第3章 圆锥曲线的方程 章末复习课（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学讲义通过系统梳理构建圆锥曲线单元知识体系，涵盖定义及标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线位置关系、综合问题四大模块，以定义辨析、方程求解、性质应用为主线，结合例题与跟踪训练呈现知识脉络，突出定义法、待定系数法等核心方法及离心率、弦长计算等重难点。 讲义亮点在于“例题-反思-训练”三阶设计，如抛物线与双曲线综合题、轨迹方程求解实例，培养数学运算和逻辑推理素养。反思感悟总结定义应用、离心率求法等技巧，基础学生可掌握通法，优秀学生能深化思维，助力教师实施分层教学，支持学生自主复习提升。

一、圆锥曲线的定义及标准方程 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：动点M的集合 {M||MF1|+|MF2|=2a}，其中|F1F2|=2c，a，c为正常数，且a>c. (2)双曲线：动点M的集合 {M|||MF1|-|MF2||=2a}，其中|F1F2|=2c，a，c为正常数，且a<c. (3)抛物线：动点M的集合{M||MF|=d}，其中定点F是定直线l外一点，d为点M到定直线l的距离. 2.求圆锥曲线方程的常用方法 (1)直接法；(2)定义法；(3)代入法；(4)待定系数法. 3.求圆锥曲线方程体现了逻辑推理、数学运算和直观想象的数学素养. 例1　(1)已知抛物线y2=8x的准线过双曲线-=1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为　　　　.  答案　x2-=1 解析　由题意得解得 则b2=c2-a2=3， 因此双曲线的方程为x2-=1. (2)设A，B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点，并且|AB|=2，动点P满足=+，则动点P的轨迹方程为(　　) A.+=1 B.-=1 C.+=1 D.-=1 答案　A 解析　由题意可设A， B，P(x，y)， 则==， =(x，y)， 因为=+， 则可得 又因为|AB|==2， 则=2， 整理得+=1， 所以动点P的轨迹方程为+=1. 反思感悟　(1)应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件. (2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决. (3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离和到准线的距离进行相互转化，结合几何图形，利用几何意义去解决. 跟踪训练1　(1)(2024·新课标全国Ⅱ)已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为(　　) A.+=1(y>0) B.+=1(y>0) C.+=1(y>0) D.+=1(y>0) 答案　A 解析　设点M(x，y)， 则P(x，y0)，P'(x，0)， 因为M为PP'的中点， 所以y0=2y，即P(x，2y)， 又P在曲线x2+y2=16(y>0)上， 所以x2+4y2=16(y>0)， 即+=1(y>0)， 即点M的轨迹方程为+=1(y>0). (2)点P是抛物线y2=8x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是(2，3)，求|PM|+|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标. 解　抛物线y2=8x的准线方程是x=-2，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x=-2的距离，过点P作PD垂直于准线x=-2，垂足为D，那么|PM|+|PF|=|PM|+|PD|. 如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|+|PF|的值最小，且最小值为|MD|=2-(-2)=4， 所以|PM|+|PF|的最小值是4. 此时点P的纵坐标为3， 所以其横坐标为， 即点P的坐标是. 二、圆锥曲线的几何性质 1.本类问题主要有两种考查类型： (1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点. (2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量”. 2.圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养. 例2　(1)如图，F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由椭圆可知|AF1|+|AF2|=4， |F1F2|=2. 因为四边形AF1BF2为矩形， 所以|AF1|2+=|F1F2|2=12， 所以2|AF1||AF2|=(|AF1|+|AF2|)2-(|AF1|2+)=16-12=4， 所以(|AF2|-|AF1|)2=|AF1|2+|AF2|2 -2|AF1||AF2|=12-4=8， 所以|AF2|-|AF1|=2， 因此对于双曲线有a=，c=， 所以C2的离心率e==. (2)(2024·天津)已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案　C 解析　由题意可知，∠F1PF2=90°， 又直线PF2的斜率为2， 可得tan∠PF2F1==2， 根据双曲线定义|PF1|-|PF2|=2a， 得|PF1|=4a，|PF2|=2a， =|PF1||PF2|=×4a×2a=4a2， 又=8，所以a2=2， 所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2 =(4a)2+(2a)2=20a2=40. 又|F1F2|2=4c2，所以c2=10， 又a2+b2=c2，所以b2=8， 所以双曲线的方程为-=1. 反思感悟　求解离心率的两种方法 (1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及e=，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法. (2)齐次式法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出离心率，这是求离心率十分重要的思路及方法. 跟踪训练2　(1)在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线右支上一点，连接AF1交y轴于点B.若△ABF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为(　　) A.2 B. C. D. 答案　C 解析　设|AF2|=m， ∵△ABF2为等边三角形， ∴|AB|=|BF2|=m， ∠F1AF2=， 又|BF1|=|BF2|=m， ∴|BF2|=|AF1|， ∴AF2⊥F1F2，∴|AF2|=， ∴tan∠F1AF2===， ∴2ac=b2=c2-a2， ∴e2-2e-=0， 解得e=-(舍)或e=， ∴双曲线C的离心率为. (2)已知双曲线C1：-=1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　) A.x2=y B.x2=y C.x2=8y D.x2=16y 答案　D 解析　由e2=1+=4得=， 则双曲线的渐近线方程为y=±x， 即x±y=0，抛物线C2的焦点坐标为， 则有=2，解得p=8， 故抛物线C2的方程为x2=16y. 三、直线与圆锥曲线的位置关系 1.直线与圆锥曲线的位置关系可以通过讨论直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中的变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，通过研究该一元二次方程的判别式与0的关系来确定直线和圆锥曲线公共点的情况，当然，还要注意二次项系数有没有为0的情况. 2.设直线与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 直线的斜率存在且为k，则弦长公式： |AB|=|x1-x2| =； 当k≠0时， 弦长公式还可以写成 |AB|=|y1-y2| =. 3.借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的核心素养. 例3　已知椭圆+=1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0). (1)求椭圆的方程； (2)若直线l：y=-x+m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足=，求直线l的方程. 解　(1)由题设知 解得 ∴椭圆的方程为+=1. (2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1， ∴圆心到直线l的距离d=， 由d<1得|m|<. ① ∴|CD|=2=2=. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 得x2-mx+m2-3=0， Δ=m2-4(m2-3)=12-3m2>0. ② 由根与系数的关系可得 x1+x2=m，x1x2=m2-3. ∴|AB|= =. 由=，得 =1， 解得m=±，经检验满足①②. ∴直线l的方程为y=-x+或y=-x-. 反思感悟　将直线的方程与圆锥曲线方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的方程. (1)若方程为一元二次方程，其判别式为Δ. ①Δ>0⇔直线和圆锥曲线相交⇔直线和圆锥曲线有两个交点(或两个公共点)； ②Δ=0⇔直线和圆锥曲线相切⇔直线和圆锥曲线有一个切点(或一个公共点)； ③Δ<0⇔直线和圆锥曲线相离⇔直线和圆锥曲线无公共点. (2)若方程为一元一次方程(与双曲线或抛物线方程联立时可能出现)，则直线和圆锥曲线(双曲线或抛物线)有一个交点，但不相切. 跟踪训练3　已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的实轴长为2，且焦点坐标为(±2，0). (1)求双曲线C的方程； (2)设双曲线C的右焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，若AB中点的横坐标为，求|AB|. 解　(1)因为双曲线的实轴长为2，所以2a=2，所以a=， 双曲线的焦点坐标为(±2，0)，所以c=2， 所以b2=c2-a2=1， 所以双曲线方程为-y2=1. (2)由(1)得F(2，0)，根据题意得过F的直线的斜率存在， 设直线方程为y=k(x-2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立化简得(1-3k2)x2+12k2x-12k2-3=0， Δ=144k4-4(1-3k2)(-12k2-3)=12k2+12>0， 所以x1+x2=，x1x2=， 因为AB中点的横坐标为，所以x1+x2==， 解得k2=2，所以x1x2==， 所以|AB|===. 四、圆锥曲线的综合问题 1.圆锥曲线的综合问题包括位置关系的证明及定点、定值、最值、探索性问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解. 2.借用圆锥曲线的综合问题培养学生的逻辑推理能力和数学运算素养. 例4　已知椭圆C1：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且F2为抛物线C2：y2=8x的焦点，P(2，)为椭圆C1上一点. (1)求椭圆C1的方程； (2)已知A，B为椭圆C1上不同的两点，且都在x轴上方，满足=λ. ①若λ=3，求直线F1A的斜率； ②若直线F1A与抛物线y2=x无交点，求四边形AF1F2B面积的取值范围. 解　(1)依题意得c=2，则F1(-2，0)，F2(2，0)，而P(2，)， 于是2a=|PF1|+|PF2|=+=4， 从而a=2. 又a2=b2+c2，解得b=2， 所以椭圆C1的方程为+=1. (2)设直线F1A交椭圆于另一点B'，直线F2B交椭圆于另一点A'， 由=λ，故F1A∥F2B，由椭圆对称性，|BF2|=|B'F1|，|AF1|=|A'F2|，且四边形ABA'B'为平行四边形. 由题意，直线AB'的斜率不为0，设直线AB'：x=ty-2. 由 消去x并整理得(t2+2)y2-4ty-4=0，Δ>0， 设A(x1，y1)，B'(x2，y2)， 则y1+y2=，y1y2=-. ①由=3⇒=-3⇒y1=-3y2， 代入上式，解得y1=，y2=， 故-=-， 由于y1>0，所以t>0， 所以t=1，故直线F1A的斜率为1. ②由消去x并整理得y2-ty+2=0， 由Δ=(-t)2-8<0，得t2<8. 所以|AB'|=|y1-y2|==， AB'与BA'间的距离d=(即点F2到AB'的距离)， 故=S四边形ABA'B'=··=， 令=s∈[1，3)，函数y=s+在区间[1，3)上单调递增， 所以y=s+∈， 则===∈， 所以四边形AF1F2B的面积的取值范围为. 反思感悟　(1)解决最值(范围)问题常用建立目标函数的方法. (2)圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程，用函数方程思想并通过联想与类比使问题获解. 跟踪训练4　椭圆+y2=1(a>1)的右焦点F恰为抛物线y2=2px的焦点，过点F且与x轴垂直的直线截抛物线、椭圆所得的弦长之比为4∶1. (1)求a的值； (2)已知P为直线y=-a上任一点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，设直线PA，PB与椭圆的另一交点分别为C，D，求证：直线CD过定点. (1)解　设点F(c，0)，则c=， 又过点F且与x轴垂直的直线截抛物线、椭圆的弦长分别为2p，， ∴2p=4×，即4c=4×， 又b=1， ∴a2=1+c2，ac=2， ∴a=2. (2)证明　由(1)知，椭圆的方程为+y2=1， 设点P(m，-2)，C(xC，yC)，D(xD，yD)， 易知A(0，1)，B(0，-1)， 当m≠0时， 直线PA的方程为y=-x+1， 直线PB的方程为y=-x-1， 联立 得x2-x=0. 解得xC=，yC=， 同理可得xD=， yD=， ∴kCD=， ∴直线CD的方程为 y-=， 整理得y=x-. ∴直线CD恒过定点. 当m=0时，直线CD的方程为x=0，也过点， 综上所述，直线CD恒过定点. 学科网（北京）股份有限公司 $