1.2 空间向量基本定理讲义 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量基本定理核心知识点，系统梳理基底判断、正交分解与坐标表示、向量基底表示、数量积判断共线垂直等内容，构建从定理理解到坐标运算再到几何应用的学习支架。 该资料通过题型分层设计，以反证法判断基底培养推理意识，结合空间图形建系发展几何直观，典例变式从空间四边形、三棱锥等模型出发用向量语言表达空间关系。课中辅助教师系统教学，课后通过过关验收帮助学生查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

1.2 空间向量基本定理 内 容 导 航 题型1 空间向量基本定理、正交分解及坐标表示 题型2 空间向量基本定理及空间向量的基底 题型3 空间向量基底表示空间向量 题型4 空间向量单位正交基底及其表示空间向量 题型5 空间向量的数量积判断向量的共线与垂直 考 点 演 练 题型1 空间向量基本定理、正交分解及坐标表示 解｜题｜知｜识 1．空间向量基本定理 如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使xyz． 任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量． 2．单位正交基底 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示． 3．空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{，，}，以点O为原点，分别以，，的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O﹣xyz． 其中，点O叫做原点，向量，，都叫做坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面． 4．空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得．把x，y，z称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作（x，y，z）． 【解题方法点拨】 1．基底的判断 判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立． 2．空间向量的坐标表示 用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为： （1）观察图形：充分观察图形特征； （2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系； （3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算； （4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来． 3．用基底表示向量 用基底表示向量时， （1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行． （2）若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求． 【典例1】如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，OM＝2MA，点N为BC中点，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵OM＝2MA，N为BC中点，， ∴． 故选：B． 【变式1】如图，在三棱锥S﹣ABC中，点G为底面△ABC的重心，点M是线段SG的中点，过点M的平面分别交SA，SB，SC于点D，E，F，若k，m，n，则（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【解答】解：在三棱锥S﹣ABC中，点G为底面△ABC的重心，点M是线段SG的中点，过点M的平面分别交SA，SB，SC于点D，E，F， 若，，， 因为D，E，F，M四点共面， 所以存在实数λ，μ，使， 所以，， 所以 ，所以． 故选：B． 【变式2】（多选）3．关于空间向量，以下说法正确的是（　　） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D．若•0，则，是钝角 【答案】ABC 【解答】解：A．空间中的三个向量，若有两个向量共线， 由于空间任意两个向量一定共面，因此这三个向量一定共面，正确； B．对空间中任意一点O，有， 由1，则P，A，B，C四点共面，正确； C．向量组是空间的一个基底， 若，则也是空间的一个基底，由空间基底定义可知正确； D.，则是钝角或平角，因此不正确． 故选：ABC． 题型2 空间向量基本定理及空间向量的基底 解｜题｜知｜识 空间向量基本定理 如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使xyz． 任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量． 【解题方法点拨】 基底的判断 判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立． 【命题方向】 ﹣向量定理和基底：考查如何应用向量的基本定理以及如何选择和使用空间的基底． 【典例1】若不能构成空间的一个基底，则y＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解答】解：根据题意可知，，，三个向量共面，则存在实数m，n使得， 即（1，y，1）＝m（0，0，1）+n（1，0，0）＝（n，0，m）， 所以，即y＝0． 故选：B． 【变式1】设是空间的一组基底，向量，若，，，且是空间的另一组基底，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：{，，}是空间的一组基底，设， 则 ， 根据题意可知，，则，解得x＝﹣4，y＝2，z＝3， 所以． 故选：A． 【变式2】已知{，，}是空间的一个基底，{，，}是空间的另一个基底，一向量在基底{，，}下的坐标为（4，2，3），则向量在基底{，，}下的坐标是（　　） A．（4，0，3） B．（3，1，3） C．（1，2，3） D．（2，1，3） 【答案】B 【解答】解：设向量在基底，{，，}下的坐标为（x，y，z）， 则423x（）+y（）+z， 整理得：423（x+y）（x﹣y）z， ∴，解得x＝3，y＝1，z＝3， ∴向量在基底{，，}下的坐标是（3，1，3）． 故选：B． 【变式3】已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：对于A：由于，故不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B：由于，故不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C：由于，故不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D：由于，无解，故能构成空间的一个基底，故D正确． 故选：D． 题型3 空间向量基底表示空间向量 解｜题｜知｜识 1．空间向量基本定理 如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使xyz． 任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量． 2．单位正交基底 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示． 【解题方法点拨】 基底的判断 判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立． ﹣基底表示：任何空间向量都可以表示为基底向量的线性组合：其中是基底向量，c1，c2，c3是系数． ﹣线性组合：通过解线性方程组找到系数c1，c2，c3． 【命题方向】 ﹣基底表示：考查如何利用基底向量表示空间中的任意向量． 【典例1】如图，在四面体PABC中，，，，点E在棱PB上，且BE＝2EP，F为AC中点，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为E在棱PB上，且BE＝2EP，所以， 因为F为AC中点，所以， ． 故选：A． 【变式1】如图，在三棱锥A﹣BCD中，E为CD中点，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由E为CD中点，，，， 可得（）（） ． 故选：A． 【变式2】如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且GN＝2MG，现用向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：GN＝2MG，M，N分别是对边OA，BC的中点， 则， ， 则，故C正确． 故选：C． 【变式3】若是空间的一个基底，且向量，则（x，y，z）叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为（4，2，3），则向量在基底下的坐标是（　　） A．（4，0，3） B．（3，1，3） C．（1，2，3） D．（2，1，3） 【答案】B 【解答】解：设在基底下的坐标为（x，y，z）， 则x（）+y（）+z（x+y）（x﹣y）z①， 因为在下的坐标为（4，2，3）， 所以43②， 由①②得，解得， 所以在下的坐标为（3，1，3）． 故选：B． 题型4 空间向量单位正交基底及其表示空间向量 解｜题｜知｜识 1．单位正交基底 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示． 2．空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得．把x，y，z称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作（x，y，z）． 【解题方法点拨】 1．空间向量的坐标表示 用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为： （1）观察图形：充分观察图形特征； （2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系； （3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算； （4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来． 2．用基底表示向量 用基底表示向量时， （1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行． （2）若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求． 【命题方向】 ﹣单位正交基底表示：考查如何使用单位正交基底表示空间中的向量． 【典例1】已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为（2，3，﹣1），则向量在基底下的坐标是（　　） A．（2，﹣1，﹣2） B．（2，﹣1，2） C．（2，1，﹣2） D．（2，1，2） 【答案】D 【解答】解：∵向量在基底下的坐标为（2，3，﹣1）， ∴， 设向量在基底下的坐标是（x，y，z）， ∴， 即x（y+z）（y﹣z）， ∴，解得x＝2，y＝1，z＝2，即（2，1，2）． 故选：D． 【变式1】已知向量在基底下的坐标为（0，2，1），则在基底下的坐标为（　　） A．（0，1，2） B．（1，2，3） C．（1，3，2） D．（3，2，1） 【答案】B 【解答】解：因为向量在基底下的坐标为（0，2，1）， 所以， 所以在基底下的坐标为（1，2，3）． 故选：B． 【变式2】在以O为原点，i，j，k为单位正交基底的空间直角坐标系中，点A（3，5，a），点，则a﹣b＝（　　） A．﹣11 B．﹣6 C．6 D．11 【答案】A 【解答】解：由题意，（6，b﹣5，﹣7﹣a）＝（6，4，﹣5）， 即b﹣5＝4，﹣7﹣a＝﹣5，解得a＝﹣2，b＝9， 则a﹣b＝﹣11． 故选：A． 【变式3】已知向量在基底{，，}下的坐标为（0，1，2），则在基底{，，}下的坐标为（　　） A．（0，1，2） B．（2，1，3） C．（1，3，2） D．（3，2，1） 【答案】B 【解答】解：由向量在基底{，，}下的坐标为（0，1，2）， 得0122， 则在基底{，，}下的坐标为（2，1，3）． 故选：B． 题型5 空间向量的数量积判断向量的共线与垂直 解｜题｜知｜识 一、空间向量及其有关概念 语言描述 共线向量（平行向量） 表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合． 共面向量 平行于同一平面的向量． 共线向量定理 对空间任意两个向量，（≠0），∥⇔存在λ∈R，使λ． 共面向量定理 若两个向量，不共线，则向量与向量，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使xy． 空间向量基本定理 （1）定理：如果三个向量、、c不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得xyz． （2）推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x+y+z 且x+y+z＝1． 二、数量积及坐标运算 1．两个向量的数量积 （1）•＝||||cos，； （2）⊥⇔•0（，为非零向量）； （3）||22，||． 2．向量的坐标运算 （a1，a2，a3），（b1，b2，b3） 向量和 （a1+b1，a2+b2，a3+b3） 向量差 （a1﹣b1，a2﹣b2，a3﹣b3） 数量积 •a1b1+a2b2+a3b3 共线 ∥⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R） 垂直 ⊥⇔a1b1+a2b2+a3b3＝0 夹角 公式 cos， 【典例1】已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果（2，﹣1，﹣4），（4，2，0），（﹣1，2，﹣1）．下列结论正确的有（　　） A．AP⊥AB B．AP⊥AD C．是平面ABCD的一个法向量 D．∥ 【答案】ABC 【解答】解：对于A，•2×（﹣1）+（﹣1）×2+（﹣4）×（﹣1）＝0，∴⊥，即AP⊥AB，A正确； 对于B，•（﹣1）×4+2×2+（﹣1）×0＝0，∴⊥，即AP⊥AD，B正确； 对于C，由⊥，且⊥，得出是平面ABCD的一个法向量，C正确； 对于D，由是平面ABCD的法向量，得出⊥，则D错误． 故选：ABC． 过 关 验 收 1．设空间向量，，．若、、不能构成空间的一个基底，则实数λ＝（　　） A．0 B． C．2 D．1 【答案】C 【解答】解：由题意可知，、、共面， 设， 即（2，4，λ）＝m（1，1，0）+n（2，3，1）， 即，解得． 故选：C． 2．下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：若空间三个向量，，能构成空间基底，则向量，，不共面，反之亦然． 对于A，设，则，无解， ∴不共面，故可以作为空间向量的一组基底； 对于B，设，则，无解， ∴不共面，故可以作为空间向量的一组基底； 对于C，设，则，无解， ∴不共面，故可以作为空间向量的一组基底； 对于D，设，则，解得， ∴共面，故不能作为空间向量的一组基底． 故选：D． 3．下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若向量，满足，则 D．若，，则 【答案】D 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，单位向量是模为1的向量，但方向是任意的，单位向量不一定相等，A错误； 对于B，当时，与不一定平行，故B错误； 对于C，向量不能比较大小，但向量的模是实数，可以比较大小，故C错误； 对于D，相等向量的方向相同、长度相等，因此向量相等具有传递性，故D正确． 故选：D． 4．若向量在基底{，，}下的坐标为（2，4，3），则在基底{，，}下的坐标为（　　） A．（﹣1，3，3） B．（3，﹣1，3） C．（﹣3，1，3） D．（1，﹣3，3） 【答案】A 【解答】解：因为向量在基底{，，}下的坐标为（2，4，3）， 所以2， 设在基底{，，}下的坐标为（x，y，z）， 所以x（）+y（）+z， 即（x+y）（﹣x+y）z， 所以，解得， 所以在基底{，，}下的坐标为（﹣1，3，3）． 故选：A． 5．在空间四边形ABCD中，，设，若向量，则x+y+z＝（　　） A． B．0 C． D． 【答案】C 【解答】解：空间四边形ABCD中，，设，若向量， 则， ， 故，所以． 故选：C． 6．在以下命题中： ①若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线； ②对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面； ③若是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中真命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：①若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线，故①正确； ②由2﹣2﹣2≠1，根据共面向量定理知P，A，B，C四点不共面，故②错误； ③由，则向量与向量，共面，则不能构成空间的一个基底，故③错误； ④由于为空间的一个基底，则不共面， 设， 则x＝y＝1，x+y＝0，无解，所以不共面， 所以能构成空间的一个基底，故④正确． 故选：C． 7．关于空间向量，以下说法错误的是（　　） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．已知是空间向量的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若，则是钝角 【答案】D 【解答】解：对A，向量中，若存在，显然满足题意，所以都是非零向量， 不妨设向量共线，则存在实数λ，使得，故， 由共面向量定理可知，向量共面，正确； 对B，因为，由共面定理的推论可知，P，A，B，C四点共面，正确； 对C，设，则， 因为是空间向量的一个基底，所以x﹣1＝0，y＝0，﹣1＝0，该方程组无实数解，所以不共面，可以作为空间向量的基底，正确； 对D，当时，若，不是钝角，错误． 故选：D． （多选）8．在空间直角坐标系O﹣xyz中，O为坐标原点．若A（1，1，1）、B（2，3，4）、C（3，5，x），下列说法正确的是（　　） A．存在实数x，使 B．存在实数x，使 C．若为锐角，则 D．若为一组基底，则x≠7 【答案】BD 【解答】解：A（1，1，1）、B（2，3，4）、C（3，5，x）， 则，， 所以，， 因此，不存在实数x，使得，A错； 对于B选项，若存在实数x，使， ，， 即20+（x﹣1）2＝5+（x﹣4）2，解得x＝0，B对； 对于C选项，由题意可得， 若为锐角，则，解得， 且、不共线，若、共线，则，解得x＝7， 所以，当、不共线时，x≠7， 因此，若为锐角，则且x≠7，C错； 对于D选项，若、、共面，则存在m、n∈R，使得， 则，解得， 因此，若为一组基底，则x≠7，D对． 故选：BD． （多选）9．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解答】解：对于A：若共面，则，即， 又不共面，∴，故不共面，故A选项符合题意； 对于B：若共面，则， 即， 又不共面，∴，解得λ＝μ＝﹣1， 故共面，故B选项不符合题意； 对于C：若共面，则， 即， 又不共面，∴，解得λ＝﹣1，μ＝2， 故共面，故C选项不符合题意． 对于D：若共面，则， 即， 又不共面，∴， 故不共面，故D选项符合题意． 故选：AD． （多选）10．已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则下列结论正确的是（　　） A．不是空间的一组基底 B．不是空间的一组基底 C．向量的模是2 D．向量和的夹角为 【答案】BD 【解答】解：对于A：因为空间向量不共面，所以是空间的一组基底，故A错误； 对于B：假设共面，则：， 即3＝2x﹣y，7＝3x+y，4＝x+2y，解得x＝2，y＝1，所以三个共面，不是空间的一组基底，故B正确； 对于C：由题意不共面的三个向量都是单位向量，得， 所以，故C错误； 对于， 设向量和的夹角为θ，则，又θ∈[0，π]，所以，故D正确． 故选：BD． 11．在四面体ABCD中，P是△ABC内部或边界上一点，满足，且，设，则x2+y2+z2的取值范围是　　 ． 【答案】． 【解答】解：因为P是△ABC内部或边界上一点，满足，且， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 当时，x2+y2+z2取最小值为， 当λ＝0时，x2+y2+z2取最大值为， 所以x2+y2+z2的取值范围为， 故答案为：． 12．已知向量以为基底时的坐标为（2，﹣3，2），则以为基底时的坐标为　（1，﹣1，2）　 ． 【答案】（1，﹣1，2）． 【解答】解：由题意知：． 设向量在新基底下的坐标为（x，y，z）， 则， 即； 则，解得， 所以以为基底时的坐标为（1，﹣1，2）． 故答案为：（1，﹣1，2）． 13．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，E是CC1的中点，设，，，则　　 ． 【答案】． 【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CC1的中点， 所以， 所以． 故答案为：． 14．已知向量，，不能构成基底，则t＝　7　 ． 【答案】7． 【解答】解：因为向量，，不能构成基底， 所以向量、、共面，所以有， 即（5，﹣1，t）＝λ（2，﹣1，3）+μ（﹣1，2，﹣2）， 整理有，所以t＝7． 故答案为：7． 15．在正四棱锥P﹣ABCD中，，，设平面AEF与直线PC交于点G，，则λ＝ 　　 ． 【答案】． 【解答】解：根据题意可知，，， ， 因为，，所以， 又，故， 即，故， 因为平面AEF与直线PC交于点G，所以A，E，F，G四点共面， 所以，解得． 故答案为：． 16．已知是空间的一个基底，向量． （1）证明：是空间的另一个基底； （2）用基底表示向量． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）证明：因为是空间的一个基底， 所以不共面， 假设向量共面，则存在唯一的实数对x，y，使得， 所以，所以共面，这与不共面矛盾， 所以不共面， 即是空间的另一个基底； （2）因为量， 设， 所以，解得， 所以． 17．在三棱锥O﹣ABC中，M是AB的中点，点N在棱OC上，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为M是AB的中点，所以， 因为点N在棱OC上，且， 所以， 所以． 故选：C． 18．向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为（﹣1，2，3），则在基底的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设， 由题意可知， 所以，解得x，y，z＝3， 所以在基底下的坐标为． 故选：A． 19．已知（﹣1，9，1），（m，﹣3，2），（0，2，1），若{，，}不能构成空间的一个基底，则m＝（　　） A．3 B．1 C．5 D．7 【答案】B 【解答】解：若{，，}不能构成空间的一个基底， 则，，共面， 存在λ，μ使得，， 故，解得， 故选：B． 20．在空间四边形OABC中，若E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上的点，且，记，则（x，y，z）等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：连接OE，OF，因为，E，F分别是AB，BC的中点， 所以 ， 故． 故选：A． （多选）21．设空间向量．若不能构成空间向量的一组基底，则（　　） A．m＝4，n＝1 B．m＝3，n＝2 C．m＝4，n＝2 D．m＝3，n＝1 【答案】AB 【解答】解：A中，当m＝4，n＝1时，， 所以共线，则共面，所以不能构成空间向量的一组基底，故A符合题意； B中，当m＝3，n＝2时，（2，3，1），（2，4，2）， 假设xy（x+2y，x+4y，2y）， 即，解得x＝1，y， 即，则共面，故B符合题意； C中，当m＝4，n＝2时，方程组为，无解，故不共面， 可构成空间向量的一组基底，C不符合题意； D中，当m＝3，n＝1时，方程组为，无解，故不共面， 可构成空间向量的一组基底，D不符合题意． 故选：AB． （多选）22．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD＝∠A1AB＝∠A1AD＝60°，A1C1与B1D1的交点为M，设，，，则（　　） A． B． C．|| D． 【答案】ACD 【解答】解：（），选项A正确，B错误； •••44+42×2×cos60°+2×2×cos60°+2×2×cos60°＝11， 所以||，选项C正确； •••42×2×cos60°+2×2×cos60°＝5， 所以cos，，选项D正确． 故选：ACD． 23．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，则 　　 ．（用，，表示） 【答案】． 【解答】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设， 由于． 故答案为：． 24．如图，已知正四面体OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，N是线段OM的中点，记，，． （1）用，，表示向量； （2）求||． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意，，，， 且M是棱BC的中点，N是线段OM的中点， 则 ； （2）因为正四面体OABC的棱长为1， 则，， 所以 ． 25．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设，， （1）试用，，表示向量、； （2）若∠A1AD＝∠A1AB＝120°，求向量与所成的角的余弦值． 【答案】（1），，（2）． 【解答】解：（1）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设，， ， ． （2）因为∠A1AD＝∠A1AB＝120°，， 所以， ， ， 所以， 即向量与所成的角的余弦值为． 26．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作． （1）若，，求的斜60°坐标； （2）在平行六面体ABCD﹣ABC1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”． ①求的斜60°坐标； ②若，求与夹角的余弦值． 【答案】（1）[0，3，5]；（2）①[﹣1，2，3]，． 【解答】（1）解：由，，得，， 所以，所以； （2）解：设，，分别为与，，同方向的单位向量， 则，，， ①， 所以． ②因为，所以， 则2， 因为， 所以， 所以， 所以与的夹角的余弦值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 空间向量基本定理 内 容 导 航 题型1 空间向量基本定理、正交分解及坐标表示 题型2 空间向量基本定理及空间向量的基底 题型3 空间向量基底表示空间向量 题型4 空间向量单位正交基底及其表示空间向量 题型5 空间向量的数量积判断向量的共线与垂直 考 点 演 练 题型1 空间向量基本定理、正交分解及坐标表示 解｜题｜知｜识 1．空间向量基本定理 如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使xyz． 任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量． 2．单位正交基底 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示． 3．空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{，，}，以点O为原点，分别以，，的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O﹣xyz． 其中，点O叫做原点，向量，，都叫做坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面． 4．空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得．把x，y，z称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作（x，y，z）． 【解题方法点拨】 1．基底的判断 判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立． 2．空间向量的坐标表示 用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为： （1）观察图形：充分观察图形特征； （2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系； （3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算； （4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来． 3．用基底表示向量 用基底表示向量时， （1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行． （2）若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求． 【典例1】如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，OM＝2MA，点N为BC中点，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在三棱锥S﹣ABC中，点G为底面△ABC的重心，点M是线段SG的中点，过点M的平面分别交SA，SB，SC于点D，E，F，若k，m，n，则（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式2】（多选）3．关于空间向量，以下说法正确的是（　　） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D．若•0，则，是钝角 题型2 空间向量基本定理及空间向量的基底 解｜题｜知｜识 空间向量基本定理 如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使xyz． 任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量． 【解题方法点拨】 基底的判断 判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立． 【命题方向】 ﹣向量定理和基底：考查如何应用向量的基本定理以及如何选择和使用空间的基底． 【典例1】若不能构成空间的一个基底，则y＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【变式1】设是空间的一组基底，向量，若，，，且是空间的另一组基底，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知{，，}是空间的一个基底，{，，}是空间的另一个基底，一向量在基底{，，}下的坐标为（4，2，3），则向量在基底{，，}下的坐标是（　　） A．（4，0，3） B．（3，1，3） C．（1，2，3） D．（2，1，3） 【变式3】已知是空间的一个基底，则可以和，构成空间的另一个基底的向量为（　　） A． B． C． D． 题型3 空间向量基底表示空间向量 解｜题｜知｜识 1．空间向量基本定理 如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使xyz． 任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，，，都叫做基向量． 2．单位正交基底 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示． 【解题方法点拨】 基底的判断 判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立． ﹣基底表示：任何空间向量都可以表示为基底向量的线性组合：其中是基底向量，c1，c2，c3是系数． ﹣线性组合：通过解线性方程组找到系数c1，c2，c3． 【命题方向】 ﹣基底表示：考查如何利用基底向量表示空间中的任意向量． 【典例1】如图，在四面体PABC中，，，，点E在棱PB上，且BE＝2EP，F为AC中点，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在三棱锥A﹣BCD中，E为CD中点，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且GN＝2MG，现用向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为（　　） A． B． C． D． 【变式3】若是空间的一个基底，且向量，则（x，y，z）叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为（4，2，3），则向量在基底下的坐标是（　　） A．（4，0，3） B．（3，1，3） C．（1，2，3） D．（2，1，3） 题型4 空间向量单位正交基底及其表示空间向量 解｜题｜知｜识 1．单位正交基底 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{，，}表示． 2．空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得．把x，y，z称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作（x，y，z）． 【解题方法点拨】 1．空间向量的坐标表示 用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为： （1）观察图形：充分观察图形特征； （2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系； （3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算； （4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来． 2．用基底表示向量 用基底表示向量时， （1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行． （2）若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求． 【命题方向】 ﹣单位正交基底表示：考查如何使用单位正交基底表示空间中的向量． 【典例1】已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为（2，3，﹣1），则向量在基底下的坐标是（　　） A．（2，﹣1，﹣2） B．（2，﹣1，2） C．（2，1，﹣2） D．（2，1，2） 【变式1】已知向量在基底下的坐标为（0，2，1），则在基底下的坐标为（　　） A．（0，1，2） B．（1，2，3） C．（1，3，2） D．（3，2，1） 【变式2】在以O为原点，i，j，k为单位正交基底的空间直角坐标系中，点A（3，5，a），点，则a﹣b＝（　　） A．﹣11 B．﹣6 C．6 D．11 【变式3】已知向量在基底{，，}下的坐标为（0，1，2），则在基底{，，}下的坐标为（　　） A．（0，1，2） B．（2，1，3） C．（1，3，2） D．（3，2，1） 题型5 空间向量的数量积判断向量的共线与垂直 解｜题｜知｜识 一、空间向量及其有关概念 语言描述 共线向量（平行向量） 表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合． 共面向量 平行于同一平面的向量． 共线向量定理 对空间任意两个向量，（≠0），∥⇔存在λ∈R，使λ． 共面向量定理 若两个向量，不共线，则向量与向量，b共面⇔存在唯一的有序实数对（x，y），使xy． 空间向量基本定理 （1）定理：如果三个向量、、c不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组{x，y，z}使得xyz． （2）推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x+y+z 且x+y+z＝1． 二、数量积及坐标运算 1．两个向量的数量积 （1）•＝||||cos，； （2）⊥⇔•0（，为非零向量）； （3）||22，||． 2．向量的坐标运算 （a1，a2，a3），（b1，b2，b3） 向量和 （a1+b1，a2+b2，a3+b3） 向量差 （a1﹣b1，a2﹣b2，a3﹣b3） 数量积 •a1b1+a2b2+a3b3 共线 ∥⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R） 垂直 ⊥⇔a1b1+a2b2+a3b3＝0 夹角 公式 cos， 【典例1】已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果（2，﹣1，﹣4），（4，2，0），（﹣1，2，﹣1）．下列结论正确的有（　　） A．AP⊥AB B．AP⊥AD C．是平面ABCD的一个法向量 D．∥ 过 关 验 收 1．设空间向量，，．若、、不能构成空间的一个基底，则实数λ＝（　　） A．0 B． C．2 D．1 2．下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（　　） A． B． C． D． 3．下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若向量，满足，则 D．若，，则 4．若向量在基底{，，}下的坐标为（2，4，3），则在基底{，，}下的坐标为（　　） A．（﹣1，3，3） B．（3，﹣1，3） C．（﹣3，1，3） D．（1，﹣3，3） 5．在空间四边形ABCD中，，设，若向量，则x+y+z＝（　　） A． B．0 C． D． 6．在以下命题中： ①若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线； ②对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面； ③若是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中真命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 7．关于空间向量，以下说法错误的是（　　） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．已知是空间向量的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若，则是钝角 （多选）8．在空间直角坐标系O﹣xyz中，O为坐标原点．若A（1，1，1）、B（2，3，4）、C（3，5，x），下列说法正确的是（　　） A．存在实数x，使 B．存在实数x，使 C．若为锐角，则 D．若为一组基底，则x≠7 （多选）9．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　） A． B． C． D． （多选）10．已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则下列结论正确的是（　　） A．不是空间的一组基底 B．不是空间的一组基底 C．向量的模是2 D．向量和的夹角为 11．在四面体ABCD中，P是△ABC内部或边界上一点，满足，且，设，则x2+y2+z2的取值范围是　 ． 12．已知向量以为基底时的坐标为（2，﹣3，2），则以为基底时的坐标为　 　 ． 13．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，E是CC1的中点，设，，，则　 　 ． 14．已知向量，，不能构成基底，则t＝　 　 ． 15．在正四棱锥P﹣ABCD中，，，设平面AEF与直线PC交于点G，，则λ＝ 　 　 ． 16．已知是空间的一个基底，向量． （1）证明：是空间的另一个基底； （2）用基底表示向量． 17．在三棱锥O﹣ABC中，M是AB的中点，点N在棱OC上，且，则（　　） A． B． C． D． 18．向量是空间的一个单位正交基底，向量在基底，，下的坐标为（﹣1，2，3），则在基底的坐标为（　　） A． B． C． D． 19．已知（﹣1，9，1），（m，﹣3，2），（0，2，1），若{，，}不能构成空间的一个基底，则m＝（　　） A．3 B．1 C．5 D．7 20．在空间四边形OABC中，若E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上的点，且，记，则（x，y，z）等于（　　） A． B． C． D． （多选）21．设空间向量．若不能构成空间向量的一组基底，则（　　） A．m＝4，n＝1 B．m＝3，n＝2 C．m＝4，n＝2 D．m＝3，n＝1 （多选）22．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝2，∠BAD＝∠A1AB＝∠A1AD＝60°，A1C1与B1D1的交点为M，设，，，则（　　） A． B． C．|| D． 23．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，则 ．（用，，表示） 24．如图，已知正四面体OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，N是线段OM的中点，记，，． （1）用，，表示向量； （2）求||． 25．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，，设，， （1）试用，，表示向量、； （2）若∠A1AD＝∠A1AB＝120°，求向量与所成的角的余弦值． 26．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组（x，y，z）相对应，称向量的斜60°坐标为[x，y，z]，记作． （1）若，，求的斜60°坐标； （2）在平行六面体ABCD﹣ABC1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”． ①求的斜60°坐标； ②若，求与夹角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $