1.1 空间向量及其运算-【重难点手册】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 重点和难点 课标要求 1.了解空间向量的概念 重点：空间向量及其相关概念，空间向量的线性运 2.掌握空间向量的加减运算. 算，空间向量的数量积。 3.掌握空间向量的数乘运算 难点：用向量法解决立体几何问题 4.掌握空间向量的数量积运算。 1I111111111111111111111111101111111110111111111111011111111111111111111111110 贵必备知识梳理 1IIINII1I1111111111111111111111111111111111111111011111111111111111011111111111 基础梳理 知识点 1 空间向量的有关概念 敲黑板⊙ 名称 (1)空间向量不能比较大 定义 小，空间向量的模可以比较 具有大小和方向的量，常记作a,b,AB,空间向量 大小 空间向量 (起点是A,终点是B) (2)印刷用黑体a,书写用 的大小，叫作长度或模，记作|a|~敲黑板。 (与向量a同方向的单位向 言，注意加箭头. 单位向量 长度（或模）为1的向量 要为合】 划重点典 零向量 长度（或模）为0的向量一（方向任意） 理解空间向量相关概念的 相等向量 方向相同且模相等的向量◆划重点。 注意点 相反向量 长度相等而方向相反的向量 (1)在空间中仍然有AB 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行 共线向量（平行向量） DC(AB,CD不共线)台四边形 或重合的向量（零向量与任意向量平行） ABCD为平行四边形. 在直线l上取非零向量a,与a平行的非零向量即 方向向量 (2)若两个空间向量相等， 为直线1的方向向量 则它们的方向相同，且模相等， 共面向量 平行于同一个平面的向量 但起点、终点未必相同 知识点②空间向量的线性运算 拓视野⊙ 1.空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减、数乘运算 空间向量加法运算的推广 类似于平面向量的加、减、数乘运算（如图）， —多边形法则 (起点重合) (1)首尾顺次相接的若千个 空间向量a1,a2,…,an相加，等 a+b ba+b 于由起始向量a1的起，点指向末 (首尾相接，一 指向终点)Oa A 尾向量an的终，点的向量，OAn 向量加法的三角形法则 向量加法的平行四边形法则 a1十a2十…十am,如图所示 OB=OA十AB=a十b◆拓视野) 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA。 (起点重合，指向被减向量) 1a(入>0) O a λa(λ<0)》 (2)若首尾顺次相接的若干 向量减法的三角形法则 向量数乘 BA=OA-OB=a-b 个空间向量构成一个封闭的图 形，则它们的和为零向量，即AA, 2.线性运算的运算律 +A2A3+AA4十…十A.-1An十 交换律 a+b=b+a AA=0. 结合律 (a+b)十c=a+(b+c),λ(a)=()a(其中入，μ∈R) 分配律 (入+)a=λa十a,λ(a+b)=Aa十λb(其中入，μ∈R) 划重点9 知识点3 共线向量与共面向量 ◆划重点奥 (1)实数与空间向量不能进 平行（共线）向量 共面向量 行加减运算，如入士a无意义. 表示空间向量的有向线段所 (2)若a=0,则λa=0;若 位置 在的直线的位置关系：互相平 入a=0,则入=0或a=0. 定 关系 行或重合 平行于同一个平面的向量 特征 方向相同或相反 特例 零向量与任意向量共线 共面向量定理：向量p与两个 共线向量定理：对任意两个空间向量 (a,b不共线是该充要条件成立的前提) 要 a,b(b≠0)，a仍的充要条件是存在 不共线向量a,b共面的充要条件 件 (关键条件，不能少) 唯一的实数入，使a=b 是存在唯一的有序实数对(x, y),使p=xa十yb 知识点(4空间向量的数量积运算 1.空间向量的夹角 (注意：只有两个非零向量才有夹角，零向量与 任意向量不定义夹角) 如图，已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA=a, OB=b,则∠AOB叫作向量a,b的夹角 定义 B b a 记法 (a,b> 范围 0S{ab≤x,当a,b>=2时，aLb (a,b同向时，夹角为0，及向时，夹角为T) 2.空间向量的数量积 已知两个非零向量a,b,则|a|bl cos(a,b)叫作a,b的数量积，记 定义 (不能表示为a×b或ab)(结票是实数，而不是向量) 作a·b,即a·b=a|bcos(a,b).零向量与任意向量的数量积 为0，即0·a=0 2 第一章空间向量与立体几何锥 续表 敲黑板⊙ (aa)·b=λ(a·b),λ∈R (1)数量积的符号与夹角的 运算律 a·b=b·a(交换律) 关系如下： ①当0为锐角时，a·b>0; (a十b)·c=a·c十b·c(分配律) 当a·b>0时，0为锐角或0. 3.空间向量数量积的性质 修敲黑板。 (易漏掉0) 性质 作用 ②当0为纯钝角时，a·b<0: 若a,b为非零向量， 当a·b<0时，0为纯角或元 用于翻译或证明两向量垂直 (易漏掉T) 则a⊥ba·b=0 (2)数量积运算不满足结合 a·a=|a|2 用于求空间中线段的长度 律，即(a·b)·c≠a·(b·c); lal=√Ja·a=a2 也不满足消去律，即a·b=a· 若a,b为非零向量， c b=c. 则osa,b=8治 用于求有关的空间角 (当且仅当a,b共线时，等号成立) 用于求数量积的最值 la·bl≤lallbl 4.投影向量 ◆拓视野 拓视野四 投影类型 定义 图形表示 如何理解空间向量的投影？ 如图，空间中，要将向量a向向量b 对于向量a的投影向量c, 投影，可以先将它们平移到同一个 无论它是向量a向另一个向量 向量向向量平面。内，进而利用平面上向量的 投影，还是向量a向一条直线投 投影 投影来求a在b方向上的投影向量 影，或是向量a向一个平面投 c,其计算公式为a,·bb 1b/2b 影，都有向量a一c与投影向量 c垂直.此时表示a,c,a一c三 如图，将向量a进行平移，使其起 个向量的有向线段构成一个直 向量向直线点落在1上，记作OA,再过终点A 角三角形（如图）.这样，通过勾 投影 向直线l作垂线，垂足为B,则OB 股定理，可以借助几何方法更直 即为a在直线l上的投影向量 观地理解向量投影的本质！ 如图，向量a向平面B投影，就是分 别由向量a的起点A和终点B作 平面的垂线，垂足分别为A',B', 向量向平面 得到向量AB,向量AB称为向 投影 量a在平面B上的投影向量.这时， 向量a与AB的夹角就是向量a 所在直线与平面3所成的角 重难拓展 重难点①空间向量的线性运算 把平面向量的运算推广到空间后，许多基本的运算法则没有 3 用重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 变.在解题过程中，要明确目标，灵活运用空间向量的运算法则，采 用平移、取中点等技巧，将所求向量用已知向量线性表示.若表示 的向量涉及线段的中点，可利用平行四边形法则来表示此向量，也 可利用包含要表示的向量的封闭图形，根据封闭图形各边依次构 成的向量之和为零向量得到相关式子.求空间若干向量之和时，可 通过平移，将它们转化为首尾相接的向量 例①如图1，在空间四边形ABCD中，已知点G为△BCD 的重心，E,F,H分别为CD,AD,BC的中点，化简下列各式，并 在图中标出化简结果， 记方法回 (DAG+BE-zAC, 空间向量线性运算的相关结论 (1)AB=OB-OA(0为空 (22A店+AC-Ad: 间中任意一点). a}ac+a】 (2)在平行六面体ABCD 图1 AB,C,D1中，AC=AB+AD+ 解析(1)如图2，连接EF,因为G是△BCD AA. 的重心，所以G定-号B正.→国方遇 (3)若G为△ABC的重 心，则AG+BG+CG=0. 又因为)C-E序，（中位线的性质） (4)若0为空间中任意一 点，则有： 所以由向量加法的三角形法则可知， 图2 ①P是线段AB的中点曰 AG+}B驼-AC-AG+G成+E-A正+E=A】 0币-20i+o成： 在图中标出AF,如图2所示. ②G为△ABC的重心台 (2)如图2，连接AH,因为E,F,H分别为CD,AD,BC的中点， 6-}o1+oi+0d, 所以g(AB+AC-AD)=2(2Ai-AD)-A-2Ad=A-A正 ③G为□ABCD的中心台 -FH. 0=(oi+o丽+0d+ 在图中标出FH,如图2所示。 0i. (3)}+}AC+A-A丽+}AC-A)+}ò-A)=+ 专BC+BD)-A店+号B成=AB+BG-AG 在图中标出AG,如图2所示 重难点2空间向量数量积的性质与应用 例2(2026·四川成都期末)如图1，在△ABC中，∠ACB= 60°，CD为∠ACB的平分线，AC=4,BC=2,过点B作BN⊥CD 于点N,延长BN交CA于点E,把△BCD沿CD折起，使∠BNE 4 第一章空间向量与立体几何通 =120°，如图2所示，求折起后所得线段AB的长度. 图1 图2 图3 解析如图3，过点A作AM⊥CD交CD的延长线于点M,则CM= 记方法@ AC·cos∠ACM=4×cos30°=2W3, 利用向量求长度或距离的 (翩折后角度不变) 基本方法 CN=CB·cos∠BCD=2Xcos30°=√3， (1)将线段对应的向量用其 ∴.MN=CM-CN=√3. 他向量表示，通过向量运算来求 ,AM=AC·sin30°=2，BN=BC·sin30°=1， 对应向量的模 且NB,NE)=120°，.NB,AM)=60°， (2)因为a·a=a2,所以 (NEAM,且NE与AM方向相及) a=√a·a,这是利用向量解决 AM⊥MN,.AM·MN=0,同理MN·NB=0. 长度或距离问题的基本公式。另 .AB=AM+MN+NB,..AB'=AM+MN+NB'+2AM. 外，该公式还可以推广为a士b MN+2AM.NB+2MN·NB=4+3+1+2AM1INB|cos60°=10， =√(a±b)=√a2±2a·b+b2, ∴.|AB=√0，即折起后所得线段AB的长度为√10.◆方法 a+b+c|=/(a+b+c)2 重难点③空间向量共线与共面的有关结论与应用 √/a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c. 例B[回归教材P10T6]如图，已知E,F, G,H分别为四面体ABCD的棱AB,BC,CD, DA的中点，求证：E,F,G,H四点共面， 解析由E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的 提个醒回 中点，可得丽-B时，底=筋，所以E-i, B 共线向量定理除了可以证 明三点共线，还可以证明空间中 所以E,F,G,H四，点共面 两条直线平行.由于空间中两个 深挖教材 非零向量共线时，这两个向量所 空间向量共线与共面的有关结论 在的直线可能平行，也可能重 共线向量 共面向量 合，所以在证明时要说明一条直 =AP=uAB+uAC(u,o∈R) 线上有一点不在另一条直线上， 多点 与AP=AB(a∈R) →OP=OA+uAB+uAC 从而推得两直线平行，不能由向 共线 A,P,B=OP=OA+AB(a∈R) A,P,B, (u,v∈R) 量平行直接推出线线平行 或书 三点 OP-mOA+nOB(m+ C四点 OP=xOA+yOB+OC 共面向量定理除了可以证 面的 共线 n=1,点O不在直线 共面 (x十y+x=1,A,B,C三 条件 明四点共面，还可以证明线面平 AB上) 点不共线，点O不在平面 行，同理，也要说明线不在平 ABC上) 应用 判断三点共线或两直线平行 判断四，点共面或直线平行于平面 面内 ◆提个醒回 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA。 图i1 IBB111 关键能力提升 B101101111011101111011103101011111011111110101011111 题型（①空间向量的运算 吉N+N+,正确： 1.线性运算 ,M,N分别是线段BC,AD的中点，且AG= 例④(2026·湖北襄阳四中单元检测)如 图1，在四面体ABCD中，M,N分别是线段 号A,NG与平面DBC不平行， BC,AD的中点，且AG-号Ai,则 不存在实数x,y,使得NG=xDB+yDC, (4)不正确. 综上可得，只有(1)(3)正确. 答案(1)(3) G 2.数量积运算及长度计算 M 例⑤(2026·河南南阳一中期末)如图1， 在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，底面 D 图1 ABCDEF是正六边形，设AB=a,AF=b, (NM-NNC) AA=c. (2)Ni=D店+2AC, (3)NG-NA+N店+NC); D 图1 (4)存在实数x,y,使得NG=xDB+ yDC. (1)用a,b,c分别表示A1D,AE 其中正确的结论是 (填序号) (2)若cos∠BAA,=cos∠FAA,=,AB 解析NM=2N店+N心，1)正确： =2,AA1=4,求： (M是线段BC的中点) ①A1C·A1D; 如图2，取CD的中点E,连接EN,EM,则NM ②|AE1l. =N运+B-号AC+号D,(2不正确； 解析(1)如图2，连接AD,取AD的中，点O,连接 OB,OF. G M 图2 图2 因为底面ABCDEF是正六边形， NG=Ni+M=Ni+号=Ni+ 所以A店+A正=A0=2AD,即AD=2a+2b, 专Ni-Ni)=号×号(Ni+Nd)+号i= 所以A1D=AD-AA1=2a十2b-c. 6 ,第一章空间向量与立体几何 又因为FE=AO,所以AE,=AF+FE+EE,=: (1)设向量AB=a,AD=b,AA'=c,用 AF+AO+AA=a+26+c. a,b,c表示向量DM,DN; (2)由题意知，A1C=AC-AA,=AB+BC (2)求证：M,N,D三点共线 AAj=AB+AO-AA:-2a+b-c, 解析(I)因为AM1=号MB,所以Ai- 根据c0sBA41=cos∠FAA1=1,] 3A-骨+A)=A+号， 可知osa,c)=0sb,c), 所以D应=DA+AM=-A市+(-}AA+ 因为a,b的夹角为行，所以c0sa,b)= 2 (底面ABCDEF为正六边形) ①A1C·A1D=(2a+b-c)·(2a+2b-c)= 又国为1ANI=}INC1, 4|a2+2b12+|c2+6a·b-4a·c-3b·c= 4a2+2b+cl+6a·b×(-2）-4a 所以A不-}A心-4有+A店+A市， 1c×号-3b1·le×}=16+8+16-12-8-6 所以DN=D'A产+AN=-AD+是(AA+ =14. A+)=店-4茄-M=4a-bc ②因为AE1=a十2b+c, (②)因为M=A-AM=A亡-号A店 所以AE1I2=(a+2b+c)2=|a|2+4|b|2+ le+ab+2a·e+he-a+4bP+1e+是A花-A)-A店-BC-2A店-(BC 41a·b×(-2）+2a…c×是+4b1· ， =4+16+16-8+4+8=40, 且M元-AD-AM=AD-}A店-B成 所以|AE1=2√10. 题型（②利用向量方法解决立体几何 A 中的证明问题 所以M-=MD 1.证明三点共线问题 又MN与MD有公共点M, 例⑥如图，已知四棱柱ABCD-A'B'C'D (用向量法证明三点共线时，要说明两向量有公共，点) 的六个面都是平行四边形，点M在对角线A'B 所以M,N,D三点共线 上，且AM=MB,点N在对角线AC 2.证明四点共面问题 例7(2026·河北衡水一中单元检测)如 上，且IANI=iNC. 图1，已知在空间四边形ABCD中，E,F分别 是AB,CD上的动点. 图 图2 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA （0品既-，求证：床-产配 证：MN平面CDE. +0, 解析：点M在BD上，且BM=专BD, M-}D店-DA+}A, (2)如图2，若G,H,I,J分别为AD,EF, BC,AF的中点，求证：G,H,I,J四点共面. 同理，-}市+D成 解析(1)设O是空间内一点， 肉为品EA M=M店+BA+AN=(号DA+号AB)十 所以0-_01+0元，0_0i+0d B所+(3A币+D)=号A+}D成=号c市+ 1十λ 1十 (由平面向量的定比分点然式可得)一 诚 所以E=O示-OE_0而+A0C_OA+x0B 又CD与DE不共线， 1+λ 1+λ OD-OA+(OC-OB)AD+ABC “根据向量共面的充要条件可知MN,CD,DE 1+λ 1+入 共面.（由三向量共面可知MN∥平面CDE或MNC平面 即成=计成+十， CDE) MN不在平面CDE内，.MN∥平面CDE. (2)由E,F分别是AB,CD上的动点，可设AB (利用向量证明线面平行时，需要说明直线不在平面内) =mAE,DC=nDF 4.垂直关系的证明 因为GI分别为AD,C的中点所品贸1 例⑨如图所示，已知斜四棱柱ABCD 根据)的结论，得Gi=ABDC-gA正+ A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB =∠C,CD=∠BCD=0,0∈(0,2)： D成 又因为J,H分别为AF,EF的中点， 所以G司-D正，Ji=号A正， GI-2AB+7DC-2AE+2DF-mJH+ B nCJ, 即直线GI在平面GHJ上，所以G,H,I,J四点 (1)求证：CC1⊥BD, 共面 （②)当咒的值为多少时，能使A,CL平面 3.平行关系的证明 例⑧如图，已知矩 C1BD?请给出证明. 形ABCD和矩形ADEF 解析(1)设CD=a,CB=b,CC1=c,则BD= 所在的平面互相垂直， CD-CB=a-b, B 点M,N分别在对角线 由底面ABCD是菱形，得a|=|b|, 则CC1·BD=c·(a-b)=c·a-c·b= BD,AE上，且BM=3BD,AN=AE.求 lcl·aos0-c…cos9=0, 8 ,第一章空间向量与立体几何通 .CC1⊥BD,即CC1⊥BD 因为A1C1=b, (2)要使A1C⊥平面C1BD,只需A1C⊥C1D且 GH-AH-AG-(AA:+A,H)-(AC+ A1C⊥C1B. 要使A1C⊥C1D,即证CA1·C1D=0,即证(CA A)=(c+2b)-2b+a)=c-2a, +AAi)·(CD-CCi)=0, 即证(CD+CB+CC)·(CD-CC1)=0, 即证|CD12-|CC112+|CB|·ICD1cos∠BCD B CBICC]l cos∠C1CB=0. 由于∠C,CB=∠BCD,显然当1CD1=|CCI 图2 时，上式成立 同理可得，当|CD1=CC1时，A1C⊥C1B. 所以1G函=√e-2a=c-ea+ 因此，当 CC =1时，能使A1C⊥平面C1BD. =√3，|A1C1=2, 题型③利用空间向量求异面直线所 所以AC,G=b·(e-a)-be-b 成的角 a=1. 例10(2026·天津耀华中学月考)如 设直线AC1与GH所成的角为0， 图1，在棱长为2的斜三棱柱ABC-A1B1C1 中，∠A1AB=∠A1AC=60°，G,H分别是 则cos0=1cos(A1C,Gi1= |AC1·GH ACGH BC,A1C1的中点. 13 2561 所以异面直线A,C与GH所成角的余孩值为 变式①在如图所示的平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=1,AD=2,AA 图1 =22,∠A1AB=∠A1AD=45°，∠BAD= (1)求四边形BCB1C1的面积； (2)求异面直线A1C1与GH所成角的余 60°，设AB=a,AD=b,AA1=c. 弦值 D 解析(1)令AB=a,AC=b,AA1=c, 则a|=b=c=2,a·b=a·c=c·b=2, BC=b-a,CC1=c, BC.CCi=(b-a)·c=bc-a·c=0, 所以BC⊥CC, (1)用a,b,c表示AC1,BD1,AC; 所以四边形BCB1C1是边长为2的正方形， (2)求AC1的长； 所以四边形BCB1C1的面积为4. (3)求异面直线BD1与AC所成角的余 (2)如图2，连接AG,AH. 弦值 重难点手册高中数学选择性必修第一册RJA 目111121111111H1 核心素养聚焦 111111i111i1 考向(1 利用向量法证明空间的位置 解析方法一如图，连接 关系 PC1,BC1,易知AD1∥BC1,所以 例11(2023·全国 异面直线PB与AD1所成的角等 乙卷节选)如图，在三棱 于∠PBC1的大小.（借助“平移”，可 锥P-ABC中，AB⊥BC, 将异面直线所成的角等价转化为相交直线的夹角)》 AB=2,BC=2√2，PB= B 设正方体的棱长为1， 别号如PC号PB-,BC,-2 √2 PC=√6，BP,AP,BC 的中点分别为D,E,O,点F在AC上，BF⊥ AO.求证：EF∥平面ADO 所以cos∠PBC1 解析连接DE,OF,设AF=tAC,则BF=BA 2+6 2 X② +AF-(1-)BA+BC.AO--BA+7BC 因为BF⊥A0,AB⊥BC,所以B.AO=[(1 所以∠PEBC=吾 方法二设正方体的棱长为1. )BA+BC·（-BA+2BC)=(t-1)BA+ 号BC=4-1D+=0, 因为PB-=PB+B店-Di+A)-B丽- 解得1=，则F为AC的中点， 2AB-7BC-BB:.AD:-AD+DD:-BC+BB:, 由D,E,O,F分别为PB,PA,BC,AC的中点， 所以P·AD-(2A店-}C-BB)(BC+ 得DE/AB,DE=2AB,OF/AB,OF=号AB, BB)=2A店·BC+2A店·BB,-成.B成 即DEOF,DE=OF, 则四边形ODEF为平行四边形， 3成，B丽-BB·8成-B·BB=0+0-号-0 所以EFDO. 又因为EF寸平面ADO,DOC平面ADO, 0-1-是 (此步骤不可省略) 所以EF∥平面ADO. 又因为=丽-2 考查内容 核心素养 试题难度 2 线面平行和空间向量数量 逻辑推理、数 所以|cos(PB,AD1)| ★★☆☆☆ 2 积的应用 学运算 2大2 考向2 利用空间向量的数量积求异 所以两直线所成的角为 面直线所成的角 6 答案D 例12（经典·全国乙卷）在正方体ABCD- A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB 考查内容 核心素养 试题难度 与AD1所成的角为(). 利用空间向量求异面 数学运算、逻辑 直线所成的角和向量数 ★★☆☆☆ A.z B.3 c开 推理 量积 10参考答案 第一章空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 变武训练 [变式1门(1)AC,=AB+BC+CC,=AB+AD+AA1=a+ b+c, BD:-BA+AD+DD:=-AB+AD+AA:=-a+6+c, AC-AB+BC-AB+AD=a+b. (2)a=1,lb=2,c=2√2，a·b=1,b·c=4,c·a=2, 因为AC112=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+ c·a)=1+4+8+2×(1+4+2)=27, 所以AC11=33,即AC1的长为35 (3)因为BD1=b+c-a,AC=a+b, 同理可求得BD1=√I5,AC=√7 又因为BD1·AC=(b+c-a)·(a+b)=b2-a2+c·a+ b·c=9, 所以cos(BD,AC1=BD·Ad9 3√105 1BD,IIAC1√5X7 35 所以异面直线AC与BD,所成角的余弦值为35 基础过关练 1.A[由题意得M=N店+时=号成+=号O成 +20i-0)=oi+o成号=a+名b 号c] 2.A[设BD=x,因为AC⊥平面a,且AB,BDC平面a,所以 ACLAB,ACLBD,且∠ABD-行，可得C,A店=0，C. BD=0,AB.BD=x.因为CD=CA+AB+BD,所以8 问量的线性运算 ICD=ICA+AB+BD=CA*+AB:+BD+2CA.AB+ 2CA·BD+2AB·BD=12+22+x2+0+0+2x=x2+2x 十5，即x2+2x-3=0,解得x=-3(舍去)或x=1,故BD =1.] 3.C[设AA'=2AB=2a,∠A'AB=∠A'AD=120°，因为 AC产=AB+AD+AA,所以AC1=√AB+AD+AA)2 =√AB2+AD+AA+2AB.AD+AB·AA+AD.AA) =√2a2+4a2-4a=2a.因为BM=BA+AD+DM= A茄-是A成，所以成1=√+A 与提示 √a+市-·西-号a,AC.威=店+ 市+)·（市-）=亦+.ò-名恋 }a店.A-0,所以s(AC,=AC.-0. ACBMI 即直线AC'与BM所成角的正弦值为1.] 4.ACD[根据共线向量的概念可知，空间中的三个向量，若有 两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确；若a· b>0,则a与b的夹角是锐角或a与b方向相同，故B错误； 假设2a,b,c一a是共面向量，则存在x,y,使得2a=xb十 y(c一a),即(2十y)a=xb十yc,由向量a,b,c是不共面的 向量，得2十y=0,x=y=0,无解，故2a,b,c一a也是不共 面的向量，故C正确；因为成=0-0成+号0花，所 以0-0i+成-0成+-成+号0成=+ 0+号0，有品+子+号-1，所以P,A,B,C四点共 面，故D正确.] 上共面向量定理的应用 5.CD[因为a·b=a·|blcos(a,b,若a·b=0,则|a=0 或1b1=0或cos(a,b》=0,即a=0或b=0或a,b》=受， 放A正确：因为元-号+号O成，所以号十号-1，所以 A,B,C三点共线，故B正确；因为两个向量的数量积是实 、共钱向量定理的应用 数，所以(a·b)·c是与c共线的向量，a·(b·c)是与a共 线的向量，所以(a·b)·c=a·(b·c)未必成立，故C错 误；当b=0时，对任意向量a,c,a∥仍，b∥e都成立，但a∥c 未必成立，故D错误.门 6.O.[因为动点M在平面ABC上运动，且AB,AC不共线， 所以存在实数x,y,使得AM=xAB+yAC.即PM-PA= x(PB-PA)十y(PC-PA),所以PM=(1-x-y)PA+ xPB+PC.又PM=-PA-PB+mPC,PA,PB,PC不 1x-y=-1, 共面，由空间向量基本定理可知x=一1， 故m一2= ly=m, 1,解得m=3,即PM=-PA-PB+3PC.因为四面体 PABC为正四面体，且棱长为1，所以PA·PB=PB.PC =P元.PA=号，pA=Pi2=P心=1，所以PM· AB=-(PA+PB-3PC)·(PB-PA)=-(PA·PB+ PB·PB-3PC·PB-PA·PA-PB·PA+3PC·PA)= -(1-3-1+3)PA·PB-PB2+PA2=0.] 7.(1)AB=a,AD=b,AA'=c, 1