2.4 圆的方程（讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦圆的方程核心知识点，从定义出发系统梳理圆的标准方程（含特殊位置形式）、一般方程（参数条件与配方转化）、点与圆位置关系（几何与代数判定法）及圆上点到定点距离最值规律，通过知识点分块与即学即练构建学习支架，衔接直线方程与后续圆的综合应用。 该资料以题型为载体，通过解题贴士强调核心方法，如求圆方程时突出圆心半径关键，变式巩固培养数学思维。最值问题分类讨论提升推理能力，轨迹方程探究发展数学表达，课中辅助分层教学，课后通过基础到创新练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第二章 直线和圆的方程 2.4 圆的方程 课标要点 1.理解圆的定义，熟记圆的标准方程，掌握特殊位置下圆的标准方程的书写方法。 2.掌握圆的一般方程，会通过配方求圆心、半径，能判别二元二次方程是否表示圆。 3.掌握点与圆的三种位置关系，会用几何法、代数法判断点在圆上、圆内、圆外。 4.理解圆上动点到定点距离的最值规律，能够求解最大值与最小值相关计算。 学习重难点 重点： 1. 圆的标准方程与一般方程，能够根据条件灵活选择两种形式写出圆的方程。 2. 点和圆位置关系的判定，熟练运用几何法与代数法完成位置判断。 3. 掌握圆上点到定点距离的最值公式，会求解相关距离最值问题。 难点： 1. 圆的一般方程中参数的辨析，容易忽略这个前提条件。 2. 结合条件求圆的方程，处理与坐标轴相切、过原点等特殊条件，容易遗漏绝对值。 知识点一 圆的标准方程 1.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。定点为圆心，定长为半径。 2.圆的标准方程 圆心为，半径为的圆的标准方程： 特别提醒 圆的标准方程，圆心是，注意符号。例如，圆心为，容易直接把括号内数字当成圆心坐标而出错，半径是，不是。 3.几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在轴上 圆心在轴上 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 与轴相切 与轴相切 即学即练 1．圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆心为，根据圆过点且半径为2， 可得，解得，即圆心坐标为. 因此所求圆的方程是． 2．已知，，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为以、为直径两端点的圆的圆心坐标为， 半径为，所以所求圆的标准方程为， 即以为直径的圆的方程为. 知识点二 圆的一般方程 圆的一般方程：。将方程配方：。 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 圆心，半径的圆 即学即练 3．过原点且在轴，轴上截距分别为和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆的一般方程为， 由题意可知，圆经过三点，则，解得， 所以圆的方程为，即，故B正确. 4．圆的半径为________． 【答案】 2 【详解】圆方程可化为 ，故半径为2. 知识点三 点与圆的位置关系 平面内点与圆有三种位置关系：点在圆上、点在圆内、点在圆外。 已知点，圆标准方程：，圆心，半径。 圆一般方程：。 1.几何法：计算点到圆心距离 点在圆上：；点在圆内：；点在圆外： 2.标准方程代数法 点在圆上： 点在圆内： 点在圆外： 3.一般方程代数法，代入计算 点在圆上： 点在圆内： 点在圆外： 即学即练 5．点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【详解】， 在圆外， 故选：C. 6．（多选）若点在圆：的外部，则实数可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由点在圆：的外部，得， 解得或，则实数可能的值为，，. 故选：ABD 知识点四 圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心为，定点为，圆心到定点距离，圆半径，为圆上动点。 1.若定点在圆外：， 2.若定点在圆上：， 3.若定点在圆内：， 统一结论：最大值，最小值。 特别提醒 圆上点到定点距离最值，要分清定点在圆内、圆上、圆外三种情况。最小值要取绝对值，定点在圆内时，不要错误写为，会出现负数。 即学即练 7．在平面直角坐标系中，点到圆：的最短距离是（   ） A． B．4 C．8 D． 【答案】A 【详解】圆：的圆心，半径， 所求的最短距离为. 故选：A 题型01 求圆的标准方程 解题贴士 圆的标准方程为，核心是求出圆心和半径。常用条件有已知圆心、半径、圆经过的点、相切关系等。 已知两点可求圆心在两点垂直平分线上；与坐标轴相切，半径等于对应圆心坐标的绝对值。求出参数后注意，舍去半径非正的解。 典｜例｜精｜析 【例1】与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆的圆心坐标为，且与轴相切，可知圆的半径， 所以圆的方程为. 故选：A. 【例2】已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，则该圆的方程为______. 【答案】 【详解】设圆心为，半径为r，则圆的标准方程为. 由题意可得方程组. 解此方程组，得， 故所求圆的方程为. 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得圆M的圆心坐标为，，所以圆M的方程为. 【变式1-2】求以直线和的交点为圆心，半径为4的圆的标准方程. 【答案】 【详解】由题意有：， 所以圆的圆心为,半径为4， 所以圆的标准方程为：， 【变式1-3】已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是_________. 【答案】 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过点，，且圆心在直线上， 所以有， 因此圆的标准方程为， 故答案为： 题型02 求圆的一般方程 解题贴士 圆的一般方程形式是，通过已知点坐标代入，建立关于的方程组求解。 解出参数后，一定要验证条件，保证方程确实代表圆。必要时可以把一般方程配方，转化成标准方程得到圆心和半径。 典｜例｜精｜析 【例3】圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原方程为，分组配方得， 整理为圆的标准方程， 对比圆的标准方程 （为半径），可得半径 . 【例4】已知直线过圆的圆心，且与直线平行，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可设直线l的方程为， 又由题直线l过圆的圆心， 所以， 所以的方程为. 故选：A 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________． 【答案】 【详解】设的外接圆的方程为（）， 则，解得， 所以的外接圆方程为． 【变式2-2】若圆上所有的点都在轴左侧，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】可化为：，故圆心为：，半径为，由题意得，解得. 故选：C 【变式2-3】由曲线围成的图形面积等于 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在曲线方程中，以代，以代，方程不变， 所以该曲线关于原点、横轴、纵轴对称， 因此可以先考虑的情况， ， 表示圆心为，半径为的半圆， 所以第一象限围成的面积为， 所以曲线围成的图形面积. 故选：D      题型03 二元二次曲线表示圆 解题贴士 二元二次方程表示圆，首先要求系数相等且不为0，同时没有交叉项。 还要满足判别式。含参数题目求出参数之后，回代检验全部条件，排除表示点或者无图形的情况。 典｜例｜精｜析 【例5】方程表示圆，的取值范围为_____ 【答案】 【详解】因为方程表示圆， 所以，化简得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 【例6】圆的圆心在第三象限，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】由题可得：圆的方程为：， 圆心坐标为. 因为圆心在第三象限，所以，解得. 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】方程表示一个圆，则，解得. 故选：D. 【变式3-2】若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】∵ 方程表示圆. 将方程两边同除以2，化为圆的一般方程标准形式：. ∵ 二元二次方程表示圆的充要条件为， 此处，，，代入得， 展开计算得，解得或， 即实数的取值范围是. 【变式3-3】已知圆的圆心在y轴的正半轴上，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【详解】因为圆标准方程为， 所以，解得，即实数a的取值范围是． 故答案为： 题型04 点与圆的位置关系 典｜例｜精｜析 【例7】若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 【答案】B 【详解】点在圆外，即点到圆心的距离大于半径. 将圆方程化为标准形式得，圆心为，点 P 到圆心距离为 4， 故有，解得; 故选：B 【例8】若点在圆外，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【详解】方程表示圆，则有，解得， 点在圆外，有，解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 【变式4-2】点在圆的______．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线） 【答案】外部 【详解】因为，所以点在圆C的外部． 故答案为：外部. 【变式4-3】已知圆过三点，点，则圆的一般方程为______，点在圆______（内/上/外）． 【答案】 外 【详解】设圆的一般方程为， 因为圆过三点，可得，解得， 满足，所以圆的方程为， 将点代入方程得，所以点在圆外． 故答案为：；外. 题型05 点到圆的最值问题 典｜例｜精｜析 【例9】记点，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径. 原点到圆心的距离：. 因为点在圆上，所以的最小值为，最大值为. 故的取值范围是. 故选：A.    【例10】已知点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径， 目标函数表示圆上的点与定点距离的平方， 而， 所以的最大值为36. 故选：D 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得可得，解得， 由可得，故的最大值为. 故选：D. 【变式5-2】已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，圆的方程为， 圆心到原点为距离， 则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为. 故选：D 【变式5-3】（多选）若P为圆上任意一点，点，则的取值可以为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】ABC 【详解】圆，代入点， 则，则点在圆外， 所以的最大值为，最小值为，， 所以的取值范围是，所以的取值是3,5,7. 故选：ABC 题型06 定点问题 解题贴士 带参数的圆方程恒过定点，将方程整理为参数的合并式，令参数的系数与常数项同时等于零。 联立方程组求解得到定点坐标。也可以代入两组不同的参数，求出两个交点，再回代原方程验证，避免求出不符合题意的伪定点。 典｜例｜精｜析 【例11】对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__． 【答案】或 【详解】解：，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 【例12】已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【答案】(1)； (2) 证明：方程变形为， 由于取任何值，上式都成立，则有， 解得或， 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点． 【分析】 【详解】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时，方程表示圆. （2）略 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 【答案】3 【详解】变形得到， 令，解得或， 不妨设，， 所以. 故答案为：3 【变式6-2】已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点. (1)求经过、、三点的圆的方程； (2)圆是否经过某定点（其坐标与无关）?请说明理由. 【答案】(1)或 (2)是，理由： 由（1）知圆的方程为或， 令，解得或， 故圆过定点和. 【分析】 【详解】（1）由题意知，解得或， 设所求圆的方程为， 由题意知函数的图象与两坐标轴的三个交点即为圆与坐标轴的交点. 在圆的方程中，令，得，这与是同一个方程，故，. 令，得，此方程有一个根为，代入此方程得，解得， 综上可知，圆的方程为或 （2）略 【变式6-3】在平面直角坐标系中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围； (2)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论. 【答案】(1)，且 (2) 设所求圆的一般方程为， 由题意得函数的图像与两坐标轴的三个交点即为圆和坐标轴的交点， 令得，，由题意可得，这与是同一个方程，故，． 令得，，由题意可得，此方程有一个根为，代入此方程得出， ∴圆的方程为（，且）． 把圆的方程改写为，令， 解得或，故圆过定点和． 【分析】 【详解】（1）令得抛物线与轴交点是； 令， 由题意，且，解得，且． 即实数的取值范围，且． （2）略 题型07 直接法求轨迹方程 解题贴士 动点满足的几何条件清楚，直接把几何关系翻译成坐标等式，化简得到轨迹方程。常见条件：距离相等、距离为定值等。 化简过程中注意等价变形，不能随意两边平方造成增根。最后根据题意剔除不符合条件的点，标明轨迹的范围。 典｜例｜精｜析 【例13】若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，因为定点，， ，化简得：，即. 点的轨迹为圆，半径为，所以圆面积为：. 故选：B 【例14】已知向量，满足，则动点的轨迹方程是__________. 【答案】 【详解】， ，故， 即， 故答案为： 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】直角中，斜边，，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 以C为坐标中心建立平面直角坐标系，设P坐标为， ，，， ， ， ， ， ， 即， 配方得：， 所以在以为圆心以2为半径的圆上， ，， ,其关于x单调递增， 所以取P为圆的最右边的点可取得最大， 此时，代入得. 【变式7-2】已知，若动点满足，则动点与点距离的最大值为______. 【答案】/ 【详解】设，由可得， 化简可得：，则动点轨迹为圆，圆心为，半径为， 又，所以点在该圆内， 所以动点与点距离的最大值为. 故答案为：. 【变式7-3】已知等腰的顶点的坐标为，底边的一个端点的坐标为，则另一个端点的轨迹方程为______． 【答案】[除去点和点] 【详解】设，在等腰中，得到， 则由两点间距离公式得， 化简得．考虑到三点要构成三角形， 因此点不能为和． 故点的轨迹方程为[除去点和点]． 故答案为：[除去点和点] 题型08 相关点法求轨迹方程 解题贴士 动点随已知曲线上点运动，先建立两点坐标之间的关系式，用表示。 再把点代入已知曲线方程，替换得到的方程。注意坐标变换过程，不要搞反代入关系，最后检验轨迹的取值范围。 典｜例｜精｜析 【例15】点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点，， 因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则，即， 则点轨迹方程为. 故选：A. 【例16】已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A．( B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，由，得， 所以， 又因为点在圆上， 所以，即. 故选：B 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】已知线段的中点C的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的端点B的轨迹方程是__________． 【答案】 【详解】设，因为线段的中点C的坐标是， 所以， 将代入中得， 化简得. 故答案为： 【变式8-2】已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为，所以， 又在圆：上， 故，即的方程为． 故选：C 【变式8-3】已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________． 【答案】 【详解】设，又线段的中点是B，， 所以，则， 所以，故线段的中点B的轨迹方程为. 题型09 与圆有关的对称问题 典｜例｜精｜析 【例17】已知点A，B在圆上，且A，B两点关于直线对称，则圆的半径的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】因为，化为标准方程为， 设圆的半径为，由题可知圆心在直线上，于是有， 则，当时， 取得最小值2，故的最小值为. 故选：B 【例18】已知圆关于直线对称，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，直线过圆心，则，即，又， 则，当且仅当， 即时取等，则的最小值为. 故选：A. 变｜式｜巩｜固 【变式9-1】曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为______． 【答案】 【详解】注意到（设该点不在直线上）与的中点坐标，满足， 且与的连线斜率为，满足， 所求曲线上任意点关于直线的对称点为，则有， 所以． 故答案为：. 【变式9-2】圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程是______． 【答案】 【详解】圆化为标准方程得：， 圆心，半径， 则点与圆心C关于直线对称，设， 则，解得，即， 则圆C的方程为，即． 故答案为：. 【变式9-3】已知圆：，圆与圆关于点对称，则圆的方程为__________． 【答案】 【详解】由圆：，可得， 设，因为圆与圆关于点对称， 所以与关于点对称， 可得， 所以圆的半径为5，圆心为， 圆的方程为， 故答案为． 【点睛】本题考查了圆的方程，以及中点坐标公式的应用，属基础题．求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标 ，根据题意列出关于的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可. 基础通关 一、单选题 1．以为直径的两个端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知该圆圆心为的中点， ，故半径， 所以该圆的方程为. 故选：D. 2．圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由圆的标准方程，可知圆心为. 故选：B 3．设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【详解】因为，所以点在圆外，又, 故的最大值为. 4．若圆的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知圆的方程是， 可以化成标准方程，而圆的面积为， 则由圆的面积公式可得，解之可得. 故选： 5．若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由在圆内，得， 即，可化为； 解得，即. 故选：A 6．已知圆，点，点是圆上的一个动点，则线段的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】依题意，点在圆外，圆的圆心为，半径为， 如图，，因为， 当三点共线且在之间时取等号；所以的最大值为8. 故选：C. 二、多选题 7．下列方程中，哪些表示一个圆？（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于选项A：，则，不表示一个圆，表示一个点，即选项A错误； 对于选项B：，则，不表示一个圆，表示一个点，即选项B错误； 对于选项C：，则，表示一个圆（圆心为，半径为3），即选项C正确； 对于选项D：，则，表示一个圆（圆心为，半径为1），即选项D正确； 故选：CD． 8．（FHsx1225yl197）已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)，且被x轴分成两段，弧长之比为1∶2，则圆C的方程可能是（    ） A．x2＋(y＋)2＝ B．x2＋(y－)2＝ C．x2＋(y＋)2＝ D．x2＋(y－)2＝ 【答案】CD 【详解】 题可知，圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心为(0，b)，半径为r，则r sin ＝1，r cos ＝|b|，解得r＝，|b|＝，即b＝±.故圆的方程为x2＋(y±)2＝. 三、填空题 9．以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 【答案】 【详解】根据两点间距离公式： ， 所以所求圆的标准方程为. 10．关于直线对称的圆的方程为__________. 【答案】 【详解】设圆心关于直线的对称点为， 则，解得，即， 所以所求圆的方程为. 故答案为： 四、解答题 11．已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设圆C的方程为，其圆心为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点，， 则，解得，即圆C的方程为； （2）由（1）得圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称， 则有，解得，即. ∴圆的标准方程为. 12．已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为. (1)求直线的方程； (2)求外接圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）∵线段的垂直平分线为， ∴可知点关于直线对称. ∵，∴，轴，直线. （2）由（1），，，. 设外接圆方程一般式为：， 则，则. 即圆的标准方程为：. 素养提升 1．（多选）在平面直角坐标系中，已知过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，则（    ） A．当时，直线的方程为 B．当为的中点时，直线的斜率为 C．当面积最小时，其外接圆的方程为 D．点在的外接圆内 【答案】ABD 【详解】对于A，，，， 直线的方程为，即，A正确； 对于B，设，因为的中点，所以， 可得,，B正确； 对于C，依题意设， 过，，，， ，当且仅当，时等号成立． 外接圆方程为，即，所以C错误； 对于D，的外接圆方程为， 整理得（*）， 将点代入（*）左边，得 又因为，所以 ，当且仅当，时等号成立， 点在的外接圆内，D正确． 故选：ABD． 2．已知点，，若圆上的任意一点均满足，则实数__________. 【答案】 【详解】若圆上的任意一点均满足， 则圆上的点与，也满足， 即，. 因为，，故 由，可得，得； 由，可得， 整理得，解得或. 综上所述，取两种情况下的交集，得. 故答案为：. 3．圆：关于直线：对称后的方程为________. 【答案】 【详解】圆：，圆心，半径， 设圆心关于直线：的对称点为， 则直线与直线垂直， ，，，， 又和的中点为，且中点在直线：上， ，联立，解得， 为所求圆的圆心，半径为， 所求圆的方程为. 故答案为：. 4．已知直线 过定点 ，直线 过定点 的交点为C，则的最大值为_____. 【答案】 【详解】根据的方程及，易知时，,恒过定点， 根据的方程，易知时，, 恒过定点. 则，则的最大值即求的最大值， 由，的方程可得： 当时，两直线垂直， 当时，，两直线垂直， 所以可得， 所以交点的轨迹为以为直径的圆， 所以的最大值即为直径， 即两点重合时，最大，最大值为. 故答案为：. 5．已知三点在圆上，的重心为坐标原点，则周长的最大值为___________. 【答案】 【详解】由圆得圆心，半径圆， 如图，不妨设点在轴的正半轴上， 由于的重心为坐标原点，且, 所以为圆的直径，所以， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以周长的最大值为. 故答案为：. 迁移创新 1．已知点是圆上任意一点，，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】B 【详解】圆的方程可化为， 设，且， 且， 则， 当，时，取得最大值，故A错误； ， 所以当时，取得最小值，故B正确； ， 所以当时，取得最小值，故C错误； ， 所以当时，取得最大值，故D错误. 故选：B 【点睛】利用三角换元的思想来求最值，是一个很好的方法.在圆的标准方程可转化为，类比，可以得到，则可进行三角换元如下：. 2．由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，曲线方程为， 即是圆心为，半径的圆，如图， 同理可得，当时，曲线方程为， 即是圆心为，半径的圆， 当时，曲线方程为， 即是圆心为，半径的圆， 当时，曲线方程为， 即是圆心为，半径的圆， 所以曲线围成的图形如图： 所以图象的面积为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，分类讨论的正负情况，从而分析得曲线所表示图形，由此得解. 3．已知点，圆，点为圆上一点，点在轴上，则的最小值为__________. 【答案】8 【详解】将圆方程化为标准方程为：， 圆心，半径，如下图所示： 作点关于x轴的对称点， 连接与圆相交于点，与x轴相交于点，则， 又，所以 最小值为8. 故答案为：8. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程 2.4 圆的方程 课标要点 1.理解圆的定义，熟记圆的标准方程，掌握特殊位置下圆的标准方程的书写方法。 2.掌握圆的一般方程，会通过配方求圆心、半径，能判别二元二次方程是否表示圆。 3.掌握点与圆的三种位置关系，会用几何法、代数法判断点在圆上、圆内、圆外。 4.理解圆上动点到定点距离的最值规律，能够求解最大值与最小值相关计算。 学习重难点 重点： 1. 圆的标准方程与一般方程，能够根据条件灵活选择两种形式写出圆的方程。 2. 点和圆位置关系的判定，熟练运用几何法与代数法完成位置判断。 3. 掌握圆上点到定点距离的最值公式，会求解相关距离最值问题。 难点： 1. 圆的一般方程中参数的辨析，容易忽略这个前提条件。 2. 结合条件求圆的方程，处理与坐标轴相切、过原点等特殊条件，容易遗漏绝对值。 知识点一 圆的标准方程 1.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。定点为圆心，定长为半径。 2.圆的标准方程 圆心为，半径为的圆的标准方程： 特别提醒 圆的标准方程，圆心是，注意符号。例如，圆心为，容易直接把括号内数字当成圆心坐标而出错，半径是，不是。 3.几种特殊位置的圆的标准方程 条件 方程形式 过原点 圆心在原点 圆心在轴上 圆心在轴上 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 与轴相切 与轴相切 即学即练 1．圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 知识点二 圆的一般方程 圆的一般方程：。将方程配方：。 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 圆心，半径的圆 即学即练 3．过原点且在轴，轴上截距分别为和的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 4．圆的半径为________． 知识点三 点与圆的位置关系 平面内点与圆有三种位置关系：点在圆上、点在圆内、点在圆外。 已知点，圆标准方程：，圆心，半径。 圆一般方程：。 1.几何法：计算点到圆心距离 点在圆上：；点在圆内：；点在圆外： 2.标准方程代数法 点在圆上： 点在圆内： 点在圆外： 3.一般方程代数法，代入计算 点在圆上： 点在圆内： 点在圆外： 即学即练 5．点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 6．（多选）若点在圆：的外部，则实数可能的值为（    ） A． B． C． D． 知识点四 圆上的点到定点的最大、最小距离 设圆心为，定点为，圆心到定点距离，圆半径，为圆上动点。 1.若定点在圆外：， 2.若定点在圆上：， 3.若定点在圆内：， 统一结论：最大值，最小值。 特别提醒 圆上点到定点距离最值，要分清定点在圆内、圆上、圆外三种情况。最小值要取绝对值，定点在圆内时，不要错误写为，会出现负数。 即学即练 7．在平面直角坐标系中，点到圆：的最短距离是（   ） A． B．4 C．8 D． 题型01 求圆的标准方程 解题贴士 圆的标准方程为，核心是求出圆心和半径。常用条件有已知圆心、半径、圆经过的点、相切关系等。 已知两点可求圆心在两点垂直平分线上；与坐标轴相切，半径等于对应圆心坐标的绝对值。求出参数后注意，舍去半径非正的解。 典｜例｜精｜析 【例1】与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】已知某圆经过，两点，圆心M在直线上，则该圆的方程为______. 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】求以直线和的交点为圆心，半径为4的圆的标准方程. 【变式1-3】已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是_________. 题型02 求圆的一般方程 解题贴士 圆的一般方程形式是，通过已知点坐标代入，建立关于的方程组求解。 解出参数后，一定要验证条件，保证方程确实代表圆。必要时可以把一般方程配方，转化成标准方程得到圆心和半径。 典｜例｜精｜析 【例3】圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【例4】已知直线过圆的圆心，且与直线平行，则的方程为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________． 【变式2-2】若圆上所有的点都在轴左侧，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】由曲线围成的图形面积等于 （   ） A． B． C． D． 题型03 二元二次曲线表示圆 典｜例｜精｜析解题贴士 二元二次方程表示圆，首先要求系数相等且不为0，同时没有交叉项。 还要满足判别式。含参数题目求出参数之后，回代检验全部条件，排除表示点或者无图形的情况。 【例5】方程表示圆，的取值范围为_____ 【例6】圆的圆心在第三象限，则的取值范围为______. 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若方程表示圆，则实数的取值范围是__________． 【变式3-3】已知圆的圆心在y轴的正半轴上，则实数a的取值范围为________． 题型04 点与圆的位置关系 典｜例｜精｜析 【例7】若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 【例8】若点在圆外，则实数k的取值范围为______． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】点在圆的______．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线） 【变式4-3】已知圆过三点，点，则圆的一般方程为______，点在圆______（内/上/外）． 题型05 点到圆的最值问题 典｜例｜精｜析 【例9】记点，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例10】已知点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】如果实数、满足，那么的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知圆，则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（   ） A． B．6 C． D． 【变式5-3】（多选）若P为圆上任意一点，点，则的取值可以为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 题型06 定点问题 解题贴士 带参数的圆方程恒过定点，将方程整理为参数的合并式，令参数的系数与常数项同时等于零。 联立方程组求解得到定点坐标。也可以代入两组不同的参数，求出两个交点，再回代原方程验证，避免求出不符合题意的伪定点。 典｜例｜精｜析 【例11】对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__． 【例12】已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】若圆恒过两个不同的定点A，B，则__________. 【变式6-2】已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点. (1)求经过、、三点的圆的方程； (2)圆是否经过某定点（其坐标与无关）?请说明理由. 【变式6-3】在平面直角坐标系中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围； (2)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论. 题型07 直接法求轨迹方程 解题贴士 动点满足的几何条件清楚，直接把几何关系翻译成坐标等式，化简得到轨迹方程。常见条件：距离相等、距离为定值等。 化简过程中注意等价变形，不能随意两边平方造成增根。最后根据题意剔除不符合条件的点，标明轨迹的范围。 典｜例｜精｜析 【例13】若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【例14】已知向量，满足，则动点的轨迹方程是__________. 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】直角中，斜边，，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知，若动点满足，则动点与点距离的最大值为______. 【变式7-3】已知等腰的顶点的坐标为，底边的一个端点的坐标为，则另一个端点的轨迹方程为______． 题型08 相关点法求轨迹方程 解题贴士 动点随已知曲线上点运动，先建立两点坐标之间的关系式，用表示。 再把点代入已知曲线方程，替换得到的方程。注意坐标变换过程，不要搞反代入关系，最后检验轨迹的取值范围。 典｜例｜精｜析 【例15】点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例16】已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A．( B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】已知线段的中点C的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的端点B的轨迹方程是__________． 【变式8-2】已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知为圆上一动点，则线段的中点B的轨迹方程为__________． 题型09 与圆有关的对称问题 典｜例｜精｜析 【例17】已知点A，B在圆上，且A，B两点关于直线对称，则圆的半径的最小值为（    ） A．2 B． C．1 D．3 【例18】已知圆关于直线对称，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式9-1】曲线与曲线关于直线对称，则曲线的方程为______． 【变式9-2】圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程是______． 【变式9-3】已知圆：，圆与圆关于点对称，则圆的方程为__________． 基础通关 一、单选题 1．以为直径的两个端点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 3．设为圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．9 4．若圆的面积为，则（    ） A． B． C． D． 5．若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知圆，点，点是圆上的一个动点，则线段的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 二、多选题 7．下列方程中，哪些表示一个圆？（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 10．关于直线对称的圆的方程为__________. 四、解答题 11．已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 12．已知的顶点，，线段的垂直平分线方程为. (1)求直线的方程； (2)求外接圆的标准方程. 素养提升 1．（多选）在平面直角坐标系中，已知过点的直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，则（    ） A．当时，直线的方程为 B．当为的中点时，直线的斜率为 C．当面积最小时，其外接圆的方程为 D．点在的外接圆内 2．已知点，，若圆上的任意一点均满足，则实数__________. 3．圆：关于直线：对称后的方程为________. 4．已知直线 过定点 ，直线 过定点 的交点为C，则的最大值为_____. 5．已知三点在圆上，的重心为坐标原点，则周长的最大值为___________. 迁移创新 1．已知点是圆上任意一点，，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 2．由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知点，圆，点为圆上一点，点在轴上，则的最小值为__________. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $