专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示重难点题型专训讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦空间向量及其运算的坐标表示核心知识点，先通过空间直角坐标系明确向量坐标定义及加减、数乘、数量积运算规则，再延伸至平行、垂直、模长、夹角、距离的坐标表示应用，构建从概念到几何问题解决的学习支架。 该资料以5大基础题型夯实运算与推理能力，1大提高题型深化综合应用，搭配即时训练与自我检测。通过正方体、平行四边形等实例，培养空间观念（数学眼光）、逻辑推理（数学思维）与模型表达（数学语言），课中助力教师分层教学，课后便于学生查漏补缺，强化知识掌握。

专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示重难点题型专训 （2个知识点+5大基础题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、空间向量的坐标运算 题型二、空间向量模长的坐标表示 题型三、空间向量平行的坐标表示 题型四、空间向量垂直的坐标表示 题型五、空间向量夹角余弦的坐标表示 第二部分·练提高题型 题型一、空间向量的相关坐标表示 第三部分・自我检测 知识点01 空间直角坐标系 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组（x，y，z）叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝（x，y，z）． 2．空间向量的坐标运算 设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3） 减法 a－b a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3） 数乘 λa λa＝（λa1，λa2，λa3），λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【即时训练】 1．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东茂名·期中）已知向量，，则________ 知识点02 用空间向量的坐标运算解决相关的几何问题 1．空间向量的平行、垂直 关系 （a1，a2，a3），（b1，b2，b3） 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 【注】特别提醒：在中，应特别注意，只有在（b1，b2，b3）与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面xOy平行，则b3=0，这样就没有意义了. 2．空间向量的模长的坐标计算公式设（a1，a2，a3），则，即. 3．空间向量夹角的坐标计算公式 设（a1，a2，a3），（b1，b2，b3），则. 4．空间两点间的距离公式 设P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）是空间中任意两点，则P1P2＝||＝. 【即时训练】 1．（25-26高二上·江西抚州·期末）设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·福建福州·期中）已知空间向量，若，则__________. 【基础题型一 空间向量的坐标运算】 【例1】（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）（多选）在棱长为2的正方体中，如图，以为原点建立空间直角坐标系，为中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）在空间直角坐标系中，，若点在线段上，且，则点坐标为__________． 4．（25-26高二·全国·课后作业）已知O为坐标原点,A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3)，求适合下列条件的点P的坐标: （1）(-)； （2）(-). 【基础题型二 空间向量模长的坐标表示】 【例2】（25-26高二下·江苏常州·期中）已知点，，若，则实数x的值为（   ） A． B．0 C．4 D． 1．（25-26高二上·广东东莞·期末）已知向量，，若，则的取值为（    ） A．±1 B． C．1 D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）(多选)已知向量，，，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 3．（25-26高二下·上海·期中）向量在向量方向上的投影向量的坐标为______． 4．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知向量. (1)求； (2)若向量与向量共面，求的值. 【基础题型三 空间向量平行的坐标表示】 【例3】（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 1．（25-26高二上·广西玉林·期末）设，，向量，，，则（   ） A． B． C． D．1 2．（24-25高二上·山西·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若空间中O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 B．空间中三个非零向量，若，，则 C．对空间任意一点O和不共线三点A，B，C，若，则P，A，B，C共面 D．，，若，则与的夹角为锐角 3．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）已知向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 4．（24-25高二上·上海·期中）已知空间中三点，，. (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)当与的夹角为钝角时，求的范围. 【基础题型四 空间向量垂直的坐标表示】 【例4】（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 1．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知向量，，若，则（   ） A．5 B．2 C．1 D． 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·开学考试）（多选）已知点是所在的平面外一点，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南·阶段检测）设，若，则实数k的值为________． 4．（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）已知空间中三点，设． (1)求以为一组邻边的平行四边形的面积． (2)若与互相垂直，求实数的值． 【基础题型五 空间向量夹角余弦的坐标表示】 【例5】（25-26高二上·广东·阶段检测）已知直线的方向向量为，点在上，现有直线外一点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 4．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知向量，． (1)求与的夹角； (2)若与互相垂直，求实数t的值． 【提高题型一 空间向量的相关坐标表示】 【例1】（25-26高二上·北京西城·期中）设，向量，，，且，，则（    ） A． B． C．1 D．2 1．（25-26高二上·浙江·期中）设，向量，且，则（　　） A．3 B． C． D． 2．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A． B．与平行且模为的向量的坐标为或 C．与夹角的余弦值为 D．在上投影向量的坐标为 3．（25-26高二上·天津·阶段检测）设，向量，且，则___________. 4．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 1．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知点，，，在平面内，则x值为（   ） A． B． C．1 D． 2．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 4．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．4 5．（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 7．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）（多选）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 8．（24-25高二上·陕西安康·阶段检测）（多选）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量共面 9．（25-26高二上·贵州遵义·期中）（多选）已知空间向量，，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则在上的投影向量为 C．若，则 D．若与的夹角为钝角，则 10．（25-26高二上·河南三门峡·期末）（多选）已知空间向量，则下列结论正确的是（   ） A．当实数时， B．当实数时，使得 C．若与垂直，则 D．若与平行，则 11．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知向量，若共面，则______． 12．（25-26高二上·宁夏固原·期末）已知向量，则________. 13．（25-26高二上·四川成都·期中）若向量，夹角为钝角，则m的取值范围为_________. 14．（25-26高二上·河南开封·期中）已知向量，，若，则_____. 15．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 16．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知. (1)求； (2)当时，求实数k的值. 17．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知向量，. (1)求； (2)求； (3)求. 18．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知向量.求： (1) (2) 19．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 20．（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知，. (1)求向量的坐标； (2)设向量，，求； (3)若，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示重难点题型专训 （2个知识点+5大基础题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、空间向量的坐标运算 题型二、空间向量模长的坐标表示 题型三、空间向量平行的坐标表示 题型四、空间向量垂直的坐标表示 题型五、空间向量夹角余弦的坐标表示 第二部分·练提高题型 题型一、空间向量的相关坐标表示 第三部分・自我检测 知识点01 空间直角坐标系 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组（x，y，z）叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝（x，y，z）． 2．空间向量的坐标运算 设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3） 减法 a－b a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3） 数乘 λa λa＝（λa1，λa2，λa3），λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【即时训练】 1．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标： 因此. 2．（25-26高二上·广东茂名·期中）已知向量，，则________ 【答案】24 【分析】代入向量数量积的坐标表示，即可求解. 【详解】， 所以. 故答案为： 知识点02 用空间向量的坐标运算解决相关的几何问题 1．空间向量的平行、垂直 关系 （a1，a2，a3），（b1，b2，b3） 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 【注】特别提醒：在中，应特别注意，只有在（b1，b2，b3）与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面xOy平行，则b3=0，这样就没有意义了. 2．空间向量的模长的坐标计算公式设（a1，a2，a3），则，即. 3．空间向量夹角的坐标计算公式 设（a1，a2，a3），（b1，b2，b3），则. 4．空间两点间的距离公式 设P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）是空间中任意两点，则P1P2＝||＝. 【即时训练】 1．（25-26高二上·江西抚州·期末）设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的夹角公式结合向量的数量积与模长公式进行计算即可. 【详解】因为，则有， ， 解得，由题得，故. 故选：B 2．（25-26高二上·福建福州·期中）已知空间向量，若，则__________. 【答案】 【分析】由向量平行得到存在实数使得，进而建立关于的方程组求解即可. 【详解】因为，所以存在实数使得，即， 所以，解得， 所以. 故答案为： 【基础题型一 空间向量的坐标运算】 【例1】（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点的坐标为，再根据向量相等坐标计算求解. 【详解】平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为， 因为，所以，所以， 所以的坐标为. 1．（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的坐标运算求解. 【详解】已知，则. 2．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）（多选）在棱长为2的正方体中，如图，以为原点建立空间直角坐标系，为中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据空间向量的坐标表示一一判定选项即可. 【详解】由题意可知，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：BD 3．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）在空间直角坐标系中，，若点在线段上，且，则点坐标为__________． 【答案】 【分析】由题可知，设，然后根据向量坐标运算求出 和的坐标，再利用列出方程，进而求解点M的坐标． 【详解】由，得.设， 由，得， 即. 解得，即. 故答案为：． 4．（25-26高二·全国·课后作业）已知O为坐标原点,A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3)，求适合下列条件的点P的坐标: （1）(-)； （2）(-). 【答案】（1）(3,,-2)；（2）(5,,0)． 【分析】先根据空间向量定义用坐标表示出，再根据运算法则依次求解即可 【详解】由题可知，O为坐标原点,A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3) 所以， （1）得，即点坐标为 （2），设点坐标为，则有，根据对应关系有，解得，即点坐标为 【基础题型二 空间向量模长的坐标表示】 【例2】（25-26高二下·江苏常州·期中）已知点，，若，则实数x的值为（   ） A． B．0 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的模的计算公式求解即可 【详解】由题知，因为，所以， 解得 1．（25-26高二上·广东东莞·期末）已知向量，，若，则的取值为（    ） A．±1 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】因为向量，， 所以,又因为， 所以，故， 故选：B 2．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）(多选)已知向量，，，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】BC 【分析】由向量坐标，写出坐标，由向量模长公式建立等式，求得的值. 【详解】∵，，∴. ∵， ∴.∴，解得或. 故选：BC. 3．（25-26高二下·上海·期中）向量在向量方向上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【分析】由投影向量定义求在方向上的投影向量即可. 【详解】因为向量、向量，所以， ，由投影向量定义， 在方向上的投影向量. 4．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知向量. (1)求； (2)若向量与向量共面，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先表示出的坐标，然后根据坐标下的模长计算公式求解出结果； （2）设，根据坐标关系求解出的值，由此求解出的值. 【详解】（1）因为， 所以， 所以； （2）因为向量与向量共面，所以设， 所以，所以， 所以. 【基础题型三 空间向量平行的坐标表示】 【例3】（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得：， 故. 1．（25-26高二上·广西玉林·期末）设，，向量，，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用空间向量共线的坐标表示列式求出即可. 【详解】向量，，由，得，解得， 所以. 故选：C 2．（24-25高二上·山西·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若空间中O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 B．空间中三个非零向量，若，，则 C．对空间任意一点O和不共线三点A，B，C，若，则P，A，B，C共面 D．，，若，则与的夹角为锐角 【答案】AC 【分析】由空间向量共面定理即可判断AC，举出反例即可判断B，由空间向量共线的坐标运算即可判断D 【详解】由可得，即， 所以，所以A，B，C三点共线，故A正确； 若，则，由可得，但是不一定有，比如正方体共顶点的三条棱所在向量，故B错误； 由可得， 即，所以共面，即P，A，B，C共面，故C正确； 由与的夹角为锐角可得且与不同向共线，即且，解得且，故D错误； 故选：AC 3．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）已知向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由题意，与的夹角为锐角，则且与不共线，进而求解即可. 【详解】由， 若与共线，则，即， 则与的夹角为锐角时，有，解得且， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高二上·上海·期中）已知空间中三点，，. (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)当与的夹角为钝角时，求的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和空间向量的运算求解即可 （2）求出向量坐标，再利用向量夹角为钝角，结合向量数量积列式求解作答. 【详解】（1）设， 因为是平行四边形，所以, 由，，. 得， 所以，故， （2）依题意得，， ， 因为当与的夹角为钝角时， 则，且与不共线， 当时，， 当与共线时，存在实数t，有， 于是得，解得， 所以与不共线，则， 所以k的范围为 【基础题型四 空间向量垂直的坐标表示】 【例4】（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由，可得：， 因，则，即：，解得： 1．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知向量，，若，则（   ） A．5 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】因为， 所以，解得. 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·开学考试）（多选）已知点是所在的平面外一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，结合空间向量的数量积的坐标运算，以及模的坐标表示，逐项判定，即可求解. 【详解】因为向量若， 对于A中，由，所以，即，所以A正确； 对于B中，由，可得， 所以与不垂直，即与不垂直，所以B不正确； 对于C中，由，可得， 即，所以C正确； 对于D中，由，所以，即，所以D正确. 故选：ACD. 3．（25-26高二上·河南·阶段检测）设，若，则实数k的值为________． 【答案】6 【分析】利用空间向量的数量积的坐标运算可求得实数k的值. 【详解】由题可知，. 因为，所以，所以，解得． 故答案为：. 4．（25-26高二上·辽宁大连·阶段检测）已知空间中三点，设． (1)求以为一组邻边的平行四边形的面积． (2)若与互相垂直，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求得向量，夹角的余弦，进而求得其正弦，根据三角形面积公式求得答案. （2）利用（1）求得与的坐标，利用向量的数量积可求得实数的值． 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以， 所以； （2）由（1）可得， ， 因为与互相垂直，所以， 整理得，解得. 【基础题型五 空间向量夹角余弦的坐标表示】 【例5】（25-26高二上·广东·阶段检测）已知直线的方向向量为，点在上，现有直线外一点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合向量的线性坐标运算，利用向量夹角坐标公式求解直线夹角的余弦值即可. 【详解】因为，，所以， 又直线的方向向量为， 所以直线与所成的角的余弦值为 . 故选：B. 1．（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积坐标运算即可求解. 【详解】由于， 故选：A. 2．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据向量的坐标运算，对每一选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A，，故A正确； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D错误． 故选：ABC 3．（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】若共线则存在实数使得， 则， 即，方程组无解，即不存在实数使得共线. 所以若与的夹角为锐角，则，解得. 故实数的取值范围是. 4．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知向量，． (1)求与的夹角； (2)若与互相垂直，求实数t的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据给定条件，求出的坐标，再利用空间向量夹角的坐标表示求解. （2）求出与的坐标，再利用空间向量垂直关系的坐标表示列式求解. 【详解】（1）由，得， 则，，， 因此，而， 则，所以与的夹角为. （2）依题意，，，由与互相垂直， 得，即， 所以. 【提高题型一 空间向量的相关坐标表示】 【例1】（25-26高二上·北京西城·期中）设，向量，，，且，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据向量垂直和平行的坐标运算化简求值. 【详解】由题意得，，，得，， 则. 故选：A 1．（25-26高二上·浙江·期中）设，向量，且，则（　　） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量平行及垂直的坐标表示求出，然后由向量模的坐标表示求解． 【详解】因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以，所以， 所以. 故选：C 2．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A． B．与平行且模为的向量的坐标为或 C．与夹角的余弦值为 D．在上投影向量的坐标为 【答案】BD 【分析】根据向量的坐标运算即可求解AB，根据夹角公式以及投影向量的计算公式即可求解CD. 【详解】对A， 因为，所以A错误； 对B，因为，所以，因为所求的向量与平行，且模为， 所以所求的向量为：或，即所求向量坐标为或，所以B正确； 对C，又因为， 所以与夹角的余弦值为，所以C错误； 对D在上投影向量为：，所以选项D正确． 故选：BD． 3．（25-26高二上·天津·阶段检测）设，向量，且，则___________. 【答案】 【分析】根据题意，利用向量垂直和共线的坐标表示，列出方程，求得的值，得到的坐标，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得，所以， 又因为，可得，解得，所以， 所以，则. 故答案为：. 4．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以, 所以； （2）因为， 所以， 所以， ，， 设与的夹角为， 则， 又，得； （3）因为， 所以，， 因为与垂直，所以， 故，解得. 1．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知点，，，在平面内，则x值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用向量共面的定理求解即可. 【详解】由题意可得， 又因为四点共面， 所以，则， 所以，解得， 所以. 2．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，求出的坐标，即可得. 【详解】由可得， 又， 所以， 所以. 3．（25-26高二上·河北衡水·期末）设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数值，进而得，再应用空间向量模长的坐标运算求结果. 【详解】由，，，， ，解得， 又，则，解得， 所以，， 则，可得. 故选：C 4．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合向量垂直和共线向量的充要条件可得出的值，再利用向量的加法和模长公式求解得出。 【详解】 ， 即，得，所以， ，. 故答案选： 5．（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   6．（25-26高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 【答案】BC 【分析】根据向量的数量积为零判断AD，根据模长公式求解判断B，根据向量夹角的余弦公式求解判断C. 【详解】对于A，因为，故， 故，故A正确. 对于D，， 故即，故D正确. 对于B，，故B错误. 对于C，，,， 故，故C错误. 7．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）（多选）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．的最大值为4 【答案】AC 【分析】对于A，利用共线定理列方程求解判断，对于B，由，得求解，对于CD，表示出后利用二次函数性质求最值判断. 【详解】对于A，若，且， 则存在唯一实数使得，即， 则，解得，故A正确； 对于B，若，则，即，故B错误； 对于C、D，，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误. 故选：AC 8．（24-25高二上·陕西安康·阶段检测）（多选）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量共面 【答案】BD 【分析】利用空间向量夹角公式计算判断A；利用向量垂直的充要条件计算判断B；利用投影向量计算公式判断C；利用共面向量基本定理判断D. 【详解】对于A，，则， 而，因此，A错误； 对于B，，则，，B正确； 对于C，向量在向量上的投影向量为：，C错误； 对于D，由向量，得，向量与向量共面，D正确. 故选：BD 9．（25-26高二上·贵州遵义·期中）（多选）已知空间向量，，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则在上的投影向量为 C．若，则 D．若与的夹角为钝角，则 【答案】AB 【分析】根据数量积的坐标运算判断A，根据投影向量的定义判断B，根据向量模的坐标表示判断C，由求出的范围，即可判断D. 【详解】对于A：若，则，解得，故A正确； 对于B：当时，，则，， 所以在上的投影向量，故B正确； 对于C：若，则，解得，故C错误； 对于D：若与的夹角为钝角，则，解得， 若，则，方程无解，所以与不共线， 所以若与的夹角为钝角，则，故D错误. 故选：AB 10．（25-26高二上·河南三门峡·期末）（多选）已知空间向量，则下列结论正确的是（   ） A．当实数时， B．当实数时，使得 C．若与垂直，则 D．若与平行，则 【答案】ABC 【分析】由空间向量模长、数量积的坐标运算判断A、B，由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数判断C、D. 【详解】由，则，A对， 由，则，B对， 若与垂直，则，可得，C对， 若与平行，则，显然，不存在使等式成立，D错. 故选：ABC 11．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知向量，若共面，则______． 【答案】7 【分析】由空间向量共面，列出等式求解即可； 【详解】因为共面， 所以， 即，解得： 故答案为：7 12．（25-26高二上·宁夏固原·期末）已知向量，则________. 【答案】 【分析】用向量的数量积坐标公式直接计算即可得出结果. 【详解】∵， ∴. 故答案为： 13．（25-26高二上·四川成都·期中）若向量，夹角为钝角，则m的取值范围为_________. 【答案】 【分析】由夹角为钝角可得与不共线，且，利用空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】因为与夹角为钝角，所以与不共线，且， 若与共线，则，解得，故， 由可得，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 14．（25-26高二上·河南开封·期中）已知向量，，若，则_____. 【答案】 【分析】先求出，由向量垂直的坐标表示计算. 【详解】因为向量，， 所以， 因为，则， 即，解得 故答案为：. 15．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 【答案】 【详解】设， 依题意，，解得 同理可得， 则， 因此， 所以． 16．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知. (1)求； (2)当时，求实数k的值. 【答案】(1)2 (2)－1 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示即可求解； （2）由平行得到，构造等式求解即可. 【详解】（1）， 所以 （2）因为， 若，则存在，使得 即， 所以，解得， 所以实数k的值为－1. 17．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知向量，. (1)求； (2)求； (3)求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用数量积公式计算得到答案； （2）计算出的坐标，进而得到模长； （3）利用空间向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）由题意得，. （2），则. （3），则. 18．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知向量.求： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通过“数乘向量”分别计算、，再通过“向量减法”得到的坐标，最后利用“空间向量模长公式”（）计算模长； （2）先通过“空间向量点积公式”计算，再分别计算、的模长，最后代入“向量夹角公式”（），结合夹角范围确定最终角度. 【详解】（1），， ， 故. （2）， ， ， ， 因为向量夹角范围是，所以 . 19．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 【答案】(1). (2)或. (3)或. 【分析】（1）首先求出向量，的坐标，进而由向量的夹角公式求解即可； （2）首先求出与的坐标，结合向量垂直的充要条件列方程求解即可； （3）根据向量共线的条件及向量模的公式列方程求解即可. 【详解】（1）因为，，， ，， 所以，， 则. （2）因为，， 所以，. 又与垂直， 所以， 解得或. （3）由题可知，， 由，知存在实数，使得，即. 因为，所以，解得， 所以或. 20．（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知，. (1)求向量的坐标； (2)设向量，，求； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）求出的坐标，再结合向量共线及模的坐标表示求解. （3）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【详解】（1）由，得； （2）由（1）得，而， 因此，所以； （3）由（1）知，， 由，得 ，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $