，若，则x＝（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3 18．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AB＝3，E，M在棱AB上，N，F在棱AC上，P，G在棱AD上，且AE＝EM＝MB，AN＝NF＝FC，AP＝PG＝GD，平面EFG∩平面MNP＝O1O2，点O为线段O1O2上的一个动点（不包括端点），则（　　） A．4 B．2 C．3 D．不确定 19．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体．正十二面体，正二十面体，已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），M，N分别为棱AD，AC的中点，则　 ． 20．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BC，AA1的中点，P，Q分别为线段D1A1，C1D1上的动点（不包括端点）满足EP⊥FQ，则线段PQ的长度最小值为（　　） A． B．2 C． D． 21．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝2，AD＝3，若，，，则（　　） A．0 B．1 C．4 D．9 （多选）22．已知空间向量（2，﹣1，1），（1，2，3），则下列结论正确的是（　　） A．（3，2，5）与，共面 B．||＝26 C．在上的投影向量为 D．与夹角的余弦值为 23．如图，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，M和N分别是BB′和CA′的中点． （1）求的值； （2）求证：； （3）求直线BC′和MN所成角的大小． 24．在三棱锥A﹣BCD中，若AB⊥BD，CD⊥BD，BD＝1，则（　　） A． B．1 C． D．0 25．在棱长均相等的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝∠DAB＝60°，则向量在向量上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 26．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 空间向量及其运算 内 容 导 航 题型1 空间向量及其线性运算 题型2 空间向量的概念及属性 题型3 空间向量的加减运算 题型4 空间向量的数乘及线性运算 题型5 空间向量的共线与共面 题型6 空间向量的数量积运算 题型7 空间向量的投影向量与投影 考 点 演 练 题型1 空间向量及其线性运算 解｜题｜知｜识 1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示． 2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，|| 特别地： ①规定长度为0的向量为零向量，记作； ②模为1的向量叫做单位向量； 3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量． 4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为． 5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量． 6．注意： ①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行； ②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1； ③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量； ④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量； ⑤一般来说，向量不能比较大小． 1．加减法的定义： 空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法． 空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则． 2．加法运算律： 空间向量的加法满足交换律及结合律． （1）交换律： （2）结合律：． 3．推广： （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量： （求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量） （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量 ． 1．空间向量的数乘运算 实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． ①当λ＞0时，与的方向相同； ②当λ＜0时，与的方向相反； ③当λ＝0时，． ④|λ|＝|λ|•|| 的长度是的长度的|λ|倍． 2．运算律 空间向量的数乘满足分配律及结合律． （1）分配律：① ②（λ+μ） （2）结合律： 注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算． 【典例1】如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M满足，若，，，则下列向量中与相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M满足，，，， ． 故选：A． 题型2 空间向量的概念及属性 解｜题｜知｜识 1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示． 2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，|| 特别地： ①规定长度为0的向量为零向量，记作； ②模为1的向量叫做单位向量； 3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量． 4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为． 5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量． 6．注意： ①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行； ②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1； ③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量； ④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量； ⑤一般来说，向量不能比较大小． 【解题方法点拨】 ﹣熟悉空间向量的概念，以及空间向量的几何表示． ﹣类比平面向量的概念，延伸至三维空间． 【命题方向】 ﹣主要考查空间向量的基础概念、几何表示及性质． 【典例1】下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则，的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【解答】解：对于A，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B，只能说明，的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C，向量作为矢量不能比较大小，故C错误； 对于D，相等向量方向相同大小相等，故D正确． 故选：D． 【变式1】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与向量相等的向量有（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：作出示意图如下： 由正方体性质可知与相等的向量有． 故选：A． 【变式2】在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点，则与向量相反的向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点， 所以作出示意图如下： 则EF∥A1B且，A1B∥D1C，A1B＝D1C， 所以与向量相反的向量为． 故选：C． 题型3 空间向量的加减运算 解｜题｜知｜识 1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示． 2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为||，|| 特别地： ①规定长度为0的向量为零向量，记作； ②模为1的向量叫做单位向量； 3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量． 4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如的相反向量记为． 5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量． 6．注意： ①零向量的方向是任意的，规定与任何向量平行； ②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1； ③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量； ④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量； ⑤一般来说，向量不能比较大小． 1．加减法的定义： 空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法． 空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则． 2．加法运算律： 空间向量的加法满足交换律及结合律． （1）交换律： （2）结合律：． 3．推广： （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量： （求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量） （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量 ． 【解题方法点拨】 ﹣逐分量运算：按照向量的分量进行加减运算． 【命题方向】 ﹣向量运算：考查如何进行空间向量的加法和减法运算． 【典例1】在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC∩BD＝O，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解： 因为底面ABCD是平行四边形，AC∩BD＝O，所以O是AC、BD的中点． 由向量加法的平行四边形法则可得，． 故选：D． 【变式1】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P﹣ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD，点E是PC边上一点，且，若，则2x+y+z＝（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解答】解：因为，故， 而 ， 而不共面，若， 故，故2x+y+z＝2． 故选：C． 【变式2】如图所示的几何体是一个平行六面体，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：因为， 所以． 故选：D． 【变式3】若，，则（　　） A．（2，﹣4，2） B．（﹣2，4，﹣2） C．（2，0，2） D．（﹣2，﹣1，﹣3） 【答案】A 【解答】解：． 故选：A． 题型4 空间向量的数乘及线性运算 解｜题｜知｜识 1．空间向量的数乘运算 实数λ与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． ①当λ＞0时，与的方向相同； ②当λ＜0时，与的方向相反； ③当λ＝0时，． ④|λ|＝|λ|•|| 的长度是的长度的|λ|倍． 2．运算律 空间向量的数乘满足分配律及结合律． （1）分配律：① ②（λ+μ） （2）结合律： 注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如等无法计算． 【解题方法点拨】 ﹣标量运算：进行数乘运算时，将标量与向量分量相乘． ﹣线性组合：应用线性组合公式，计算向量的线性组合结果． 【命题方向】 ﹣向量数乘和线性运算：考查如何进行空间向量的数乘和线性组合运算． 【典例1】如图，在三棱锥O﹣ABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意，． 故选：A． 【变式1】如图，在三棱锥P﹣ABC中，点D满足，，则x﹣y+z＝（　　） A． B． C． D．2 【答案】D 【解答】解：由题意可知，， 所以，y＝﹣1，， 所以x﹣y+z＝2． 故选：D． 【变式2】如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，，若，则（　　） A． B． C．6 D． 【答案】D 【解答】解：已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，， 因为， 所以， 则 ， 所以． 故选：D． 【变式3】如图，在四面体OABC中，D为BC的中点，，且P为OG的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意：． 故选：A． 题型5 空间向量的共线与共面 解｜题｜知｜识 1．定义 （1）共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作．与任意向量是共线向量． （2）共面向量 平行于同一平面的向量叫做共面向量． 2．定理 （1）共线向量定理 对于空间任意两个向量、（），的充要条件是存在实数λ，使得． （2）共面向量定理 如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使得． 【解题方法点拨】 空间向量共线问题： （1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出，从而． （2）表示与所在的直线平行或重合两种情况． 空间向量共面问题： （1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化． （2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使．满足这个关系式的点P都在平面MAB内，反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面． 证明三个向量共面的常用方法： （1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合； （2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行． 【典例1】已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），则（　　） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣2，5） 【答案】D 【解答】解：空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1）， 对于A，由，，， ∴与不是共线向量，故A错误； 对于B，的单位向量为或，故B错误； 对于C，， ∴cos，，故C错误； 对于D，设平面ABC的法向量是， 则，即，将x＝1，y＝﹣2，z＝5代入验证满足方程组，故D正确． 故选：D． 【变式1】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，，，，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则　　 ． 【答案】． 【解答】解：因为H在棱PD上，设， 则， 因为BC＝2AD，，，， 又， 且 ， 因为E，F，G，H四点共面， 所以， 即， 又因为AD∥BC，则， 即， 所以， 所以， 即 ＝x（）+y[•（22）] ， 所以，解得． 故，所以． 故答案为：． 【变式2】已知向量（2，m，3），（﹣4，2，n），若∥，则m+n＝（　　） A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7 【答案】D 【解答】解：因为， 所以，解得m＝﹣1，n＝﹣6， 所以m+n＝﹣7． 故选：D． 【变式3】已知A、B、C三点不共线，点O在平面ABC外，点P满足，则当点P、A、B、C四点共面时，实数x＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：当点P、A、B、C四点共面时， 设， ∵A、B、C三点不共线，点O在平面ABC外， ∴由题意可知、、不共面， 又点P满足， ∴，故． 故选：A． 题型6 空间向量的数量积运算 解｜题｜知｜识 1．空间向量的夹角 已知两个非零向量、，在空间中任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，． 2．空间向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量、，则||||cos，叫做向量与的数量积，记作•，即•||||cos， （2）几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积，或的长度||与在的方向上的投影||cosθ的乘积． 3．空间向量的数量积运算律 空间向量的数量积满足交换律和分配律． （1）交换律：λ（）•（） （2）分配律：． 4．数量积的理解 （1）书写向量的数量积时，只能用符号，而不能用符号，也不能用 （2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． （3）当时，由0不能推出一定是零向量，这是因为任一个与垂直的非零向量，都有 【解题方法点拨】 利用数量积求直线夹角或余弦值的方法： 利用数量积求两点间的距离： 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小． 利用数量积证明垂直关系： （1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断时，须指明，； （2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量，，的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直． 【典例1】已知，且2，则m＝（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【答案】A 【解答】解：因为且2， 所以，解得m＝﹣1． 故选：A． 【变式1】棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 【答案】A 【解答】解：，所以2×1×cos120°＝1． 故选：A． 【变式2】已知向量（4，﹣2，﹣4），（6，﹣3，2），则下列结论正确的是（　　） A．（10，﹣5，﹣6） B．（2，﹣1，﹣6） C．•10 D．||＝6 【答案】D 【解答】解：∵向量（4，﹣2，﹣4），（6，﹣3，2）， ∴（10，﹣5，﹣2），故A错误； （﹣2，1，﹣6），故B错误； 24+6﹣8＝22，故C错误， ||6．故D正确． 故选：D． 【变式3】已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，M是C1D1的中点，则 　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的正方形，M是C1D1的中点， 故， 故， 故答案为：4． 题型7 空间向量的投影向量与投影 解｜题｜知｜识 ﹣投影向量：向量在上的投影是． ﹣投影长度：投影的长度为． 【解题方法点拨】 ﹣计算投影：使用点积和向量模计算投影向量及其长度． 【命题方向】 ﹣向量投影：考查如何计算向量在另一个向量上的投影及其长度． 【典例1】已知为空间向量且，则在方向上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为， 所以在方向上的投影向量为． 故选：B． 【变式1】向量，，则在上的投影向量的坐标为　　 ． 【答案】． 【解答】解：向量，， 在上的投影向量的坐标为：． 故答案为：． 【变式2】如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，E，F分别为AB，A1C1的中点，则（　　） A． B． C．在平面BCC1B1上的投影向量的模长为 D．在上的投影向量为 【答案】AC 【解答】解：对于A，因为直三棱柱所有棱长为1，E，F分别是AB，A1C1中点， 所以，故A正确； 对于B，因为底面是正三角形，与的夹角是60°，所以与的夹角是120°， 所以， ， 又因为，所以， 所以 ，故B错误； 对于C，过F作FH⊥平面BCC1B1，垂足为H，易知， 过E作EG⊥平面BCC1B1，垂足为G，易知， 所以在平面BCC1B1上的投影向量为， 所以，故C正确； 对于D，过F作FJ⊥A1B1，垂足为J，易知， 过E作EI⊥A1B1，垂足为I，易知， 所以在上的投影向量为， 因为，所以，故D错误． 故选：AC． 【变式3】在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（　　） A．向量（﹣1，1，1）是的一个单位向量 B．若，则m＝±2 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则m＝﹣3 【答案】BD 【解答】解：已知在空间直角坐标系中，向量， 则的单位向量是，故A错误； 由，，可得，故B正确； 由为钝角，则， 又当时，， 即m＝2， 则且m≠2，故C错误； 由在上的投影向量为，故D正确． 故选：BD． 过 关 验 收 1．若，，，则的值为（　　） A．（4，6，﹣5） B．5 C．7 D．36 【答案】B 【解答】解：，． 故选：B． （多选）2．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，（　　） A． B． C． D． 【答案】CD 【解答】解：由题意可得． 故选：CD． 3．已知向量，，若，则y﹣x＝（　　） A．﹣1 B．1 C． D． 【答案】A 【解答】就：由题意可知，存在实数t，使得，即（x，y，﹣1）＝t（2，0，﹣2）， 所以，解得，即y﹣x＝﹣1． 故选：A． 4．已知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（　　） A．0 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【答案】B 【解答】解：已知， 则， 即， 又Q、A、B、C四点共面， 则﹣2+5﹣m＝1， 即m＝2． 故选：B． （多选）5．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1，点E是CC1上靠近C1的三等分点，设，，，则（　　） A． B． C．AE＝4 D．D1B1⊥AE 【答案】ABD 【解答】解：画出图形，如图所示： 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于D，因为AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1， 所以22，23，23， 所以||2， 即AE＝2，故C错误； 对于D，因为，， 所以42﹣40， 所以D1B1⊥AE，故D正确． 故选：ABD． 6．三棱锥P﹣ABC中，点G为△ABC的重心，点M为PG的中点，过点M的平面分别交PA，PB，PC于点A′，B′，C′，且，且x＞0，y＞0，z＞0，则的最小值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵点G为△ABC的重心， ∴， ∵M为PG的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∵A′，B′，C′，M四点共面， ∴， ∵x＞0，y＞0，z＞0， ∴ ，当且仅当x＝y＝z＝2时取等号． 故答案为：． （多选）7．下面四个结论正确的是（　　） A．若A，B，C三点不共线，面ABC外的任一点O，有，则M，A，B，C四点共面 B．有两个不同的平面α，β的法向量分别为，且（1，2，﹣2），（﹣2，﹣4，﹣4），则α∥β C．已知为平面α的一个法向量，为直线l的一个方向向量，若，，则l与α所成角为 D．已知向量（1，1，x），（﹣3，x，9），若x，则，为钝角 【答案】AC 【解答】解：A，∵1，∴M，A，B，C四点共面，∴A正确， B，∵（1，2，﹣2），（﹣2，﹣4，﹣4），∴λ，∴α与β不平行，∴B错误， C，若，，则l与α所成角为（π），∴C正确， D，∵（1，1，x），（﹣3，x，9）， 若x，则•3+x+9x＝10x﹣3＜0， 若（1，1，x），（﹣3，x，9）反向，则λ，λ＜0， ∴，∴， ∴当x且x≠﹣3时，，为钝角，∴D错误， 故选：AC． 8．已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则xy的最大值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解答】解：∵A，B，C，D四点共面，∴， 则，又x＞0，y＞0， ∴，当且仅当时取“＝”． 故选：B． 9．对于空间中任意三个向量，，2，它们一定是（　　） A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面向量 【答案】A 【解答】解：∵2可用向量，线性表示，因此对于空间中的三个向量，，2．它们一定是共面向量． 故选：A． 10．已知空间两点A（1，﹣1，﹣2），B（3，0，﹣4），向量满足∥，则实数m的值为（　　） A．0 B．1 C．0或1 D．不存在 【答案】A 【解答】解：因为A（1，﹣1，﹣2），B（3，0，﹣4）， 则， 又因为向量，满足∥， 所以， 解得m＝0． 故选：A． 11．已知空间向量，，则以为单位正交基底时的坐标为（　　） A．（5，﹣3，4） B．（5，﹣2，4） C．（2，﹣3，3） D．（3，1，1） 【答案】B 【解答】解：空间向量，，则， 故以为单位正交基底时的坐标为（5，﹣2，4）． 故选：B． 12．下列命题中正确的是（　　） ①若，则P，A，B三点共线； ②若，则A，B，C，D四点共面； ③若，则P，A，B，C四点共面． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【解答】解：若，根据共线定理推论，P，A，B三点共线，命题①正确； ，若，，不共面， 则根据平行六面体法则，此时A，B，C，D四点不共面，命题②错误； ， 所以，即P，A，B，C四点共面，命题③正确． 故选：C． 13．已知向量与共线，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：向量与共线， 由题意知，， 又因为，所以， 解得，所以， 所以． 故选：A． 14．设x，y∈R，向量，，，则2x+y＝（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 【答案】B 【解答】解：x，y∈R，向量，， 由，则，解得x＝﹣2，y＝1，故2x+y＝﹣3． 故选：B． 15．设ABCD是空间四边形，E，F分别是AB，CD的中点，则满足（　　） A．共线 B．共面 C．不共面 D．可作为空间基向量 【答案】B 【解答】解：如图所示： 由于E，F分别是AB，CD的中点， ，， 则． 故共面； 故选：B． 16．若直线L1，L2的方向向量分别为，则L1，L2的位置关系是（　　） A．垂直 B．重合 C．平行 D．平行或重合 【答案】A 【解答】解：因为直线L1，L2的方向向量分别为， 所以， 所以，所以L1，L2的位置关系是垂直． 故选：A． 17．已知空间向量，若，则x＝（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3 【答案】D 【解答】解：已知空间向量， 若，则， 则， 解得x＝3． 故选：D． 18．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AB＝3，E，M在棱AB上，N，F在棱AC上，P，G在棱AD上，且AE＝EM＝MB，AN＝NF＝FC，AP＝PG＝GD，平面EFG∩平面MNP＝O1O2，点O为线段O1O2上的一个动点（不包括端点），则（　　） A．4 B．2 C．3 D．不确定 【答案】B 【解答】解：因为点O在平面EFG内，所以， 又因为， 所以； 又因为点O在平面MNP内， 所以， 因为， 所以， 则， 解得，x，即， 所以， 因为AB＝3，AB，AC，AD两两垂直， 所以0+0＝2． 故选：B． 19．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体．正十二面体，正二十面体，已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2（如图），M，N分别为棱AD，AC的中点，则　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意可得， ， ∵正八面体ABCDEF的棱长都是2，M，N分别为棱AD，AC的中点， 且各个面都是等边三角形， 在△ABD中，由AB＝AD＝2，BD＝2，可得AB2+AD2＝BD2， ∴AB⊥AD， ∴（）•（） ． 故答案为：． 20．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BC，AA1的中点，P，Q分别为线段D1A1，C1D1上的动点（不包括端点）满足EP⊥FQ，则线段PQ的长度最小值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解答】解：在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中， 建立如图所示空间直角坐标系， 则E（1，2，0），F（2，0，1），设P（a，0，2），Q（0，b，2），a，b∈（0，2）， 则，， 由EP⊥FQ，可得﹣2（a﹣1）﹣2b+2＝0，整理得a+b＝2， 由基本不等式，可得，当且仅当a＝b＝1时等号成立， 则，即线段PQ的长度最小值为． 故选：A． 21．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝2，AD＝3，若，，，则（　　） A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】C 【解答】解：由题意，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，， 则， 则0﹣0+4﹣0＝4． 故选：C． （多选）22．已知空间向量（2，﹣1，1），（1，2，3），则下列结论正确的是（　　） A．（3，2，5）与，共面 B．||＝26 C．在上的投影向量为 D．与夹角的余弦值为 【答案】AD 【解答】解：选项A，设， 则有（3，2，5）＝x（2，﹣1，1）+y（1，2，3）， 即，解得， 故与，共面，故A正确； 选项B，，所以，故B错误； 选项C，由投影向量的概念， 可得在上的投影向量为，故C错误； 选项D，，故D正确． 故选：AD． 23．如图，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，M和N分别是BB′和CA′的中点． （1）求的值； （2）求证：； （3）求直线BC′和MN所成角的大小． 【答案】（1）﹣1； （2）证明：因为M和N分别是BB′和CA′的中点，则N为B′D的中点， 所以MN∥BD，则， 所以， 所以； （3）60°． 【解答】解：（1）由题易知AB⊥BC，AA′⊥AB， 所以． （2）证明：因为M和N分别是BB′和CA′的中点，则N为B′D的中点， 所以MN∥BD，则， 所以， 所以． （3）设直线BC′和MN所成角为θ， 又 ， ，则， 所以BC′和MN所成的角为60°． 24．在三棱锥A﹣BCD中，若AB⊥BD，CD⊥BD，BD＝1，则（　　） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【解答】解：因为AB⊥BD，CD⊥BD，BD＝1， 可得••0，||＝1， ， 所以•••2＝1． 故选：B． 25．在棱长均相等的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝∠DAB＝60°，则向量在向量上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设棱长均相等的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为a，根据平面向量的性质可知， 且，根据题意可知，∠A1AB＝∠A1AD＝∠DAB＝60°， 所以a×a×cos60°+a×a×cos60°+a2＝2a2， 根据投影向量公式可知，投影向量为． 故选：D． 26．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：已知向量，，则向量在向量上的投影向量为． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $