1.3 空间向量及其运算的坐标表示 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量及其运算的坐标表示核心知识点，系统梳理空间直角坐标系建立、两点间距离公式、向量线性运算及数量积的坐标表示，构建从几何直观到代数运算的学习支架，衔接空间向量基本概念与坐标化应用。 资料以题型为纲，每个题型含解题知识、典例及变式，配合示意图直观呈现空间关系，培养学生空间观念（数学眼光）与逻辑推理能力（数学思维）。课中辅助教师分层教学，课后通过过关验收帮助学生巩固知识，提升用数学语言表达空间问题的能力。

1.3 空间向量及其运算的坐标表示 内 容 导 航 题型1 空间直角坐标系 题型2 空间两点间的距离公式 题型3 空间向量线性运算的坐标表示 题型4 空间向量数量积的坐标表示 考 点 演 练 题型1 空间直角坐标系 解｜题｜知｜识 1、右手直角坐标系 ①右手直角坐标系的建立规则：x轴、y轴、z轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指； ②已知点的坐标P（x，y，z）， 作点的方法与步骤（路径法）： 沿x轴正方向（x＞0时）或负方向（x＜0时）移动|x|个单位，再沿y轴正方向（y＞0时）或负方向（y＜0时）移动|y|个单位，最后沿z轴正方向（z＞0时）或负方向（z＜0时）移动|z|个单位，即可作出点 ③已知点的位置求坐标的方法： 过P作三个平面分别与x轴、y轴、z轴垂直于A，B，C，点A，B，C在x轴、y轴、z轴的坐标分别是a，b，c，则（a，b，c）就是点P的坐标． 2、在x、y、z轴上的点分别可以表示为（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c）， 在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）． 【典例1】点P（﹣2，0，3）位于（　　） A．y轴上 B．z轴上 C．xoz三平面内 D．yoz平面内 【答案】C 【解答】解：∵P（﹣2，0，3）的第二个坐标为0， 故点P到xoz三平面内的距离为0， ∴点P在xoz三平面内． 故选：C． 【变式1】在空间直角坐标系中，点A（4，3，2）到x轴的距离为 　　 ． 【答案】 【解答】解：点A（4，3，2）到x轴的距离为： d． 故答案为：． 题型2 空间两点间的距离公式 解｜题｜知｜识 空间两点间的距离公式： 已知空间两点P（x1，y1，z1），Q（x2，y2，z2）， 则两点的距离为， 特殊地，点A（x，y，z）到原点O的距离为． 【典例1】在空间直角坐标系中，已知M（﹣1，0，2），N（3，2，﹣4），则MN的中点P到坐标原点O的距离为（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【解答】解：∵M（﹣1，0，2），N（3，2，﹣4），由中点坐标公式，得P（1，1，﹣1）， ∴． 故选：A． 【变式1】已知点Q是点P（3，2，4）在坐标平面Oyz内的射影，则（　　） A． B． C． D．5 【答案】B 【解答】解：由已知可得：Q（0，2，4）， 则， 所以． 故选：B． 【变式2】在空间直角坐标系Oxyz中，点A（2，1，1）在坐标平面Oxz内的射影为点B，且关于y轴的对称点为点C，则B，C两点间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解；因为点A（2，1，1）在坐标平面Oxz内的射影为点B， 所以B（2，0，1）， 因为点A（2，1，1）关于y轴的对称点为点C， 所以C（﹣2，1，﹣1）， 所以． 故选：D． 【变式3】如图，在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则|AC′|的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由原题图可知，， 又AB＝3，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°， ∴ 43， ∴． 故选：A． 题型3 空间向量线性运算的坐标表示 解｜题｜知｜识 1．空间向量的坐标运算规律： 设空间向量，，则 （1） （2） （3） 2．空间向量的坐标表示： 设空间两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则 （x2，y2，z2）﹣（x1，y1，z1）＝（x2﹣x1，y2﹣y1，z2﹣z1） 【解题方法点拨】 空间向量的坐标运算： 空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算； 【命题方向】 ﹣坐标表示：考查如何在坐标系中进行空间向量的线性运算． 【典例1】已知（2，﹣1，3），（3，5，﹣1），则等于（　　） A．（1，﹣7，﹣1） B．（1，﹣7，7） C．（7，3，5） D．（7，﹣3，﹣5） 【答案】B 【解答】解：2（4，﹣2，6），则2（4，﹣2，6）﹣（3，5，﹣1）＝（1，﹣7，7）． 故选：B． 【变式1】若向量在基底{，，}下的坐标为（4，3，﹣1），则向量在基底{2，2，}下的坐标为（　　） A．（10，5，﹣1） B．（2，1，﹣1） C．（﹣2，﹣1，1） D．（7，1，﹣1） 【答案】B 【解答】解：∵在基底{}下的坐标为（4，3，﹣1）， ∴43， 设在基底{2，2，}下的坐标为（x，y，z）， 则x（）+y（）+z ＝（x+2y）（2x﹣y）z， ∴，解得x＝2，y＝1，z＝﹣1， ∴向量在基底{2，2，}下的坐标为（2，1，﹣1）． 故选：B． 【变式2】已知空间向量，．若，则实数k的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解答】解：由，得， 即， 所以，所以2﹣k+6＝8﹣k＝0，解得k＝8． 故选：C． 【变式3】在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，已知正方体的棱长为2，，则点R的坐标为（　　） A． B． C．（1，2，1） D． 【答案】D 【解答】解：因为正方体的棱长为2，所以P（2，2，2），Q（0，2，0），， 又， 所以． 故选：D． 题型4 空间向量数量积的坐标表示 解｜题｜知｜识 空间向量的坐标运算规律： ． 【解题方法点拨】 空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和． 【命题方向】 坐标表示：考查空间向量数量积的坐标运算． 【典例1】设x，y∈R，向量，向量，且，则（　　） A． B．3 C．4 D． 【答案】D 【解答】解：因为⊥，所以•（x，1，1）•（3，﹣6，3）＝3x﹣6+3＝0，解得x＝1， 因为∥，所以，解得y＝﹣2， 则22（1，1，1）+（1，﹣2，1）＝（3，0，3）， |2|3． 故选：D． 【变式1】若，，且，则λ＝（　　） A． B．2 C． D．﹣2 【答案】A 【解答】解：因为，，所以， 因为，所以2（2+λ）﹣（﹣1﹣λ）+3（3﹣2λ）＝﹣3λ+14＝0， 解得． 故选：A． 【变式2】已知，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．∥ D．∥ 【答案】D 【解答】解：因为，， 所以AB错误； 因为，所以不平行，C错误； 因为，所以，D正确． 故选：D． 【变式3】已知，，且，则向量与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：，，且， 可得x﹣2＝﹣3，解得x＝﹣1， 向量与的夹角为θ，cosθ，θ∈[0，π]， 所以θ． 故选：A． 过 关 验 收 1．在空间直角坐标系中，已知点A（2，3，5），B（1，1，2），C（0，a，b），若A，B，C三点共线，则a+b 的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【答案】A 【解答】解：由于点A（2，3，5），B（1，1，2），C（0，a，b）， ， 由于A，B，C三点共线，所以， 所以a﹣1＝﹣2，b﹣2＝﹣3，解得a＝﹣1，b＝﹣1， 故a+b＝﹣2． 故选：A． 2．在空间直角坐标系Oxyz中，A（2，0，0），B（﹣1，3，1），则线段AB上靠近点A的三等分点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意可知，在空间直角坐标系Oxyz中，A（2，0，0），B（﹣1，3，1）， 设线段AB上靠近点A的三等分点为C（x，y，z），则有， 又，所以， 所以，即，所以． 故选：A． （多选）3．已知点A（﹣2，3，4），在z轴上求一点B，使|AB|＝7，则点B的坐标为（　　） A．（0，0，10） B．（0，10，0） C．（0，0，﹣2） D．（0，0，2） 【答案】AC 【解答】解：设点B的坐标为（0，0，c）， 由空间两点间距离公式可得， 解得：c＝﹣2或10， 所以B点的坐标为（0，0，10）或（0，0，﹣2）． 故选：AC． 4．如图，棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则|PE|+|PF|的最小值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：过F作F关于平面BCC1B1的对称点F′，连接EF′交平面BCC1B1于点P0， 任取P1（不含P0），此时P1E+P1F＝P1E+P1F′＞EF′． 建立如图所示空间直角坐标系， 则D1（0，0，3），B（3，3，0），E（1，1，2），F（2，2，1）， 又点F距平面BCC1B1的距离为1，所以F′（2，4，1）， 所以|PE|+|PF|的最小值为． 故答案为：． 5．若空间三点A（﹣1，1，0），B（0，0，﹣1），C（1，﹣1，1），则△ABC的面积为　　 ． 【答案】． 【解答】解：已知空间三点A（﹣1，1，0），B（0，0，﹣1），C（1，﹣1，1）， 则，， 则，， 则， 则， 所以△ABC的面积为． 故答案为：． 6．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，P是棱BB1的中点，点M，N分别在平面ABCD与平面A1C1D内，则PM+MN的最小值为　　 ． 【答案】 【解答】解：如图所示，设点P关于平面ABCD的对称点为P′，记点P′到平面A1C1D的距离分别为d， 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面A1C1D的一个法向量为， 则， 令x＝1得y＝1，z＝﹣1，故， 可得•（﹣1）， ||， 所以d＝|•|． 所以． 故答案为：． 7．已知空间中的三个点A（1，1，1），B（2，1，﹣1），C（3，0，0），则点A到直线BC的距离为 　　 ． 【答案】 【解答】解：空间中的三个点A（1，1，1），B（2，1，﹣1），C（3，0，0）， ∴（﹣1，0，2），（1，﹣1，1）， ∴点A到直线BC的距离为： d＝||• •． 故答案为：． 8．已知正方形ABCD的边长为1，将正方形ABCD绕着边CD旋转至EFCD，P，Q分别为线段CE，BD上的动点，且PQ⊥CD，若AF＝2，则PQ的最小值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：由于CD⊥DE，CD⊥AD，DE∩AD＝D， 所以CD⊥平面ADE，CD∥EF，∴EF⊥平面ADE， 又AE⊂平面ADE，所以EF⊥AE， 由于AF＝2，EF＝1，则， 在△ADE中，， 所以∠ADE＝120°， 过P作CD的垂线，垂足为M，由PQ⊥CD，PQ∩PM＝P，PQ，PM⊂平面PMQ， 所以CD⊥平面PMQ， 又QM⊂平面PMQ，所以QM⊥CD，所以∠PMQ＝120°， 设PM＝x，则QM＝1﹣x， ． 故答案为： 9．对于任意实数的最小值为　　 ． 【答案】． 【解答】解：， 表示空间点P（x，y，z）到定点A（﹣2，1，2），B（1，﹣2，3）距离的和， ∴由两点间距离公式得： ， ，当且仅当点P在线段AB上时取等号， ∴对于任意实数的最小值为． 故答案为：． 10．已知A（4，1，3）、B（2，﹣5，1），C为线段AB上一点，且3，则C的坐标为　（，﹣1，）　 ． 【答案】（，﹣1，） 【解答】解：设C的坐标为（x，y，z）， ∵A（4，1，3）、B（2，﹣5，1）， ∴（﹣2，﹣6，﹣2），（x﹣4，y﹣1，z﹣3）． ∵3， ∴，解之得，即C的坐标为（，﹣1，）． 故答案为：（，﹣1，） 11．已知向量，，则（　　） A．（1，3，2） B．（2，6，4） C．（1，1，4） D．（2，2，8） 【答案】B 【解答】解：因为，， 所以， 所以． 故选：B． 12．已知A（1，2，3），B（4，5，6），则向量的坐标是（　　） A．（3，3，3） B．（5，7，9） C．（﹣3，﹣3，﹣3） D．（3，7，3） 【答案】A 【解答】解：由已知条件得：， 故选：A． （多选）13．已知向量，则下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D．的单位向量是 【答案】ABC 【解答】解：由结合向量的数乘运算可得，，故AB正确， 结合向量的模的运算可得，故C正确， 的单位向量是，故D错误． 故选：ABC． （多选）14．已知，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解答】解：由题意，（10，﹣5，﹣2），（﹣2，1，﹣6），•24+6﹣8＝22，||6． 故选：ACD． 15．已知，则　　 ． 【答案】． 【解答】解：已知， 所以，则． 故答案为：． 16．，则 　　 ． 【答案】． 【解答】解：，， 所以，得到m＝4，n＝﹣2， 所以，得到． 故答案为：． 17．已知，，，若三个向量不能作为空间向量的一组基，则实数λ等于 　4　 ． 【答案】4 【解答】解：因为三个向量不能作为空间向量的一组基， 所以共面， 则存在x，y∈R，使得，即（3，2，λ）＝（2x﹣y，﹣x+4y，3x﹣2y）， 所以，解得． 故答案为：4． 18．已知，． （1）求的值； （2）设向量，，求； （3）若，求k的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵，， ∴，∴； （2）由（1）， 又∥（）， ∴， 解得m＝2，n＝﹣4，即， ∴， 则； （3）由（1）， ， 由，则， ∴8k+24＝0，则k＝﹣3． 19．已知空间向量满足． （1）若与的夹角为60°，求 （2）若，求向量的坐标． 【答案】（1）； （2）（2，4，﹣4）或（﹣2，﹣4，4）． 【解答】解：（1）由题意空间向量满足， 可得． 又与的夹角为60°， 所以， 则， 故； （2）因为，所以． 当向量反向时，，则； 当向量同向时，，则． 综上，向量的坐标为（2，4，﹣4）或（﹣2，﹣4，4）． 20．已知直线l的方向向量，平面α的法向量，则l与α的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交但不垂直 【答案】D 【解答】解：因为直线l的方向向量，平面α的法向量， 所以， 所以与不垂直，故直线l与平面α不平行，也不可能在平面α内； 显然不存在常数k使得，即（1，﹣2，3）≠k（2，1，2）， 即与不共线， 所以直线l不垂直于平面α， 所以直线l与α相交但不垂直． 故选：D． 21．设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，当取最小值时，（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵，，，点Q在直线OP上运动， ∴可设， ∴，， ∴， ∴当时，取得最小值， ∴． 故选：B． 22．在三棱锥O﹣ABC中，棱OA、OB、OC两两垂直且棱长相等，点P在底面ABC内，且直线OP与平面ABC所成角的余弦值为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：在三棱锥O﹣ABC中，棱OA、OB、OC两两垂直且棱长相等， 设OA＝OB＝OC＝1，以点O为坐标原点，OA、OB、OC所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 如图所示： 则A（1，0，0）、B（0，1，0）、C（0，0，1）， 设点P（a，b，c），其中a、b、c∈[0，1]，设平面ABC的法向量为， ，，则，即， 取x＝1，得， 因为点P在平面ABC内，且，则， 所以a+b+c＝1， 设直线OP与平面ABC所成的角为θ，则， 且，所以，， 所以， ． 故选：B． 23．已知平面α＝{P|•0}，其中点P0（1，2，3），法向量（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（　　） A．（3，2，1） B．（﹣2，5，4） C．（﹣3，4，5） D．（2，﹣4，8） 【答案】B 【解答】解：对于A，（2，0，﹣2），1×2+1×0+1×（﹣2）＝0，故选项A在平面α内； 对于B，（﹣3，3，1），1×（﹣3）+1×3+1×1＝1≠0，故选项B不在平面α内； 对于C，（﹣4，2，2），1×（﹣4）+1×2+1×2＝0，故选项C在平面α内； 对于D，（1，﹣6，5），1×1+1×（﹣6）+1×5＝0，故选项D在平面α内． 故选：B． （多选）24．已知，，则下列正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解答】解：由题意，，A正确； 设，则（2，2，2）＝（λ，﹣λ，λ），显然λ无解， 所以与不平行，B错误； 因为， 所以， 则，C正确； 因为， 所以，D正确． 故选：ACD． 25．已知，若，则λ的值为 　﹣3　 ． 【答案】﹣3 【解答】解：由题意，， 因为，所以， 即3×6+（﹣3）×1+5λ＝0，解得λ＝﹣3． 故答案为：﹣3． 26．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，则该三棱柱的高为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：设平面ABC的一个法向量为， 则， ， 所以， 令z＝2，则，y＝3， 所以是平面的一个法向量， 所以点A1到平面ABC的距离为，故三棱柱的高为． 故答案为：． 27．已知向量，． （1）若，求； （2）若向量（﹣2，﹣1，1），若∥，求与夹角的正弦值． 【答案】（1）． （2）1． 【解答】解：（1）由，得， 因为22（m，，）+（4，1，3）＝（2m+4，2，2）， 所以4（2m+4）+2×1+2×3＝0，解得m＝﹣3， 则，． （2）由，可得﹣2＝﹣2m，解得m＝1， 和夹角的余弦值为， 因为，即夹角为， 所以和夹角的正弦值为1． 28．已知向量（1，2，﹣1），（2，0，1），求： （1）； （2）； （3）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）； （2）； （3），所以． 29．已知空间中三点A（﹣1，1，1），B（0，2，1），C（﹣2，1，3）． （1）设，且，求的坐标； （2）若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标； （3）求△ABC的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵空间中三点A（﹣1，1，1），B（0，2，1），C（﹣2，1，3）， ∴． ∵∥，∴设， ∴，解得λ＝±2， ∴或． （2）设D（x，y，z），∵ABCD是平行四边形，∴， 由A（﹣1，1，1），B（0，2，1），C（﹣2，1，3）， 得，， ∴，故D（﹣3，0，3）． （3）由题可得，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴△ABC的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 内 容 导 航 题型1 空间直角坐标系 题型2 空间两点间的距离公式 题型3 空间向量线性运算的坐标表示 题型4 空间向量数量积的坐标表示 考 点 演 练 题型1 空间直角坐标系 解｜题｜知｜识 1、右手直角坐标系 ①右手直角坐标系的建立规则：x轴、y轴、z轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指； ②已知点的坐标P（x，y，z）， 作点的方法与步骤（路径法）： 沿x轴正方向（x＞0时）或负方向（x＜0时）移动|x|个单位，再沿y轴正方向（y＞0时）或负方向（y＜0时）移动|y|个单位，最后沿z轴正方向（z＞0时）或负方向（z＜0时）移动|z|个单位，即可作出点 ③已知点的位置求坐标的方法： 过P作三个平面分别与x轴、y轴、z轴垂直于A，B，C，点A，B，C在x轴、y轴、z轴的坐标分别是a，b，c，则（a，b，c）就是点P的坐标． 2、在x、y、z轴上的点分别可以表示为（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c）， 在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）． 【典例1】点P（﹣2，0，3）位于（　　） A．y轴上 B．z轴上 C．xoz三平面内 D．yoz平面内 【变式1】在空间直角坐标系中，点A（4，3，2）到x轴的距离为 　 　 ． 题型2 空间两点间的距离公式 解｜题｜知｜识 空间两点间的距离公式： 已知空间两点P（x1，y1，z1），Q（x2，y2，z2）， 则两点的距离为， 特殊地，点A（x，y，z）到原点O的距离为． 【典例1】在空间直角坐标系中，已知M（﹣1，0，2），N（3，2，﹣4），则MN的中点P到坐标原点O的距离为（　　） A． B． C．2 D．3 【变式1】已知点Q是点P（3，2，4）在坐标平面Oyz内的射影，则（　　） A． B． C． D．5 【变式2】在空间直角坐标系Oxyz中，点A（2，1，1）在坐标平面Oxz内的射影为点B，且关于y轴的对称点为点C，则B，C两点间的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则|AC′|的长为（　　） A． B． C． D． 题型3 空间向量线性运算的坐标表示 解｜题｜知｜识 1．空间向量的坐标运算规律： 设空间向量，，则 （1） （2） （3） 2．空间向量的坐标表示： 设空间两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则 （x2，y2，z2）﹣（x1，y1，z1）＝（x2﹣x1，y2﹣y1，z2﹣z1） 【解题方法点拨】 空间向量的坐标运算： 空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算； 【命题方向】 ﹣坐标表示：考查如何在坐标系中进行空间向量的线性运算． 【典例1】已知（2，﹣1，3），（3，5，﹣1），则等于（　　） A．（1，﹣7，﹣1） B．（1，﹣7，7） C．（7，3，5） D．（7，﹣3，﹣5） 【变式1】若向量在基底{，，}下的坐标为（4，3，﹣1），则向量在基底{2，2，}下的坐标为（　　） A．（10，5，﹣1） B．（2，1，﹣1） C．（﹣2，﹣1，1） D．（7，1，﹣1） 【变式2】已知空间向量，．若，则实数k的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式3】在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，已知正方体的棱长为2，，则点R的坐标为（　　） A． B． C．（1，2，1） D． 题型4 空间向量数量积的坐标表示 解｜题｜知｜识 空间向量的坐标运算规律： ． 【解题方法点拨】 空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和． 【命题方向】 ﹣坐标表示：考查空间向量数量积的坐标运算． 【典例1】设x，y∈R，向量，向量，且，则（　　） A． B．3 C．4 D． 【变式1】若，，且，则λ＝（　　） A． B．2 C． D．﹣2 【变式2】已知，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．∥ D．∥ 【变式3】已知，，且，则向量与的夹角为（　　） A． B． C． D． 过 关 验 收 1．在空间直角坐标系中，已知点A（2，3，5），B（1，1，2），C（0，a，b），若A，B，C三点共线，则a+b 的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 2．在空间直角坐标系Oxyz中，A（2，0，0），B（﹣1，3，1），则线段AB上靠近点A的三等分点的坐标为（　　） A． B． C． D． （多选）3．已知点A（﹣2，3，4），在z轴上求一点B，使|AB|＝7，则点B的坐标为（　　） A．（0，0，10） B．（0，10，0） C．（0，0，﹣2） D．（0，0，2） 4．如图，棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则|PE|+|PF|的最小值为　 ． 5．若空间三点A（﹣1，1，0），B（0，0，﹣1），C（1，﹣1，1），则△ABC的面积为 ． 6．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，P是棱BB1的中点，点M，N分别在平面ABCD与平面A1C1D内，则PM+MN的最小值为 ． 7．已知空间中的三个点A（1，1，1），B（2，1，﹣1），C（3，0，0），则点A到直线BC的距离为 ． 8．已知正方形ABCD的边长为1，将正方形ABCD绕着边CD旋转至EFCD，P，Q分别为线段CE，BD上的动点，且PQ⊥CD，若AF＝2，则PQ的最小值为 ． 9．对于任意实数的最小值为 ． 10．已知A（4，1，3）、B（2，﹣5，1），C为线段AB上一点，且3，则C的坐标为　 　 ． 11．已知向量，，则（　　） A．（1，3，2） B．（2，6，4） C．（1，1，4） D．（2，2，8） 12．已知A（1，2，3），B（4，5，6），则向量的坐标是（　　） A．（3，3，3） B．（5，7，9） C．（﹣3，﹣3，﹣3） D．（3，7，3） （多选）13．已知向量，则下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D．的单位向量是 （多选）14．已知，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 15．已知，则 ． 16．，则 ． 17．已知，，，若三个向量不能作为空间向量的一组基，则实数λ等于 　 　 ． 18．已知，． （1）求的值； （2）设向量，，求； （3）若，求k的值． 19．已知空间向量满足． （1）若与的夹角为60°，求 （2）若，求向量的坐标． 20．已知直线l的方向向量，平面α的法向量，则l与α的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交但不垂直 21．设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，当取最小值时，（　　） A． B． C． D． 22．在三棱锥O﹣ABC中，棱OA、OB、OC两两垂直且棱长相等，点P在底面ABC内，且直线OP与平面ABC所成角的余弦值为，则（　　） A． B． C． D． 23．已知平面α＝{P|•0}，其中点P0（1，2，3），法向量（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（　　） A．（3，2，1） B．（﹣2，5，4） C．（﹣3，4，5） D．（2，﹣4，8） （多选）24．已知，，则下列正确的有（　　） A． B． C． D． 25．已知，若，则λ的值为 　 　 ． 26．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，则该三棱柱的高为 ． 27．已知向量，． （1）若，求； （2）若向量（﹣2，﹣1，1），若∥，求与夹角的正弦值． 28．已知向量（1，2，﹣1），（2，0，1），求： （1）； （2）； （3）． 29．已知空间中三点A（﹣1，1，1），B（0，2，1），C（﹣2，1，3）． （1）设，且，求的坐标； （2）若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标； （3）求△ABC的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $