3.2 双曲线 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学双曲线核心知识点，系统梳理从定义、标准方程到几何特征（焦点、渐近线、离心率等），再到直线与双曲线位置关系、焦点三角形等综合应用的脉络，构建“基础概念—性质探究—综合解题”的学习支架，助力学生逐步深化理解。 资料以20个题型为框架，每个题型含解题知识、方法点拨及典例变式，通过具体问题（如与圆结合求轨迹）培养抽象能力与推理能力，融入向量、动点轨迹等跨知识点内容发展模型意识。课中辅助教师分层教学，课后过关验收帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

3.2 双曲线 内 容 导 航 题型1 双曲线的定义 题型2 双曲线的标准方程 题型3 根据双曲线的几何特征求标准方程 题型4 由方程表示双曲线求解双曲线的标准方程或参数 题型5 求双曲线的焦点和焦距 题型6 求双曲线的渐近线方程 题型7 由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数 题型8 双曲线的实轴和虚轴 题型9 双曲线的对称性 题型10 求双曲线的离心率 题型11 由双曲线的离心率求解方程或参数 题型12 双曲线相关动点轨迹 题型13 直线与双曲线的位置关系及公共点个数 题型14 由直线与双曲线位置关系及公共点个数求解方程或参数 题型15 双曲线的弦及弦长 题型16 双曲线的焦点弦及焦半径 题型17 双曲线的焦点三角形 题型18 双曲线的中点弦 题型19 双曲线与平面向量 题型20 双曲线的定点及定值问题 考 点 演 练 题型1 双曲线的定义 解｜题｜知｜识 双曲线（Hyperbola）是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹．双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线．双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点（focus），定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率． 标准方程 ①（a，b＞0），表示焦点在x轴上的双曲线； ②（a，b＞0），表示焦点在y轴上的双曲线． 性质 这里的性质以（a，b＞0）为例讲解： ①焦点为（±c，0），其中c2＝a2+b2；②准线方程为：x＝±；③离心率e1；④渐近线：y＝±x；⑤焦半径公式：左焦半径：r＝|ex+a|，右焦半径：r＝|ex﹣a|． 【命题方向】 这里面的两个例题是最基本的，必须要掌握，由于双曲线一般是在倒数第二个解答题出现，难度一般也是相当大的，在这里可以有所取舍，对于基础一般的同学来说，尽量的把这些基础的分拿到才是最重要的，对于还剩下的部分，尽量多写． 【典例1】与圆x2+y2＝1及圆x2+y2﹣8x+12＝0都外切的圆的圆心在（　　） A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上 C．一条抛物线上 D．一个圆上 【答案】B 【解答】解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2＝1的圆心为O（0，0），半径为1；圆x2+y2﹣8x+12＝0的圆心为F（4，0），半径为2． 依题意得|PF|＝2+r，|PO|＝1+r，则|PF|﹣|PO|＝（2+r）﹣（1+r）＝1＜|FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支． 故选：B． 【变式1】已知双曲线C的上，下焦点分别为点F1，F2，若C的实轴长为1，且C上点P满足PF1⊥PF2，PF1•PF2＝4，则C的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：||PF1|﹣|PF2||＝2a＝1， 2|PF1|•|PF2|＝1， |PF1|•|PF2|＝4，且 PF1⊥PF2， 则（2c）2，即（2a）2＝（2c）2﹣2×4，可得1＝4c2﹣8，解得， 又因为c2＝a2+b2，解得， 所以， 故双曲线C的方程为，即4y2． 故选：D． 【变式2】（多选）以下四个命题中，正确的是（　　） A．设A（﹣2，0），B（2，0），动点P满足|PA|﹣|PB|＝2，则动点P的轨迹为双曲线 B．若曲线表示椭圆，则2＜t＜5 C．方程3x2﹣10x+3＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D．椭圆与双曲线有相同的焦点 【答案】CD 【解答】解：对于A，设A（﹣2，0），B（2，0），动点P满足|PA|﹣|PB|＝2， 又|PA|﹣|PB|＝2＜|AB|＝4， 结合双曲线的定义易知动点P的轨迹为双曲线的右支，故A错误； 对于B，若曲线表示椭圆，则，解得2＜t＜5且，故B错误； 对于C，3x2﹣10x+3＝（3x﹣1）（x﹣3）＝0，可得或x＝3＞1， 可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故C正确； 对于D，椭圆中，则焦点为， 双曲线中，则焦点为． 即焦点相同，故D正确． 故选：CD． 题型2 双曲线的标准方程 解｜题｜知｜识 双曲线标准方程的两种形式： （1）（a＞0，b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c； （2）（a＞0，b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c． 两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞0，b＞0；c2＝b2+a2 两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 标准方程 （a＞0，b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞0，b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上 图形 顶点 （a，0）和（﹣a，0） （0，a）和（0，﹣a） 对称轴 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b 焦点在实轴上 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b 焦点在实轴上 焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2+b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2+b2 离心率 e（e＞1） e（e＞1） 渐近线 即y＝±x 即y＝±x 准线 x＝± y＝± 【典例1】椭圆的焦点到双曲线的渐近线的距离为（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：由椭圆，可得c2， 根据对称性，可取焦点F（2，0）， 又双曲线，可得渐近线方程为：y＝±x， 根据对称性，可取3xy＝0， 故（2，0）到渐近线3xy＝0的距离d． 故选：A． 题型3 根据双曲线的几何特征求标准方程 解｜题｜知｜识 双曲线的几何特征包括焦距、顶点和渐近线．顶点在坐标轴上，焦点间距2c，常数2a是双曲线上任意一点到两个焦点的距离差． 【解题方法点拨】 1．计算a和b：利用几何特征a和b的关系求解． 2．代入标准方程：代入得到双曲线的标准方程． 【命题方向】 ﹣根据双曲线的几何特征（如焦点、顶点），确定标准方程． ﹣通过几何特征推导方程． 【典例1】已知双曲线过点（﹣2，0），且与椭圆4x2+9y2＝36有公共焦点，则双曲线的标准方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由椭圆4x2+9y2＝36，可化为标准方程， 可得， ∵双曲线与椭圆有公共的焦点， ∴， 又∵双曲线过点（﹣2，0），可得a＝2，则b2＝c2﹣a2＝1， ∴双曲线的标准方程为． 故选：B． 【变式1】已知双曲线E的标准方程为，左、右焦点分别是F1、F2，F2到双曲线渐近线的距离是1，并且离心率为． （1）求双曲线E的标准方程； （2）若斜率为1的直线l过点F2与双曲线E交于A、B两点，求△ABF1的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）双曲线E：，渐近线方程为，即bx±ay＝0， 点F2到渐近线的距离为， 又因为，所以c＝2，， 所以双曲线E的标准方程为． （2） 所以直线l方程为y＝x﹣2，联立，消y得：2x2﹣12x+15＝0， Δ＝（﹣12）2﹣4×2×15＝24＞0， 设A（x1，y1）、B（x2，y2），由（1）及题设知F1（﹣2，0）、F2（2，0）， 由韦达定理可得x1+x2＝6，， 所以， 又因为|F1F2|＝4，所以， 即△ABF1的面积为． 题型4 由方程表示双曲线求解双曲线的标准方程或参数 解｜题｜知｜识 已知双曲线的一般方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0，可以转换为标准方程形式，通过配方和代数运算求解a和b． 【解题方法点拨】 1．转换方程：通过配方或代数方法将方程转化为标准方程形式． 2．解出参数：确定a和b的值． 【命题方向】 ﹣给定一般方程，求解标准方程或参数． ﹣利用代数方法转化方程． 【典例1】设m为实数，若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（　　） A．﹣2＜m＜3 B．m＞3 C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意可得， 解得m＞3． 故选：B． 题型5 求双曲线的焦点和焦距 解｜题｜知｜识 双曲线的焦点为或，焦距为2c，其中． 【解题方法点拨】 1．计算c：由公式计算． 2．确定焦点位置：根据c和双曲线对称轴确定焦点． 【命题方向】 ﹣给定a和b，求双曲线的焦点和焦距． ﹣根据双曲线的参数计算焦点位置． 【典例1】双曲线C：的焦距为（　　） A．2 B． C．3 D．6 【答案】D 【解答】解：因为双曲线C：， 所以a2＝1，b2＝8，c2＝a2+b2＝9，即c＝3， 所以焦距为2c＝6． 故选：D． 【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为4，那么△ABF2的周长是（　　） A．24 B．20 C．16 D．8 【答案】A 【解答】解：已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2， 在左支上过F1的弦AB的长为4， 则|AF2|﹣|AF1|＝2a＝8，|BF2|﹣|BF1|＝2a＝8，|AB|＝|AF1|+|BF1|， 所以△ABF2的周长为|AF2|+|BF2|+|AB| ＝8+|AF1|+8+|BF1|+|AB|＝16+2|AB|＝24． 故选：A． 【变式2】双曲线上一点P到右焦点的距离是5，则下列结论正确的是（　　） A．P到左焦点的距离为29 B．P到左焦点的距离为15 C．P到左焦点的距离不唯一 D．这样的点P不存在 【答案】D 【解答】解：双曲线， 则a2＝25，b2＝144， 故a＝5，b＝12，则， 设该双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，由题意可知|PF2|＝5， 又因为|PF2|≥c﹣a＝13﹣5＝8，所以这样的P不存在． 故选：D． 题型6 求双曲线的渐近线方程 解｜题｜知｜识 双曲线的渐近线是双曲线无限远处的切线．对于双曲线或，其渐近线方程为或． 【解题方法点拨】 1．计算斜率：利用计算渐近线的斜率． 2．代入方程：写出渐近线方程． 【命题方向】 ﹣给定双曲线的参数，求渐近线方程． ﹣利用标准方程计算渐近线方程． 【典例1】双曲线的渐近线方程为（　　） A．y＝±5x B．y＝±x C． D． 【答案】C 【解答】解：由双曲线，得5x2﹣y2＝5，即， 则a＝1，b，可得渐近线方程为y． 故选：C． 【变式1】双曲线C：的左焦点为F，右顶点为B，点F到渐近线的距离是点B到渐近线距离的2倍，则C的渐近线方程为 yx ． 【答案】yx． 【解答】解：由已知，B（a，0），设双曲线的左焦点F（﹣c，0）， 则点F到渐近线bx﹣ay＝0的距离为b， 点B到渐近线bx﹣ay＝0的距离为， 所以b，所以离心率e2，， 所以渐近线方程为yx． 故答案为：yx． 【变式2】已知双曲线的离心率为，左，右焦点分别为F1F2，F2关于C的一条渐近线的对称点为P．若|PF1|＝2，则△PF1F2的面积为　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：双曲线的离心率为，左，右焦点分别为F1F2，F2关于C的一条渐近线的对称点为P．如图： 设PF2与渐近线交于M， 则， 所以， 由O，M分别F1F2与PF2的中点， 知OM∥PF1且，即a＝1， 由得，所以． 故答案为：4． 题型7 由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数 解｜题｜知｜识 已知双曲线的渐近线方程可以确定a和b，从而得到双曲线的标准方程． 【解题方法点拨】 1．计算a和b：由渐近线方程的斜率计算． 2．代入标准方程：得到双曲线的标准方程． 【命题方向】 ﹣给定渐近线方程，求解双曲线的标准方程或参数． ﹣利用渐近线方程计算标准方程． 【典例1】已知A（0，1），B（1，2），C在Γ：x2﹣y2＝1（x≥1，y≥0）上，则△ABC的面积（　　） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【解答】解：因为过点A（0，1），B（1，2）的直线AB的方程为y＝x+1， 曲线Γ：x2﹣y2＝1（x≥1，y≥0）的渐近线为y＝x， 所以AB与渐近线平行， 故当点C无限逼近渐近线时，△ABC在AB上的高无限逼近渐近线与AB的距离， 故△ABC的面积无最小值， 当点C位于（1，0）时，使得△ABC在边AB上的高最大，此时△ABC的面积有最大值． 故选：A． 【变式1】（1）求焦点为F1（﹣3，0），F2（3，0），且过点A（4，﹣1）的双曲线的标准方程； （2）求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）已知双曲线的焦点为F1（﹣3，0），F2（3，0）， 设双曲线方程为， 又点A（4，﹣1）在双曲线上， 则， 即m2＝8， 即双曲线的标准方程为； （2）已知所求双曲线与双曲线有相同的渐近线， 不妨设，其中λ≠0， 又点在双曲线上， 则， 即λ＝﹣2， 即所求双曲线的标准方程为：． 【变式2】已知双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【答案】B 【解答】解：由题意，， ∵抛物线y2＝4x的准线方程为x，双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上， ∴c， ∴a2+b2＝c2＝7， ∴a＝2，b， ∴双曲线的方程为． 故选：B． 题型8 双曲线的实轴和虚轴 解｜题｜知｜识 双曲线的实轴是通过两个顶点的线段，虚轴是与双曲线相交的渐近线的距离．对于双曲线，实轴长度为2a，虚轴长度为2b． 【解题方法点拨】 1．计算实轴长度：由a计算实轴长度． 2．计算虚轴长度：由b计算虚轴长度． 【命题方向】 ﹣给定双曲线方程，求实轴和虚轴的长度． ﹣利用参数计算实轴和虚轴的长度． 【典例1】已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数a的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由双曲线， 得实半轴长为，虚半轴长为， 由题意有，解得． 故选：A． 题型9 双曲线的对称性 解｜题｜知｜识 双曲线相对于x轴和y轴对称．即对于标准方程，双曲线关于x轴和y轴对称，且关于坐标原点中心对称． 【解题方法点拨】 1．分析对称性：检查双曲线关于坐标轴的对称性． 【命题方向】 ﹣根据双曲线方程分析对称性． ﹣确定双曲线的对称轴． 【典例1】（多选）已知双曲线C：1（m∈R）的一条渐近线方程为4x﹣3y＝0，则（　　） A．（，0）为C的一个焦点 B．双曲线C的离心率为 C．过点（5，0）作直线与C交于A，B两点，则满足|AB|＝15的直线有且只有两条 D．设A，B，M为C上三点且A，B关于原点对称，则MA，MB斜率存在时其乘积为 【答案】BD 【解答】解：双曲线C：1（m∈R）的一条渐近线方程为4x﹣3y＝0， 可得，解得m＝9， 则双曲线的方程为1， 可得a＝3，b＝4，c＝5，焦点为（±5，0），故A错误； 双曲线的离心率为e，故B正确； 过右焦点（5，0）作直线与C交于A，B两点， 若A，B均在右支上，可得|AB|， 而15，可得这样的直线有两条； 若A，B分别在双曲线的左、右支上，可得|AB|≥2a＝6， 而15＞6，可得这样的直线有两条，则满足|AB|＝15的直线共有4条，故C错误； 设A（m，n），B（﹣m，﹣n），M（s，t），可得1，1， 两式相减可得， 即有MA，MB斜率存在时其乘积为•， 故D正确． 故选：BD． 题型10 求双曲线的离心率 解｜题｜知｜识 双曲线的离心率e是，其中是焦距的一半． 【解题方法点拨】 1．计算离心率：利用公式计算离心率． 2．求解参数：从双曲线方程中提取参数． 【命题方向】 ﹣给定双曲线的参数，求离心率． ﹣根据离心率计算双曲线的标准方程． 【典例1】已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心，为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解答】解：设半焦距为c，根据题意可知，为半径的圆与双曲线C的渐近线相切， 则右焦点F2（c，0）到渐近线bx﹣ay＝0的距离为， 即， 所以． 故选：C． 【变式1】已知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由双曲线，可得， 则a，b， 可得，则双曲线的离心率为e． 故选：D． 【变式2】已知焦点在x轴上的双曲线其渐近线与圆x2+y2﹣6x+5＝0有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵圆x2+y2﹣6x+5＝0，∴（x﹣3）2+y2＝4， ∴圆x2+y2﹣6x+5＝0的圆心为（3，0），半径为r＝2， 设焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±，即bx±ay＝0， 由题可知2，化简得4a2≥5b2， 由a2+b2＝c2，得4a2≥5（c2﹣a2）， 化简得1，∴1＜e， ∴双曲线的离心率的取值范围为（1，]． 故选：B． 题型11 由双曲线的离心率求解方程或参数 解｜题｜知｜识 已知离心率e，可以求解c和a，从而得到双曲线的标准方程． 【解题方法点拨】 1．计算a和b：由e和c计算参数． 2．代入方程：得到双曲线的标准方程． 【命题方向】 ﹣给定离心率，求解双曲线的方程或参数． ﹣利用离心率计算标准方程． 【典例1】已知双曲线的离心率为2，顶点到渐近线的距离为． （1）求C的方程； （2）若直线l：y＝kx+2交C于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为，求k的值． 【答案】（1）； （2）k＝±1或k＝±2． 【解答】解：（1）记双曲线C的半焦距为c， 因为双曲线C的离心率为2， 所以，① 不妨设C的顶点为（a，0），渐近线方程为bx﹣ay＝0， 因为双曲线C的顶点到渐近线的距离为， 所以，② 又a2+b2＝c2，③ 联立①②③， 解得，，， 则C的方程为； （2）设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去y并整理得（3﹣k2）x2﹣4kx﹣10＝0， 此时3﹣k2≠0且Δ＞0， 解得解得且， 由韦达定理得，， 所以， 又点O到直线l的距离， 所以△AOB 的面积， 解得k＝±1或k＝±2， 此时满足且． 故k＝±1或k＝±2． 【变式1】已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点，，离心率分别为e1，e2，点P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点，且，若，则双曲线C2的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：已知椭圆C1的焦点为，，且， 则， 所以， 设双曲线的实半轴长a2， 又点P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点，且， 则， 则， 即|PF1|•|PF2|＝12， 所以， 即， 所以， 又双曲线焦点在x轴上， 故双曲线方程为． 故选：D． 【变式2】若双曲线的离心率为3，则k＝　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：的离心率公式是：，即3， 因为当焦点在y轴上时，此时k﹣2＜0，那么k＜2， 此时11﹣k恒大于0，﹣（11﹣k）恒小于0，该曲线不是双曲线，故焦点不在y轴上， 因此a2＝k﹣2，b2＝11﹣k， 所以可得3， 因为双曲线要求a2＞0，b2＞0，所以2＜k＜11， 因为e＝3⇒e2＝9， 即，即， 即11﹣k＝8（k﹣2）， 解得k＝3，符合2＜k＜11，因此k为3． 故答案为：3． 题型12 双曲线相关动点轨迹 解｜题｜知｜识 动点轨迹是指在双曲线上的点的运动轨迹．可以通过方程描述动点的位置变化 【解题方法点拨】 1．确定轨迹方程：根据动点的位置变化描述轨迹． 2．分析性质：分析动点轨迹的几何性质． 【命题方向】 ﹣给定动点的条件，描述双曲线上的轨迹． ﹣分析轨迹方程及其性质． 【典例1】在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足λ，当入＞0且λ≠1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．现有双曲线1（a＞0，b＞0），A，B为双曲线的左、右顶点，C，D为双曲线的虚轴端点，动点P满足2，△PAB面积的最大值为，△PCD面积的最小值为4，则双曲线的离心率为　　 ． 【答案】 【解答】解：设A（﹣a，0），B（a，0），P（x，y）， 由题意，可得|PA|＝2|PB|，即2， 化简可得：（x）2+y2＝（）2，圆心（，0），半径r， 所以△PAB的最大面积为•2a•，解得a＝4； △PCD最小值•2b•（aa）＝b4， 解得b＝3，故双曲线的离心率e， 故答案为：． 题型13 直线与双曲线的位置关系及公共点个数 解｜题｜知｜识 直线与双曲线的交点数量取决于它们的方程．可以通过联立方程求解交点数量． 【解题方法点拨】 1．联立方程：将直线方程和双曲线方程联立． 2．求解交点：通过解方程得到交点的数量． 【命题方向】 ﹣给定直线方程和双曲线方程，求交点数量． ﹣分析直线与双曲线的交点情况． 【典例1】“”是“直线y＝kx+1与双曲线只有一个公共点”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解答】解：由方程组，消去y得：（1﹣4k2）x2﹣8kx﹣8＝0， 当1﹣4k2＝0，即时，方程组仅有一解，满足题意； 当1﹣4k2≠0时，要使直线与双曲线有且仅有一个公共点，则方程组仅有一解， 即Δ＝64k2+32（1﹣4k2）＝0，解得k， 综上，k或k， 故是直线y＝kx+1与双曲线只有一个公共点的充分不必要条件． 故选：A． 【变式1】已知双曲线C：（m＞0）． （1）若双曲线的离心率e＝2，求实数m的值； （2）若双曲线的离心率e的取值范围为，求实数m的取值范围； （3）直线y＝x+1与双曲线C相交于互异两点，设正数k为双曲线一条渐近线的斜率，求实数k的取值范围． 【答案】（1）m＝1； （2）[]； （3）． 【解答】解：（1）由已知e＝2，可得，解得m＝1； （2）由已知，可得； 解得，所以实数m的取值范围为[]； （3），消去y，得（3﹣m）x2﹣2mx﹣4m＝0， 双曲线C与直线y＝x+1相交于互异两点， 等价于不等式组，解得0＜m＜3或3＜m＜4； 依题意：，当0＜m＜3时，k＞1； 当3＜m＜4时，； 所以k的取值范围是． 【变式2】已知双曲线，F为其右焦点，过F点的直线与双曲线相交于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l的条数为（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【解答】解：由双曲线，可得， 当弦AB在双曲线右支上时，通径最短，长度为， 因为|AB|＝4＞3，此时符合条件的直线有两条l1，l2； 当弦AB在双曲线的两支上时，长轴最短为|CD|＝4，|AB|＝4， 故在同一支上时有两条直线，在两支上时有一条直线． 故选：C． 题型14 由直线与双曲线位置关系及公共点个数求解方程或参数 解｜题｜知｜识 根据直线与双曲线的交点数量，推导双曲线的方程或参数．公共点的个数可以帮助确定双曲线的方程． 【解题方法点拨】 1．分析公共点个数：根据交点数量求解双曲线的参数． 2．求解方程：利用交点情况确定方程参数． 【命题方向】 ﹣给定交点数量，求解双曲线的标准方程或参数． ﹣分析直线与双曲线的交点数量． 【典例1】（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F2，且与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，其中A，P两点位于第一象限，下列说法正确的是（　　） A．若|AB|＝5，则△F1AB的周长为14 B．若，则实数λ的值可以为2 C．点A到两条渐近线的距离之积为定值 D．若△AF1F2，△BF1F2的内切圆的半径分别为r1，r2，则恒成立 【答案】ACD 【解答】解：因为双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F2，且与双曲线的右支交于A，B两点， 所以|AF1|＝2a+|AF2|，|BF1|＝2a+|BF2|，|AB|＝|AF2|+|BF2|＝5， 所以△F1AB的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|＝4a+10＝4+10＝14，故A正确； 由条件可知F2（2，0），渐近线方程． 设l：x＝my+2，联立，消去x，整理可得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0， 且Δ＝144m2﹣4×9×（3m2﹣1）＝36m2+36＞0，所以， 由可得， 由可得， 所以， 所以yA+yB＝yP+yQ， 所以xA+xB＝xP+xQ，所以AB，PQ的中点重合，记AB的中点为M， 所以|PM|＝|QM|，|AM|＝|BM|，|PM|＝|AM|+|AP|，|QM|＝|BM|+|BQ|， 所以|AP|＝|BQ|，所以，所以λ＝1，故B错误； 设A（x0，y0），A到的距离为， A到的距离为， 所以点A到两条渐近线的距离之积为， 因为A（x0，y0）在双曲线上，所以，所以， 所以，故C正确； 设直线l的倾斜角为θ，则， 设△AF1F2，△BF1F2的内切圆的圆心分别为I1，I2， △AF1F2的内切圆I1与各边切于D，G，H，△BF1F2的内切圆I2与l切于E，设G（m，0）， 因为|AF1|﹣|AF2|＝|AH|+|F1H|﹣（|AD|+|DF2|）＝|F1H|﹣|DF2|＝|F1G|﹣|F2G|＝2a， 所以c+m﹣（c﹣m）＝2a，所以m＝a＝1，所以G（1，0）， 所以I1在直线x＝1上． 同理可得I2也在直线x＝1上，且|GF2|＝c﹣a＝2﹣1＝1， 由几何关系可得， 所以， 因为，所以，所以， 令， 由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，所以，故D正确． 故选：ACD． 【变式1】已知双曲线C的方程为，实轴长和离心率均为2． （1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程； （2）过E（0，2）且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于M，N两点，求的值（O为坐标原点）． 【答案】（1），； （2）1． 【解答】解：（1）因为双曲线C的实轴长和离心率均为2， 所以， 解得a2＝1，b2＝3， 则双曲线的标准方程为；渐近线方程为， （2）因为直线l的倾斜角为45°，且过点E（0，2）， 所以设直线l的方程为y＝x+2，M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立，消去y并整理得2x2﹣4x﹣7＝0， 由韦达定理得． 所以． 【变式2】如果直线y＝kx﹣1与双曲线x2﹣y2＝4没有公共点，k的取值范围为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解答】解：已知直线y＝kx﹣1与双曲线x2﹣y2＝4没有公共点， 联立， 得（1﹣k2）x2+2kx﹣5＝0， 由题意（1﹣k2）x2+2kx﹣5＝0无解， 当1﹣k2＝0时，即k＝±1时，方程有一个解，直线方程与双曲线有一个公共点，舍去； 当1﹣k2≠0时，则Δ＝20﹣16k2＜0，即或，无公共点． 综上所述：或． 故选：B． 题型15 双曲线的弦及弦长 解｜题｜知｜识 双曲线的弦是连接双曲线上的两点的线段．弦长可以通过点的坐标和双曲线参数计算． 【解题方法点拨】 1．计算弦长：使用两点坐标计算弦长． 2．应用公式：利用相关公式进行计算． 【命题方向】 ﹣给定两点坐标，计算弦的长度． ﹣利用双曲线方程求弦长． 【典例1】已知双曲线，直线y＝﹣2x+b交C于A，B两点，D为C上另一点，满足∠ADB＝90°，O为平面直角坐标系的原点．若线段AB、AD、BD的中点分别为G1，G2，G3，则直线OG1，OG2，OG3斜率的乘积为（　　） A．16 B． C．4 D． 【答案】B 【解答】解：已知双曲线，直线y＝﹣2x+b交C于A，B两点， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则①，②， 则①﹣②得， 即， ∴，这表明△AOB中，AB边上中线的斜率与AB的斜率之积为， ∴， ∴， 又∵AD⊥BD， ∴kAD•kBD＝﹣1， 而kAB＝﹣2， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1】已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右焦点分别为F1、F2． （1）求双曲线的方程和离心率； （2）过F2且斜率为1的直线与双曲线交于D，E两点，求线段DE的长度． 【答案】（1）；． （2）． 【解答】解：（1）已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右焦点分别为F1、F2， 则，又a＝1，所以， 所以， 所以双曲线的方程为，离心率． （2）设D（x1，y1），E（x2，y2）， 由题意得，则直线DE的方程为， 联立双曲线方程得，即， 所以，x1x2＝2， 所以． 所以线段DE的长度为． 【变式2】过双曲线x2﹣y2＝4的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长|AB|＝ 　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：由双曲线x2﹣y2＝4，得a＝b＝2，， 焦点为，倾斜角θ＝30°， 因为直线斜率，所以直线方程为， 联立消x得，， 由韦达定理知， 代入弦长公式， 得． 故答案为：8． 题型16 双曲线的焦点弦及焦半径 解｜题｜知｜识 焦点弦是通过焦点且与双曲线的两个交点形成的线段．焦半径是从焦点到双曲线上任意点的线段． 【解题方法点拨】 1．计算焦点弦：通过焦点和弦的方程计算焦点弦的长度． 2．计算焦半径：计算焦点到弦上点的距离． 【命题方向】 ﹣给定焦点和弦，计算焦点弦的长度和焦半径． ﹣分析焦点弦和焦半径的性质． 【典例1】双曲线E，焦距为10，左右焦点分别为F1，F2，M为E上一点满足|MF1|＝7，则|MF2|＝（　　） A．13 B．1或13 C．10 D．4或10 【答案】A 【解答】解：双曲线E，焦距为10，左右焦点分别为F1，F2， 故2c＝10， 即c＝5， 又b2＝16， 则a2＝c2﹣b2＝25﹣16＝9， 所以a＝3， 由||MF1|﹣|MF2||＝2a＝6， 又|MF1|＝7， 得|MF2|＝1或|MF2|＝13， 结合|MF1|＝7＜a+c＝8， 则M在双曲线左支上， 由于1＜c+a＝8， 故|MF2|＝13． 故选：A． 【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线y＝x+m与双曲线C交于A、B两点，若△F2AB面积是△F1AB面积的2倍，则m＝（　　） A．﹣6 B．或﹣6 C． D．或6 【答案】D 【解答】解：联立，可得2x2﹣2mx﹣m2﹣3＝0，Δ＝4m2+8（m2+3）＞0， 设点A（x1，y1）、B（x2，y2），直线AB交x轴于点M（﹣m，0）， 所以， 解得或6． 故选：D． 【变式2】已知双曲线，（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）过F1的直线l与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点M，且有MF2⊥x轴，则直线l的斜率是 　　 ，双曲线的渐近线方程为 y＝±x ． 【答案】；y＝±x 【解答】解：设圆的圆心为A，直线l与圆A相切于点N，则A（0，c），圆的半径为c， ∴|AF1|c，|AN|c， ∴sin∠MF1F2， ∴tan∠MF1F2， ∴直线l的斜率是， 在Rt△MF1F2中，tan∠MF1F2， ∴|MF2|c，|MF1|c， 由双曲线的定义知，|MF1|﹣|MF2|ccc＝2a， ∴ca，ba， ∴渐近线方程为y＝±x＝±x． 故答案为：；y＝±x． 题型17 双曲线的焦点三角形 解｜题｜知｜识 焦点三角形由双曲线上的点、焦点组成的三角形．其面积可以通过双曲线的参数计算． 【解题方法点拨】 1．确定三角形顶点：计算双曲线上的点和焦点的坐标． 2．计算面积：使用三角形面积公式计算面积． 【命题方向】 ﹣给定双曲线上的点和焦点，求焦点三角形的面积． ﹣分析焦点三角形的几何性质及计算方法． 【典例1】已知双曲线，左、右焦点分别为F1，F2．过F1的直线l的斜率为，直线l交双曲线右支于点R．点P在双曲线左支上，且RF2⊥RP．若双曲线离心率，则比值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解答】解：设双曲线的半焦距为c， 若双曲线离心率， 此时， 解得， 又c2＝a2+b2， 所以b2＝2a2， 此时， 直线l的方程为， 联立，消去y并整理得， 因为R在双曲线右支上， 所以， 代入直线方程中， 解得yR＝2a， 即， 因为， 所以RF2垂直于x轴， 因为RF2⊥RP， 所以RP平行于x轴， 即点P的纵坐标也为2a， 将y＝2a代入双曲线方程中， 解得． 因为P在左支上， 所以， 所以， 则． 故选：D． 【变式1】（多选）已知双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，且||PF1|﹣|PF2||＝4，若直线l与C的右支交于A，B两点，AB的中点为Q，则下列说法正确的是（　　） A．C的方程为 B．若PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝3 C．若O为坐标原点，且AB，OQ的斜率分别为k3，k4，则k3k4＝3 D．若l经过F2，则△AF1F2，△BF1F2的内心与M（2，0）三点共线 【答案】ACD 【解答】解：对于选项A，双曲线的离心率为2， 左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，且||PF1|﹣|PF2||＝4，可得， ∴，∴C的方程为，故A选项正确； 对于选项B，F1（﹣4，0），F2（4，0），设点P（x0，y0），则，即， ∴不是定值，故B选项错误； 对于选项C，设A（x1，y1），B（x2，y2），则， ∵A，B在C上，∴， 两式相减，得，即， ∴，故C选项正确； 对于选项D，如图，设△AF1F2和△BF1F2的内心分别为I1，I2，设△AF1F2的内切圆的切点为R，S，T， 由双曲线的定义得|AF1|﹣|AF2|＝2a，又|AR|＝|AS|， ∴|RF1|﹣|SF2|＝2a，又|RF1|＝|TF1|，|SF2|＝|TF2|， ∴|TF1|﹣|TF2|＝2a，又|MF1|﹣|MF2|＝（c+a）﹣（c﹣a）＝2a， ∴切点T与点M重合，内心I1的横坐标为2， 同理可得内心I2的横坐标也为2，∴I1，M，I2三点共线，故D选项正确． 故选：ACD． 【变式2】（多选）已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线右支上，则下列结论正确的是（　　） A．直线PF1的斜率为k，则 B．使△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有2个点 C．点P到两条渐近线的距离积为 D．已知点Q（﹣1，4），则|PF1|+|PQ|最小值为7 【答案】ACD 【解答】解：由双曲线方程可知a＝1，，，且焦点在x轴上， 则F1（﹣2，0），F2（2，0），渐近线方程为， 对于选项A：由双曲线的渐近线性质可知：直线PF的斜率， 所以，故A正确； 对于选项B：因为|F1F2|＝4，且|PF1|≥a+c＝3，|PF2|＝c﹣a＝1， 若△PF1F2为等腰三角形，显然|PF1|≠|PF2|， 当|F1F2|＝|PF1|时，结合对称性可知点P有且仅有2个点； 当|F1F2|＝|PF2|时，结合对称性可知点P有且仅有2个点； 综上所述：点P有且仅有4个点，故B错误； 对于选项C：设P（x0，y0），则，即， 则点P（x0，y0）到渐近线的距离分别为， 所以，故C正确； 对于选项D：因为|PF1|﹣|PF2|＝2，即|PF1|＝|PF2|+2， 则|PF1|+|PQ|＝|PF2|+|PQ|+2≥|F2Q|+2＝7， 当且仅当点P在线段F2Q上时，等号成立， 所以|PF1|+|PQ|最小值为7，故D正确． 故选：ACD． 题型18 双曲线的中点弦 解｜题｜知｜识 中点弦是指经过某点P，与双曲线相较于两点，且P为两点的中点，两个交点为端点的线段称为过P点的中点弦． 【解题方法点拨】 1．计算中点：找出双曲线上的两点的中点． 2．计算弦长：计算中点弦的长度． 【命题方向】 ﹣给定双曲线上的两点，计算中点弦的长度． ﹣利用点的坐标计算中点弦． 【典例1】若双曲线x2﹣2y2＝1的弦被点（3，1）平分，则此弦所在直线的方程为　3x﹣2y﹣7＝0　 ． 【答案】3x﹣2y﹣7＝0． 【解答】解：设弦所在直线与双曲线的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），显然x1≠x2， 则，可得， 因为，两式作差得， 所以，可知弦所在的直线的斜率为， 故所求直线为，整理得3x﹣2y﹣7＝0． 故答案为：3x﹣2y﹣7＝0． 【变式1】已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点． （1）求双曲线C的方程； （2）已知直线x﹣y+m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段A，B的中点在圆x2+y2＝20上，求实数m的值． 【答案】(1)x21． (2)m＝±2． 【解答】解：（1）设双曲线C的方程为λ, 代入M(,),得λ,解得λ, 所以双曲线的方程为x21． (2)由,得x2﹣2mx﹣m2﹣2＝0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则AB中点坐标为(,), 由韦达定理可得x1+x2＝2m, 所以y1+y2＝(x1+x2)+2m＝4m, 所以AB中点坐标为(m,2m), 因为点(m,2m)在圆x2+y2＝20上， 所以m2+(2m)2＝20,解得m＝±2． 题型19 双曲线与平面向量 解｜题｜知｜识 双曲线与平面向量的关系涉及到向量在双曲线方程中的应用，如切线和法线的计算． 【解题方法点拨】 1．向量计算：利用向量计算双曲线上的切线和法线． 2．应用方程：将向量应用到双曲线的方程中． 【命题方向】 ﹣给定向量，计算双曲线上的相关向量性质． ﹣利用向量分析双曲线的性质． 【典例1】已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，C上一点M（﹣3，4）关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F2．若N（x0，y0）是C上的一个动点，满足0，则y0的取值范围是（　　） A．（﹣5，5） B．（﹣4，4） C．（﹣5，4） D．（﹣4，5） 【答案】B 【解答】解：因为双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，如图： 设MF2与渐近线的交点为P， 则P为MF2的中点，且OP⊥MF2， 又O为F1F2的中点，所以OP∥MF1， 即，所以， 要使，则点N在以O为圆心，|OF2|＝|OM|为半径的圆的内部， 根据对称性可知﹣4＜y0＜4， 即y0的取值范围是（﹣4，4）． 故选：B． 【变式1】如图，已知F1，F2是双曲线C：的左、右焦点，以F2为圆心的圆与双曲线左右两支交于P、Q两点，且则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设QF2与双曲线交于点P′，因为F1P∥F2P′，根据对称性可知|F1P|＝|F2P′|． 设|F2P′|＝|F1P|＝t，则|F2P|＝|F2Q|＝3t，可得|F2P|﹣|F1P|＝2t＝2a，即t＝a． 所以|P′Q|＝4t＝4a，则|QF1|＝|QF2|+2a＝5a，|F1P′|＝|F2P|＝3a． 即，可得∠F1P′Q＝90°． 在△P′F1F2中，由勾股定理得，即a2+（3a）2＝4c2，解得． 故选：D． 【变式2】双曲线Γ：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上，，BF2平分∠F1BM，则Γ的渐近线方程为 y＝±x ． 【答案】y＝±x． 【解答】解：根据题意，作出如下所示的图形， 由题可知，|F1F2|＝2c，由，∴△F1AF2∽△F1BM，∴|F2M|＝4c， 设|AF2|＝m，则|BM|＝3m， 由角分线定理可知， ∵BF2平分∠F1BM， ∴， ∴|BF1|，|AF1||BF1|，|AB||BF1|＝m， 由双曲线的定义知，|AF2|﹣|AF1|＝2a， ∴mm＝2a，即m＝4a①， |BF1|﹣|BF2|＝2a， ∴|BF2|m﹣2a＝m，∴|BF2|＝|AB|＝|AF2|＝m，即△ABF2是等边三角形， ∴∠F2BM＝∠ABF2＝60°， 在△F2BM中，由余弦定理知， cos∠F2BM，即， 化简得，7m2＝16c2②， 由①②可得，7， 则b2＝c2﹣a2＝6a2， 可得双曲线的渐近线方程为y＝±x． 故答案为：y＝±x． 题型20 双曲线的定点及定值问题 解｜题｜知｜识 定点问题指的是在双曲线上或双曲线的相关几何位置上找定点，定值问题指的是求双曲线上的定值． 【解题方法点拨】 1．找定点：确定双曲线上的定点． 2．计算定值：通过双曲线方程计算相关值． 【命题方向】 ﹣给定双曲线条件，求定点或定值问题． ﹣分析定点和定值的几何意义及计算方法． 【典例1】已知双曲线的左右顶点分别为A，B，实轴|AB|＝2，且左焦点F到其中一条渐近线的距离为． （1）求双曲线C的标准方程； （2）过左焦点F的直线l交双曲线C左右两支于N，M两点（点M位于第一象限），直线AM与BN相交于点T． （i）求证：点T在定直线上； （ii）求证：射线FT平分∠MFB． 【答案】（1）； （2）（i）证明：易知F（﹣2，0），A（﹣1，0），B（1，0）， 因为直线l过F（﹣2，0），M，点M在第一象限， 所以直线l的斜率不为0， 设直线l的方程为x＝my﹣2，M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立，消去x并整理得（3m2﹣1）y22﹣12my+9＝0， 此时Δ＝（﹣12m）2﹣4×9（3m2﹣1）＝36m2+36＞0， 由韦达定理得， 所以， 解得， 因为直线AM的方程为，直线BN的方程为， 联立解得， 所以， 则， 则点T在定直线上； （ii）证明：由（i）知（）， ， 则， 即tan∠MFB＝tan2∠TFB， 所以∠MFB＝2∠TFB． 故射线FT平分∠MFB． 【解答】解：（1）设左焦点F的坐标为（﹣c，0）， 因为双曲线C的渐近线方程为bx±ay＝0， 又a2+b2＝c2， 左焦点F到其中一条渐近线的距离为， 解得， 因为实轴|AB|＝2， 所以2a＝2， 解得a＝1， 则双曲线C的标准方程为； （2）（i）证明：易知F（﹣2，0），A（﹣1，0），B（1，0）， 因为直线l过F（﹣2，0），M，点M在第一象限， 所以直线l的斜率不为0， 设直线l的方程为x＝my﹣2，M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立，消去x并整理得（3m2﹣1）y22﹣12my+9＝0， 此时Δ＝（﹣12m）2﹣4×9（3m2﹣1）＝36m2+36＞0， 由韦达定理得， 所以， 解得， 因为直线AM的方程为，直线BN的方程为， 联立解得， 所以， 则， 则点T在定直线上； （ii）证明：由（i）知（）， ， 则， 即tan∠MFB＝tan2∠TFB， 所以∠MFB＝2∠TFB． 故射线FT平分∠MFB． 【变式1】（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点O的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，P为C的右支上一点（异于点B），△PF1F2的内切圆圆心为N．则以下结论正确的是（　　） A．直线PA与PB的斜率之积为4 B．若|PF1|•|PF2|＝4，则 C．以PF1为直径的圆与圆x2+y2＝4相切 D．若，则点N坐标为 【答案】BCD 【解答】解：设点A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），P（x0，y0）（x0≥a）， 则，，两式相减得， 则，故A错误； 由于PF1|﹣|PF2|＝4，|PF1|•|PF2|＝4，若， 由余弦定理可得， 可得， 解得，由于∠F1PF2∈（0，π），故，故B正确； ∵P在双曲线右支上，∴|PF1|﹣|PF2|＝2a＝4， ∵M是线段PF1的中点，∴， ∵O是线段F1F2的中点，∴， ∴，得|MF1|﹣|OM|＝2，则|OM|＝|MF1|﹣2， 即圆心距等于两圆的半径之差， ∴以线段PF1为直径的圆与圆x2+y2＝4的位置关系是内切，故C正确； 记|PF2|＝t，则|PF1|＝4+t，∵PF1⊥PF2，∴（t+4）2+t2＝4c2＝4（4+1）＝20， 解得或 （舍去），∴， △PF1F2 的面积为， 设三角△PF1F2的内切圆半径为r，则，得， 设圆N与△PF1F2三边相切于M，Q，T，则|F1T|＝|F1M|，|F2T|＝|F2Q|，|PM|＝|PQ|， 设|F1T|＝x，则|F1T|＝|F1M|＝x，|F2T|＝|F2Q|＝2c﹣x， 故，解得x＝2+c， ∴|OT|＝2，故，故D正确． 故选：BCD． 【变式2】已知双曲线，右焦点为F（2，0），左、右顶点分别为A1，A2，过F垂直于x轴的弦长为6． （1）求C的方程； （2）过F的直线与C的右支交于M，N两点，直线MA1，NA2交于点Q，证明：Q在定直线上． 【答案】（1）； （2）证明：由（1）知双曲线，右焦点F（2，0）， 左顶点 A1（﹣1，0），右顶点 A2（1，0）， 设过F的直线方程为x＝ty+2（t∈R）， 联立，整理得， 设M（ty1+2，y1），N（ty2+2，y2），则y1，y2是上述方程的两个实根， 且， 直线MA1的方程为， 直线NA2的方程为， 两式相除得， 代入x1＝ty1+2，x2＝ty2+2， 可得， 由韦达定理，得， 代入得， 利用 ，解得 ， 代入得， 因此，解得x+1＝﹣3（x﹣1），即4x＝2，， 故交点Q的横坐标恒为，即Q在定直线上． 【解答】解：（1）由双曲线的右焦点为F（2，0）， 得c＝2，即a2+b2＝4，① 由过F垂直于x轴的弦长为6， 可得点（2，3）在双曲线上，即，②， 联立①②，解得a2＝1，b2＝3， 故双曲线C的方程为； （2）证明：由（1）知双曲线，右焦点F（2，0）， 左顶点 A1（﹣1，0），右顶点 A2（1，0）， 设过F的直线方程为x＝ty+2（t∈R）， 联立，整理得， 设M（ty1+2，y1），N（ty2+2，y2），则y1，y2是上述方程的两个实根， 且， 直线MA1的方程为，直线NA2的方程为， 两式相除得， 代入x1＝ty1+2，x2＝ty2+2， 可得， 将，代入得， 利用 ，解得 ， 代入得， 因此，解得x+1＝﹣3（x﹣1），即4x＝2，， 故交点Q的横坐标恒为，即Q在定直线上． 过 关 验 收 1．双曲线的焦距为8，通径长为，则a＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：已知双曲线的焦距为8，通径长为， 则2c＝8，，又c2＝a2+b2， 整理得3a2+8a﹣48＝0，解得或（舍去）． 故答案为：． 2．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若Sn＝2n+1﹣a，则双曲线1的渐近线方程为（　　） A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 【答案】C 【解答】解：∵Sn是等比数列{an}的前n项和，且Sn＝2n+1﹣a， ∴a1＝S1＝22﹣a， 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1﹣2n＝2n， 故22﹣a＝21＝2⇒a＝2， ∴双曲线1⇒1， ∴双曲线1的渐近线方程为y＝±x， 故选：C． 3．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F．O为坐标原点，若在C的左支上存在关于x轴对称的两点A，B，使得|AF|＝|AB|，且BO⊥AF，则C的离心率为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：易知AB⊥x轴， 令垂足为D， 由双曲线的对称性可得|BF|＝|AF|＝|AB|， 所以△ABF是正三角形， 因为BO⊥AF，FO⊥AB， 所以O是△ABF的中心，|AO|＝|OF|＝c， 因为∠AOD＝60°， 所以， 因为点在双曲线C上， 所以， 又a2+b2＝c2， 整理得e4﹣8e2+4＝0， 解得， 则双曲线C的离心率． 故答案为： 4．双曲线C的右焦点为F2（2，0），若在圆M：（x+2）2+（y﹣5）2＝4上存在点P，使得PF2的中点在C的渐近线上，则双曲线C的离心率的取值范围是　[，+∞）　 ． 【答案】[，+∞）． 【解答】解：设P（x0，y0），PF2的中点， 因为双曲线C的渐近线方程为y＝±， 所以，即， 因为点P（x0，y0）在圆M上， 所以直线与圆M有公共点， 所以圆心（﹣2，5）到直线的距离d2， 所以离心率e， 即双曲线C的离心率的取值范围是[，+∞）． 故答案为：[，+∞）． （多选）5．已知F1，F2分别为双曲线E：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2的直线l与圆O：x2+y2＝a2相切于点M，且直线l与双曲线E及其渐近线在第二象限的交点分别为P，Q，则下列说法正确的是（　　） A．直线OM是E的一条渐近线 B．若|MF1|＝3|OM|，则E的渐近线方程为y＝±x C．若|QF2|＝3|MF2|，则E的离心率为 D．若|PF2|＝3|MF2|，则E的离心率为 【答案】ACD 【解答】解：根据题意F2（c，0），设直线l：y＝kx﹣kc⇒kx﹣y﹣kc＝0，k＜0， 又直线l与圆O：x2+y2＝a2相切于点M，所以， 又b2＝c2﹣a2，则，而OM⊥l，得， 所以直线是C的一条渐近线，A对； 联立，得， 联立，得， 若|MF1|＝3|OM|＝3a且F1（﹣c，0）， 则，即（a2+c2）2+（ab）2＝9a2c2， 所以b4﹣4a2b2﹣5a4＝（b2﹣5a2）（b2+a2）＝0，可得， 即渐近线方程为错； 若|QF2|＝3|MF2|且F2（c，0），故， 即c2＝3（b2﹣a2）⇒c2＝3a2，化简得e2＝3， 则C的离心率为，C对； 若|PF2|＝3|MF2|，则， 设P（x0，y0），故， 得，故， 代入，得， 所以，则离心率为，D对． 故选：ACD． 6．双曲线C：1（a＞0，b＞0）的离心率为，虚轴的长为4． （1）求a，b的值及双曲线C的渐近线方程； （2）直线y＝kx﹣2与双曲线C相交于互异两点，求k的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意可得e，2b＝4，即b＝2， 又a2+b2＝c2， 解得a＝1，c， 则双曲线的方程为x21，渐近线方程为y＝±2x； （2）联立，可得（4﹣k2）x2+4kx﹣8＝0， 由直线y＝kx﹣2与双曲线C相交于互异两点，可得4﹣k2≠0，且Δ＝16k2+32（4﹣k2）＞0， 解得﹣2k＜2，且k≠±2， 所以k的取值范围是（﹣2，﹣2）∪（﹣2，2）∪（2，2）． 7．若直线y＝kx+2与双曲线x2﹣y2＝1的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是 　（﹣1，1）　 ． 【答案】（﹣1，1）． 【解答】解：因为双曲线x2﹣y2＝4的渐近线为y＝±x平行时， 作出图形如下： 数形结合可得若直线y＝kx+2与双曲线x2﹣y2＝4的左、右两支各有一个交点， 可得直线y＝kx+2一定在两渐近线之间， 所以k的取值范围为（﹣1，1）． 故答案为：（﹣1，1）． 8．已知双曲线（a＞b＞0）的离心率为，实轴长为2． （1）求双曲线C的标准方程． （2）设直线l：y＝kx+1与双曲线C交于A，B两点，是否存在k满足（其中O为坐标原点），若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）x2﹣y2＝1． （2）不存在． 【解答】解：（1）双曲线（a＞b＞0）的离心率为，实轴长为2． ∵，∴a＝1，， ∴b2＝c2﹣a2＝2﹣1＝1， 故所求双曲线方程为x2﹣y2＝1． （2）如图，直线l：y＝kx+1与双曲线C交于A，B两点，可知k≠±1， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由，消元可得，（1﹣k2）x2﹣2kx﹣2＝0， 当Δ＝4k2+8（1﹣k2）＝8﹣4k2＞0，即，k≠±1时， x1+x2，x1•x2， ∴y1•y2＝（kx1+1）•（kx2+1） ＝k2x1•x2+k（x1+x2）+11， ∴2，解得k， 此时不满足，k≠±1， 故不存在k，使得成立． 9．已知双曲线的右焦点为F，离心率为e，直线l：y＝x与双曲线交于A，B两点，且AF⊥BF，则e2＝ 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′， 设|AF′|＝m，|AF|＝n， 由对称性知|OA|＝|OB|，|OF′|＝|OF|， 则四边形AF′BF为平行四边形，又∵AF⊥BF， ∴四边形AF′BF为矩形，则|AO|＝|OF′|＝|OF|＝c， 由已知可得∠AOF＝45°， 则， ∵（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn， ∴， 可得． 故答案为：2． 10．若直线y＝2x与双曲线有公共点，则b可取的一个值是　5　 ． 【答案】5． 【解答】解：把直线y＝2x代入双曲线方程：， 化简：，即， 有公共点的关键条件要有实数解，满足， 因此，因为b＞0，所以b﹣4＞0，即b＞4，所以b可以取5． 故答案为：5． 11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若|AB|＝|AF1|，且双曲线E的离心率为，则cos∠BAF1＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：根据对称性，不妨设A点在第一象限， ∵|AB|＝|AF1|， ∴|BF2|＝|AB|﹣|AF2|＝|AF1|﹣|AF2|＝2a， ∴|BF1|＝|BF2|+2a＝4a， ∵双曲线E的离心率e，∴|F1F2|＝2c， 在△BF1F2中，由余弦定理可得： cos∠F1BF2， ∴cos∠BAF1＝cos（π﹣2∠F1BF2） ＝﹣cos（2∠F1BF2）＝﹣（2cos2∠F1BF2﹣1） ． 故选：D． 12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P为E上一点，且|PF1|﹣|PF2|＝6． （1）求E的方程； （2）过点（2，0）且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为B′，求证：直线AB′恒过点． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设E的半焦距为c（c＞0）．由题意知P在E的右支上，|PF1|﹣|PF2|＝2a＝6，∴a＝3， ∵，∴， ∴， ∴E的方程为； （2）证明：依题意，设直线l的方程为 x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立直线与双曲线的方程，得消去x并整理，得（4m2﹣3）y2+16my﹣20＝0， ∴4m2﹣3≠0，且Δ＝（16m）2﹣4×（﹣20）×（4m2﹣3）＞0，解得，且， ∴，y1y2，由题意知，B'（x2，﹣y2）， ∴．直线AB'的方程为y﹣y1（x﹣x1）， 令y＝0，得 ， ∴直线AB'恒过点． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 双曲线 内 容 导 航 题型1 双曲线的定义 题型2 双曲线的标准方程 题型3 根据双曲线的几何特征求标准方程 题型4 由方程表示双曲线求解双曲线的标准方程或参数 题型5 求双曲线的焦点和焦距 题型6 求双曲线的渐近线方程 题型7 由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数 题型8 双曲线的实轴和虚轴 题型9 双曲线的对称性 题型10 求双曲线的离心率 题型11 由双曲线的离心率求解方程或参数 题型12 双曲线相关动点轨迹 题型13 直线与双曲线的位置关系及公共点个数 题型14 由直线与双曲线位置关系及公共点个数求解方程或参数 题型15 双曲线的弦及弦长 题型16 双曲线的焦点弦及焦半径 题型17 双曲线的焦点三角形 题型18 双曲线的中点弦 题型19 双曲线与平面向量 题型20 双曲线的定点及定值问题 考 点 演 练 题型1 双曲线的定义 解｜题｜知｜识 双曲线（Hyperbola）是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹．双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线．双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点（focus），定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率． 标准方程 ①（a，b＞0），表示焦点在x轴上的双曲线； ②（a，b＞0），表示焦点在y轴上的双曲线． 性质 这里的性质以（a，b＞0）为例讲解： ①焦点为（±c，0），其中c2＝a2+b2；②准线方程为：x＝±；③离心率e1；④渐近线：y＝±x；⑤焦半径公式：左焦半径：r＝|ex+a|，右焦半径：r＝|ex﹣a|． 【命题方向】 这里面的两个例题是最基本的，必须要掌握，由于双曲线一般是在倒数第二个解答题出现，难度一般也是相当大的，在这里可以有所取舍，对于基础一般的同学来说，尽量的把这些基础的分拿到才是最重要的，对于还剩下的部分，尽量多写． 【典例1】与圆x2+y2＝1及圆x2+y2﹣8x+12＝0都外切的圆的圆心在（　　） A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上 C．一条抛物线上 D．一个圆上 【变式1】已知双曲线C的上，下焦点分别为点F1，F2，若C的实轴长为1，且C上点P满足PF1⊥PF2，PF1•PF2＝4，则C的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（多选）以下四个命题中，正确的是（　　） A．设A（﹣2，0），B（2，0），动点P满足|PA|﹣|PB|＝2，则动点P的轨迹为双曲线 B．若曲线表示椭圆，则2＜t＜5 C．方程3x2﹣10x+3＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D．椭圆与双曲线有相同的焦点 题型2 双曲线的标准方程 解｜题｜知｜识 双曲线标准方程的两种形式： （1）（a＞0，b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c； （2）（a＞0，b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c． 两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞0，b＞0；c2＝b2+a2 两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 标准方程 （a＞0，b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞0，b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上 图形 顶点 （a，0）和（﹣a，0） （0，a）和（0，﹣a） 对称轴 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b 焦点在实轴上 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b 焦点在实轴上 焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c） 焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2+b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2+b2 离心率 e（e＞1） e（e＞1） 渐近线 即y＝±x 即y＝±x 准线 x＝± y＝± 【典例1】椭圆的焦点到双曲线的渐近线的距离为（　　） A． B． C．3 D．4 题型3 根据双曲线的几何特征求标准方程 解｜题｜知｜识 双曲线的几何特征包括焦距、顶点和渐近线．顶点在坐标轴上，焦点间距2c，常数2a是双曲线上任意一点到两个焦点的距离差． 【解题方法点拨】 1．计算a和b：利用几何特征a和b的关系求解． 2．代入标准方程：代入得到双曲线的标准方程． 【命题方向】 ﹣根据双曲线的几何特征（如焦点、顶点），确定标准方程． ﹣通过几何特征推导方程． 【典例1】已知双曲线过点（﹣2，0），且与椭圆4x2+9y2＝36有公共焦点，则双曲线的标准方程是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知双曲线E的标准方程为，左、右焦点分别是F1、F2，F2到双曲线渐近线的距离是1，并且离心率为． （1）求双曲线E的标准方程； （2）若斜率为1的直线l过点F2与双曲线E交于A、B两点，求△ABF1的面积． 题型4 由方程表示双曲线求解双曲线的标准方程或参数 解｜题｜知｜识 已知双曲线的一般方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0，可以转换为标准方程形式，通过配方和代数运算求解a和b． 【解题方法点拨】 1．转换方程：通过配方或代数方法将方程转化为标准方程形式． 2．解出参数：确定a和b的值． 【命题方向】 ﹣给定一般方程，求解标准方程或参数． ﹣利用代数方法转化方程． 【典例1】设m为实数，若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围是（　　） A．﹣2＜m＜3 B．m＞3 C． D． 题型5 求双曲线的焦点和焦距 解｜题｜知｜识 双曲线的焦点为或，焦距为2c，其中． 【解题方法点拨】 1．计算c：由公式计算． 2．确定焦点位置：根据c和双曲线对称轴确定焦点． 【命题方向】 ﹣给定a和b，求双曲线的焦点和焦距． ﹣根据双曲线的参数计算焦点位置． 【典例1】双曲线C：的焦距为（　　） A．2 B． C．3 D．6 【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为4，那么△ABF2的周长是（　　） A．24 B．20 C．16 D．8 【变式2】双曲线上一点P到右焦点的距离是5，则下列结论正确的是（　　） A．P到左焦点的距离为29 B．P到左焦点的距离为15 C．P到左焦点的距离不唯一 D．这样的点P不存在 题型6 求双曲线的渐近线方程 解｜题｜知｜识 双曲线的渐近线是双曲线无限远处的切线．对于双曲线或，其渐近线方程为或． 【解题方法点拨】 1．计算斜率：利用计算渐近线的斜率． 2．代入方程：写出渐近线方程． 【命题方向】 ﹣给定双曲线的参数，求渐近线方程． ﹣利用标准方程计算渐近线方程． 【典例1】双曲线的渐近线方程为（　　） A．y＝±5x B．y＝±x C． D． 【变式1】双曲线C：的左焦点为F，右顶点为B，点F到渐近线的距离是点B到渐近线距离的2倍，则C的渐近线方程为 ． 【变式2】已知双曲线的离心率为，左，右焦点分别为F1F2，F2关于C的一条渐近线的对称点为P．若|PF1|＝2，则△PF1F2的面积为　 ． 题型7 由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数 解｜题｜知｜识 已知双曲线的渐近线方程可以确定a和b，从而得到双曲线的标准方程． 【解题方法点拨】 1．计算a和b：由渐近线方程的斜率计算． 2．代入标准方程：得到双曲线的标准方程． 【命题方向】 ﹣给定渐近线方程，求解双曲线的标准方程或参数． ﹣利用渐近线方程计算标准方程． 【典例1】已知A（0，1），B（1，2），C在Γ：x2﹣y2＝1（x≥1，y≥0）上，则△ABC的面积（　　） A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值 C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值 【变式1】（1）求焦点为F1（﹣3，0），F2（3，0），且过点A（4，﹣1）的双曲线的标准方程； （2）求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程． 【变式2】已知双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 题型8 双曲线的实轴和虚轴 解｜题｜知｜识 双曲线的实轴是通过两个顶点的线段，虚轴是与双曲线相交的渐近线的距离．对于双曲线，实轴长度为2a，虚轴长度为2b． 【解题方法点拨】 1．计算实轴长度：由a计算实轴长度． 2．计算虚轴长度：由b计算虚轴长度． 【命题方向】 ﹣给定双曲线方程，求实轴和虚轴的长度． ﹣利用参数计算实轴和虚轴的长度． 【典例1】已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数a的值为（　　） A． B． C． D． 题型9 双曲线的对称性 解｜题｜知｜识 双曲线相对于x轴和y轴对称．即对于标准方程，双曲线关于x轴和y轴对称，且关于坐标原点中心对称． 【解题方法点拨】 1．分析对称性：检查双曲线关于坐标轴的对称性． 【命题方向】 ﹣根据双曲线方程分析对称性． ﹣确定双曲线的对称轴． 【典例1】（多选）已知双曲线C：1（m∈R）的一条渐近线方程为4x﹣3y＝0，则（　　） A．（，0）为C的一个焦点 B．双曲线C的离心率为 C．过点（5，0）作直线与C交于A，B两点，则满足|AB|＝15的直线有且只有两条 D．设A，B，M为C上三点且A，B关于原点对称，则MA，MB斜率存在时其乘积为 题型10 求双曲线的离心率 解｜题｜知｜识 双曲线的离心率e是，其中是焦距的一半． 【解题方法点拨】 1．计算离心率：利用公式计算离心率． 2．求解参数：从双曲线方程中提取参数． 【命题方向】 ﹣给定双曲线的参数，求离心率． ﹣根据离心率计算双曲线的标准方程． 【典例1】已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，以F2为圆心，为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 【变式1】已知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知焦点在x轴上的双曲线其渐近线与圆x2+y2﹣6x+5＝0有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（　　） A． B． C． D． 题型11 由双曲线的离心率求解方程或参数 解｜题｜知｜识 已知离心率e，可以求解c和a，从而得到双曲线的标准方程． 【解题方法点拨】 1．计算a和b：由e和c计算参数． 2．代入方程：得到双曲线的标准方程． 【命题方向】 ﹣给定离心率，求解双曲线的方程或参数． ﹣利用离心率计算标准方程． 【典例1】已知双曲线的离心率为2，顶点到渐近线的距离为． （1）求C的方程； （2）若直线l：y＝kx+2交C于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为，求k的值． 【变式1】已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点，，离心率分别为e1，e2，点P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点，且，若，则双曲线C2的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2】若双曲线的离心率为3，则k＝ 　 ． 题型12 双曲线相关动点轨迹 解｜题｜知｜识 动点轨迹是指在双曲线上的点的运动轨迹．可以通过方程描述动点的位置变化 【解题方法点拨】 1．确定轨迹方程：根据动点的位置变化描述轨迹． 2．分析性质：分析动点轨迹的几何性质． 【命题方向】 ﹣给定动点的条件，描述双曲线上的轨迹． ﹣分析轨迹方程及其性质． 【典例1】在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足λ，当入＞0且λ≠1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆．现有双曲线1（a＞0，b＞0），A，B为双曲线的左、右顶点，C，D为双曲线的虚轴端点，动点P满足2，△PAB面积的最大值为，△PCD面积的最小值为4，则双曲线的离心率为 ． 题型13 直线与双曲线的位置关系及公共点个数 解｜题｜知｜识 直线与双曲线的交点数量取决于它们的方程．可以通过联立方程求解交点数量． 【解题方法点拨】 1．联立方程：将直线方程和双曲线方程联立． 2．求解交点：通过解方程得到交点的数量． 【命题方向】 ﹣给定直线方程和双曲线方程，求交点数量． ﹣分析直线与双曲线的交点情况． 【典例1】“”是“直线y＝kx+1与双曲线只有一个公共点”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】已知双曲线C：（m＞0）． （1）若双曲线的离心率e＝2，求实数m的值； （2）若双曲线的离心率e的取值范围为，求实数m的取值范围； （3）直线y＝x+1与双曲线C相交于互异两点，设正数k为双曲线一条渐近线的斜率，求实数k的取值范围． 【变式2】已知双曲线，F为其右焦点，过F点的直线与双曲线相交于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l的条数为（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型14 由直线与双曲线位置关系及公共点个数求解方程或参数 解｜题｜知｜识 根据直线与双曲线的交点数量，推导双曲线的方程或参数．公共点的个数可以帮助确定双曲线的方程． 【解题方法点拨】 1．分析公共点个数：根据交点数量求解双曲线的参数． 2．求解方程：利用交点情况确定方程参数． 【命题方向】 ﹣给定交点数量，求解双曲线的标准方程或参数． ﹣分析直线与双曲线的交点数量． 【典例1】（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，直线l过点F2，且与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，其中A，P两点位于第一象限，下列说法正确的是（　　） A．若|AB|＝5，则△F1AB的周长为14 B．若，则实数λ的值可以为2 C．点A到两条渐近线的距离之积为定值 D．若△AF1F2，△BF1F2的内切圆的半径分别为r1，r2，则恒成立 【变式1】已知双曲线C的方程为，实轴长和离心率均为2． （1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程； （2）过E（0，2）且倾斜角为45°的直线l与双曲线C交于M，N两点，求的值（O为坐标原点）． 【变式2】如果直线y＝kx﹣1与双曲线x2﹣y2＝4没有公共点，k的取值范围为（　　） A． B．或 C． D．或 题型15 双曲线的弦及弦长 解｜题｜知｜识 双曲线的弦是连接双曲线上的两点的线段．弦长可以通过点的坐标和双曲线参数计算． 【解题方法点拨】 1．计算弦长：使用两点坐标计算弦长． 2．应用公式：利用相关公式进行计算． 【命题方向】 ﹣给定两点坐标，计算弦的长度． ﹣利用双曲线方程求弦长． 【典例1】已知双曲线，直线y＝﹣2x+b交C于A，B两点，D为C上另一点，满足∠ADB＝90°，O为平面直角坐标系的原点．若线段AB、AD、BD的中点分别为G1，G2，G3，则直线OG1，OG2，OG3斜率的乘积为（　　） A．16 B． C．4 D． 【变式1】已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右焦点分别为F1、F2． （1）求双曲线的方程和离心率； （2）过F2且斜率为1的直线与双曲线交于D，E两点，求线段DE的长度． 【变式2】过双曲线x2﹣y2＝4的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长|AB|＝ 　 　 ． 题型16 双曲线的焦点弦及焦半径 解｜题｜知｜识 焦点弦是通过焦点且与双曲线的两个交点形成的线段．焦半径是从焦点到双曲线上任意点的线段． 【解题方法点拨】 1．计算焦点弦：通过焦点和弦的方程计算焦点弦的长度． 2．计算焦半径：计算焦点到弦上点的距离． 【命题方向】 ﹣给定焦点和弦，计算焦点弦的长度和焦半径． ﹣分析焦点弦和焦半径的性质． 【典例1】双曲线E，焦距为10，左右焦点分别为F1，F2，M为E上一点满足|MF1|＝7，则|MF2|＝（　　） A．13 B．1或13 C．10 D．4或10 【变式1】已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线y＝x+m与双曲线C交于A、B两点，若△F2AB面积是△F1AB面积的2倍，则m＝（　　） A．﹣6 B．或﹣6 C． D．或6 【变式2】已知双曲线，（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）过F1的直线l与圆相切，与双曲线在第四象限交于一点M，且有MF2⊥x轴，则直线l的斜率是 　 ，双曲线的渐近线方程为 ． 题型17 双曲线的焦点三角形 解｜题｜知｜识 焦点三角形由双曲线上的点、焦点组成的三角形．其面积可以通过双曲线的参数计算． 【解题方法点拨】 1．确定三角形顶点：计算双曲线上的点和焦点的坐标． 2．计算面积：使用三角形面积公式计算面积． 【命题方向】 ﹣给定双曲线上的点和焦点，求焦点三角形的面积． ﹣分析焦点三角形的几何性质及计算方法． 【典例1】已知双曲线，左、右焦点分别为F1，F2．过F1的直线l的斜率为，直线l交双曲线右支于点R．点P在双曲线左支上，且RF2⊥RP．若双曲线离心率，则比值为（　　） A． B． C．1 D． 【变式1】（多选）已知双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，且||PF1|﹣|PF2||＝4，若直线l与C的右支交于A，B两点，AB的中点为Q，则下列说法正确的是（　　） A．C的方程为 B．若PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝3 C．若O为坐标原点，且AB，OQ的斜率分别为k3，k4，则k3k4＝3 D．若l经过F2，则△AF1F2，△BF1F2的内心与M（2，0）三点共线 【变式2】（多选）已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线右支上，则下列结论正确的是（　　） A．直线PF1的斜率为k，则 B．使△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有2个点 C．点P到两条渐近线的距离积为 D．已知点Q（﹣1，4），则|PF1|+|PQ|最小值为7 题型18 双曲线的中点弦 解｜题｜知｜识 中点弦是指经过某点P，与双曲线相较于两点，且P为两点的中点，两个交点为端点的线段称为过P点的中点弦． 【解题方法点拨】 1．计算中点：找出双曲线上的两点的中点． 2．计算弦长：计算中点弦的长度． 【命题方向】 ﹣给定双曲线上的两点，计算中点弦的长度． ﹣利用点的坐标计算中点弦． 【典例1】若双曲线x2﹣2y2＝1的弦被点（3，1）平分，则此弦所在直线的方程为　 　 ． 【变式1】已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点． （1）求双曲线C的方程； （2）已知直线x﹣y+m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段A，B的中点在圆x2+y2＝20上，求实数m的值． 题型19 双曲线与平面向量 解｜题｜知｜识 双曲线与平面向量的关系涉及到向量在双曲线方程中的应用，如切线和法线的计算． 【解题方法点拨】 1．向量计算：利用向量计算双曲线上的切线和法线． 2．应用方程：将向量应用到双曲线的方程中． 【命题方向】 ﹣给定向量，计算双曲线上的相关向量性质． ﹣利用向量分析双曲线的性质． 【典例1】已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，C上一点M（﹣3，4）关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F2．若N（x0，y0）是C上的一个动点，满足0，则y0的取值范围是（　　） A．（﹣5，5） B．（﹣4，4） C．（﹣5，4） D．（﹣4，5） 【变式1】如图，已知F1，F2是双曲线C：的左、右焦点，以F2为圆心的圆与双曲线左右两支交于P、Q两点，且则双曲线C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【变式2】双曲线Γ：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与Γ的左、右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上，，BF2平分∠F1BM，则Γ的渐近线方程为 ． 题型20 双曲线的定点及定值问题 解｜题｜知｜识 定点问题指的是在双曲线上或双曲线的相关几何位置上找定点，定值问题指的是求双曲线上的定值． 【解题方法点拨】 1．找定点：确定双曲线上的定点． 2．计算定值：通过双曲线方程计算相关值． 【命题方向】 ﹣给定双曲线条件，求定点或定值问题． ﹣分析定点和定值的几何意义及计算方法． 【典例1】已知双曲线的左右顶点分别为A，B，实轴|AB|＝2，且左焦点F到其中一条渐近线的距离为． （1）求双曲线C的标准方程； （2）过左焦点F的直线l交双曲线C左右两支于N，M两点（点M位于第一象限），直线AM与BN相交于点T． （i）求证：点T在定直线上； （ii）求证：射线FT平分∠MFB． 【变式1】（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点O的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，P为C的右支上一点（异于点B），△PF1F2的内切圆圆心为N．则以下结论正确的是（　　） A．直线PA与PB的斜率之积为4 B．若|PF1|•|PF2|＝4，则 C．以PF1为直径的圆与圆x2+y2＝4相切 D．若，则点N坐标为 【变式2】已知双曲线，右焦点为F（2，0），左、右顶点分别为A1，A2，过F垂直于x轴的弦长为6． （1）求C的方程； （2）过F的直线与C的右支交于M，N两点，直线MA1，NA2交于点Q，证明：Q在定直线上． 过 关 验 收 1．双曲线的焦距为8，通径长为，则a＝　 ． 2．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若Sn＝2n+1﹣a，则双曲线1的渐近线方程为（　　） A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 3．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F．O为坐标原点，若在C的左支上存在关于x轴对称的两点A，B，使得|AF|＝|AB|，且BO⊥AF，则C的离心率为 　 ． 4．双曲线C的右焦点为F2（2，0），若在圆M：（x+2）2+（y﹣5）2＝4上存在点P，使得PF2的中点在C的渐近线上，则双曲线C的离心率的取值范围是　 　 ． （多选）5．已知F1，F2分别为双曲线E：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2的直线l与圆O：x2+y2＝a2相切于点M，且直线l与双曲线E及其渐近线在第二象限的交点分别为P，Q，则下列说法正确的是（　　） A．直线OM是E的一条渐近线 B．若|MF1|＝3|OM|，则E的渐近线方程为y＝±x C．若|QF2|＝3|MF2|，则E的离心率为 D．若|PF2|＝3|MF2|，则E的离心率为 6．双曲线C：1（a＞0，b＞0）的离心率为，虚轴的长为4． （1）求a，b的值及双曲线C的渐近线方程； （2）直线y＝kx﹣2与双曲线C相交于互异两点，求k的取值范围． 7．若直线y＝kx+2与双曲线x2﹣y2＝1的左、右两支各有一个交点，则实数k的取值范围是 　 　 ． 8．已知双曲线（a＞b＞0）的离心率为，实轴长为2． （1）求双曲线C的标准方程． （2）设直线l：y＝kx+1与双曲线C交于A，B两点，是否存在k满足（其中O为坐标原点），若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 9．已知双曲线的右焦点为F，离心率为e，直线l：y＝x与双曲线交于A，B两点，且AF⊥BF，则e2＝ 　 　 ． 10．若直线y＝2x与双曲线有公共点，则b可取的一个值是　 　 ． 11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若|AB|＝|AF1|，且双曲线E的离心率为，则cos∠BAF1＝（　　） A． B． C． D． 12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P为E上一点，且|PF1|﹣|PF2|＝6． （1）求E的方程； （2）过点（2，0）且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为B′，求证：直线AB′恒过点． 学科网（北京）股份有限公司 $