第2章 2.2.1 直线的点斜式方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“直线的点斜式方程”核心知识点，从斜率公式推导点斜式方程入手，延伸至斜截式方程（过y轴交点的特殊形式），并结合两直线平行垂直的判定应用，构建“推导-公式-应用”的完整学习支架。 资料以“射击手瞄准”现实情境导入，培养学生用数学眼光观察世界，通过问题链引导推导过程发展数学思维，例题分层设计（如延伸探究直线与坐标轴围成三角形面积）助学生用数学语言表达。课中利于教师系统授课，课后练习可帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

2.2.1　直线的点斜式方程 学习目标　1.了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.(重点)3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题.(难点) 导语 射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若要把子弹飞行的轨迹看作一条直线，且射击手达到了上述的两个动作要求，则托枪的手的位置相当于直线上的定点，眼睛瞄准的方向即为直线的倾斜方向. 一、求直线的点斜式方程 问题1　给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线.怎么确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？ 提示　根据过两点的直线的斜率公式得=k，即y-y0=k(x-x0). 知识梳理 我们把方程y-y0=k(x-x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程. 方程y-y0=k(x-x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式. 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此种形式. (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y=y0.特别地，x轴的方程是y=0. (3)当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地，y轴的方程是x=0. 例1　(课本例1)　直线l经过点P0(-2，3)，且倾斜角α=45°，求直线l的点斜式方程，并画出直线l. 解　直线l经过点P0(-2，3)，斜率k=tan 45°=1，代入点斜式方程得y-3=x+2. 画图时，只需再找出直线l上的另一点P1(x1，y1)，例如，取x1=-1，则y1=4，得点P1的坐标为(-1，4)，过P0，P1两点的直线即为所求，如图所示. 例1　根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(-4，3)，斜率k=3； (2)经过点B(-1，4)，倾斜角为135°. 解　(1)由点斜式方程可知， 所求直线的点斜式方程为y-3=3(x+4). (2)由题意知，直线的斜率k=tan 135°=-1， 故所求直线的点斜式方程为y-4=-(x+1). 反思感悟　求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y-y0=k(x-x0). (2)点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x=x0除外. 跟踪训练1　求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，-3)，倾斜角是直线y=x的倾斜角的2倍； (2)经过点P(5，-2)，且与y轴平行； (3)过P(-2，3)，Q(5，-4)两点. 解　(1)∵直线y=x的斜率为， ∴直线y=x的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为. ∴所求直线方程为y+3=(x-2)， 即x-y-2-3=0. (2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在， 不能用点斜式方程表示. 但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为x=5. (3)过P(-2，3)，Q(5，-4)两点的直线斜率 kPQ===-1. ∵直线过点P(-2，3)， ∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y-3=-(x+2)，即x+y-1=0. 二、直线的斜截式方程 问题2　直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程. 提示　由点斜式方程得y-b=k(x-0)， 即y=kx+b. 知识梳理 1.直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距. 2.把方程y=kx+b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况，只能在直线斜率存在的前提下使用；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距. (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 例2　已知直线l1的方程为y=-2x+3，l2的方程为y=4x-2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程. 解　由斜截式方程知，直线l1的斜率k1=-2， 又因为l∥l1，所以kl=-2. 由题意知，l2在y轴上的截距为-2， 所以直线l在y轴上的截距b=-2. 由斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2. 延伸探究1　本例中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求直线l的方程. 解　∵l1⊥l，直线l1：y=-2x+3， ∴l的斜率为. ∵l与l2在y轴上的截距互为相反数， 直线l2：y=4x-2，∴l在y轴上的截距为2. ∴直线l的方程为y=x+2. 延伸探究2　若本例条件不变，求本例中直线l与两坐标轴围成的三角形的面积. 解　令x=0得y=-2，令y=0得x=-1. 所以所求三角形的面积为S=×|-2|×|-1|=1. 反思感悟　求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在. (2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可. 三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直 例3　(课本例2)　已知直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，试讨论： (1)l1∥l2的条件是什么？ (2)l1⊥l2的条件是什么？ 解　(1)若l1∥l2，则k1=k2，此时l1，l2与y轴的交点不同， 即b1≠b2； 反之，若k1=k2，且b1≠b2， 则l1∥l2. (2)若l1⊥l2，则k1k2=-1； 反之，若k1k2=-1， 则l1⊥l2. 例3　已知直线l1：y=-x+和l2：6my=-x+4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？ 解　当m=0时，l1：4y-5=0； l2：x-4=0，l1与l2垂直； 当m≠0时，l2的方程可化为y=-x+. 由-=-，得m=±； 由≠，得m≠且m≠， 所以当m=-时，l1与l2平行； 又-·=-1无解. 故当m=-时，l1与l2平行； 当m=0时，l1与l2垂直. 反思感悟　若l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2，l1⊥l2⇔k1k2=-1. 跟踪训练2　(1)当a为何值时，直线l1：y=-x+2a与直线l2：y=(a2-2)x+2平行？ (2)当a为何值时，直线l1：y=(2a-1)x+3与直线l2：y=4x-3垂直？ 解　(1)由题意可知，=-1，=a2-2， ∵l1∥l2，∴ 解得a=-1， 故当a=-1时，直线l1：y=-x+2a与直线l2： y=(a2-2)x+2平行. (2)由题意可知，=2a-1，=4， ∵l1⊥l2，∴4(2a-1)=-1，解得a=. 故当a=时，直线l1：y=(2a-1)x+3与直线l2：y=4x-3垂直. 1.知识清单： (1)直线的点斜式方程. (2)直线的斜截式方程. 2.方法归纳：待定系数法、数形结合法. 3.常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离. 1.已知直线l的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为-2，则此直线的方程为(　　) A.y=x+2 B.y=-x+2 C.y=-x-2 D.y=x-2 答案　D 解析　∵直线l的倾斜角为60°，∴k=tan 60°=， ∴直线l的方程为y=x-2. 2.已知直线l的方程为y+=(x-1)，则l在y轴上的截距为(　　) A.9 B.-9 C. D.- 答案　B 解析　由y+=(x-1)， 得y=x-9， ∴l在y轴上的截距为-9. 3.若直线y=kx+b通过第一、三、四象限，则有(　　) A.k>0，b>0 B.k>0，b<0 C.k<0，b>0 D.k<0，b<0 答案　B 解析　∵直线经过第一、三、四象限， ∴图形如图所示， 由图知，k>0，b<0. 4.已知直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，则a=　　　　.  答案　-1 解析　由题意可知a·(a+2)=-1， 解得a=-1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.过点P(2，-1)，且倾斜角为90°的直线方程为(　　) A.y=-1 B.x=2 C.y=2 D.x=-1 答案　B 解析　过点P(2，-1)，且倾斜角为90°的直线垂直于x轴， 其方程为x=2. 2.直线y=ax+1的倾斜角为120°，则实数a的值为(　　) A. B.- C. D.- 答案　D 解析　直线y=ax+1的倾斜角为120°，因此该直线的斜率k=a，又k=tan 120°=-， 所以a=-. 3.已知直线l过点(-3，4)且方向向量为(1，-2)，则l在x轴上的截距为(　　) A.-1 B.1 C.-5 D.5 答案　A 解析　因为直线l的方向向量为(1，-2)， 所以直线l的斜率k=-2， 又直线l过点(-3，4)， 所以直线方程为y-4=-2(x+3)， 令y=0，得x=-1， 所以l在x轴上的截距为-1. 4.过点(-1，3)且垂直于直线y=x+的直线方程为(　　) A.y-3=-2(x+1) B.y-3=-2(x-1) C.y-3=-(x+1) D.y-3=(x+1) 答案　A 解析　所求直线与已知直线垂直， 因此所求直线的斜率为-2， 故方程为y-3=-2(x+1). 5.以A(2，-5)，B(4，-1)为端点的线段的垂直平分线的方程是(　　) A.y-(-3)=2(x-3) B.y-3=2(x-3) C.y-3=-(x-3) D.y-(-3)=-(x-3) 答案　D 解析　由A(2，-5)，B(4，-1)， 知线段AB的中点坐标为(3，-3)， 又由斜率公式可得kAB==2， 所以线段AB的垂直平分线的斜率为 k=-=-， 所以线段AB的垂直平分线的方程为 y-(-3)=-(x-3). 6.(多选)已知直线l：y=x-1，则(　　) A.直线l过点(，-2) B.直线l的斜率为 C.直线l的倾斜角为60° D.直线l在y轴上的截距为1 答案　BC 解析　对于A，将(，-2)代入y=x-1，可知不满足方程，故A不正确； 对于B，由y=x-1，知直线l的斜率为，故B正确； 对于C，设直线l的倾斜角为α，则tan α=，可得α=60°，故C正确； 对于D，由y=x-1，令x=0，可得直线l在y轴上的截距为-1，故D不正确. 7.(5分)已知斜率为-的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线l的方程为　　　　.  答案　y=-x+4或y=-x-4 解析　设l：y=-x+b， 令x=0，得y=b； 令y=0，得x=b. 由题意，得·|b|·=6， ∴b2=16，∴b=±4. 故直线l的方程为y=-x±4. 8.(5分)直线l的斜率k为方程x2-2x+1=0的根，且在y轴上的截距为5，则直线l的方程为　　　　.  答案　y=x+5 解析　由题意，方程x2-2x+1=0的根为1， 所以k=1，又在y轴上的截距为5， 则直线l的方程为y=x+5. 9.(10分)求满足下列条件的m的值. (1)直线l1：y=-x+1与直线l2：y=(m2-2)x+2m平行；(5分) (2)直线l1：y=-2x+3与直线l2：y=(2m-1)x-5垂直.(5分) 解　(1)∵l1∥l2， ∴两直线的斜率相等. ∴m2-2=-1且2m≠1， ∴m=±1. (2)∵l1⊥l2，∴2m-1=， ∴m=. 10.(10分)直线l过点(2，2)，且与x轴和直线y=x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程. 解　当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=2， 经检验符合题目的要求. 当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为y-2=k(x-2)， 令y=0，得x=， 由三角形的面积为2，得××2=2. 解得k=. 可得直线l的方程为y-2=(x-2). 综上可知，直线l的方程为x=2或y=x+1. 11.(多选)同一坐标系中，直线l1：y=ax+b与l2：y=bx-a大致位置正确的是(　　) 答案　BC 解析　因为l1：y=ax+b，l2：y=bx-a， 对于A，由图可得直线l1的斜率a<0，在y轴上的截距b<0， 而l2的斜率b>0，矛盾，故A错误； 对于B，由图可得直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距b<0， 而l2的斜率b<0，在y轴上的截距-a<0，即a>0，符合题意，故B正确； 对于C，由图可得直线l1的斜率a<0，在y轴上的截距b>0， 而l2的斜率b>0，在y轴上的截距-a>0，即a<0，符合题意，故C正确； 对于D，由图可得直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距b>0， 而l2的斜率b<0，矛盾，故D错误. 12.已知直线l：y=xsin θ+cos θ的图象如图所示，则角θ是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案　D 解析　结合图象易知，sin θ<0，cos θ>0， 则角θ是第四象限角. 13.(5分)在y轴上的截距为-6，且与y轴相交成60°角的直线方程为　　　　　　　　.  答案　y=±x-6 解析　由题意知，直线与y轴相交成60°角， 则直线的倾斜角为30°或150°， 可得直线斜率为tan 30°=或tan 150°=-， 即k=±， 所以所求直线方程为y=±x-6. 14.(5分)已知直线y=x-1的倾斜角为α，另一直线l的倾斜角β=2α，且过点(2，-1)，则直线l的方程为　　　　　　　　　　　　.  答案　y=x-2-1 解析　因为已知直线的斜率为， 即tan α=，所以α=30°， 所以直线l的斜率k=tan β=tan 2α=tan 60°=， 又l过点(2，-1)， 所以l的方程为y-(-1)=(x-2)， 即y=x-2-1. 15.(5分)数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心，重心，垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点B(-1，0)，C(0，3)，AB=AC，则△ABC的欧拉线的斜截式方程为　　　　　.  答案　y=-x+ 解析　因为AB=AC，所以△ABC外心，重心，垂心都位于线段BC的垂直平分线上， 设线段BC的垂直平分线的斜率为k， 则k·kBC=-1， 因为kBC==3，所以k=-， 又因为BC的中点坐标为， 所以△ABC的欧拉线方程为y-=-， 化成斜截式为y=-x+. 16.(13分)已知直线l：y=kx+2k+1. (1)求证：直线l恒过一个定点；(4分) (2)当-3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围.(9分) (1)证明　由y=kx+2k+1，得y-1=k(x+2). 由直线方程的点斜式可知，直线l恒过定点(-2，1). (2)解　设函数f(x)=kx+2k+1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若要使当-3<x<3时， 直线上的点都在x轴上方， 需满足即 解得-≤k≤1.所以实数k的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $