2.3 直线的交点坐标与距离公式 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“直线的交点坐标与距离公式”核心知识点，系统梳理两条直线交点坐标的求解（通过解二元一次方程组）、两点间距离公式、点到直线距离公式及两条平行直线间距离公式，构建从基础运算到综合应用的学习支架。 该资料以题型分类为特色，每个题型含解题知识、方法点拨与命题方向，典例及变式题设计层层递进，如“三条直线不能围成三角形”问题培养推理能力，动点距离最值题发展几何直观。课中助力教师高效教学，课后通过过关验收帮助学生查漏补缺，提升运算能力与应用意识。

2.3 直线的交点坐标与距离公式 内 容 导 航 题型1 两条直线的交点坐标 题型2 两点间的距离公式 题型3 点到直线的距离公式 题型4 两条平行直线间的距离 考 点 演 练 题型1 两条直线的交点坐标 解｜题｜知｜识 ﹣直线方程：在平面直角坐标系中，两条直线的方程通常为： l1：a1x+b1y+c1＝0 l2：a2x+b2y+c2＝0 ﹣交点的计算：两条直线的交点是同时满足这两个方程的点，可以通过解这个二元一次方程组来找到交点的坐标． 【解题方法点拨】 ﹣求交点： 1．代入消元法：用一个方程中的x或y表示代入另一个方程，解得x和y的值． 2．求解交点：解得x和y后，得到交点坐标． 【命题方向】 ﹣直线交点：考查求两条直线交点的坐标的能力，通常涉及解方程组或应用矩阵运算． 【典例1】已知三条直线l1：y＝x+1，l2：y＝﹣2x+4，l3：mx+y+1＝0不能围成三角形，则实数m的取值集合为（　　） A．{1，﹣2} B．{1，﹣2，3} C．{﹣1，2，﹣3} D．{﹣1，2} 【答案】C 【解答】解：联立，解得， ∴直线l1与l2的交点坐标为（1，2）， 若三条直线不能围成三角形，则l3∥l1或l2∥l3或l3经过直线l1与l2的交点， 即﹣m＝1或﹣m＝﹣2或m+2+1＝0，解得m＝﹣1或m＝2或m＝﹣3． 则实数m的取值集合为{﹣1，2，﹣3}． 故选：C． 【变式1】已知直线l：x﹣2y﹣8＝0和点A（﹣2，0），点B（2，4），点P是直线l上一动点，当|PA|+|PB|最小时，点P的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣5） B．（0，﹣4） C．（2，﹣3） D．（4，﹣2） 【答案】C 【解答】解：依题意，设A（﹣2，0）关于直线x﹣2y﹣8＝0的对称点A′（m，n）， 所以，解得，所以A′（2，﹣8）， 由直线的对称性知，|PA′|＝|PA|，则|PA|+|PB|＝|PA′|+|PB|≥|A′B|， 当且仅当P，A′，B三点共线时，等号成立，即|PA|+|PB|取到最小， 由A′（2，﹣8）及B（2，4）知直线A′B的方程为x＝2， 联立，解得，即P（2，﹣3）． 所以|PA|+|PB|最小时，点P的坐标是（2，﹣3）． 故选：C． 【变式2】直线1被两条直线4x+y+6＝0和3x﹣5y﹣6＝0截得的线段中点恰好是坐标原点，则这条直线的方程是（　　） A．6x+y＝0 B．6x﹣y＝0 C．x+6y＝0 D．x﹣6y＝0 【答案】C 【解答】解：设点P（a，b）是直线4x+y+6＝0上的点P，则点P关于原点的对称点Q（﹣a，﹣b）， 由题意，点Q（﹣a，﹣b），在直线3x﹣5y﹣6＝0上． 解，得，． 直线l经过原点O和点P，方程是x+6y＝0． 故选：C． 【变式3】若关于x，y的方程组无解，则实数a为（　　） A．﹣3 B．3 C．3或﹣3 D．1或﹣1 【答案】B 【解答】解：因为方程组无解，消去y得（a2﹣9）x﹣（a+3）＝0， 当a＝﹣3时，方程的解集为R，此时原方程组有无数多组解，不符合题意； 当a＝3时，方程无解，所以原方程组无解，符合题意； 故a＝3． 故选：B． 题型2 两点间的距离公式 解｜题｜知｜识 ﹣距离公式：两点（x1，y1）和（x2，y2）之间的距离由公式： 这是平面直角坐标系中常用的距离计算公式． 【解题方法点拨】 ﹣计算距离： 1．代入公式：将两点的坐标代入距离公式． 2．简化计算：计算平方差的和，开方得到距离． 【命题方向】 ﹣距离计算：常考查计算两点间的直线距离，尤其在几何题目中经常出现． 【典例1】在平面直角坐标系xOy中，记平面内一动点P（x0，y0）（x0≥0），若点P在直线x+y＝4上，则x0的最小值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解答】解：如图，过点O作点O关于直线x+y＝4的对称点C，则|PO|＝|PC|， 设C（x1，y1），则有， 解得x1＝y1＝4，所以C（4，4）， y轴及y轴的右侧的动点P为（x0，y0），则， 所以， 而x0＞0，y0＞0，所以点P到y轴的距离为x0， 所以可视为线段x+y＝4上的点P（x0，y0）到y轴的距离和到C（4，4）的距离之和， 过P作PD⊥y轴，显然有|PD|+|PC|≥|CD|， 当且仅当C，P，D三点共线时，和有最小值． 过点C作CH⊥y轴，则|CH|即为|CD|的最小值，此时P与H重合． 又|CH|＝4，所以的最小值为4． 故选：B． 【变式1】点A（﹣2，1）到直线l：mx﹣y﹣2m﹣2＝0（m为任意实数）的距离的最大值是（　　） A． B．4 C．5 D．25 【答案】C 【解答】解：直线l：mx﹣y﹣2m﹣2＝0（m为任意实数）可化为： m（x﹣2）﹣（y+2）＝0，由，所以直线过定点B（2，﹣2）， 设点A（﹣2，1）到直线l的距离为d，则d≤|AB|， |AB|5， 即所求距离的最大值为5． 故选：C． 【变式2】在平面直角坐标系中，记d为点P（3cosθ，2sinθ），Q（4+2t，3﹣t）间的距离，当θ，t变化时，d的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设消去t可得x+2y﹣10＝0， 所以动点Q的轨迹是直线x+2y﹣10＝0， 点P（3cosθ，2sinθ）到直线x+2y﹣10＝0的距离为， 所以． 故选：C． 【变式3】已知在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB＝4，点M在以C为圆心、2为半径的圆上，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图所示，设圆C与CA相交于点P，取CP的中点为E，连接ME，则， 又∠MCE＝∠ACM，∴△MCE∽△ACM，∴，∴MEMA， 则MBMA＝MB+ME≥BE，即B、M、E三点共线时MBMA最小， 又BE， 故选：B． 题型3 点到直线的距离公式 解｜题｜知｜识 ﹣点到直线距离：点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离为： 【解题方法点拨】 ﹣计算距离： 1．代入直线方程：将点的坐标代入直线方程． 2．计算绝对值：计算Ax0+By0+C的绝对值． 3．计算模：计算法向量的模． 4．求解距离：将绝对值与模相除，即得距离． 【命题方向】 ﹣距离计算：考查点到直线的距离计算，可能涉及多种坐标系变换或应用． 【典例1】已知A（3，4），B（6，3）两点到直线l：ax+y+1＝0的距离相等，则a的值为（　　） A．或1 B．或﹣1 C．或﹣1 D．或1 【答案】C 【解答】解：A（3，4）到直线l：ax+y+1＝0的距离为， B（6，3）到直线l：ax+y+1＝0的距离为， 由题意可得d1＝d2， ∴， ∴|3a+4+1|＝|6a+3+1|， ∴|3a+5|＝|6a+4|， ∴3a+5＝6a+4或3a+5＝﹣（6a+4）， ∴或a＝﹣1． 故选：C． 【变式1】若圆C：x2+（y﹣3）2＝16上有且仅有3个点到直线l：的距离为2，则实数m的值是（　　） A．m＝7或1 B．m＝﹣7或1 C．m＝﹣7或﹣1 D．m＝﹣1或7 【答案】D 【解答】解：圆C：x2+（y﹣3）2＝16的圆心C（0，3），半径r＝4， 由圆C上有且仅有3个点到直线的距离为2， 可得圆心C（0，3）到直线x+y﹣m＝0的距离为2， 则2，解得m＝﹣1或7． 故选：D． 【变式2】在平面直角坐标系xOy中，记y轴及y轴的右侧的动点P为（x0，y0），若点P在直线x+y＝4上，则x0的最小值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解答】解：如图，过点O作点O关于直线x+y＝4的对称点C，则|PO|＝|PC|， 设C（x1，y1），则有， 解得x1＝y1＝4，所以C（4，4）， y轴及y轴的右侧的动点P为（x0，y0），则， 所以， 而x0＞0，y0＞0，所以点P到y轴的距离为x0， 所以可视为线段x+y＝4上的点P（x0，y0）到y轴的距离和到C（4，4）的距离之和， 过P作PD⊥y轴，显然有|PD|+|PC|≥|CD|， 当且仅当C，P，D三点共线时，和有最小值． 过点C作CH⊥y轴，则|CH|即为|CD|的最小值，此时P与H重合． 又|CH|＝4，所以的最小值为4． 故选：B． 【变式3】点P（﹣2，﹣1）到直线l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0（λ∈R）的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（　　） A．；3x+2y﹣5＝0 B．；3x+2y﹣5＝0 C．；2x﹣3y+1＝0 D．；2x﹣3y+1＝0 【答案】A 【解答】解：直线l的方程可整理为：λ（3x+y﹣4）+x+y﹣2＝0， 令，解得， 所以直线l恒过点A（1，1）， 由题意得当PA垂直直线l时，点P到直线l的距离最大， ，， 所以直线l：，整理得3x+2y﹣5＝0． 故选：A． 题型4 两条平行直线间的距离 解｜题｜知｜识 ﹣平行直线方程：两条平行直线的方程为： 直线Ax+By+C1＝0与 直线Ax+By+C2＝0 它们之间的距离为： 【解题方法点拨】 ﹣计算距离： 1．选择一条直线：选择其中一条直线计算点到另一条直线的距离． 2．应用公式：用点到直线距离公式，其中点选择在第一条直线上的点． 【命题方向】 ﹣平行直线距离：常考查计算两条平行直线间的垂直距离，涉及相似方程和坐标变换． 【典例1】若两平行直线x+my+2＝0与2x﹣4y+n＝0（n＞0）之间的距离是，则m+n＝（　　） A．﹣2 B．﹣12 C．12 D．14 【答案】C 【解答】解：因为平行直线x+my+2＝0与2x﹣4y+n＝0（n＞0）之间的距离是， 所以，解得m＝﹣2， 即直线为：x﹣2y+2＝0，即2x﹣4y+4＝0， 故，解得n＝14（n＝﹣6舍）． 所以m+n＝12． 故选：C． 【变式1】P、Q分别为6x+8y﹣20＝0与6x+8y+5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为（　　） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【解答】解：因直线6x+8y﹣20＝0与直线6x+8y+5＝0互相平行，P、Q是两直线上的点， 故|PQ|的最小值为两直线之间的距离， 即． 故选：B． 【变式2】直线3x﹣4y＝1与直线6x﹣8y＝1间的距离是（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【解答】解：根据题意可知，直线3x﹣4y＝1的一般式为6x﹣8y﹣2＝0，直线6x﹣8y＝1的一般式为6x﹣8y﹣1＝0， 则两直线平行， 则所求距离为：． 故选：B． 【变式3】设直线l1：x﹣2y+3＝0与直线的方向向量共线，则l1与l2之间的距离为（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【解答】解：设直线l1：x﹣2y+3＝0与直线的方向向量共线， 则l1与l2的斜率相等，故， 解得m＝0或2，代回得到l2：x﹣2y﹣1＝0或， 故l1与l2之间的距离或． 故选：B． 过 关 验 收 1．已知三条直线为l1：x﹣2y+4a＝0；l2：x﹣y﹣6a＝0；l3：2x﹣y﹣4a＝0（a≠0），则下列结论中正确的一个是（　　） A．三条直线的倾斜角之和为90° B．三条直线在y轴上的截距b1，b2，b3满足b1+b3＝2b2 C．三条直线的倾斜角α1，α2，α3满足α1+α3＝2α2 D．三条直线在x轴上的截距之和为12|a| 【答案】C 【解答】解：设三条直线l1：x﹣2y+4a＝0；l2：x﹣y﹣6a＝0；l3：2x﹣y﹣4a＝0（a≠0）的倾斜角α1，α2，α3，且α1，α2，α3∈[0，π）， 则tanα1，tanα2＝1，tanα3＝2， 所以， 所以，且α1为锐角，所以三条直线的倾斜角之和大于90°，故A不正确； 对于直线l1：x﹣2y+4a＝0，令x＝0，得纵截距b1＝2a，同理b2＝﹣6a，b3＝﹣4a，所以b1+b3≠2b2，故B不正确； 由于，且α1，α3为锐角，所以，由，故α1+α3＝2α2，故C正确； 直线l1，l2，l3在x轴上的截距分别为﹣4a，6a，2a，截距之和为4a，故D不正确． 故选：C． 2．直线l1的方程为x+2y﹣4＝0，若l2在x轴上的截距为，且l1⊥l2，则下列说法正确的个数是（　　） ①直线l2关于点（0，0）对称的直线经过点； ②直线l1与l2的交点坐标为（2，1）； ③已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则l3的方程为2x+y﹣5＝0； ④已知动直线l3经过l1与l2的交点，当原点到l3的距离最大时，点（4，2）到l3的距离为． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解答】解：直线l1的方程为x+2y﹣4＝0，且l1⊥l2，则直线l2的斜率为2， 又l2在x轴上的截距为，即直线l2过（，0）， 可得直线l2的方程为y＝2（x），即y＝2x﹣3． 对于①，直线l2关于点（0，0）对称的直线方程为y＝2x+3，经过点，故①正确； 对于②，联立，解得，则直线l1与l2的交点坐标为（2，1），故②正确； 对于③，当直线过原点时，直线方程为x﹣2y＝0， 当直线不过原点时，设直线l3的方程为，代入（2，1），得，解得m， 则直线l3的方程为x﹣2y＝0或2x+y﹣5＝0，故③错误； 对于④，动直线l3经过l1与l2的交点（2，1），当原点到l3的距离最大时，直线l3的斜率为﹣2， 直线方程为y﹣1＝﹣2（x﹣2），即2x+y﹣5＝0，点（4，2）到l3的距离为，故④正确． 则说法正确的个数是3． 故选：B． 3．已知直线l1：x+（1+a）y＝2+a与l2：2ax+4y＝﹣16，则下列说法不正确的是（　　） A．当a＝1时，l1∥l2 B．当a＝﹣2时，l1与l2重合 C．当时，l1⊥l2 D．当a＝0时，则l1与l2交于点（6，﹣4） 【答案】B 【解答】解：当a＝1时，直线l1：x+2y＝3，l2：x+2y＝﹣8，l1∥l2，故A正确； 当a＝﹣2时，直线l：x﹣y＝0，l2；x﹣y＝4，l1与l2不重合，故B错误； 当时，直线，， 因为，所以l1⊥l2，故C正确； 当a＝0时，直线l1：x+y＝2，l2：y＝﹣4，联立，解得， 所以l1与l2交于点（6，﹣4），故D正确． 故选：B． （多选）4．直线l：y＝kx﹣7与不相交，则k的取值可能是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2014 D．﹣2028 【答案】BD 【解答】解；表示去掉点（﹣1，2021）的直线x﹣y+2022＝0， ∴直线l：y＝kx﹣7与不相交， ∴直线l：y＝kx﹣7与x﹣y+2022＝0平行或直线l：y＝kx﹣7过点（﹣1，2021）， 直线l：y＝kx﹣7与x﹣y+2022＝0平行时，k的取值为1； 直线l：y＝kx﹣7过点（﹣1，2021）时，k＝﹣2028． 综上所述，k＝1或﹣2028． 故选：BD． 5．若直线l1：x+2y﹣4＝0与直线l2：kx﹣y+2k+1＝0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是 　（，）　 ． 【答案】（，）． 【解答】解：直线l1：x+2y﹣4＝0与直线l2：kx﹣y+2k+1＝0的交点位于第一象限， 联立，解得， 由题意可得，解得k， 即实数k的取值范围是（，）． 故答案为：（，）． 6．经过点P（0，1）和两直线l1：x+2y﹣1＝0；l2：3x﹣2y﹣3＝0交点的直线方程为x+y﹣1＝0　 ． 【答案】x+y﹣1＝0． 【解答】解：根据，解得，即直线l1与l2的交点为Q（1，0）， 结合P（0，1），可得直线PQ：，化简得x+y﹣1＝0，即为所求的直线方程． 故答案为：x+y﹣1＝0． 7．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离．结合上述观点，可得的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：y， 则y可看作x轴上一点P（x，0）到点A（1，2）与点B（3，﹣4）的距离之和，即|PA|+PB|， 则可知当A，P，B三点共线时，|PA|+|PB|取得最小值， 即． 故选：A． （多选）8．已知O为坐标原点，点P在直线3x+y﹣6＝0上，若|OP|＝3，则点P的坐标可以是（　　） A．（3，3） B． C． D．（3，﹣3） 【答案】BD 【解答】解：由题意设P（x，6﹣3x）， 则， 解得或． 所以点P的坐标可以是（）或（3，﹣3）． 故选：BD． 9．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是直线12x﹣5y+b＝0（b∈R）上的两点，若|x1﹣x2|＝5，则|AB|＝　13　 ． 【答案】13． 【解答】解：因为A（x1，y1），B（x2，y2）在直线12x﹣5y+b＝0（b∈R）上， 化简为y，由|x1﹣x2|＝5，得|y1﹣y2|＝|（x1b）﹣（x2b）||x1﹣x2|＝12， |AB|13． 故答案为：13． 10．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是直线y＝2x+3上的两点，若|AB|＝5，则|y1﹣y2|＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：因为A（x1，y1），B（x2，y2）是直线y＝2x+3上的两点， 所以y1＝2x1+3，y2＝2x2+3， 若|AB|＝5，根据两点间的距离公式， 得 ， 解得|y1﹣y2|． 故答案为：． 11．定义A（x1，y1）和B（x2，y2）两点间的曼哈顿距离为d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．已知点M（1，2），P为抛物线y2＝4x上任意一点，Q为直线4x﹣3y+10＝0上任意一点． （1）当d（M，Q）＝2时，则点Q的坐标为　（﹣1，2）　 ； （2）d（P，Q）的最小值为　．　 ． 【答案】（1）（﹣1，2）； （2）． 【解答】解：（1）设Q（x，y），可得， 若x＞1，则，解得（不合题意，舍去）； 若﹣1≤x≤1，则，解得x＝﹣1； 若x＜﹣1，则，解得x＝﹣1（不合题意，舍去）． 综上所述，x，代入直线4x﹣3y+10＝0，解得y＝2，可得点Q的坐标为（﹣1，2）． （2）设，T（b，a）， 则， 因为直线4x﹣3y+10＝0与抛物线y2＝4x相离， 所以d（P，Q）＝|TP|+|TQ|≥|PQ|，当且仅当P、T、Q三点共线时，取等号， 此时，可得， 所以， 即P、Q的曼哈顿距离d（P，Q）的最小值等于． 故答案为：（1）（﹣1，2）；（2）． 12．已知实数x，y，则的最小值是 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设P（x，y）， O（0，0），A（0，1），C（1，0），B（1，1）， 则四边形OABC为正方形， 而即为|OP|+|PA|+|PB|+|PC|， 而|OP|+|PA|+|PB|+|PC|≥|OB|+|AC|2， 当且仅当P为正方形OABC的对角线的交点E时等号成立，此时P（，）， 故的最小值为2，此时x＝y． 故答案为：2． 13．已知△ABC的三个顶点分别为A（4，3），B（1，2），C（3，﹣4），则△ABC的面积是（　　） A．5 B．10 C． D．20 【答案】B 【解答】解：因为A（4，3），B（1，2），C（3，﹣4）， 所以，， 因为kAB×kBC＝﹣1，所以AB⊥BC，所以△ABC是直角三角形， 因为|AB|，|BC|2， 所以△ABC的面积． 故选：B． 14．已知定点P（﹣2，0）和直线l：（1+λ）x+（1﹣λ）y﹣（6+2λ）＝0（λ∈R），则点P到直线l的距离d的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意，直线l：（1+λ）x+（1﹣λ）y﹣（6+2λ）＝0， 可化为（x+y﹣6）+λ（x﹣y﹣2）＝0， 由，解得，可知直线l过定点Q（4，2）， 当PQ⊥l时，点P到直线l的距离d＝|PQ|； 当PQ与直线l不垂直时，点P到直线l的距离d＜|PQ|． 综上所述，点P到直线l的距离的最大值为． 故选：A． 15．已知A（1，0），B（4，﹣4），若A与B到直线l的距离都为2，则满足条件的直线l有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【解答】解：∵A（1，0），B（4，﹣4）， ∴|AB|5， 以A为圆心作一个半径为2的圆A，以B为圆心作一个半径为2的圆B， 两圆相离， ∴两圆的公切线共有4条， ∴若A与B到直线l的距离都为2，则满足条件的直线l有4条． 故选：D． 16．已知实数x1、x2、y1、y2满足，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2）， 因为，，， 所以A（x1，y1），B（x2，y2）在圆x2+y2＝1上，且， 因为0≤∠AOB≤π，则， 因为|OA|＝|OB|＝1，则△AOB是边长为1的等边三角形，而表示A、B到直线x+y﹣2＝0的距离之和， 又原点O到直线x+y﹣2＝0的距离为， 如图所示， AC⊥CD，BD⊥CD，E是AB的中点，作EF⊥CD于F，且OE⊥AB，所以|AC|+|BD|＝2|EF|， ， 故E在圆上， 所以， 故的最小值为， 又， 所以的最小值为． 故选：D． （多选）17．已知点P（x，y）是圆（x+2）2+y2＝1上任意一点．则下列结论正确的是（　　） A．P点到直线3x+4y+12＝0的距离的最大值为2 B．P点到直线3x+4y+12＝0的距离的最小值为 C．x﹣2y的最大值为，最小值为 D．的最大值为，最小值为 【答案】BCD 【解答】解：由题意，圆（x+2）2+y2＝1的圆心为（﹣2，0），半径为1． 对于A，圆心到直线3x+4y+12＝0的距离：， 所以P点到直线3x+4y+12＝0的距离的最大值为，故A错误； 对于B，P点到直线3x+4y+12＝0的距离的最小值为，故B正确； 对于C，设x﹣2y＝t，即x﹣2y﹣t＝0． 因为x﹣2y﹣t＝0与圆（x+2）2+y2＝1有公共点， 所以， 所以x﹣2y的最大值为，最小值为，故C正确； 对于D，表示圆上点P与点A（1，2）连线的斜率k， 设，即kx﹣y﹣k+2＝0． 因为直线kx﹣y﹣k+2＝0与圆（x+2）2+y2＝1有交点， 所以， 所以的最大值为，最小值为，故D正确． 故选：BCD． 18．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对角线BD所在直线的方程为4x+2y+1＝0，且正方形ABCD的外接圆的方程为x2+y2+2x﹣3y+2＝0． （1）求正方形ABCD的面积； （2）求顶点A的坐标． 【答案】（1）； （2）（﹣2，1）或（0，2）． 【解答】解：（1）圆的一般方程为x2+y2+2x﹣3y+2＝0， 化为圆的标准方程为， 所以圆心坐标为，半径， 则， 故正方形ABCD的面积为； （2）因为BD⊥AC，所以， 则对角线AC所在的直线方程为，即x﹣2y+4＝0， 由， 整理得y2﹣3y+2＝0，解得y1＝1，y2＝2， 所以或， 故顶点A的坐标为（﹣2，1）或（0，2）． 19．两条平行直线3x﹣y+3＝0和ax﹣y+4＝0间的距离为d，则a，d分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意可得3×（﹣1）＝﹣1×a⇒a＝3， 再由平行线的距离公式得． 故选：B． 20．已知实数a，b，c，d满足4a+3b﹣3＝0，8c+6d+5＝0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题可知，4a+3b﹣3＝0与8c+6d+5＝0（即）可看作两条平行直线， （a﹣c）2+（b﹣d）2的几何意义是这两条平行直线上点之间距离的平方，其最小值为两直线间距离的平方． 根据两平行线间距离公式，其中A＝4，B＝3，C1＝﹣3，， 则距离，故距离的平方为． 故选：D． 21．两条平行直线x+2y+3＝0与2x+4y﹣5＝0之间的距离为　　 ． 【答案】． 【解答】解：直线x+2y+3＝0，即2x+4y+6＝0， 故所求距离为． 故答案为：． 22．“直线系”是具有某一共同性质的直线的集合，通常用含参数的直线方程来表示，当参数取不同值时，方程表示该直线系中的某一条直线．已知l1，l2是直线系A：xsinα﹣ycosα+2﹣sinα＝0（α∈[0，2π））中的两条直线，若l1∥l2，则l1，l2之间的距离为　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：l1，l2是直线系A：xsinα﹣ycosα+2﹣sinα＝0（α∈[0，2π））中的两条直线， 设直线l1，l2方程分别为xsinα﹣ycosα+2﹣sinα＝0（α∈[0，2π）），xsinβ﹣ycosβ+2﹣sinβ＝0（β∈[0，2π））， 不妨设α＞β， ∵l1∥l2，sinα（﹣cosβ）＝﹣cosαsinβ，sin（α﹣β）＝0，∴α﹣β＝0（舍去）或α﹣β＝π， α﹣β＝π时，sinα＝﹣sinβ， 若α＝π，则β＝0，直线l1，l2方程分别为y＝﹣2和y＝2，两直线间距离为4， 若α≠π，则sinα≠0，sinα（2﹣sinβ）≠sinβ（2﹣sinα），满足两直线l1，l2平行， ∴sinα＝﹣sinβ，cosα＝﹣cosβ， 因此直线l2的方程为xsinα﹣ycosα﹣2﹣sinα＝0， ∴l1，l2之间的距离为， 综上，l1，l2的距离为4． 故答案为：4． 23．已知两条平行直线l1：（λ+2）x﹣（2λ﹣1）y+6λ﹣8＝0，l2：（λ+2）x﹣（2λ﹣1）y﹣4λ﹣13＝0，当l1，l2之间的距离最大时，λ＝　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：直线l1的方程可化为λ（x﹣2y+6）+（2x+y﹣8）＝0， 可知直线l1经过直线x﹣2y+6＝0与直线2x+y﹣8＝0的交点A（2，4）， 同理可证出直线l2经过直线x﹣2y﹣4＝0与直线2x+y﹣13＝0的交点B（6，1）， 当直线l1、l2与直线AB垂直时，它们之间的距离等于|AB|， 当直线l1、l2与直线AB不垂直时，直线l1、l2之间的距离小于|AB|， 所以当l1、l2之间的距离最大时，l1⊥AB， 结合kAB，可得直线l1的斜率k，即，解得λ＝2． 故答案为：2． 24．已知直线l：2x﹣y﹣1＝0． （1）若直线l1过点M（3，﹣2），且l1⊥l，求直线l1的方程； （2）若直线l2∥l，且直线l2与直线l之间的距离为，求直线l2的方程． 【答案】（1）x+2y+1＝0； （2）2x﹣y﹣11＝0或2x﹣y+9＝0． 【解答】解：（1）已知直线l：2x﹣y﹣1＝0，即y＝2x﹣1， 则直线l的斜率为2， 因为l1⊥l，所以直线l1的斜率为， 又因为直线l1过点M（3，﹣2）， 所以直线l1的方程为， 即x+2y+1＝0； （2）因为直线l2∥l， 所以设直线l2的方程为2x﹣y+m＝0， 因为直线l2与直线l之间的距离为， 由平行线间的距离公式可得， 解得m＝9或m＝﹣11， 因此直线l2的方程为2x﹣y﹣11＝0或2x﹣y+9＝0． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 直线的交点坐标与距离公式 内 容 导 航 题型1 两条直线的交点坐标 题型2 两点间的距离公式 题型3 点到直线的距离公式 题型4 两条平行直线间的距离 考 点 演 练 题型1 两条直线的交点坐标 解｜题｜知｜识 ﹣直线方程：在平面直角坐标系中，两条直线的方程通常为： l1：a1x+b1y+c1＝0 l2：a2x+b2y+c2＝0 ﹣交点的计算：两条直线的交点是同时满足这两个方程的点，可以通过解这个二元一次方程组来找到交点的坐标． 【解题方法点拨】 ﹣求交点： 1．代入消元法：用一个方程中的x或y表示代入另一个方程，解得x和y的值． 2．求解交点：解得x和y后，得到交点坐标． 【命题方向】 ﹣直线交点：考查求两条直线交点的坐标的能力，通常涉及解方程组或应用矩阵运算． 【典例1】已知三条直线l1：y＝x+1，l2：y＝﹣2x+4，l3：mx+y+1＝0不能围成三角形，则实数m的取值集合为（　　） A．{1，﹣2} B．{1，﹣2，3} C．{﹣1，2，﹣3} D．{﹣1，2} 【变式1】已知直线l：x﹣2y﹣8＝0和点A（﹣2，0），点B（2，4），点P是直线l上一动点，当|PA|+|PB|最小时，点P的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣5） B．（0，﹣4） C．（2，﹣3） D．（4，﹣2） 【变式2】直线1被两条直线4x+y+6＝0和3x﹣5y﹣6＝0截得的线段中点恰好是坐标原点，则这条直线的方程是（　　） A．6x+y＝0 B．6x﹣y＝0 C．x+6y＝0 D．x﹣6y＝0 【变式3】若关于x，y的方程组无解，则实数a为（　　） A．﹣3 B．3 C．3或﹣3 D．1或﹣1 题型2 两点间的距离公式 解｜题｜知｜识 ﹣距离公式：两点（x1，y1）和（x2，y2）之间的距离由公式： 这是平面直角坐标系中常用的距离计算公式． 【解题方法点拨】 ﹣计算距离： 1．代入公式：将两点的坐标代入距离公式． 2．简化计算：计算平方差的和，开方得到距离． 【命题方向】 ﹣距离计算：常考查计算两点间的直线距离，尤其在几何题目中经常出现． 【典例1】在平面直角坐标系xOy中，记平面内一动点P（x0，y0）（x0≥0），若点P在直线x+y＝4上，则x0的最小值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】点A（﹣2，1）到直线l：mx﹣y﹣2m﹣2＝0（m为任意实数）的距离的最大值是（　　） A． B．4 C．5 D．25 【变式2】在平面直角坐标系中，记d为点P（3cosθ，2sinθ），Q（4+2t，3﹣t）间的距离，当θ，t变化时，d的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【变式3】已知在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB＝4，点M在以C为圆心、2为半径的圆上，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 题型3 点到直线的距离公式 解｜题｜知｜识 ﹣点到直线距离：点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离为： 【解题方法点拨】 ﹣计算距离： 1．代入直线方程：将点的坐标代入直线方程． 2．计算绝对值：计算Ax0+By0+C的绝对值． 3．计算模：计算法向量的模． 4．求解距离：将绝对值与模相除，即得距离． 【命题方向】 ﹣距离计算：考查点到直线的距离计算，可能涉及多种坐标系变换或应用． 【典例1】已知A（3，4），B（6，3）两点到直线l：ax+y+1＝0的距离相等，则a的值为（　　） A．或1 B．或﹣1 C．或﹣1 D．或1 【变式1】若圆C：x2+（y﹣3）2＝16上有且仅有3个点到直线l：的距离为2，则实数m的值是（　　） A．m＝7或1 B．m＝﹣7或1 C．m＝﹣7或﹣1 D．m＝﹣1或7 【变式2】在平面直角坐标系xOy中，记y轴及y轴的右侧的动点P为（x0，y0），若点P在直线x+y＝4上，则x0的最小值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3】点P（﹣2，﹣1）到直线l：（1+3λ）x+（1+λ）y﹣2﹣4λ＝0（λ∈R）的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（　　） A．；3x+2y﹣5＝0 B．；3x+2y﹣5＝0 C．；2x﹣3y+1＝0 D．；2x﹣3y+1＝0 题型4 两条平行直线间的距离 解｜题｜知｜识 ﹣平行直线方程：两条平行直线的方程为： 直线Ax+By+C1＝0与 直线Ax+By+C2＝0 它们之间的距离为： 【解题方法点拨】 ﹣计算距离： 1．选择一条直线：选择其中一条直线计算点到另一条直线的距离． 2．应用公式：用点到直线距离公式，其中点选择在第一条直线上的点． 【命题方向】 ﹣平行直线距离：常考查计算两条平行直线间的垂直距离，涉及相似方程和坐标变换． 【典例1】若两平行直线x+my+2＝0与2x﹣4y+n＝0（n＞0）之间的距离是，则m+n＝（　　） A．﹣2 B．﹣12 C．12 D．14 【变式1】P、Q分别为6x+8y﹣20＝0与6x+8y+5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为（　　） A． B． C．3 D．6 【变式2】直线3x﹣4y＝1与直线6x﹣8y＝1间的距离是（　　） A． B． C． D．1 【变式3】设直线l1：x﹣2y+3＝0与直线的方向向量共线，则l1与l2之间的距离为（　　） A． B．或 C．或 D． 过 关 验 收 1．已知三条直线为l1：x﹣2y+4a＝0；l2：x﹣y﹣6a＝0；l3：2x﹣y﹣4a＝0（a≠0），则下列结论中正确的一个是（　　） A．三条直线的倾斜角之和为90° B．三条直线在y轴上的截距b1，b2，b3满足b1+b3＝2b2 C．三条直线的倾斜角α1，α2，α3满足α1+α3＝2α2 D．三条直线在x轴上的截距之和为12|a| 2．直线l1的方程为x+2y﹣4＝0，若l2在x轴上的截距为，且l1⊥l2，则下列说法正确的个数是（　　） ①直线l2关于点（0，0）对称的直线经过点； ②直线l1与l2的交点坐标为（2，1）； ③已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，则l3的方程为2x+y﹣5＝0； ④已知动直线l3经过l1与l2的交点，当原点到l3的距离最大时，点（4，2）到l3的距离为． A．4 B．3 C．2 D．1 3．已知直线l1：x+（1+a）y＝2+a与l2：2ax+4y＝﹣16，则下列说法不正确的是（　　） A．当a＝1时，l1∥l2 B．当a＝﹣2时，l1与l2重合 C．当时，l1⊥l2 D．当a＝0时，则l1与l2交于点（6，﹣4） （多选）4．直线l：y＝kx﹣7与不相交，则k的取值可能是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2014 D．﹣2028 5．若直线l1：x+2y﹣4＝0与直线l2：kx﹣y+2k+1＝0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是 　 　 ． 6．经过点P（0，1）和两直线l1：x+2y﹣1＝0；l2：3x﹣2y﹣3＝0交点的直线方程为 　 ． 7．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离．结合上述观点，可得的最小值为（　　） A． B． C． D． （多选）8．已知O为坐标原点，点P在直线3x+y﹣6＝0上，若|OP|＝3，则点P的坐标可以是（　　） A．（3，3） B． C． D．（3，﹣3） 9．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是直线12x﹣5y+b＝0（b∈R）上的两点，若|x1﹣x2|＝5，则|AB|＝ 　 ． 10．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是直线y＝2x+3上的两点，若|AB|＝5，则|y1﹣y2|＝　 　 ． 11．定义A（x1，y1）和B（x2，y2）两点间的曼哈顿距离为d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．已知点M（1，2），P为抛物线y2＝4x上任意一点，Q为直线4x﹣3y+10＝0上任意一点． （1）当d（M，Q）＝2时，则点Q的坐标为　 　 ； （2）d（P，Q）的最小值为 　 ． 12．已知实数x，y，则的最小值是 　 　 ． 13．已知△ABC的三个顶点分别为A（4，3），B（1，2），C（3，﹣4），则△ABC的面积是（　　） A．5 B．10 C． D．20 14．已知定点P（﹣2，0）和直线l：（1+λ）x+（1﹣λ）y﹣（6+2λ）＝0（λ∈R），则点P到直线l的距离d的最大值为（　　） A． B． C． D． 15．已知A（1，0），B（4，﹣4），若A与B到直线l的距离都为2，则满足条件的直线l有（　　） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 16．已知实数x1、x2、y1、y2满足，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． （多选）17．已知点P（x，y）是圆（x+2）2+y2＝1上任意一点．则下列结论正确的是（　　） A．P点到直线3x+4y+12＝0的距离的最大值为2 B．P点到直线3x+4y+12＝0的距离的最小值为 C．x﹣2y的最大值为，最小值为 D．的最大值为，最小值为 18．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的对角线BD所在直线的方程为4x+2y+1＝0，且正方形ABCD的外接圆的方程为x2+y2+2x﹣3y+2＝0． （1）求正方形ABCD的面积； （2）求顶点A的坐标． 19．两条平行直线3x﹣y+3＝0和ax﹣y+4＝0间的距离为d，则a，d分别为（　　） A． B． C． D． 20．已知实数a，b，c，d满足4a+3b﹣3＝0，8c+6d+5＝0，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（　　） A． B． C． D． 21．两条平行直线x+2y+3＝0与2x+4y﹣5＝0之间的距离为 ． 22．“直线系”是具有某一共同性质的直线的集合，通常用含参数的直线方程来表示，当参数取不同值时，方程表示该直线系中的某一条直线．已知l1，l2是直线系A：xsinα﹣ycosα+2﹣sinα＝0（α∈[0，2π））中的两条直线，若l1∥l2，则l1，l2之间的距离为　 　 ． 23．已知两条平行直线l1：（λ+2）x﹣（2λ﹣1）y+6λ﹣8＝0，l2：（λ+2）x﹣（2λ﹣1）y﹣4λ﹣13＝0，当l1，l2之间的距离最大时，λ＝　 　 ． 24．已知直线l：2x﹣y﹣1＝0． （1）若直线l1过点M（3，﹣2），且l1⊥l，求直线l1的方程； （2）若直线l2∥l，且直线l2与直线l之间的距离为，求直线l2的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $