3.3 抛物线 讲义 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦抛物线核心知识点，系统构建从定义、标准方程到几何性质（焦点、准线、离心率），再到直线与抛物线位置关系、弦长、焦点弦等应用的知识支架，衔接圆锥曲线先前内容，形成完整知识脉络。 资料以17类题型分层设计，典例结合拱桥、光热电站等现实情境，培养学生数学眼光中的几何直观与应用意识。通过解题知识归纳与变式训练，提升数学思维的推理能力，课中助力分层教学，课后便于学生查漏补缺，强化知识应用。

3.3 抛物线 内 容 导 航 题型1 抛物线的定义 题型2 抛物线的标准方程 题型3 根据抛物线上的点求抛物线的标准方程 题型4 求抛物线的准线方程 题型5 求抛物线的焦点和焦准距 题型6 由准线求抛物线的方程或参数 题型7 由抛物线的焦点或焦准距求解抛物线方程或参数 题型8 抛物线上的点到准线及其平行线的距离 题型9 直线与抛物线的位置关系及公共点的个数 题型10 由直线与抛物线位置关系及公共点个数求解方程或参数 题型11 抛物线的切线方程及性质 题型12 抛物线的弦及弦长 题型13 抛物线的焦点弦及焦半径 题型14 抛物线的焦点三角形 题型15 抛物线的中点弦 题型16 抛物线与平面向量 题型17 抛物线的定点及定值问题 考 点 演 练 题型1 抛物线的定义 解｜题｜知｜识 抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象． 标准方程 ①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线； ②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线． 性质 我们以y2＝2px（p＞0）为例： ①焦点为（，0）；②准线方程为：x；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂直于x轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等． 【命题方向】 抛物线是初中高中阶段重要的一个知识点，高中主要是增加了焦点、准线还有定义，这也提示我们这将是它的一个重点，所以在学习的时候要多多理会它的含义，并能够灵活运用． 【典例1】已知点M（1，4）不在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，抛物线C的焦点为F若对于抛物线上的一点P，|PM|+|PF|的最小值为4，则p的值等于（　　） A．6 B．2 C．2或6 D．4 【答案】B 【解答】解：由题意点M（1，4）不在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，抛物线C的焦点为F若对于抛物线上的一点P，|PM|+|PF|的最小值为4， ①如图，若点M在抛物线的开口外部，即2p×1＜42，即0＜p＜8， 则当点M，P，F三点共线时，|PM|+|PF|有最小值，最小值为|MF|， 因为，则，解得p＝2，符合题意； ②如图，若点M在抛物线的开口内部，即2p×1＞42，即p＞8， 过点P作PD⊥l，垂足为D，其中直线l为抛物线的准线， 则由抛物线的定义可知，|PF|＝|PD|， 所以当M，P，D三点共线时，|PM|+|PD|＝|PM|+|PF|有最小值， 则，得p＝6，不符合题意， 综上所述，p的值等于2． 故选：B． 【变式1】若点P在抛物线C：x2＝8y上，点P的纵坐标为1，则点P到抛物线C的准线的距离为（　　） A．9 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解答】解：已知点P在抛物线C：x2＝8y上，点P的纵坐标为1， 由抛物线方程x2＝8y可得其焦点在y轴正半轴上，且2p＝8，解得p＝4， 故其准线方程为，又点P的纵坐标为1， 则点P到准线的距离为1﹣（﹣2）＝3． 故选：D． 【变式2】已知抛物线y2＝12x的焦点为F，点P在抛物线上，定点Q（5，2），则|PQ|+|PF|的最小值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解答】解：抛物线y2＝12x的焦点为F（3，0），点P在抛物线上，定点Q（5，2）， 因为|PF|等于点P到准线的距离，作PD垂直于准线x＝﹣3于D，根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|， 所以当PQ垂直于准线时交准线于E，|PQ|+|PF|有最小值，|PF|+|PQ|＝|PD|+|PQ|≥|EQ|，最小值为：5＝3+5＝8， 当且仅当P在EQ与抛物线的交点时取得等号． 故选：C． 题型2 抛物线的标准方程 解｜题｜知｜识 抛物线的标准方程的四种种形式： （1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负） （2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负） 四种形式相同点：形状、大小相同； 四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 下面以两种形式做简单的介绍： 标准方程 y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上 x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上 图形 顶点 （0，0） （0，0） 对称轴 x轴 焦点在x轴长上 y轴 焦点在y轴长上 焦点 （，0） （0，） 焦距 无 无 离心率 e＝1 e＝1 准线 x y 【典例1】塔式光热电站的定日镜反射面为旋转抛物面，其轴截面是一条开口向上的抛物线．若该抛物面的顶点到焦点的距离为2米，以顶点为原点、对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则对应抛物线标准方程中p的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解答】解：由抛物线的定义知：． 故选：C． 【变式1】焦点在直线3x﹣4y﹣12＝0上的抛物线的标准方程为（　　） A．y2＝16x或x2＝﹣12x B．y2＝16x或x2＝﹣12y C．y2＝16x或x2＝12y D．y2＝﹣12x或x2＝16y 【答案】B 【解答】解：因为是标准方程，所以其焦点应该在坐标轴上， 所以其焦点坐标即为直线3x﹣4y﹣12＝0与坐标轴的交点 所以其焦点坐标为（4，0）和（0，﹣3） 当焦点为（4，0）时可知其方程中的P＝8， 所以其方程为y2＝16x， 当焦点为（0，﹣3）时可知其方程中的P＝6， 所以其方程为x2＝﹣12y 故选：B． 题型3 根据抛物线上的点求抛物线的标准方程 解｜题｜知｜识 已知抛物线上的点（x1，y1），可以代入标准方程y2＝2px或x2＝2py来求解p的值． 【解题方法点拨】 1．代入点坐标：将点（x1，y1）代入抛物线方程． 2．解出p：通过方程解得p的值，确定抛物线的标准方程． 【命题方向】 ﹣给定点坐标，计算抛物线的标准方程． ﹣利用点坐标确定抛物线参数p． 【典例1】如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于l位置时，拱顶离水面的高度为2.5m，水面宽度为10m，当水面下降0.7m后，水面的宽度为（　　） A．6 B．8 C．4 D．4 【答案】B 【解答】解：以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝﹣2py（p＞0）， 又当水面处于l位置时，拱顶离水面的高度为2.5m，水面宽度为10m， 则抛物线过点（5，﹣2.5），所以52＝﹣2p×（﹣2.5），解得p＝5， 所以抛物线方程为x2＝﹣10y， 所以当y＝﹣2.5﹣0.7＝﹣3.2时，x2＝﹣10×（﹣3.2）＝32， 解得， 所以当水面下降0.7m后，水面的宽度为． 故选：B． 【变式1】一桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为AB＝10m，C为AB的中点，桥洞最高处O点的高度为OC＝5m．规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为0.5m．若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，则该货车能顺利通过桥洞的限高为（　　） A．4m B．4.25m C．4.75m D．5.25m 【答案】B 【解答】解：已知一桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，且它的洞口底部宽为AB＝10m，C为AB的中点，桥洞最高处O点的高度为OC＝5m， 以O为原点，OC所在的直线为y轴，过O且与OC垂直的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A（﹣5，﹣5），B（5，﹣5）， 设抛物线方程为x2＝﹣2py（p＞0）， 将B（5，﹣5）代入方程可得52＝﹣2p×（﹣5），解得， 所以抛物线方程为x2＝﹣5y， 若宽为的一辆货车沿桥洞中线行驶，则货车边缘的横坐标为， 将其代入抛物线方程可得，解得， 所以货车边缘处，即处桥洞与洞口底部AB的垂直距离为5﹣0.25＝4.75m， 又因为货车与其正上方的墙壁高度差至少为0.5m， 所以货车能顺利通过桥洞的限高为4.75﹣0.5＝4.25m． 故选：B． 【变式2】双曲线的一个焦点在抛物线y2＝2px（p＞0）的准线上，则抛物线的标准方程为 y2＝8x ． 【答案】y2＝8x． 【解答】解：因为双曲线，所以， 则， 又由抛物线y2＝2px（p＞0）的准线的方程为， 因为双曲线的一个焦点在抛物线y2＝2px的准线上， 所以， 解得p＝4， 所以抛物线的标准方程为y2＝8x． 故答案为：y2＝8x． 题型4 求抛物线的准线方程 解｜题｜知｜识 准线是与焦点平行的直线，距离焦点的距离等于p．准线的方程为或根据抛物线的对称轴决定． 【解题方法点拨】 1．确定准线的位置：准线的方程取决于p的值． 2．代入标准方程：使用p计算准线的方程． 【命题方向】 ﹣给定抛物线参数，求准线的方程． ﹣根据抛物线的标准方程确定准线方程． 【典例1】抛物线的准线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：抛物线，化为标准方程为，焦点坐标在y轴正半轴， 可得抛物线的准线方程为． 故选：A． 【变式1】抛物线C：x＝﹣8y2的准线方程为（　　） A．y＝﹣2 B．y＝2 C． D． 【答案】D 【解答】解：抛物线x＝﹣8y2的标准方程为， 故其准线的方程为． 故选：D． 【变式2】抛物线y＝x2﹣4x+3的准线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴（x﹣2）2＝y+1， ∴（x﹣2）2＝y+1是由x2＝y沿x轴向右平移2个单位，沿y轴向下平移1个单位而得到， 又∵x2＝y的准线方程为， ∴（x﹣2）2＝y+1的准线方程为． 即抛物线y＝x2﹣4x+3的准线方程为y． 故选：D． 题型5 求抛物线的焦点和焦准距 解｜题｜知｜识 抛物线的焦点为或，焦准距等于p． 【解题方法点拨】 1．确定焦点：根据标准方程求焦点坐标． 2．计算焦准距：焦准距等于p． 【命题方向】 ﹣给定抛物线的标准方程，计算焦点和焦准距． ﹣利用参数p确定焦点坐标和焦准距． 【典例1】设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（　　） A．（，0） B．（，0） C．（1，0） D．（2，0） 【答案】B 【解答】解：法一：将x＝2代入抛物线y2＝2px，可得y＝±2，OD⊥OE，可得kOD•kOE＝﹣1， 即，解得p＝1， 所以抛物线方程为：y2＝2x，它的焦点坐标（，0）． 故选：B． 法二：易知，∠ODE＝45°，可得D（2，2），代入抛物线方程y2＝2px， 可得4＝4p，解得p＝1， 故选：B． 【变式1】已知圆（x﹣1）2+y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px的焦点F重合，且两曲线在第一象限的交点为A，则点A的坐标为　（4，4）　 ． 【答案】（4，4）． 【解答】解：由题可得圆的圆心为F（1，0），故即p＝2， 由， 可得x2+2x﹣24＝0，故x＝4或x＝﹣6（舍），故A（4，4）． 故答案为：（4，4）． 【变式2】已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则C的焦点坐标为　（3，0）　 ． 【答案】（3，0）． 【解答】解：设抛物线的焦点为F，由点A到C的焦点的距离为12，得， 又由题意可知xA＝9，则，所以抛物线C的焦点坐标为（3，0）． 故答案为：（3，0）． 题型6 由准线求抛物线的方程或参数 解｜题｜知｜识 已知准线方程，可以求解抛物线的参数p并确定标准方程．准线的方程为或． 【解题方法点拨】 1．计算参数p：由准线方程确定p的值． 2．代入标准方程：计算抛物线的标准方程． 【命题方向】 ﹣给定准线方程，求抛物线的参数p和标准方程． ﹣利用准线位置计算抛物线的方程． 【典例1】准线方程为y＝4的抛物线的标准方程是（　　） A．x2＝16y B．x2＝8y C．x2＝﹣16y D．x2＝﹣8y 【答案】C 【解答】解：根据题意，抛物线的准线方程为y＝4， 即其焦点在x轴负半轴上，且p＝8， 故其标准方程为：x2＝﹣16y； 故选：C． 【变式1】准线方程为x＝2的抛物线的标准方程为（　　） A．y2＝﹣8x B．y2＝﹣4x C．x2＝﹣8y D．x2＝4y 【答案】A 【解答】解：准线方程为x＝2的抛物线的标准方程为y2＝﹣2px， 令，解得p＝4， 故y2＝﹣8x． 故选：A． 【变式2】（多选）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣1，过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则下列说法正确的是（　　） A．|AB|的最小值为4 B．设Q（3，2），则△QAF周长的最小值为4 C．以AF为直径的圆与y轴相切 D．若，则直线l的斜率为或 【答案】ACD 【解答】解：根据题意可得，∴p＝2， ∴抛物线C的方程为：y2＝4x，焦点F（1，0）， 设直线l的方程x＝my+1， 联立，可得y2﹣4my﹣4＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4， ∴，1， 对A选项，∵|AB|＝p+（x1+x2）＝2+4m2+2≥4， 当且仅当m＝0时，等号成立， ∴|AB|的最小值为4，∴A选项正确； 对B选项，∵Q（3，2）到准线x＝﹣1的距离d＝4， 又|QF|，且Q（3，2）在抛物线y2＝4x的开口内部， ∴△QAF周长为|QF|+|QA|+|AF||QA|+|AF|， 当且仅当AQ垂直准线时，等号成立， ∴△QAF周长的最小值为，∴B选项错误； 对C选项，∵AF的中点M为（，）， ∴M到y轴的距离为，|AF|1+x1， ∴M到y轴的距离等于， ∴以AF为直径的圆与y轴相切，∴C选项正确； 对D选项，若，则|BF|＝2|FA| ∴，∴1+x2＝2+2x1， ∴x2＝2x1+1，∴x1x2＝x1（2x1+1）＝1，且x1＞0， 解得，∴x2＝2， ∴， 解得m， ∴直线l的斜率k，∴D选项正确． 故选：ACD． 题型7 由抛物线的焦点或焦准距求解抛物线方程或参数 解｜题｜知｜识 已知焦点坐标或和焦准距p，可以确定抛物线的参数p并得到标准方程． 【解题方法点拨】 1．确定p：由焦点坐标或焦准距求出p的值． 2．代入标准方程：计算抛物线的标准方程． 【命题方向】 ﹣给定焦点或焦准距，求抛物线的参数和方程． ﹣利用焦点坐标或焦准距计算抛物线的标准方程． 【典例1】焦点为（0，2）的抛物线标准方程是（　　） A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝4x D．y2＝8x 【答案】A 【解答】解：焦点为（0，2）的抛物线标准方程是：x2＝8y． 故选：A． 【变式1】已知双曲线过点，且双曲线C1的右焦点与抛物线的焦点相同． （1）求双曲线C1的渐近线方程； （2）求抛物线C2的标准方程． 【答案】（1）． （2）y2＝8x． 【解答】解：（1）已知双曲线过点， 则， 可得a2＝3， 即双曲线C1的方程为：， 即双曲线C1的渐近线方程为：， 即． （2）由（1）可得双曲线C1的焦点坐标为：（±2，0）， 由题意可得抛物线C2的焦点坐标为：（2，0）， 所以，得p＝4， 即抛物线C2的标准方程为：y2＝8x． 题型8 抛物线上的点到准线及其平行线的距离 解｜题｜知｜识 抛物线上的点到准线的距离为或，其中p是抛物线的参数． 【解题方法点拨】 1．计算距离：利用点坐标和准线方程计算到准线的距离． 2．计算到平行线的距离：利用准线的平行线计算距离． 【命题方向】 ﹣给定抛物线上的点，计算到准线及其平行线的距离． ﹣分析距离问题及应用公式． 【典例1】已知P（1，m）为抛物线y2＝8x上一点，F为抛物线的焦点，则|PF|＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：抛物线准线为x＝﹣2， P（1，m）为抛物线y2＝8x上一点， 则|PF|＝xP+2＝1+2＝3． 故选：C． 【变式1】已知点N（1，1），抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P是C上的动点，则|PN|+|PF|的最小值为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解答】解：点N（1，1），抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P是C上的动点， 过点P作PQ⊥抛物线C的准线l：y＝﹣1于点Q， 由抛物线定义可得|PQ|＝|PF|， 则|PN|+|PF|＝|PN|+|PQ|≥|NQ|， 当且仅当N、P、Q三点共线，NQ⊥抛物线C的准线， 即xP＝1时，|PN|+|PQ|有最小值2． 符合条件的只有选项B． 故选：B． 【变式2】已知点P是抛物线C：y2＝8x上的一点，设点P到直线x＝﹣2和的距离分别为d1，d2，则d1+d2的最小值为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题知C的焦点为F（2，0），准线方程为x＝﹣2， ∵点P在C上，∴d1＝|PF|， ∴d1+d2＝|PF|+d2， 联立方程组，得， ∴Δ＝（﹣8）2﹣4×64＝﹣64＜0， ∴直线x8＝0与C无公共点，如图， ∴|PF|+d2的最小值即为点F（2，0）到直线x8＝0的距离， ∴d1+d2的最小值为|PF|+|d2|5． 故选：A． 题型9 直线与抛物线的位置关系及公共点的个数 解｜题｜知｜识 直线与抛物线的位置关系可以是相交、切线或不相交．公共点的个数通过解直线与抛物线方程组确定． 【解题方法点拨】 1．代入直线方程：将直线方程代入抛物线方程． 2．分析解的个数：根据二次方程的判别式确定交点个数（0、1、2）． 【命题方向】 ﹣根据直线与抛物线交点个数，判断它们的位置关系． ﹣解方程组确定公共点的个数． 【典例1】已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A（6，m）为抛物线上一点，|AF|＝8，直线AF与抛物线另一交点为B，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：因为|AF|＝8， 由抛物线的定义可知A到准线距离为8， 即， 解得p＝4， 所以抛物线得方程为y2＝8x， 因为点A（6，m）在抛物线上， 所以m2＝48， 解得， 取， 因为抛物线的焦点F（2，0）， 所以直线AF的斜率为， 则直线AF的方程为， 联立，消去y并整理得3x2﹣20x+12＝0， 解得x1＝6，， 所以点B的横坐标为， 此时， 则． 故选：B． 【变式1】已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P（1，﹣2），直线l交C于M，N两点，且点F为△MNP的重心，则l的方程为（　　） A．y＝x﹣1 B．y＝x﹣2 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣1 【答案】D 【解答】解：由抛物线C：y2＝4x，可得焦点F（1，0）， 设直线l的方程为x＝my+n，M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立，消去x，可得y2﹣4my﹣4n＝0， 所以Δ＝（﹣4m）2﹣4（﹣4n）＝16m2+16n＞0，y1+y2＝4m， 则， 因为F为△MNP的重心， 所以，， 解得， 所以l的方程为，即y＝2x﹣1， 检验可知，l不过点P（1，﹣2），满足题意， 所以l的方程为y＝2x﹣1． 故选：D． 【变式2】已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点P（2，y0）到其焦点的距离为3，过C的焦点F的直线交C于A，B两点，当时，|FA|•|FB|的值为　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：因为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点P（2，y0）到其焦点的距离为3， 所以， 解得p＝2， 则抛物线方程为y2＝4x， 设直线AB的倾斜角为α， 因为直线AB过焦点F， 2， 解得sinα， 因为， 所以． 故答案为：8． 题型10 由直线与抛物线位置关系及公共点个数求解方程或参数 解｜题｜知｜识 直线与抛物线的位置关系和公共点个数可以用来推导直线方程或抛物线参数． 【解题方法点拨】 1．利用交点个数：通过解方程组分析直线与抛物线的公共点个数． 2．求解方程或参数：根据交点个数确定相关方程或参数． 【命题方向】 ﹣给定公共点个数，求直线方程或抛物线的参数． ﹣利用直线与抛物线交点的情况推导相关方程． 【典例1】已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F到准线l的距离为2，第一象限的点A在抛物线C上，过点A作l的垂线，垂足为点B，若，且点（0，﹣3）在直线AD上，则直线AD的倾斜角为（　　） A．30° B．40° C．60° D．75° 【答案】C 【解答】解：因为焦点F到准线l的距离为2， 所以p＝2，则F（0，1）， 设A（2t，t2）（t＞0），则B（2t，﹣1）， 因为，即（2t，﹣2）＝2（xD，yD﹣1）， 故D（t，0），又点（0，﹣3）在直线AD上， 所以，解得：，， 故直线AD的倾斜角为60°． 故选：C． 【变式1】已知F是抛物线C：x2＝4y的焦点，l是准线，过F作圆A：x2+y2﹣6y+6＝0的切线，与抛物线C交于点M，N两点（M在N的上方），过M作l的垂线，垂足为P，则△MFP的面积为　　 ． 【答案】． 【解答】解：已知F是抛物线C：x2＝4y的焦点，l是准线， 则F（0，1），l：y＝﹣1， 又圆A：x2+y2﹣6y+6＝0， 即x2+（y﹣3）2＝3，圆心为（0，3），半径为， 过F作圆A：x2+y2﹣6y+6＝0的切线， 设切线方程为y＝kx+1，其中k＞0， 则， 则， 即切线方程为yx+1， 联立， 消y可得：， 又xM＞0＞xN， 即， 则yM＝3， 则△MFP的面积为． 故答案为：． 【变式2】已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，位于第一象限的点A（1，y0）在抛物线C上，且|AF|＝2． （1）求焦点F的坐标； （2）若过点A的直线l与C只有一个交点，求l的方程． 【答案】（1）（1，0）； （2）y＝2或x﹣y+1＝0． 【解答】解：（1）因为抛物线C：y2＝2px（p＞0）， 又位于第一象限的点A（1，y0）在抛物线C上， 所以， 所以p＝2， 可得C：y2＝4x， 所以焦点F的坐标（1，0）． （2）因为点A（1，y0）在抛物线C上， 所以， 又A（1，y0）位于第一象限， 所以y0＝2， 所以A（1，2）， 过点A的直线l与C只有一个交点， 则直线l斜率不存在不合题意； 设直线l：y﹣2＝k（x﹣1）， 联立， 得ky2﹣4y+8﹣4k＝0， 当k≠0时，Δ＝16﹣4k（8﹣4k）＝0， 即k2﹣2k+1＝0， 即k＝1， 当k＝0时，﹣4y+8＝0， 则y＝2，只有一个根符合题意； 所以l的方程为y＝2或y﹣2＝x﹣1， 即y＝2或x﹣y+1＝0． 题型11 抛物线的切线方程及性质 解｜题｜知｜识 抛物线的切线方程可以通过点斜式或标准方程表示．对于y2＝2px，切线方程为；对于x2＝2py，切线方程为． 【解题方法点拨】 1．计算切线方程：根据给定点或斜率求解切线方程． 2．分析切线性质：使用标准方程验证切线的性质． 【命题方向】 ﹣给定切点或斜率，求抛物线的切线方程． ﹣分析切线的性质及其在抛物线上的几何位置． 【典例1】（多选）过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，过点A作抛物线的切线PA，则下列说法正确的是（　　） A．|AB|的最小值为4 B．当时， C．以线段AB为直径的圆与直线x＝﹣1相切 D．当|AB|最小时，切线PA与准线的交点坐标为（﹣1，0） 【答案】ACD 【解答】解：对于A，依题意可设直线AB的方程为x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x1＞0，x2＞0， 联立，消x整理得y2﹣4my﹣4＝0， 则y1y2＝﹣4，代入y2＝4x得x1x2＝1， 则，当且仅当x1＝x2＝1时取等号， 所以|AB|的最小值为4，故A正确； 对于B，结合A可得，， 由，得，解得，，故B错误； 对于C，由题意得抛物线的准线方程为x＝﹣1，焦点F（1，0）， 设A，B，M在准线上的射影为A′，B′，M′， 则|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，， 所以以线段AB为直径的圆与直线x＝﹣1相切，故C正确； 对于D，结合A可得，当|AB|最小时，不妨取A（1，2）， 则可设切线PA的方程为x＝n（y﹣2）+1， 联立，消x整理得y2﹣4ny+8n﹣4＝0， 则Δ＝16n2﹣4（8n﹣4）＝0，解得n＝1，所以切线PA的方程为x＝y﹣1， 联立，解得x＝﹣1，y＝0，即切线PA与准线的交点坐标为（﹣1，0），故D正确． 故选：ACD． 【变式1】已知抛物线C：y2＝4x． （1）过抛物线的焦点，且斜率为的直线l1交抛物线C于A，B两点，求|AB|； （2）直线l2过点P（2，0）且与抛物线交于M，N两点，过M，N分别作抛物线的切线，这两条切线交于点Q．证明：点Q在定直线上． 【答案】（1）； （2）证明见解析． 【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得抛物线焦点F（1，0），准线x＝﹣1，直线l1：， 联立，得3x2﹣10x+3＝0，所以， 所以． （2）证明：设M（x3，y3），N（x4，y4）， 由题意，过点M且与抛物线相切的直线斜率存在且不为0，不妨设为k， 则过点M且与抛物线相切的直线方程为y﹣y3＝k（x﹣x3），① 联立，得ky2﹣4y+4y3﹣4kx3＝0， 所以Δ＝16﹣16k（y3﹣kx3）＝0，代入，得， 解得，代入①式即得y3y＝2x+2x3， 即过点M且与抛物线相切的直线方程为y3y＝2x+2x3， 同理可得过点N且与抛物线相切的直线方程为y4y＝2x+2x4， 联立，可得， 由题意，直线MN斜率可能不存在但是一定不为0，设直线MN方程为x＝my+2， 联立，得y2﹣4my﹣8＝0，所以y3y4＝﹣8，即得xQ＝﹣2， 所以点Q在定直线x＝﹣2上． 题型12 抛物线的弦及弦长 解｜题｜知｜识 弦是连接抛物线上的两点的线段．弦长可以通过弦中点和焦点的距离计算． 【解题方法点拨】 1．计算弦长：利用弦中点和焦点距离计算弦长． 2．使用公式：应用相关公式计算弦的长度． 【命题方向】 ﹣给定两点坐标，计算弦的长度． ﹣利用抛物线方程求弦长． 【典例1】已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）上的点A的横坐标为4，抛物线Γ的焦点为F．若|AF|＝5，则p的值为（　　） A．18 B．9 C．4 D．2 【答案】D 【解答】解：已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）上的点A的横坐标为4，抛物线Γ的焦点为F．且|AF|＝5， 由抛物线定义得， 又xA＝4，解得p＝2． 故选：D． 【变式1】已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，准线为l，与y轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A，B两点，且直线AF的倾斜角为150°，则|AB|＝（　　） A． B． C．8 D．4 【答案】C 【解答】解：因为抛物线方程为x2＝8y，所以焦点F（0，2），准线l：y＝﹣2． 又与y轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A，B两点，且直线AF的倾斜角为150°， 则∠FAB＝60°． 又B点在抛物线上，所以|BF|＝|BA|，故△FAB为等边三角形． 过A作y轴的垂线，垂足为P，则P（0，﹣2），且∠FAP＝30°，所以|AF|＝2|FP|＝8． 所以|AB|＝|AF|＝8． 故选：C． 【变式2】设O为坐标原点，直线l过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，其中M在第一象限，则下列正确的是（　　） A．C的准线为 B．的最小值为 C．以MN为直径的圆与x轴相切 D．若Q（0，p）且|MQ|＝|MF|，则∠ONQ+∠OMQ＞180° 【答案】B 【解答】解：对于A，由抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点可得， 所以C：x2＝y， 即C的准线为， 故A错误； 对于B，如下图所示： 设直线l的方程为，M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立直线与抛物线方程可得， 可得， 由抛物线定义可得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即B正确； 对于C，以MN为直径的圆的圆心为， 此时圆心到x轴的距离为， 而， 所以以MN为直径的圆与x轴相交， 即C错误； 对于D，易知，由|MQ|＝|MF|可知M点在QF的垂直平分线上， 所以； 由kNF＝kMF即可得，如下图所示： 则， 所以∠ONQ＜90°， 同理可得， 可得∠OMQ＜90°， 所以∠ONQ+∠OMQ＜180°， 即D错误． 故选：B． 题型13 抛物线的焦点弦及焦半径 解｜题｜知｜识 焦点弦是通过焦点且与抛物线的两条切线相交的弦．焦半径是从焦点到弦上任意一点的距离． 【解题方法点拨】 1．计算焦点弦：使用焦点和弦的方程计算焦点弦的长度． 2．计算焦半径：计算焦点到弦上点的距离． 【命题方向】 ﹣给定焦点和弦，计算焦点弦的长度和焦半径． ﹣分析焦点弦和焦半径的性质． 【典例1】设F为抛物线C：y2＝5x的焦点，过C上一点M作其准线的垂线，垂足为N，若|MF|＝5，则∠MFN＝（　　） A．120° B．90° C．60° D．30° 【答案】C 【解答】解：已知F为抛物线C：y2＝5x的焦点， 又， 所以抛物线焦点为，准线方程为：， 又过C上一点M作其准线的垂线，垂足为N，且|MF|＝5， 则|MF|＝|MN|＝5， 所以， 由， 取，则， 由MN垂直准线，则， 又， 所以， 所以|MF|＝|MN|＝|NF|＝5， 所以△MFN为等边三角形， 故∠MFN＝60°． 故选：C． 【变式1】已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，若C上的点M（x0，5）与焦点F的距离为3p，则p的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）， 又C上的点M（x0，5）与焦点F的距离为3p， 由抛物线的定义可得：， 所以p＝2． 故选：B． 【变式2】如图，P是抛物线y2＝4x上一点，F是抛物线的焦点，∠OFP＝60°，则|PF|＝（　　） A．8 B．4 C． D． 【答案】D 【解答】解：由抛物线的方程可知p＝2，焦点F（1，0）， 因为∠OFP＝60°，所以直线PF的斜率， 因此直线PF的方程为，与抛物线方程联立，消去y得，3x2﹣10x+3＝0， 解得，x2＝3，由图可知点P的横坐标为，． 故选：D． 题型14 抛物线的焦点三角形 解｜题｜知｜识 焦点三角形的面积可以通过抛物线的参数p计算． 【解题方法点拨】 1．确定三角形顶点：计算抛物线上的点和焦点的坐标． 2．计算面积：使用焦点三角形的面积公式计算面积． 【命题方向】 ﹣给定抛物线上的点和焦点，求焦点三角形的面积． ﹣分析焦点三角形的几何性质及计算方法． 【典例1】已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），点A在抛物线上，O是坐标原点，若△OFA的面积为，则|AF|长度为（　　） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），得，即p＝2，故抛物线的方程为y2＝4x． 设A（x0，y0），△OFA的面积为，可得，得， 将代入y2＝4x，得x0＝3， 由焦半径公式|AF|＝x0+1＝4． 故选：D． 【变式1】已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P在C上，若点Q（6，3），则△PQF周长的最小值为　13　 ． 【答案】13． 【解答】解：抛物线C：y2＝8x，故F（2，0）， 抛物线C的准线为l：x＝﹣2， 记点P到l的距离为d，点Q（6，3）到l的距离为d1，如图， ≥d1+5＝8+5＝13，当且仅当P在Q到直线的垂线上时，取等号． △PQF周长的最小值为：13． 故答案为：13． 【变式2】抛物线y2＝4x的焦点为F，则抛物线的准线方程为x＝﹣1　 ；若点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为　　 ． 【答案】x＝﹣1；． 【解答】解：由抛物线的方程可得：F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1， 因为点P在抛物线y2＝4x上，所以|PF|与点P到准线x＝﹣1的距离相等， 因为△FPM为等边三角形时，所以|PF|＝|PM|， 所以|PM|与点P到准线x＝﹣1的距离相等， 又点M在准线x＝﹣1上， 所以PM与直线x＝﹣1垂直，点M为垂足， 设直线x＝﹣1与x轴的交点为Q，则Q（﹣1，0）， 由已知∠QMF＝90°﹣∠PMF＝90°﹣60°＝30°， 在Rt△MQF中，|QF|＝2，∠QMF＝30°， 所以|MF|＝2|QF|＝4， 即等边三角形边长为4， 故△FPM的面积为． 故答案为：x＝﹣1，． 题型15 抛物线的中点弦 解｜题｜知｜识 中点弦是指通过某点P与抛物线相交的弦，弦的中点为P． 【解题方法点拨】 1．计算中点弦长度：根据标准方程计算中点弦的长度． 2．应用公式：利用抛物线的标准方程确定长度． 【命题方向】 ﹣给定抛物线的参数，求中点弦的长度． ﹣分析中点弦的性质及计算方法． 【典例1】已知抛物线C：x2＝6y的焦点为F，直线l与抛物线C交于A、B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则|AF|+|BF|＝　13　 ． 【答案】13． 【解答】解：抛物线C：x2＝6y的准线方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由抛物线定义得，， ∵AB的中点的纵坐标为5， ∴y1+y2＝10， ∴， 故答案为：13． 题型16 抛物线与平面向量 解｜题｜知｜识 平面向量用于表示抛物线的长轴、短轴及焦点等几何特征． 【解题方法点拨】 1．利用向量表示：使用向量表示抛物线的参数和方程． 2．计算向量关系：求解与抛物线相关的向量问题． 【命题方向】 ﹣使用向量表示抛物线的标准方程． ﹣分析平面向量与抛物线的关系． 【典例1】已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M，N，P在C上，且，则||的取值范围是　[1，5]　 ，的最小值为　5　 ． 【答案】[1，5]；5． 【解答】解：由题意得，F（1，0），设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3）， 则，，， 因为， 所以（1﹣x1+2﹣2x2+2﹣2x3，﹣y1﹣2y2﹣2y3）＝（0，0）， 因为，，，所以， 因为，所以，解得， 所以； 因为，，所以|x1+1+2（x2+1）3， 因为2y2+y1＝﹣2y3，所以，即， 因为，当且仅当y1＝y2时等号成立， 所以，即， 所以，即的最小值为5． 故答案为：[1，5]；5． 【变式1】已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F作倾斜角为θ的动直线l交E于A，B两点．当θ＝60°时，． （1）求抛物线E的方程； （2）证明：无论θ如何变化，是定值（O为坐标原点）； （3）点M（3，0），直线AM与E交于另一点C，直线BM与E交于另一点D，证明：△ABM与△CDM的面积之比为定值． 【答案】（1）y2＝4x； （2）证明见解析； （3）证明见解析． 【解答】（1）解：根据题意直线l的斜率不为0， 可设直线， 联立， 得y2﹣2pty﹣p2＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 所以Δ＝4p2（t2+1）＞0，y1+y2＝2pt，， 即， 当θ＝60°时，， 即， 即p＝2， 则抛物线E的方程为y2＝4x． （2）证明：由（1）可知，， 则， 所以． （3）证明：设C（x3，y3），D（x4，y4）， 直线AC的方程：x＝my+3，直线BD的方程：x＝ny+3， 由， 得y2﹣4my﹣12＝0， 所以y1y3＝﹣12， 同理，y2y4＝﹣12， 所以y1y2y3y4＝（y1y3）（y2y4）＝144， 由（2）知y1y2＝﹣4， 则y3y4＝﹣36， 即． 【变式2】已知抛物线C：y2＝ax（a＞0）上的点P（x0，2）到焦点F的距离为2x0． （1）求抛物线C的方程； （2）点T（m，4）在抛物线上，直线l与抛物线交于A、B两点（第一象限），过点A作x轴的垂线交于点H，直线AH与直线OT、OB分别交于点M，N（O为坐标原点），且，证明：直线l过定点． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由抛物线方程y2＝ax得，抛物线准线方程为， 点P（x0，2）到准线的距离为， 则，∴， ∵p点在抛物线上，∴4＝ax0， ∴，∴a＝4． ∴抛物线C的方程为：y2＝4x． （2）证明：∵T（m，4）在抛物线上， ∴16＝4m，∴m＝4，∴T（4，4）， ∴OT的方提为y＝x． 显然l的斜率一定存在． 设直线l的方程为y＝kx+b，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立方程组，消去y得：k2x2+（2kb﹣4）x+b2＝0， Δ＝（2kb﹣4）2﹣4k2b2＞0，即kb＜1， 由韦达定理得：． ∵M是AH与直线OT的交点．∴M（x1，x1）． 直线OB的方程为，N是AH与OB的交点，∴， ∵，， ∵，∴， ∴x1y2+x2y1﹣2x1x2＝0， ∴x1（kx2+b）+x2（kx1+b）﹣2x1x2＝0， ∴（2k﹣2）x1x2+b（x1+x2）＝0， ∴， 整理得：2b﹣4＝0，即b＝2， ∴直线l的方程为y＝kx+2，过定点（0，2）． 题型17 抛物线的定点及定值问题 解｜题｜知｜识 定点问题涉及到抛物线上点到固定点或直线的距离问题．定值问题通常涉及求解某点到焦点或准线的最值． 【解题方法点拨】 1．计算定点距离：利用抛物线方程计算点到定点的距离． 2．应用定值：解决与定值相关的几何问题． 【命题方向】 ﹣给定抛物线的定点和定值，求解相关问题． ﹣分析定点问题的几何特征及应用． 【典例1】（多选）已知M，N是抛物线C：x2＝2py（p＞0）上的两点，C的焦点为F，O为坐标原点，C上一点P（t，1）到焦点F的距离为，则（　　） A．p＝1 B．若OM⊥ON，则直线MN过定点（0，2） C．若，则直线MN的斜率为 D．若△MOF的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为 【答案】ABD 【解答】解：对于A，由题意得，解得p＝1，故A正确； 此时抛物线C：x2＝2y，， 对于B，由题意知直线MN，OM，ON的斜率必存在， 设直线MN的方程为y＝kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立方程消去y，得x2﹣2kx﹣2b＝0， 则Δ＝4k2+8b＞0，x1+x2＝2k，x1x2＝﹣2b， 因为OM⊥ON， 所以b2﹣2b＝0， 解得b＝2，满足△＞0，所以直线MN过定点（0，2），故B正确； 对于C，因为，所以直线MN过焦点F，且|MF|＝2|FN|， 设直线MN的倾斜角为θ，当M在第一象限时， 如图，过点M，N分别向准线作垂线段MA，NB，过点N向MA作垂线段ND， 设|FN|＝m，则|MN|＝3m，|NB|＝m，|MA|＝2m， 则|MD|＝m，，，， 当M在第二象限时，同理可得， 所以直线MN的斜率为，故C错误； 对于D，因为线段OF的垂直平分线为， 所以△MOF外接圆圆心的纵坐标为， 所以外接圆半径为，故D正确． 故选：ABD． 【变式1】如图，已知抛物线C：y2＝4x，过点P（2，1）作斜率为k1，k2的直线l1，l2，分别交抛物线于点A，B与M，N． （1）若点D是抛物线C上位于第一象限内一点，且其到焦点F的距离为2，求点D的坐标； （2）若|PM|•|PN|＝|PA|•|PB|，证明：k1+k2＝0； （3）若直线AM过点Q（﹣2，0），请判断直线BM是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1）（1，2）； （2）证明：因为k1，k2≠0，设AB的方程为x＝n1（y﹣1）+2， 直线MN的方程为， 联立， 消去x并整理得y2﹣4n1y+4n1﹣8＝0， 由韦达定理得y1+y2＝4n1，y1y1＝4n1﹣8， 所以4+2（x1+x2）﹣x1x2﹣1+（y1+y2）﹣y1y2， 因为x1+x2＝n1（y1+y2）﹣2n+4＝4n2﹣2n+4，， 所以， 同理得， 因为|PM|•|PN|＝|PA|•|PB|，所以， 因为n1≠n2，所以n1＝﹣n2， 则k1+k2＝0； （3）直线BM恒过点（2，8）． 【解答】解：（1）设D（x0，y0）（y0＞0）， 由已知抛物线C：y2＝4x，得F（1，0）， 则|DF|＝x0+1＝2， ∴x0＝1， ∴y0＝2，∴点D的坐标是（1，2）； （2）证明：因为k1，k2≠0，设AB的方程为x＝n1（y﹣1）+2， 直线MN的方程为， 联立， 消去x并整理得y2﹣4n1y+4n1﹣8＝0， 由韦达定理得y1+y2＝4n1，y1y1＝4n1﹣8， 所以4+2（x1+x2）﹣x1x2﹣1+（y1+y2）﹣y1y2， 因为x1+x2＝n1（y1+y2）﹣2n+4＝4n2﹣2n+4，， 所以， 同理得， 因为|PM|•|PN|＝|PA|•|PB|，所以， 因为n1≠n2，所以n1＝﹣n2， 则k1+k2＝0； （3）设直线AB的方程为（y1+y2）y＝4x+y1y2， 因为直线AB过点P（2，1）， 所以y1+y2＝8+y1y2①， 设M（x3，y3），N（x4，y4），直线AM的方程为（y1+y3）y＝4x+y1y3， 因为直线AM过点Q（﹣2，0），所以y1y3＝8②， 直线BM的方程为（y2+y3）y＝4x+y2y3， 联立①②，可得， 所以8+y2y3＝8（y3+y2）， 此时直线BM的方程为（y2+y3）y＝4x+8（y2+y3）﹣8， 即（y2+y3）（y﹣8）＝4（x﹣2）， 则直线BM恒过点（2，8）． 【变式2】已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）与双曲线的渐近线在第一象限的交点为Q，且Q点的横坐标为6． （1）求抛物线E的方程； （2）过点M（﹣3，0）的直线l与抛物线E相交于A，B两点，B关于x轴的对称点为B'，证明：直线AB′必过定点． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设点Q的坐标为（6，y0），因为点Q在第一象限，所以y0＞0， 双曲线的渐近线方程为，因为点Q在双曲线的渐近线上，所以， 所以点Q的坐标为，又点在抛物线y2＝2px上，所以48＝2p×6，所以p＝4， 故抛物线的标准方程为：y2＝8x； （2）证明：设直线AB的方程为x＝my﹣3，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消x整理得y2﹣8my+24＝0， Δ＝64m2﹣96＞0，即2m2﹣3＞0， 则y1+y2＝8m，y1y2＝24， 设B关于x轴的对称点为B′（x2，﹣y2）， 则直线AB′的方程为， 根据抛物线的对称性可知定点必定在x轴上， 令y＝0得： ， ∴直线AB′过定点（3，0）． 过 关 验 收 1．（多选）若抛物线C的焦点恰好为圆与坐标轴的交点，则C的标准方程可以是（　　） A．x2＝4y B．y2＝4x C． D．y2＝12x 【答案】BCD 【解答】解：设抛物线焦点到准线的距离为p， 令y＝0，可得x＝3或x＝1，可得抛物线C的焦点为（1，0）或（3，0）， 所以或，所以p＝2或p＝6，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝12x； 令x＝0，可得，可得抛物线C的焦点为，所以， 所以，所以抛物线C的方程为． 故选：BCD． 2．已知双曲线的离心率为2，一个焦点在抛物线y2＝12x的准线上，则C的顶点到渐近线的距离为（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【解答】解：抛物线y2＝12x的准线方程为x＝﹣3， ∵双曲线的一离心率为2，它的一个焦点在抛物线y2＝12x的准线上， ∴2，c＝3， 可得a， 故b，故渐近线方程为：y＝±x＝±x， ∴C的顶点（±，0）到渐近线y＝±x的距离为：． 故选：A． 3．若抛物线y2＝mx的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数m的值为 　8　 ． 【答案】8． 【解答】解：抛物线y2＝mx的焦点与双曲线的右焦点重合， 双曲线，，右焦点（2，0）， 抛物线y2＝mx的焦点为（2，0），所以． 故答案为：8． 4．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． （1）准线方程为2y+4＝0； （2）焦点在直线x+3y+15＝0上． 【答案】（1）x2＝8y； （2）x2＝﹣20y或y2＝﹣60x． 【解答】解：（1）准线方程为2y+4＝0，即y＝﹣2，故抛物线的焦点在y轴的正半轴上， 设其方程为x2＝2py（p＞0）． ∵，∴2p＝8， 故所求抛物线的标准方程为x2＝8y． （2）令x＝0得y＝﹣5；令y＝0得x＝﹣15． ∴抛物线的焦点为（0，﹣5）或（﹣15，0）， ∴所求抛物线的标准方程为x2＝﹣20y或y2＝﹣60x． 5．已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，直线l与E交于A，B两点，若|AF|+|BF|＝6，则线段AB中点的纵坐标为　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：因为抛物线E的方程为x2＝4y，所以焦点为F（0，1），准线方程为y＝﹣1． 设点A（xA，yA），B（xB，yB）， 由抛物线定义得|AF|+|BF|＝yA+1+yB+1＝yA+yB+2＝6， 所以yA+yB＝4，故， 即线段AB中点的纵坐标为2． 故答案为：2． 6．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线C：y2＝4x上不同两点．若直线AB过点M（2，0），则的最小值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：设直线AB的方程为x＝my+2，与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣8＝0， 由根与系数的关系得y1y2＝﹣8，因此， 因此，当且仅当时取等号． 故答案为：． 7．已知抛物线C：y2＝8x，过焦点F作斜率为的直线交C于A、B两点（点A在轴的上方），且，则λ＝　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：易知抛物线C的焦点F（2，0）， 此时直线AB的方程为y（x﹣2）， 联立，消去y并整理得3x2﹣20x+12＝0， 所以， 此时，， 所以， 又，，同向， 所以λ＝3． 故答案为：3． 8．已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，点P（x0，2）在抛物线C上，且|PF|＝2． （1）求抛物线C的方程； （2）若点D（﹣1，0），过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且|AB|＝12，求△ABD的面积． 【答案】（1）y2＝4x． （2）4． 【解答】解：（1）由题意得：，解得，所以抛物线C的方程为y2＝4x． （2）由题意知，过F的直线的斜率不为零，设其方程为x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，得y2﹣4ty﹣4＝0，则Δ＝16t2﹣16＞0，且y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4， 所以4（1+t2）＝12，解得t2＝2， 所以点D（﹣1，0）到直线xy+1的距离， d， 故△ABD的面积为4． （多选）9．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离是4，直线l过它的焦点F且与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，M为弦AB的中点，则下列说法正确的是（　　） A．抛物线C的焦点坐标是（2，0） B．x1x2＝4 C．若x1+x2＝5，则|AB|＝7 D．若以M为圆心的圆与C的准线相切，则AB是该圆的一条直径 【答案】ABD 【解答】解：已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离是4，直线l过它的焦点F且与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，M为弦AB的中点， 对选项A，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离是4， 所以p＝4， 则F（2，0）， 故A正确． 对选项B，当直线l的斜率不存在时， 则l：x＝2， 所以x1x2＝2×2＝4， 当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x﹣2）， 得：， 所以x1x2＝4． 故B正确． 对选项C，|AB|＝x1+x2+p＝5+4＝9，故C错误． 对选项D， 过A，B，M分别向准线作垂线，垂足为A1，B1，M1， 因为|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|， 所以|AB|＝|AF|+|BF|＝|AA1|+|BB1|＝2|MM1|， 即以AB为直径的圆与C的准线相切， 故D正确． 故选：ABD． 10．若直线l经过抛物线y2＝4x焦点，且与抛物线相交于A，B两点，且|AB|＝6，则AB的中点横坐标为　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：已知直线l经过抛物线y2＝4x焦点，且与抛物线相交于A，B两点，且|AB|＝6， 记p为焦点F到准线的距离， 则2p＝4，∴p＝2， 分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为A1，B1， ∵直线l经过抛物线y2＝4x焦点，且与抛物线相交于A，B两点， ∴根据抛物线的定义得到|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴|AB|＝|AF|+|BF|＝|AA1|+|BB1|， ∵， ∴， ∵|AB|＝6，p＝2，∴x1+x2+2＝6，∴x1+x2＝4， ∴AB的中点C横坐标为． 故答案为：2． 11．抛物线y2＝4x的焦点为F，O为坐标原点，点A在抛物线上，且|AF|＝2，则|AO|＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：因为抛物线方程为y2＝4x，所以p＝2， 因为|AF|＝2，则由抛物线的定义可得，所以xA＝1， 代入抛物线方程得，则． 故答案为：． 12．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到直线y＝x的距离为． （1）求C的准线方程； （2）若直线l经过点M（8，0），直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：OA⊥OB． 【答案】（1）x＝﹣2． （2）由（1）知，抛物线C：y2＝8x， 设直线l的方程为x＝ty+8，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，得y2﹣8ty﹣64＝0， 所以y1y2＝﹣64， 所以x1x2+y1y2y1y20， 所以OA⊥OB． 【解答】（1）解：由题意知，焦点F（，0）， 因为点F到直线y＝x的距离为， 所以，解得p＝4， 所以C的准线方程为x2． （2）证明：由（1）知，抛物线C：y2＝8x， 设直线l的方程为x＝ty+8，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，得y2﹣8ty﹣64＝0， 所以y1y2＝﹣64， 所以x1x2+y1y2y1y20， 所以OA⊥OB． 13．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）是C上的一点，且|PF|＝7． （1）求p和m的值； （2）过点F的直线与C交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，其中O为坐标原点，求证：k1k2为定值． 【答案】（1）p＝6，； （2）证明见解析． 【解答】解：（1）根据题意可得，p＝6，抛物线方程为y2＝12x， 又因为P在抛物线上，所以m2＝12×4＝48，因此； （2）证明：根据第一问知焦点为F（3，0），显然直线AB与x不重合， 令直线AB的方程为x＝ty+3，设B（x2，y2），A（x1，y1）， 根据，得y2﹣12ty﹣36＝0，所以y1y2＝﹣36， 又因为，， 因此， 因此． 14．已知抛物线C：y2＝ax经过点，且F为C的焦点． （1）求F的坐标． （2）设A，B为C上两个不同的点，且A，B，F三点不共线，FA，FB的斜率分别为k1，k2，且． （i）试问k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． （ii）证明：存在关于x轴对称的两个定点M，N，使得直线AB过M或N． 【答案】（1）F（1，0）； （2）（i）1； （ii）证明：设直线AB：y＝kx+b， 联立，消去x得：， 消去y得k2x2+（2kb﹣4）x+b2＝0， 则， 由（i）中k1k2＝1得：， 代入韦达定理并整理得：， 两边乘以k2：4bk＝b2﹣4+2kb+k2， 化简得b2﹣2bk+k2＝4⇒（k﹣b）2＝4，即b＝k±2， 于是直线AB的方程为：y＝kx+k±2⇒y＝k（x+1）±2， 取“+2”时，过定点（﹣1，2）；当取“﹣2”时，过定点（﹣1，﹣2）， 因此，直线AB恒过定点M（﹣1，2）或N（﹣1，﹣2），这两个定点关于x轴对称． 【解答】解：（1）抛物线C：y2＝ax经过点， 所以， 因为， 所以，解得a＝4． 抛物线方程为y2＝4x，其焦点坐标为（1，0），即F（1，0）． （2）（i）由（1）可得， 因为A，B在y2＝4x上，所以， 直线FA，FB的斜率分别为． 设直线FA与FP的夹角为θ1，设直线FB与FP的夹角为θ2， 由， 即|cosθ1|＝|cosθ2|，θ1＝θ2或θ1＝π﹣θ2， 又． 由|cosθ1|＝|cosθ2|可得：． 代入kFP＝﹣1化简得：， 取正号：得k1＝k2，即A，B，F三点共线，不符合题意， 取负号：， 整理得：（k1+1）（1﹣k2）＝﹣（k2+1）（1﹣k1）⇒﹣2k1k2+2＝0⇒k1k2＝1， 故k1k2为定值． （ii）证明：设直线AB：y＝kx+b， 联立，消去x得：， 消去y得k2x2+（2kb﹣4）x+b2＝0， 则， 由（i）中k1k2＝1得：， 代入韦达定理并整理得：， 两边乘以k2：4bk＝b2﹣4+2kb+k2， 化简得b2﹣2bk+k2＝4⇒（k﹣b）2＝4，即b＝k±2， 于是直线AB的方程为：y＝kx+k±2⇒y＝k（x+1）±2， 取“+2”时，过定点（﹣1，2）；当取“﹣2”时，过定点（﹣1，﹣2）， 因此，直线AB恒过定点M（﹣1，2）或N（﹣1，﹣2），这两个定点关于x轴对称． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 抛物线 内 容 导 航 题型1 抛物线的定义 题型2 抛物线的标准方程 题型3 根据抛物线上的点求抛物线的标准方程 题型4 求抛物线的准线方程 题型5 求抛物线的焦点和焦准距 题型6 由准线求抛物线的方程或参数 题型7 由抛物线的焦点或焦准距求解抛物线方程或参数 题型8 抛物线上的点到准线及其平行线的距离 题型9 直线与抛物线的位置关系及公共点的个数 题型10 由直线与抛物线位置关系及公共点个数求解方程或参数 题型11 抛物线的切线方程及性质 题型12 抛物线的弦及弦长 题型13 抛物线的焦点弦及焦半径 题型14 抛物线的焦点三角形 题型15 抛物线的中点弦 题型16 抛物线与平面向量 题型17 抛物线的定点及定值问题 考 点 演 练 题型1 抛物线的定义 解｜题｜知｜识 抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象． 标准方程 ①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线； ②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线． 性质 我们以y2＝2px（p＞0）为例： ①焦点为（，0）；②准线方程为：x；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂直于x轴的弦）；⑤抛物线上的点到准线和到焦点的距离相等． 【命题方向】 抛物线是初中高中阶段重要的一个知识点，高中主要是增加了焦点、准线还有定义，这也提示我们这将是它的一个重点，所以在学习的时候要多多理会它的含义，并能够灵活运用． 【典例1】已知点M（1，4）不在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，抛物线C的焦点为F若对于抛物线上的一点P，|PM|+|PF|的最小值为4，则p的值等于（　　） A．6 B．2 C．2或6 D．4 【变式1】若点P在抛物线C：x2＝8y上，点P的纵坐标为1，则点P到抛物线C的准线的距离为（　　） A．9 B．5 C．4 D．3 【变式2】已知抛物线y2＝12x的焦点为F，点P在抛物线上，定点Q（5，2），则|PQ|+|PF|的最小值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 题型2 抛物线的标准方程 解｜题｜知｜识 抛物线的标准方程的四种种形式： （1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负） （2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负） 四种形式相同点：形状、大小相同； 四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同． 下面以两种形式做简单的介绍： 标准方程 y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上 x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上 图形 顶点 （0，0） （0，0） 对称轴 x轴 焦点在x轴长上 y轴 焦点在y轴长上 焦点 （，0） （0，） 焦距 无 无 离心率 e＝1 e＝1 准线 x y 【典例1】塔式光热电站的定日镜反射面为旋转抛物面，其轴截面是一条开口向上的抛物线．若该抛物面的顶点到焦点的距离为2米，以顶点为原点、对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则对应抛物线标准方程中p的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式1】焦点在直线3x﹣4y﹣12＝0上的抛物线的标准方程为（　　） A．y2＝16x或x2＝﹣12x B．y2＝16x或x2＝﹣12y C．y2＝16x或x2＝12y D．y2＝﹣12x或x2＝16y 题型3 根据抛物线上的点求抛物线的标准方程 解｜题｜知｜识 已知抛物线上的点（x1，y1），可以代入标准方程y2＝2px或x2＝2py来求解p的值． 【解题方法点拨】 1．代入点坐标：将点（x1，y1）代入抛物线方程． 2．解出p：通过方程解得p的值，确定抛物线的标准方程． 【命题方向】 ﹣给定点坐标，计算抛物线的标准方程． ﹣利用点坐标确定抛物线参数p． 【典例1】如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于l位置时，拱顶离水面的高度为2.5m，水面宽度为10m，当水面下降0.7m后，水面的宽度为（　　） A．6 B．8 C．4 D．4 【变式1】一桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为AB＝10m，C为AB的中点，桥洞最高处O点的高度为OC＝5m．规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为0.5m．若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，则该货车能顺利通过桥洞的限高为（　　） A．4m B．4.25m C．4.75m D．5.25m 【变式2】双曲线的一个焦点在抛物线y2＝2px（p＞0）的准线上，则抛物线的标准方程为 ． 题型4 求抛物线的准线方程 解｜题｜知｜识 准线是与焦点平行的直线，距离焦点的距离等于p．准线的方程为或根据抛物线的对称轴决定． 【解题方法点拨】 1．确定准线的位置：准线的方程取决于p的值． 2．代入标准方程：使用p计算准线的方程． 【命题方向】 ﹣给定抛物线参数，求准线的方程． ﹣根据抛物线的标准方程确定准线方程． 【典例1】抛物线的准线方程为（　　） A． B． C． D． 【变式1】抛物线C：x＝﹣8y2的准线方程为（　　） A．y＝﹣2 B．y＝2 C． D． 【变式2】抛物线y＝x2﹣4x+3的准线方程为（　　） A． B． C． D． 题型5 求抛物线的焦点和焦准距 解｜题｜知｜识 抛物线的焦点为或，焦准距等于p． 【解题方法点拨】 1．确定焦点：根据标准方程求焦点坐标． 2．计算焦准距：焦准距等于p． 【命题方向】 ﹣给定抛物线的标准方程，计算焦点和焦准距． ﹣利用参数p确定焦点坐标和焦准距． 【典例1】设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（　　） A．（，0） B．（，0） C．（1，0） D．（2，0） 【变式1】已知圆（x﹣1）2+y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px的焦点F重合，且两曲线在第一象限的交点为A，则点A的坐标为　 　 ． 【变式2】已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则C的焦点坐标为　 　 ． 题型6 由准线求抛物线的方程或参数 解｜题｜知｜识 已知准线方程，可以求解抛物线的参数p并确定标准方程．准线的方程为或． 【解题方法点拨】 1．计算参数p：由准线方程确定p的值． 2．代入标准方程：计算抛物线的标准方程． 【命题方向】 ﹣给定准线方程，求抛物线的参数p和标准方程． ﹣利用准线位置计算抛物线的方程． 【典例1】准线方程为y＝4的抛物线的标准方程是（　　） A．x2＝16y B．x2＝8y C．x2＝﹣16y D．x2＝﹣8y 【变式1】准线方程为x＝2的抛物线的标准方程为（　　） A．y2＝﹣8x B．y2＝﹣4x C．x2＝﹣8y D．x2＝4y 【变式2】（多选）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣1，过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点，则下列说法正确的是（　　） A．|AB|的最小值为4 B．设Q（3，2），则△QAF周长的最小值为4 C．以AF为直径的圆与y轴相切 D．若，则直线l的斜率为或 题型7 由抛物线的焦点或焦准距求解抛物线方程或参数 解｜题｜知｜识 已知焦点坐标或和焦准距p，可以确定抛物线的参数p并得到标准方程． 【解题方法点拨】 1．确定p：由焦点坐标或焦准距求出p的值． 2．代入标准方程：计算抛物线的标准方程． 【命题方向】 ﹣给定焦点或焦准距，求抛物线的参数和方程． ﹣利用焦点坐标或焦准距计算抛物线的标准方程． 【典例1】焦点为（0，2）的抛物线标准方程是（　　） A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝4x D．y2＝8x 【变式1】已知双曲线过点，且双曲线C1的右焦点与抛物线的焦点相同． （1）求双曲线C1的渐近线方程； （2）求抛物线C2的标准方程． 题型8 抛物线上的点到准线及其平行线的距离 解｜题｜知｜识 抛物线上的点到准线的距离为或，其中p是抛物线的参数． 【解题方法点拨】 1．计算距离：利用点坐标和准线方程计算到准线的距离． 2．计算到平行线的距离：利用准线的平行线计算距离． 【命题方向】 ﹣给定抛物线上的点，计算到准线及其平行线的距离． ﹣分析距离问题及应用公式． 【典例1】已知P（1，m）为抛物线y2＝8x上一点，F为抛物线的焦点，则|PF|＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】已知点N（1，1），抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P是C上的动点，则|PN|+|PF|的最小值为（　　） A． B．2 C． D．3 【变式2】已知点P是抛物线C：y2＝8x上的一点，设点P到直线x＝﹣2和的距离分别为d1，d2，则d1+d2的最小值为（　　） A．5 B． C． D． 题型9 直线与抛物线的位置关系及公共点的个数 解｜题｜知｜识 直线与抛物线的位置关系可以是相交、切线或不相交．公共点的个数通过解直线与抛物线方程组确定． 【解题方法点拨】 1．代入直线方程：将直线方程代入抛物线方程． 2．分析解的个数：根据二次方程的判别式确定交点个数（0、1、2）． 【命题方向】 ﹣根据直线与抛物线交点个数，判断它们的位置关系． ﹣解方程组确定公共点的个数． 【典例1】已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A（6，m）为抛物线上一点，|AF|＝8，直线AF与抛物线另一交点为B，则（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P（1，﹣2），直线l交C于M，N两点，且点F为△MNP的重心，则l的方程为（　　） A．y＝x﹣1 B．y＝x﹣2 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣1 【变式2】已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点P（2，y0）到其焦点的距离为3，过C的焦点F的直线交C于A，B两点，当时，|FA|•|FB|的值为　 　 ． 题型10 由直线与抛物线位置关系及公共点个数求解方程或参数 解｜题｜知｜识 直线与抛物线的位置关系和公共点个数可以用来推导直线方程或抛物线参数． 【解题方法点拨】 1．利用交点个数：通过解方程组分析直线与抛物线的公共点个数． 2．求解方程或参数：根据交点个数确定相关方程或参数． 【命题方向】 ﹣给定公共点个数，求直线方程或抛物线的参数． ﹣利用直线与抛物线交点的情况推导相关方程． 【典例1】已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F到准线l的距离为2，第一象限的点A在抛物线C上，过点A作l的垂线，垂足为点B，若，且点（0，﹣3）在直线AD上，则直线AD的倾斜角为（　　） A．30° B．40° C．60° D．75° 【变式1】已知F是抛物线C：x2＝4y的焦点，l是准线，过F作圆A：x2+y2﹣6y+6＝0的切线，与抛物线C交于点M，N两点（M在N的上方），过M作l的垂线，垂足为P，则△MFP的面积为 ． 【变式2】已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，位于第一象限的点A（1，y0）在抛物线C上，且|AF|＝2． （1）求焦点F的坐标； （2）若过点A的直线l与C只有一个交点，求l的方程． 题型11 抛物线的切线方程及性质 解｜题｜知｜识 抛物线的切线方程可以通过点斜式或标准方程表示．对于y2＝2px，切线方程为；对于x2＝2py，切线方程为． 【解题方法点拨】 1．计算切线方程：根据给定点或斜率求解切线方程． 2．分析切线性质：使用标准方程验证切线的性质． 【命题方向】 ﹣给定切点或斜率，求抛物线的切线方程． ﹣分析切线的性质及其在抛物线上的几何位置． 【典例1】（多选）过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，过点A作抛物线的切线PA，则下列说法正确的是（　　） A．|AB|的最小值为4 B．当时， C．以线段AB为直径的圆与直线x＝﹣1相切 D．当|AB|最小时，切线PA与准线的交点坐标为（﹣1，0） 【变式1】已知抛物线C：y2＝4x． （1）过抛物线的焦点，且斜率为的直线l1交抛物线C于A，B两点，求|AB|； （2）直线l2过点P（2，0）且与抛物线交于M，N两点，过M，N分别作抛物线的切线，这两条切线交于点Q．证明：点Q在定直线上． 题型12 抛物线的弦及弦长 解｜题｜知｜识 弦是连接抛物线上的两点的线段．弦长可以通过弦中点和焦点的距离计算． 【解题方法点拨】 1．计算弦长：利用弦中点和焦点距离计算弦长． 2．使用公式：应用相关公式计算弦的长度． 【命题方向】 ﹣给定两点坐标，计算弦的长度． ﹣利用抛物线方程求弦长． 【典例1】已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）上的点A的横坐标为4，抛物线Γ的焦点为F．若|AF|＝5，则p的值为（　　） A．18 B．9 C．4 D．2 【变式1】已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，准线为l，与y轴平行的直线与l和抛物线C分别交于A，B两点，且直线AF的倾斜角为150°，则|AB|＝（　　） A． B． C．8 D．4 【变式2】设O为坐标原点，直线l过抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，其中M在第一象限，则下列正确的是（　　） A．C的准线为 B．的最小值为 C．以MN为直径的圆与x轴相切 D．若Q（0，p）且|MQ|＝|MF|，则∠ONQ+∠OMQ＞180° 题型13 抛物线的焦点弦及焦半径 解｜题｜知｜识 焦点弦是通过焦点且与抛物线的两条切线相交的弦．焦半径是从焦点到弦上任意一点的距离． 【解题方法点拨】 1．计算焦点弦：使用焦点和弦的方程计算焦点弦的长度． 2．计算焦半径：计算焦点到弦上点的距离． 【命题方向】 ﹣给定焦点和弦，计算焦点弦的长度和焦半径． ﹣分析焦点弦和焦半径的性质． 【典例1】设F为抛物线C：y2＝5x的焦点，过C上一点M作其准线的垂线，垂足为N，若|MF|＝5，则∠MFN＝（　　） A．120° B．90° C．60° D．30° 【变式1】已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，若C上的点M（x0，5）与焦点F的距离为3p，则p的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】如图，P是抛物线y2＝4x上一点，F是抛物线的焦点，∠OFP＝60°，则|PF|＝（　　） A．8 B．4 C． D． 题型14 抛物线的焦点三角形 解｜题｜知｜识 焦点三角形的面积可以通过抛物线的参数p计算． 【解题方法点拨】 1．确定三角形顶点：计算抛物线上的点和焦点的坐标． 2．计算面积：使用焦点三角形的面积公式计算面积． 【命题方向】 ﹣给定抛物线上的点和焦点，求焦点三角形的面积． ﹣分析焦点三角形的几何性质及计算方法． 【典例1】已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（1，0），点A在抛物线上，O是坐标原点，若△OFA的面积为，则|AF|长度为（　　） A．2 B．3 C． D．4 【变式1】已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P在C上，若点Q（6，3），则△PQF周长的最小值为　 　 ． 【变式2】抛物线y2＝4x的焦点为F，则抛物线的准线方程为 　 ；若点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为　 　 ． 题型15 抛物线的中点弦 解｜题｜知｜识 中点弦是指通过某点P与抛物线相交的弦，弦的中点为P． 【解题方法点拨】 1．计算中点弦长度：根据标准方程计算中点弦的长度． 2．应用公式：利用抛物线的标准方程确定长度． 【命题方向】 ﹣给定抛物线的参数，求中点弦的长度． ﹣分析中点弦的性质及计算方法． 【典例1】已知抛物线C：x2＝6y的焦点为F，直线l与抛物线C交于A、B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则|AF|+|BF|＝　 　 ． 题型16 抛物线与平面向量 解｜题｜知｜识 平面向量用于表示抛物线的长轴、短轴及焦点等几何特征． 【解题方法点拨】 1．利用向量表示：使用向量表示抛物线的参数和方程． 2．计算向量关系：求解与抛物线相关的向量问题． 【命题方向】 ﹣使用向量表示抛物线的标准方程． ﹣分析平面向量与抛物线的关系． 【典例1】已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M，N，P在C上，且，则||的取值范围是　 　 ，的最小值为　 　 ． 【变式1】已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F作倾斜角为θ的动直线l交E于A，B两点．当θ＝60°时，． （1）求抛物线E的方程； （2）证明：无论θ如何变化，是定值（O为坐标原点）； （3）点M（3，0），直线AM与E交于另一点C，直线BM与E交于另一点D，证明：△ABM与△CDM的面积之比为定值． 【变式2】已知抛物线C：y2＝ax（a＞0）上的点P（x0，2）到焦点F的距离为2x0． （1）求抛物线C的方程； （2）点T（m，4）在抛物线上，直线l与抛物线交于A、B两点（第一象限），过点A作x轴的垂线交于点H，直线AH与直线OT、OB分别交于点M，N（O为坐标原点），且，证明：直线l过定点． 题型17 抛物线的定点及定值问题 解｜题｜知｜识 定点问题涉及到抛物线上点到固定点或直线的距离问题．定值问题通常涉及求解某点到焦点或准线的最值． 【解题方法点拨】 1．计算定点距离：利用抛物线方程计算点到定点的距离． 2．应用定值：解决与定值相关的几何问题． 【命题方向】 ﹣给定抛物线的定点和定值，求解相关问题． ﹣分析定点问题的几何特征及应用． 【典例1】（多选）已知M，N是抛物线C：x2＝2py（p＞0）上的两点，C的焦点为F，O为坐标原点，C上一点P（t，1）到焦点F的距离为，则（　　） A．p＝1 B．若OM⊥ON，则直线MN过定点（0，2） C．若，则直线MN的斜率为 D．若△MOF的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为 【变式1】如图，已知抛物线C：y2＝4x，过点P（2，1）作斜率为k1，k2的直线l1，l2，分别交抛物线于点A，B与M，N． （1）若点D是抛物线C上位于第一象限内一点，且其到焦点F的距离为2，求点D的坐标； （2）若|PM|•|PN|＝|PA|•|PB|，证明：k1+k2＝0； （3）若直线AM过点Q（﹣2，0），请判断直线BM是否过定点，若是，请求出此定点坐标；若不是，请说明理由． 【变式2】已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）与双曲线的渐近线在第一象限的交点为Q，且Q点的横坐标为6． （1）求抛物线E的方程； （2）过点M（﹣3，0）的直线l与抛物线E相交于A，B两点，B关于x轴的对称点为B'，证明：直线AB′必过定点． 过 关 验 收 1．（多选）若抛物线C的焦点恰好为圆与坐标轴的交点，则C的标准方程可以是（　　） A．x2＝4y B．y2＝4x C． D．y2＝12x 2．已知双曲线的离心率为2，一个焦点在抛物线y2＝12x的准线上，则C的顶点到渐近线的距离为（　　） A． B． C． D．3 3．若抛物线y2＝mx的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数m的值为 　 　 ． 4．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． （1）准线方程为2y+4＝0； （2）焦点在直线x+3y+15＝0上． 5．已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，直线l与E交于A，B两点，若|AF|+|BF|＝6，则线段AB中点的纵坐标为　 　 ． 6．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线C：y2＝4x上不同两点．若直线AB过点M（2，0），则的最小值为　 　 ． 7．已知抛物线C：y2＝8x，过焦点F作斜率为的直线交C于A、B两点（点A在轴的上方），且，则λ＝　 　 ． 8．已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，点P（x0，2）在抛物线C上，且|PF|＝2． （1）求抛物线C的方程； （2）若点D（﹣1，0），过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且|AB|＝12，求△ABD的面积． （多选）9．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离是4，直线l过它的焦点F且与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，M为弦AB的中点，则下列说法正确的是（　　） A．抛物线C的焦点坐标是（2，0） B．x1x2＝4 C．若x1+x2＝5，则|AB|＝7 D．若以M为圆心的圆与C的准线相切，则AB是该圆的一条直径 10．若直线l经过抛物线y2＝4x焦点，且与抛物线相交于A，B两点，且|AB|＝6，则AB的中点横坐标为　 　 ． 11．抛物线y2＝4x的焦点为F，O为坐标原点，点A在抛物线上，且|AF|＝2，则|AO|＝　 ． 12．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到直线y＝x的距离为． （1）求C的准线方程； （2）若直线l经过点M（8，0），直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，证明：OA⊥OB． 13．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）是C上的一点，且|PF|＝7． （1）求p和m的值； （2）过点F的直线与C交于A，B两点，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，其中O为坐标原点，求证：k1k2为定值． 14．已知抛物线C：y2＝ax经过点，且F为C的焦点． （1）求F的坐标． （2）设A，B为C上两个不同的点，且A，B，F三点不共线，FA，FB的斜率分别为k1，k2，且． （i）试问k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． （ii）证明：存在关于x轴对称的两个定点M，N，使得直线AB过M或N． 学科网（北京）股份有限公司 $