专题2.1 直线的倾斜角与斜率（高效培优讲义）数学人教A版高二选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学解析几何基础，系统梳理直线的倾斜角（定义、[0,π)取值范围）、斜率（定义、与倾斜角的符号及变化关系）、两点斜率公式及两直线平行垂直条件，构建从几何直观到代数运算的学习支架，为后续直线方程学习奠定基础。 资料以“知识点+题型”分层设计，即学即练即时巩固，典例变式深化理解。通过倾斜角与斜率的数形转化培养直观想象（数学眼光），公式推导过程提升数学运算与逻辑推理（数学思维），课中助力教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化数形结合解题意识。

专题2.1 直线的倾斜角与斜率 教学目标 1. 理解倾斜角的定义与取值范围，掌握斜率概念，理清倾斜角与斜率的对应关系，熟练运用两点斜率公式进行计算 。 2. 经历几何问题代数化的推导过程，提升直观想象、数学运算素养，体会解析几何坐标法的思想。 3. 能够利用倾斜角、斜率分析直线倾斜程度，为后续学习直线方程打好基础，增强数形结合解题意识 。 教学重难点 重点 1. 直线倾斜角的概念以及倾斜角的取值范围 [0,π)。 2. 斜率的定义，倾斜角与斜率之间的变化、符号对应关系。 3. 过两点的直线斜率公式，会利用两点坐标求解直线斜率。 难点 1. 倾斜角为900时斜率不存在的理解，区分倾斜角变化与斜率增减的规律。 2. 斜率公式的推导，注意公式使用条件，避免横坐标相等时的计算错误。 3. 根据斜率反向求解倾斜角范围，结合正切函数性质进行分类讨论。 知识点01 直线的倾斜角 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角． 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 【即学即练】 1．若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合倾斜角与斜率的关系，分斜率不存在与斜率存在计算即可得. 【详解】当时，直线的斜率不存在，两点横坐标相等，即； 当时，直线的斜率存在， 则或，解得或； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 2．若不同的两点与点关于直线对称，则的倾斜角为______． 【答案】 【详解】设直线的斜率为，倾斜角为，直线的斜率为， 因为，由题意知． 所以，即． 故答案为：. 3．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由题意，直线l的斜率为， 结合斜率与倾斜角的关系，得直线l的倾斜角为． 故选：C． 知识点02 直线的斜率 1．定义： 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． （1）当直线与x轴平行或重合时，，；（2）直线与x轴垂直时，，k不存在．由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在． 2．直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 【即学即练】 1．若经过两点和的直线的倾斜角为，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用倾斜角与斜率间的关系及过两点的斜率公式，即可求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 又因为直线经过两点和，因此，解得， 故选：B． 2．（多选）已知为等边三角形，直线，的斜率分别为，，则（   ） A．直线的斜率为 B．边上的高所在直线的斜率为 C．边上的高所在直线的倾斜角为 D．边上的高所在直线的倾斜角为 【答案】ABC 【分析】将三角形的顶点放到坐标原点，画出图象，结合等边三角形的性质及直线的斜率、倾斜角的定义判断即可. 【详解】依题意，不妨将三角形的顶点放到坐标原点，则在轴上（如下图所示）， 则，所以直线的斜率为，故A正确； 因为边上的高也为的平分线，所以边上的高所在直线的斜率为，故B正确； 边上的高所在直线的倾斜角为，故C正确； 边上的高所在直线的倾斜角为，故D错误. 故选：ABC 3．（多选）若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据斜率与倾斜角关系及正切函数性质依次判断各项的正误. 【详解】A：由表明斜率存在，则， 由正切函数在上，倾斜角和斜率一一对应，故，对； B：若，时，相应的倾斜角，，不满足，错； C：由正切函数的图象知： 当和时，； 当，时，； 当或时，或不存在，错； D：因为，结合正切函数的图象知，， 所以，对. 故选：AD 知识点03 斜率公式 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式． 1．对于上面的斜率公式要注意下面五点： （1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直； （2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； （3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； （4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合； （5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2．斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： （1）由、点的坐标求的值；（2）已知及中的三个量可求第四个量； （3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求；（4）证明三点共线． 【即学即练】 1．（多选）下列三点在同一条直线上的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BCD 【分析】根据各项的坐标，应用两点斜率公式判断点是否共线即可. 【详解】A：，故三点不共线，错； B：，故三点共线，对； C：三点的横坐标都相等，斜率不存在，故三点共线，对； D：三点的纵坐标都相等，斜率为0，故三点共线，对. 故选：BCD 2．已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点求解斜率，即可根据二倍角公式求解. 【详解】由得，设的倾斜角为， 所以， 故， 故直线的斜率为， 故选：A 3．若三点，，共线，则________. 【答案】 【分析】由三点共线可得其中任意两点的直线斜率相等，列出方程解之即得. 【详解】由题意，直线的斜率为，直线的斜率为：， 因三点共线，故，即，解得：. 故答案为：. 知识点04 两直线平行与垂直的条件 1.设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即． 因此，若，则．反之，若，则． 2．公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； 3．当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直． 【即学即练】 1．已知直线l经过两点，，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线与轴平行？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直线与轴平行，则直线的斜率，据此可以求的值； （2）直线与轴平行，则直线的斜率不存在，据此可以得出的值. 【详解】（1）若直线与轴平行，则直线的斜率， 所以. （2）若直线与轴平行，则直线的斜率不存在， 所以. 2．设a，b，c分别是中角A，B，C的对边，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．无法确定 【答案】C 【分析】由正弦定理结合两直线方程系数之间的关系进行判断. 【详解】由正弦定理，得， 又两条直线的方程分别为，， 因为两直线的系数满足，所以两直线垂直． 故选：C. 3．设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【分析】利用两者之间推出的关系可得条件关系. 【详解】若，则直线，直线，此时平行， 若平行，则即， 当时，平行， 当时，直线，直线，此时也平行， 故平行时推不出，故“”是“平行”的充分不必要条件， 故选：A. 题型01 直线的倾斜角与斜率定义 （1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角． （2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度． （3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． （4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 【典例1】直线过点和点． (1)若直线的斜率是，求； (2)求直线的倾斜角的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据直线斜率公式进行求解即可； （2）根据直线斜率与直线倾斜角的关系，分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由直线的斜率，可得，即． （2）当时，直线的倾斜角； 当时，直线的斜率， 当时，； 当时，， 又直线的倾斜角为，则有或， 所以直线的倾斜角的取值范围是或． 故直线的倾斜角的最小值为． 【变式1】直线l 经过点，倾斜角为150°，若将直线l绕点逆时针旋转60°后，得到直线，则直线的斜率为 ________  . 【答案】/ 【分析】求出旋转后的倾斜角再求斜率即可. 【详解】因为直线l的倾斜角为150°，所以绕点逆时针旋转60°后，得到直线的倾斜角，斜率． 故答案为：． 【变式2】已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出对应图象，利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界情况即可求解. 【详解】由于点满足关系式，且， 可知在线段上移动，且 设，则， 因为点在线段上，所以的取值范围是， 故选：A.    题型02 斜率与倾斜角的变化关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 【典例1】经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据直线与线段无交点，应用数形结合求倾斜角的范围. 【详解】如图所示，直线与线段没有公共点，若为直线的倾斜角，    直线可从直线逆时针旋转到直线的位置，注意包含直线倾斜角为的情况， ，， 直线的区域包含倾斜角为的情况， 斜率或，从而或， 又，结合正切曲线可得． 故答案为： 【变式1】下列叙述正确的是（    ） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 D．若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为 【答案】C 【分析】根据倾斜角与斜率的关系，数形结合依次判断各项的正误. 【详解】A：任意一条直线都存在倾斜角，但倾斜角为的直线不存在斜率，错； B：由于直线倾斜角的取值范围是，因此不在此范围内时不是直线的倾斜角， 如当时，直线斜率，但直线倾斜角为，错； C：与轴垂直的直线的倾斜角是，与轴垂直的直线的倾斜角是，对； D：如图，当向上方向的部分在轴左侧时，倾斜角为； 当向上方向的部分在轴右侧时，倾斜角为，错． 故选：C 【变式2】已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用斜率的两点公式及已知得，结合正切函数的图象及倾斜角的范围确定直线的倾斜角的取值范围. 【详解】若直线的倾斜角为，则且，如下图示，    由图知，直线的倾斜角的取值范围为. 故答案为： 题型03 已知两点求斜率、已知斜率求参数 由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A，B，C三点共线A，B，C中任意两点的斜率相等（如）． 斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因 【典例1】已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； (3)设分别为的中点，求直线的斜率． 【答案】(1)； (2)等腰直角三角形； (3). 【分析】（1）应用中点坐标公式及斜率的两点式求斜率； （2）根据已知求得，，，则有、，即可得三角形形状； （3）由题设有，结合（2）可得直线的斜率. 【详解】（1）因为为的中点，结合已知坐标有，则； （2）由，，， 由，，知是直角三角形． 又，结合已知，则是的垂直平分线， 所以是等腰直角三角形． （3）由于分别为的中点，所以是的中位线，则， 所以，故直线的斜率为． 【变式1】（多选）已知经过，两点的直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】应用两点式求斜率，结合方向向量与斜率关系列方程求斜率，进而确定倾斜角的大小. 【详解】由题意，，解得，则， 设倾斜角为，则，解得或. 故选：BC 【变式2】设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为______. 【答案】或 【分析】由题设，应用斜率的两点式列方程求m值，注意验证结果. 【详解】由，得，即. 所以，得，即. 或，经验证均符合题意，故的值是或. 故答案为：或. 题型04 直线与线段相交关系求斜率范围 直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑． 一般地，若已知，，，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 【典例1】某县相邻两镇在平面直角坐标系下的坐标分别为，，计划经过交通枢纽修建一条公路（看成一条直线，的斜率为）.若两镇位于公路的两侧，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两镇位于公路的两侧等价于它们的坐标代入后异号，然后解不等式即可. 【详解】由已知得的方程为，而点在的侧取决于的符号. 所以条件等价于，即，此即或. 故选：B. 【变式1】已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)，，，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. (2) 【分析】（1）利用斜率公式可得出直线、、的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系可得出这三条直线的倾斜角； （2）数形结合可得出直线斜率的取值范围，再利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【详解】（1）由斜率公式，得，，， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是， 所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图，当直线绕点由逆时针转到时， 直线与线段恒有交点，即在线段上，此时由增大到， 所以的取值范围为， 即直线的倾斜角的取值范围为.    【变式2】已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用斜率公式求出，再由倾斜角斜率的取值图象数形结合求得即可. 【详解】 由图象结合题意可知：， 观察到直线过点与线段有公共点时倾斜角为钝角时逐渐增大， 斜率大于或等于直线的斜率； 为锐角时倾斜角逐渐减小，斜率小于或等于直线的斜率； 所以直线的斜率的取值范围是． 题题型06 直线平行 判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条直线均不与x轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x轴垂直时）． 判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合． 【典例1】根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【答案】(1) (2)或与重合 【分析】（1）由，且A，B，C，D，四点不共线，可判断； （2）由，可判断. 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 因为，又， 所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线， 所以． （2）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 所以，所以或与重合． 【变式1】已知中，，E，F分别为的中点，求直线的斜率． 【答案】 【分析】利用斜率坐标公式及三角形中位线性质求解即得. 【详解】由，得直线的斜率， 在中，由E，F分别为的中点，得， 所以直线的斜率. 【变式2】若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是______． 【答案】平行或重合 【分析】求得直线与的斜率，进而可得结论. 【详解】直线的倾斜角为135°，故斜率． 由经过点，，得， 所以，所以直线与平行或重合． 故答案为：平行或重合． 题型07 直线垂直 处理两直线垂直问题，优先运用斜率关系判断，两条直线斜率都存在时，垂直等价于斜率之积为‑1。务必留意特殊情况，一条直线斜率为0，另一条斜率不存在，两直线同样垂直。做题先判断直线斜率是否存在，不要直接套用乘积公式，防止漏解。已知垂直求参数，既可以用斜率运算，也可选用一般式系数关系求解，计算后代入检验结果，结合倾斜角辅助验证 【典例1】（多选）已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】BD 【分析】分为和，两种情形，根据两直线垂直和斜率的关系可得结果. 【详解】当时，由知，.故B可能正确； 当时，的斜率不存在，故D可能成立. 故选：BD 【变式1】两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．斜交 C．平行 D．重合 【答案】A 【分析】利用根与系数的关系得，得到答案. 【详解】设两直线的斜率分别为，是方程的两根， ，利用根与系数的关系得：，故两直线的位置关系是垂直． 故选：. 【变式2】已知四边形的顶点. (1)求斜率与斜率； (2)求证：四边形为矩形. 【答案】(1) (2) 因为，所以. 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形， 又因为，所以， 所以四边形为矩形. 【分析】（1）利用斜率公式求解即可； （2）利用直线平行与垂直的性质依次证得，，，从而得证. 【详解】（1）因为， 所以，即. （2）略 题型07 直线平行、垂直在几何问题的应用 解决几何中直线平行、垂直问题，可转化为斜率关系处理，两直线斜率均存在时，平行斜率相等，垂直斜率乘积为‑1。要重视斜率不存在、斜率为0的特殊直线，避免漏解。求解三角形、四边形、位置证明类题目，先求出各边斜率，再判定平行垂直，也可借助直线一般式系数快速判断。得到结果务必回代检验，结合图形分析，不能只依靠代数计算，兼顾几何直观，防止出现重合误判。 【典例1】若直线，且直线的倾斜角为，则直线的斜率为______． 【答案】 【分析】根据倾斜角和斜率的关系求得正确答案. 【详解】由题得直线与的倾斜角相等， 直线的倾斜角为，则直线的斜率为． 故答案为： 【变式1】已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到三个极端位置的斜率值，并旋转相关直线得到斜率范围. 【详解】当三角形为直角三角形时，或， 此时的斜率或0. 当从顺时针旋转到轴之间时，三角形为钝角三角形，此时； 当从逆时针旋转到与直线平行之间时，三角形为钝角三角形，此时， 综上，， 故选：C. 故选：C. 【变式2】已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点C的坐标，再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标. 【详解】设C点坐标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则，， ∴，则， ∴点C的坐标为. 故选：D. 1．（多选）对于直线，下列说法中正确的是（    ） A．的倾斜角不可能为 B．恒过定点 C．的一个法向量为时， D．时，不经过第二象限 【答案】ABD 【分析】由直线方程求得直线的斜率，斜率公式，恒过顶点进行判断各个选项． 【详解】对于A，直线的方程为，其斜率为，故直线的倾斜角不可能为，A正确； 对于B，直线整理为，则直线恒过定点．B正确； 对于C，若的一个法向量为时，则的一个方向向量可取为， 故直线的斜率，因此，则．C错误； 对于D，由于，故直线的斜率，又恒过定点，所以不经过第二象限．D正确. 故选：ABD. 2．已知平面直角坐标系内两点，． (1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合两点求斜率，解不等式即可得出答案； （2）根据方向向量得，解方程即可得出答案. 【详解】（1）设直线的倾斜角为，因为倾斜角为锐角， 所以直线的斜率， 又， 即，解得， 即的取值范围为． （2）直线的一个方向向量为， 所以， 解得． 3．已知直线经过两点，直线的倾斜角为，若与平行，则（　　） A． B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】根据A，B两点坐标得出的斜率，根据直线的倾斜角为得出的斜率，由与平行得出，可解出. 【详解】直线的斜率， 直线的斜率． 与平行， ，即， 解得． 故选：D. 4．已知直线过点，且倾斜角为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据斜率等于倾斜角的正切值建立等式求解即可． 【详解】， 解得， 故选：C． 5．在轴与轴上截距分别为的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得出直线经过的点，利用直线斜率公式求得直线斜率，继而得到直线的倾斜角. 【详解】依题意，直线经过点， 则直线的斜率为, 故直线的倾斜角为. 故选：D. 6．已知直线，若，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，，，直线重合，不满足要求， 当时，，，直线平行，满足要求， 故选：B. 7．已知直线：，直线：. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合； （2）根据两条直线垂直公式计算即可求参. 【详解】（1）因为，所以， 整理得 解得或. 当时，重合； 当时，，符合题意. 故. （2）因为，所以 解得或. 8．已知直线过点，，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的斜率，由斜率与倾斜角关系即可求解. 【详解】由题可得：，所以直线的倾斜角为：； 故选：C 9．若直线和直线平行，则m的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D． 【答案】A 【分析】根据直线平行满足的系数关系即可求解. 【详解】由于和直线平行， 所以，解得， 故选：A 10．已知直线的倾斜角的取值范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得出与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补，即可得出答案. 【详解】显然当时，直线的倾斜角为，不适合题意， 则，则直线的斜率为，直线的斜率为， 所以与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补， 得的倾斜角的取值范围为， 故选：B. 1．经过，两点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出过两点的直线的斜率，结合倾斜角和斜率的关系，即可求得答案. 【详解】由题意得经过，两点的直线的斜率为， 而直线倾斜角范围为， 故经过，两点的直线的倾斜角为， 故选：C 2．已知点，，直线与线段有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的定点，再求出，数形结合，得出结果. 【详解】如图 由题意知直线过定点， 易求的斜率， 的斜率， 直线的斜率， 所以或， 即或 故选：C. 3．已知直线与直线. (1)当为何值时，？ (2)当为何值时，？ 【答案】(1) (2) 【分析】根据两直线平行和垂直时，斜率与截距的关系列式即可得解. 【详解】（1）设直线的斜率分别为， 则.当时，有，解得. （2）当时，，即， 所以，所以. 4．（1）如果直线与直线平行，那么______ （2）已知直线与垂直，则的值是______． 【答案】 或1 1或4 【分析】（1）根据两直线平行计算即可； （2）根据两直线垂直计算即可. 【详解】当时，不符合题意；当时，不符合题意； 当且时，可化为可化为， 由题意知且，解得或． 由，得，即， 解得或． 故答案为：或1；1或4 5．设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线位置关系与斜率的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为若平面内两条不重合的直线的斜率相等，则两直线平行，所以甲是乙的充分条件； 若两直线平行，则两直线的斜率可能都不存在，即斜率可能不相等，则甲不是乙的必要条件， 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选：A. 6．过，两点的直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用斜率的定义与公式得到的范围，进而得解. 【详解】设该直线的倾斜角为，则， 因为，， 所以， 因为，所以，则， 所以. 故选：C. 7．直线过点，，则直线的倾斜角为______ 【答案】/ 【分析】利用两点间的斜率公式应用，斜率与倾斜角的关系，即可求解. 【详解】由斜率公式,设倾斜角为 由. 故答案为：. 8．已知直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合正切图像直接求解即可. 【详解】因为直线的斜率，所以， 又，则，故直线的倾斜角的取值范围是. 故选：D. 9．已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】四边形是平行四边形，证明如下： 由题得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形． . 【分析】根据直线的斜率和图象进行判断. 【详解】略 10．已知两点，直线过点且交线段于三等分点（靠近），若直线的斜率的绝对值不大于2，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据已知确定三等分点坐标，利用两点斜率公式列不等式求范围即可. 【详解】依题意，上靠近的三等分点的坐标为，    直线的斜率存在，所以直线的斜率为， 由题可得，解得，即． 故答案为： 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 直线的倾斜角与斜率 教学目标 1. 理解倾斜角的定义与取值范围，掌握斜率概念，理清倾斜角与斜率的对应关系，熟练运用两点斜率公式进行计算 。 2. 经历几何问题代数化的推导过程，提升直观想象、数学运算素养，体会解析几何坐标法的思想。 3. 能够利用倾斜角、斜率分析直线倾斜程度，为后续学习直线方程打好基础，增强数形结合解题意识 。 教学重难点 重点 1. 直线倾斜角的概念以及倾斜角的取值范围 [0,π)。 2. 斜率的定义，倾斜角与斜率之间的变化、符号对应关系。 3. 过两点的直线斜率公式，会利用两点坐标求解直线斜率。 难点 1. 倾斜角为900时斜率不存在的理解，区分倾斜角变化与斜率增减的规律。 2. 斜率公式的推导，注意公式使用条件，避免横坐标相等时的计算错误。 3. 根据斜率反向求解倾斜角范围，结合正切函数性质进行分类讨论。 知识点01 直线的倾斜角 平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的__________记为，则叫做直线的倾斜角． 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是． 【即学即练】 1．若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若不同的两点与点关于直线对称，则的倾斜角为______． 3．已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 知识点02 直线的斜率 1．定义： 倾斜角不是的直线，它的倾斜角的__________叫做这条直线的斜率，常用表示，即． （1）当直线与x轴平行或重合时，，；（2）直线与x轴垂直时，，k不存在．由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k__________存在． 2．直线的倾斜角与斜率之间的关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率__________．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 【即学即练】 1．若经过两点和的直线的倾斜角为，则m的值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）已知为等边三角形，直线，的斜率分别为，，则（   ） A．直线的斜率为 B．边上的高所在直线的斜率为 C．边上的高所在直线的倾斜角为 D．边上的高所在直线的倾斜角为 3．（多选）若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 知识点03 斜率公式 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式__________． 1．对于上面的斜率公式要注意下面五点： （1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直； （2）与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母__________交换； （3）斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； （4）当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合； （5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 2．斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题： （1）由、点的坐标求的值；（2）已知及中的三个量可求第四个量； （3）已知及、的横坐标（或纵坐标）可求；（4）证明__________． 【即学即练】 1．（多选）下列三点在同一条直线上的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．若三点，，共线，则________. 知识点04 两直线平行与垂直的条件 1.设两条不重合的直线的斜率分别为．若，则与的倾斜角与相等．由，可得，即． 因此，若，则．反之，若，则． 2．公式成立的前提条件是两条直线的____________________； 3．当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直． 【即学即练】 1．已知直线l经过两点，，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线与轴平行？ 2．设a，b，c分别是中角A，B，C的对边，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．无法确定 3．设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 题型01 直线的倾斜角与斜率定义 （1）倾斜角的概念中含有三个条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角． （2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度． （3）平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． （4）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可． 【典例1】直线过点和点． (1)若直线的斜率是，求； (2)求直线的倾斜角的最小值． 【变式1】直线l 经过点，倾斜角为150°，若将直线l绕点逆时针旋转60°后，得到直线，则直线的斜率为 ________  . 【变式2】已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 题型02 斜率与倾斜角的变化关系 由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角（除外）为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然． 【典例1】经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是______． 【变式1】下列叙述正确的是（    ） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 D．若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为 【变式2】已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为______． 题型03 已知两点求斜率、已知斜率求参数 由于直线上任意两点的斜率都相等，因此A，B，C三点共线A，B，C中任意两点的斜率相等（如）． 斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因 【典例1】已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； (3)设分别为的中点，求直线的斜率． 【变式1】（多选）已知经过，两点的直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角可能为（   ） A． B． C． D． 【变式2】设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为______. 题型04 直线与线段相交关系求斜率范围 直线的倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而直线的斜率及斜率公式则从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，把二者紧密地结合在一起就是数形结合．利用它可以较为简便地解决一些综合问题，如过定点的直线与已知线段是否有公共点的问题，可先作出草图，再结合图形考虑． 一般地，若已知，，，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边． 【典例1】某县相邻两镇在平面直角坐标系下的坐标分别为，，计划经过交通枢纽修建一条公路（看成一条直线，的斜率为）.若两镇位于公路的两侧，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 【变式2】已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题题型06 直线平行 判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条直线均不与x轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x轴垂直时）． 判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合． 【典例1】根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【变式1】已知中，，E，F分别为的中点，求直线的斜率． 【变式2】若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是______． 题型07 直线垂直 处理两直线垂直问题，优先运用斜率关系判断，两条直线斜率都存在时，垂直等价于斜率之积为‑1。务必留意特殊情况，一条直线斜率为0，另一条斜率不存在，两直线同样垂直。做题先判断直线斜率是否存在，不要直接套用乘积公式，防止漏解。已知垂直求参数，既可以用斜率运算，也可选用一般式系数关系求解，计算后代入检验结果，结合倾斜角辅助验证 【典例1】（多选）已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为（   ） A． B． C． D．不存在 【变式1】两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．斜交 C．平行 D．重合 【变式2】已知四边形的顶点. (1)求斜率与斜率； (2)求证：四边形为矩形. 题型07 直线平行、垂直在几何问题的应用 解决几何中直线平行、垂直问题，可转化为斜率关系处理，两直线斜率均存在时，平行斜率相等，垂直斜率乘积为‑1。要重视斜率不存在、斜率为0的特殊直线，避免漏解。求解三角形、四边形、位置证明类题目，先求出各边斜率，再判定平行垂直，也可借助直线一般式系数快速判断。得到结果务必回代检验，结合图形分析，不能只依靠代数计算，兼顾几何直观，防止出现重合误判。 【典例1】若直线，且直线的倾斜角为，则直线的斜率为______． 【变式1】已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 1．（多选）对于直线，下列说法中正确的是（    ） A．的倾斜角不可能为 B．恒过定点 C．的一个法向量为时， D．时，不经过第二象限 2．已知平面直角坐标系内两点，． (1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求的值． 3．已知直线经过两点，直线的倾斜角为，若与平行，则（　　） A． B．2 C．3 D．6 4．已知直线过点，且倾斜角为，则（    ） A． B． C． D．2 5．在轴与轴上截距分别为的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 6．已知直线，若，则（    ） A．或 B． C．或 D． 7．已知直线：，直线：. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 8．已知直线过点，，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 9．若直线和直线平行，则m的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D． 10．已知直线的倾斜角的取值范围为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．经过，两点的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知点，，直线与线段有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线与直线. (1)当为何值时，？ (2)当为何值时，？ 4．（1）如果直线与直线平行，那么______ （2）已知直线与垂直，则的值是______． 5．设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 6．过，两点的直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．直线过点，，则直线的倾斜角为______ 8．已知直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 10．已知两点，直线过点且交线段于三等分点（靠近），若直线的斜率的绝对值不大于2，则实数的取值范围是______． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $