2.3 直线的交点坐标与距离公式（讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦直线的交点坐标与距离公式核心知识点，先通过联立直线方程组求解交点并判断位置关系，再系统梳理两点间、点到直线及平行直线间的距离公式，构建从代数运算到几何度量的学习支架。 资料以课标要点和重难点为指引，知识点配“即学即练”即时巩固，题型分层设计含基础到综合应用，易错提醒与解题贴士培养数学思维，通过对称、最值等问题让学生用数学眼光观察几何关系，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

第二章 直线和圆的方程 2.3 直线的交点坐标与距离公式 课标要点 1.会联立直线方程组求交点，能依据方程组解的情况，判断两条直线相交、平行、重合的位置关系。 2.熟记两点间距离公式，掌握平行坐标轴时距离简化算法，能够准确计算平面上两点之间的距离。 3.理解点到直线距离公式，会代入一般式求解距离，掌握点到坐标轴、特殊直线的距离计算方法。 4.理解两平行直线距离含义，熟练运用距离公式，会处理垂直坐标轴的平行直线距离计算问题。 学习重难点 重点： 1.通过方程组解的个数判断两直线位置关系，熟练求解两条相交直线的交点坐标。 2.掌握两点间、点到直线的距离公式，能够直接套用公式完成基础距离计算。 3.掌握平行直线间距离公式，清楚公式使用前提，会处理特殊位置直线的距离。 难点： 1.平行直线距离公式使用容易忽略 x、y 系数要统一，容易直接代入不同系数造成计算错误。 2.含参数直线问题，结合距离、交点条件求值，容易忽略平行与重合的区分，出现增根。 知识点一 两条直线的交点坐标 已知两条直线相交，设交点为，点同时在两条直线上，因此交点坐标是两直线方程联立所得方程组的解，解方程组即可求得交点坐标。 方程组解的情况对应两条直线的位置关系： 方程组的解的组数 一组解 无数组解 无解 两条直线位置关系 相交 重合 平行 即学即练 1．直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立，解得，即l1与l2的交点坐标为． 2．若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】联立，可得，即交点为， 由题意. 故选：B 知识点二 两点间的距离公式 已知两点，，两点间距离公式： 特别地，原点到点的距离：。 补充： 1.距离只和坐标差值有关，与两点书写先后顺序无关。 2.简化计算： ①两点连线平行轴：； ②两点连线平行轴：。 即学即练 3．从点射出的光线经轴反射后到达点，则光线从到所经过的路程为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【详解】由光的反射原理可知，可作点关于轴的对称点，连接， 则，光线从到所经过的路程为. 故选：D. 4．已知的三个顶点，，，则的形状为______． 【答案】等腰直角 【分析】 【详解】方法一：如图， 因为，，，所以，且， 所以是等腰直角三角形． 解法二：因为，，所以， 所以． 又，， 所以，所以是等腰直角三角形． 解法三：，， 则，且， 所以且，所以是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角 知识点三 点到直线的距离公式 点到直线（不同时为0）的距离： 当或时，该公式依然成立。 特殊直线的距离： ①点到平行于轴直线的距离；点到轴距离。 ②点到平行于轴直线的距离；点到轴距离。 易错提醒 点到直线距离公式，直线必须整理为标准一般式。若直线是斜截式、点斜式，没有化为一般式就直接提取，容易出现符号错误。公式中分子的绝对值不可随意去掉，距离结果一定非负。 即学即练 5．点到直线的距离是________． 【答案】 【详解】点到直线的距离是. 6．已知点到直线的距离为1，则____________. 【答案】或 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以，解得或. 故答案为：或. 知识点四 两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离，是夹在两条平行直线之间公垂线段的长度。 求两条平行直线，间的距离： 特殊情况： ①两直线均垂直于轴：，，距离； ②两直线均垂直于轴：，，距离。 易错提醒 使用两平行线距离公式前，必须保证两条直线的系数完全一致。如果系数不相同，要先统一，再代入公式。很多同学直接拿不同系数的方程代入，直接造成计算错误。也可以在一条直线上任取一点，转化为点到直线的距离求解。 即学即练 7．直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】直线，直线，即， 故两直线平行，则根据平行直线的距离公式. 8．若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】∵直线与直线之间的距离为，   ，，或（负值舍去）． ． 题型01 判断两直线的位置关系 解题贴士 可以联立两条直线的方程，根据方程组解的个数判断位置：一组解为相交，无数组解为重合，无解为平行。也可以对比直线一般式的系数，利用系数比例关系快速判定。 注意区分平行和重合，含参数题目算出结果后要回代检验，避免把重合误判成平行，减少解题失误。 典｜例｜精｜析 例1．若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 【答案】B 【详解】易知当时，方程组有解，不满足题意； 当时，方程组消去y得，， 当时，方程无解，所以原方程组无解，符合题意； 当时，方程的解集为，此时原方程组有无数多组解，不符合题意，故. 故选：B. 变｜式｜巩｜固 变式1-1．（多选）已知集合，集合，且，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】AD 【详解】解：因为集合，集合，且， 所以直线与直线平行或交于点， 当两线平行时，； 当两线交于点时，，解得． 综上得a等于或2． 故选：AD． 变式1-2．若关于、的方程组无解，则实数________ 【答案】 【解析】先由方程无解判断平面内对应的两条直线平行，再利用平行关系列行列式计算参数即可. 【详解】由题意关于、的方程组无解，即直线和直线平行，故，所以， 此时直线即，确实与平行，故满足题意，所以实数. 故答案为：-2. 变式1-3．已知直线，，直线与、分别交于B、C两点，若点在线段BC上，且，则的方程为____________． 【答案】 【详解】由，且点在线段上，得．设，， 则， 即 解得 则． 因为，所以的方程为，即． 故答案为：. 题型02 两条直线的交点坐标问题 典｜例｜精｜析 例2．若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线的斜率为1，所以直线的斜率存在， 则其斜率为，由题意得，，解得， 由解得，所以这两条直线的交点坐标为. 变｜式｜巩｜固 变式2-1．直线：与直线：的交点坐标为__________. 【答案】 【详解】由题意可得：，解得， 所以交点坐标为， 故答案为： 变式2-2．已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】由，解得， 即两条直线的交点坐标为， 所以两条直线的交点所在的象限是第二象限， 故选：B 变式2-3．两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 【答案】且 【详解】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， ，不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 两直线与轴相交且能构成三角形， 直线不能经过原点，； 直线与轴不能平行，，即； 直线与直线不能平行，，即， 综上得满足的条件是：且. 题型03 利用直线交点坐标求解参数 典｜例｜精｜析 例3．已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 两直线的交点在第四象限，则有，解得或， 所以实数k的取值范围为. 故选：D. 变｜式｜巩｜固 变式3-1．若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的范围是______. 【答案】 【详解】设直线在轴的交点为，在轴的交点为， 则,，， ，，， 过点的直线与直线的交点位于第一象限， 直线斜率的取值范围是． 故答案为：． 变式3-2．已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为直线与直线垂直，则，解得， 又由题知在直线上，所以，解得， 所以垂足为，则点在上， 所以，解得. 变式3-3．已知三条直线与相交于一点，则___________. 【答案】 【详解】先由与相交于一点， 联立方程组， 代入消元可得：，则， 所以交点坐标为，又由题意可知直线也经过点， 所以代入可得. 故答案为： 题型04 直线交点系方程及其综合应用 解题贴士 设两相交直线：，，过交点的直线系方程为： 该方程表示过两直线交点的所有直线，但不包含直线。做题时把已知点坐标代入直线系，解出参数，回代整理得到直线方程。 做完题目一定要单独检验是否满足题干条件。如果题目所求直线恰好是，用直线系方程会漏掉这个解，容易产生漏解。 典｜例｜精｜析 例4．过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为_________ 【答案】 【详解】由，得，所以交点坐标为， 设与直线平行的直线方程为， 把点的坐标代入，得，解得， 则所求直线方程为. 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 变式4-1．过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______. 【答案】或 【详解】由，解得，则两直线交点. 由题意所求直线在两坐标轴上截距相等， ①当截距为0时，则过点的直线方程为，即； ②当截距不等于0时，设直线方程为 将点坐标代入，得，解得 故答案为：或. 变式4-2．已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【答案】 【详解】由题意可设的方程为． 因为过点， 所以，解得， 所以的方程为， 即． 变式4-3．已知直线与直线的交点为M． (1)求过点和点M的直线方程； (2)求过点M，且与垂直的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）联立两直线方程，解得，即交点， 又，则， 所以直线AM的方程为，即. （2）直线变形为，斜率， 则与垂直的直线斜率， 则过点M，且与垂直的直线方程为，即. 题型05 两点间距离公式的实际应用 典｜例｜精｜析 例5．（多选）已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设，则，整理得， 解得或.当时，；当时，， 所以点的坐标是或， 故选：BD. 变｜式｜巩｜固 变式5-1．已知，，，是的中点，则________ ． 【答案】5 【详解】因为是的中点，所以，即， 所以的长为． 故答案为：5． 变式5-2．已知的三个顶点，，，则的面积为_____. 【答案】3 【详解】由题意可知：，且直线， 点到直线的距离， 所以的面积为. 故答案为：3. 变式5-3．（多选）已知顶点坐标是，则下列结论正确的是（    ） A．若为直角三角形，则或 B．若为锐角三角形，则 C．若为钝角三角形，则或 D．若为等腰三角形，则 【答案】AB 【详解】解：如图所示， 当点与D、F重合时，为直角三角形，此时或，故A对， 当点介于D、F之间时，为锐角三角形，此时，故B对， 当点于位于D点左侧且不与B点重合时，为钝角三角形，此时且，故C错误， 当点与E、F、G重合时，为等腰三角形，此时或，故D错误， 故选：AB. 题型06 点到直线距离公式的应用 典｜例｜精｜析 例6．已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 【答案】C 【详解】到直线：的距离为， 到直线：的距离为， ，两点到直线：的距离相等， ，，， ，或， 或. 故选：C. 变｜式｜巩｜固 变式6-1．点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】直线方程变形得， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 变式6-2．点到直线的最大距离是______． 【答案】 【详解】由，得，对任意， 当时，恒成立，即直线恒过定点. 设点到直线的距离，满足：， 当且仅当直线时，等号成立，即最大距离为. ， 因此点到直线的最大距离为. 变式6-3．以为顶点的的面积为10，则为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】因为，所以直线AB的方程为：，即. 所以 到直线 的距离，， 所以，代入得：. 化简得：，解得 或 . 故选：C 题型07 两条平行直线距离公式的应用 典｜例｜精｜析 例7．两条平行直线与之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】因为直线与， 所以，解得， 则方程为，即， 由平行线间距离公式得距离为，故A正确. 故选：A 变｜式｜巩｜固 变式7-1．两平行直线与间的距离为______． 【答案】 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为， 将化为， 故这两平行直线间的距离为. 变式7-2．若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．12 B． C． D．6 【答案】A 【详解】因为直线与平行，它们之间的距离是， 所以，解得， 即直线为：，即， 又两条直线之间的距离是， 所以有：，解得：或（舍去）， 所以． 变式7-3．已知直线和. (1)若，求实数的值； (2)当时，求直线与之间的距离. 【答案】(1) 或 (2) 【详解】（1）因为，故，故或. （2）因为，故，即，故或， 若，则，，此时与重合， 故，故，即， 故直线与之间的距离. 题型08 距离问题的综合运用 题型09 对称问题 典｜例｜精｜析 例8．在中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则周长的最小值为_________. 【答案】 【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为. 如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值. 设，则， 解得，即， 关于轴的对称点为， 故周长的最小值为. 故答案为：.    变｜式｜巩｜固 变式8-1．已知点，直线，直线随着取值变化而发生变化过程中，到的距离的最大值为（　　） A．3 B． C． D．5 【答案】D 【详解】直线方程可以整理为， 令，解得，即直线过定点， 当时，点到直线的距离最大， 最大距离为. 故选：D. 变式8-2．如图所示，在中，，，，为边的中点，在边上，且，交于点，则______． 【答案】 【详解】因为，，所以. 以点为原点，以为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，，，即. 因为为边的中点，所以. 因为，所以. 直线：，即. 直线：，即. 联立，解得，即. 故. 变式8-3．已知点到直线的距离均为，求直线的方程． 【答案】或或 【详解】当点在直线的同侧时，得到， 由斜率公式得直线的斜率为， 故直线的方程为，化简得， 则可设直线的方程为， 因为两平行直线间的距离为，所以，解得或， 直线的方程为或， 当点在直线的两侧时，得到线段的中点在直线上， 即点在直线上，且直线的斜率存在，可设直线为， 由点到直线的距离公式得，解得． 所以直线的方程为． 综上，直线的方程为线或或． 解题贴士 ①点关于点对称 点关于点的对称点，由中点公式：，解得。 ②点关于直线对称（高频） 求点关于直线的对称点，满足两个条件： 1.的中点在直线上： 2.与对称轴垂直，斜率关系：。 联立方程组解出。 ③直线对称 直线关于点对称：在原直线取两个点，求出对称点，两点确定对称直线； 直线关于直线对称：找原直线上两个点，求两点关于对称轴的对称点，再写直线方程。 计算中点、斜率注意符号，做完后代入检验。 典｜例｜精｜析 例9．点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点关于直线的对称点为， 由中点坐标公式得的中点为， 则的中点在直线上且直线与垂直， 所以，化简得，则， 所以点关于直线的对称点为. 故选：B 变｜式｜巩｜固 变式9-1．将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，则与点重合的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知得折线为点和的垂直平分线， 两点和连线段的中点为,斜率为， ∴其垂直平分线的斜率为1，垂直平分线方程为y=x+2， 设点关于直线的对称点为, 则，解得， 故选：A. 【点睛】本题考查点关于直线的对称点问题和线段的垂直平分线方程的求法，涉及直线垂直的条件，中点公式，属基础题. 变式9-2．光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：B 变式9-3．已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得，即．     由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为，化简为． （2）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为，则所求直线方程为，即． 题型10 线段和与差的最值问题 解题贴士 核心利用平面几何性质，结合对称点转化线段。求线段和最小，做对称点，两点之间线段最短；求线段差最大，利用三角形三边关系求解。 把动点放在直线上，将折线段转化成两点之间的直线距离。算出最值后，还要求出对应动点的坐标，完整作答题目。 典｜例｜精｜析 例10．已知、，点在轴上，且使取得最小值，则最小值为____，此时点的坐标为_____. 【答案】 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为，由对称性可知， 所以，， 当且仅当、、三点共线时，等号成立， 直线的斜率为，直线的方程为，即， 联立，可得，即点， 故当点的坐标为时，取得最小值. 故答案为：；. 变｜式｜巩｜固 变式10-1．三角形中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则三角形周长的最小值为__________. 【答案】 【详解】由，则其关于轴的对称点为， 设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 作图如下：   的周长. 故答案为：. 变式10-2．直线上的一点，到与的距离之差的绝对值的最大值为______. 【答案】 【详解】设点关于的对称点的坐标为，连接，    则，即，所以①． 因为的中点在直线上， 所以，即②． 由①②得，所以点的坐标为． 又， 当且仅当、、三点共线时，取最大值. 故的最大值为. 故答案为：. 变式10-3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 设，，， 则为点分别到点，的距离之和， 点关于轴的对称点的坐标为， 连接， 则， 当且仅当，，三点共线时取等号， 故选：B. 基础通关 一、单选题 1．直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由方程组，得，即交点为． 故选：C． 2．已知三边所在直线方程分别为，则边上的高所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设边上的高所在直线的斜率为，则有， 联立、方程，得交点， 中边上的高过点，斜率为，所在直线的方程为， 即． 故选：A. 3．已知的顶点为，，，则边上的中线长为（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【详解】设AB中点为D，根据中点坐标公式可知AB中点坐标为， 则边上的中线长即为CD长度， 根据两点间距离公式可知：， 故边上的中线长为. 故选：C. 4．已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，直线与直线平行，则有， 则两直线的方程分别为， 直线可化为，则它们之间的距离. 故选：C. 5．一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【详解】可设光线与直线交于点P， 由题意可得，点关于直线的对称点C在反射光线上， 设点，则，解得，即， 故光线从点A到点B所经过的路程是.    故选：B 6．点在直线上运动，，则的最大值是（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】因为，直线， 所以点B关于直线l的对称点，则， 所以， 因为P为直线l上的动点， 所以当C、A、P三点共线时，有最大值， 且为， 所以的最大值是. 故选：A 二、多选题 7．已知，，这三条直线有唯一公共点，则实数的可能取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意可得这三条直线交于同一点，联立， 解得直线和直线的交点坐标为， 把交点坐标代入直线的方程可得， 解得或， 故选：AC． 8．若点到直线的距离为，则（    ） A． B．a的最大值为2 C．a的最小值为 D．a只有3个不同的取值 【答案】ABC 【详解】因为点到直线的距离为， 所以由点到直线的距离公式得， 化简得，解得，或， 可得，则，a的最大值为2，最小值为，a有4个不同的取值， 故A，B，C正确，D错误. 故选：ABC 三、填空题 9．点到直线的距离是__________. 【答案】/ 【详解】点到直线的距离. 故答案为： 10．已知、、三点，且，则的值为__________. 【答案】 【详解】因为、、三点，且， 则 则. 故答案为：. 11．写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 【答案】 【详解】，， 因为，所以到和距离相等的点在这两条直线的中位线上， 设中位线的方程为， 根据平行线间的距离公式可得到的距离为，到的距离为， ，解得，即， 当时，代入可得，即到直线和的距离相等. 四、解答题 12．已知中，顶点，，边上的高线所在直线与直线平行，直线经过点. (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求顶点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设点，所以线段的中点为， 由点在直线上，得， 又直线的斜率，则直线的斜率，即， 联立，解得，则. （2）因为边上的高线所在直线与直线平行， 所以边上的高线所在直线的斜率，设点， 则直线的斜率，即， 又直线经过点，所以， 联立，解得，则. 13．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，，. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于，且点在直线上，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1），，边所在直线斜率， 直线方程为：，即， 即边所在直线的一般式方程为：. （2），， 点到直线的距离， 在直线上，，即， ，解得：或， 当时，；当时，； 或. 14．已知两条直线． (1)求证：直线过定点，并求出该定点的坐标； (2)若，不重合，且垂直于同一条直线，将垂足分别记为A，B，求． 【答案】(1)证明见解析， (2)或． 【分析】 【详解】（1）由直线变形得：， 对任意实数，当，即时，恒有， 所以直线过定点，该定点的坐标为. （2）由，不重合，且垂直于同一条直线，得， 因此，解得或， 当时，，则； 当，即，，则， 所以等于或． 素养提升 1．已知直线与相交于点，点为坐标原点，则直线的斜率的最大值与最小值之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线整理为， 令，得定点； 直线整理为， 令，得定点； 因为，所以，则交点在以为直径的圆上. 的中点为，半径， 圆的方程为. 设直线的方程为，则圆心到直线的距离， 整理得，解得， 所以斜率的最大值为，最小值为，最值和为. 故选： 2．已知点，，C为直线上一动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ， ， ，则直线所在方程为，整理得， 直线与直线平行， 直线与直线间距离为， ，故B正确． 故选：B． 3．设，为平面上两点，定义为，的“直角距离”.若，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】根据题意，直角距离， 令，则，， 线段长度， 由，得，代入得： ， 当时，取最小值为，此时，即，满足条件. 故选：A 4．当点到直线的距离取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵直线，可变形为，恒过定点， ∴当点到直线的距离取最大值时，. 直线的斜率， 直线的斜率为，且， 两直线斜率之积为，即，代入可得：，解得. 故选：C. 5．若点到直线的距离相等，则下列结论可能成立的是（    ） A．过原点 B．过点 C．且 D．直线可能过点 【答案】ABD 【详解】由得，直线方程为 对于A，取，则过原点和平行，满足点到直线的距离相等，正确； 对于B，当直线与直线相交时， 因为点到直线的距离相等， 所以的中点在直线上，B正确； 对于C，当时，即，此时直线与直线相交， 由B可知：，若，则，前后矛盾，C错误； 对于D，当直线与直线相交时， 由B可得，即， 即直线可能过点，D正确， 故选：ABD 6．如图，在等腰直角中，，点P是边AB上异于端点的一点，光线从点P出发经BC，CA边反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于______. 【答案】 【详解】以A为原点，AB、AC所在直线为x轴、y轴，建立如图所示平面直角坐标系， 可得，，且直线BC方程为， 的重心为，即， 设， 点P关于直线BC的对称点为，由， 解得，可得， 点关于y轴的对称点为， 根据光线反射的原理，可知，Q，R，四点共线，且，， 直线QR就是，其方程为，即， 根据直线QR经过点， 可得，解得不符合题意，舍去， 所以，，， 可得， 所以的周长 故答案为： 迁移创新 1．已知的顶点，，若经过的外心和重心的直线方程是，则顶点的坐标为______． 【答案】 【详解】设，由重心坐标公式得，的重心为， 代入方程得：，整理得： ①， 的中点为，， 的中垂线斜率为， 的中垂线方程为，即． 联立，解得， 的外心为． 外心到各顶点距离相等，则， 即， ，整理得：②， 联立①②得：或． 当时重合，舍去， 顶点的坐标是． 故答案为：． 2．在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 【答案】 【详解】因为过点的角平分线方程是，所以设， 又因为，所以线段的中点为， 又因为过点的中线的方程是， 所以， 解之得，于是， 设关于直线的对称点为， 所以， 解之得，即， 因为直线为过点的角平分线方程， 所以在直线上， 所以直线即直线， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故答案为：. 3．已知两条平行直线，，当，之间的距离最大时，__________． 【答案】2 【详解】， 由得， 直线恒过点， 同理， 由得， 直线恒过点， 两直线间最大距离为两定点之间的距离，此时直线与垂直， ， ， ，解得， 之间距离最大时，． 故答案为：2． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 直线和圆的方程 2.3 直线的交点坐标与距离公式 课标要点 1.会联立直线方程组求交点，能依据方程组解的情况，判断两条直线相交、平行、重合的位置关系。 2.熟记两点间距离公式，掌握平行坐标轴时距离简化算法，能够准确计算平面上两点之间的距离。 3.理解点到直线距离公式，会代入一般式求解距离，掌握点到坐标轴、特殊直线的距离计算方法。 4.理解两平行直线距离含义，熟练运用距离公式，会处理垂直坐标轴的平行直线距离计算问题。 学习重难点 重点： 1.通过方程组解的个数判断两直线位置关系，熟练求解两条相交直线的交点坐标。 2.掌握两点间、点到直线的距离公式，能够直接套用公式完成基础距离计算。 3.掌握平行直线间距离公式，清楚公式使用前提，会处理特殊位置直线的距离。 难点： 1.平行直线距离公式使用容易忽略 x、y 系数要统一，容易直接代入不同系数造成计算错误。 2.含参数直线问题，结合距离、交点条件求值，容易忽略平行与重合的区分，出现增根。 知识点一 两条直线的交点坐标 已知两条直线相交，设交点为，点同时在两条直线上，因此交点坐标是两直线方程联立所得方程组的解，解方程组即可求得交点坐标。 方程组解的情况对应两条直线的位置关系： 方程组的解的组数 一组解 无数组解 无解 两条直线位置关系 相交 重合 平行 即学即练 1．直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 2．若直线经过两直线和的交点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 知识点二 两点间的距离公式 已知两点，，两点间距离公式： 特别地，原点到点的距离：。 补充： 1.距离只和坐标差值有关，与两点书写先后顺序无关。 2.简化计算： ①两点连线平行轴：； ②两点连线平行轴：。 即学即练 3．从点射出的光线经轴反射后到达点，则光线从到所经过的路程为（   ） A． B． C．4 D．5 4．已知的三个顶点，，，则的形状为______． 知识点三 点到直线的距离公式 点到直线（不同时为0）的距离： 当或时，该公式依然成立。 特殊直线的距离： ①点到平行于轴直线的距离；点到轴距离。 ②点到平行于轴直线的距离；点到轴距离。 易错提醒 点到直线距离公式，直线必须整理为标准一般式。若直线是斜截式、点斜式，没有化为一般式就直接提取，容易出现符号错误。公式中分子的绝对值不可随意去掉，距离结果一定非负。 即学即练 5．点到直线的距离是________． 6．已知点到直线的距离为1，则____________. 知识点四 两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离，是夹在两条平行直线之间公垂线段的长度。 求两条平行直线，间的距离： 特殊情况： ①两直线均垂直于轴：，，距离； ②两直线均垂直于轴：，，距离。 易错提醒 使用两平行线距离公式前，必须保证两条直线的系数完全一致。如果系数不相同，要先统一，再代入公式。很多同学直接拿不同系数的方程代入，直接造成计算错误。也可以在一条直线上任取一点，转化为点到直线的距离求解。 即学即练 7．直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 8．若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 题型01 判断两直线的位置关系 解题贴士 可以联立两条直线的方程，根据方程组解的个数判断位置：一组解为相交，无数组解为重合，无解为平行。也可以对比直线一般式的系数，利用系数比例关系快速判定。 注意区分平行和重合，含参数题目算出结果后要回代检验，避免把重合误判成平行，减少解题失误。 典｜例｜精｜析 例1．若关于，的方程组无解，则实数为（   ） A． B．3 C．3或 D．1或 变｜式｜巩｜固 变式1-1．（多选）已知集合，集合，且，则（    ） A．2 B． C． D． 变式1-2．若关于、的方程组无解，则实数________ 变式1-3．已知直线，，直线与、分别交于B、C两点，若点在线段BC上，且，则的方程为____________． 题型02 两条直线的交点坐标问题 典｜例｜精｜析 例2．若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 变式2-1．直线：与直线：的交点坐标为__________. 变式2-2．已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式2-3．两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 题型03 利用直线交点坐标求解参数 典｜例｜精｜析 例3．已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 变式3-1．若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的范围是______. 变式3-2．已知直线与直线垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式3-3．已知三条直线与相交于一点，则___________. 题型04 直线交点系方程及其综合应用 解题贴士 设两相交直线：，，过交点的直线系方程为： 该方程表示过两直线交点的所有直线，但不包含直线。做题时把已知点坐标代入直线系，解出参数，回代整理得到直线方程。 做完题目一定要单独检验是否满足题干条件。如果题目所求直线恰好是，用直线系方程会漏掉这个解，容易产生漏解。 典｜例｜精｜析 例4．过直线与直线的交点，且与直线平行的直线方程为_________ 变｜式｜巩｜固 变式4-1．过直线与直线的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______. 变式4-2．已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 变式4-3．已知直线与直线的交点为M． (1)求过点和点M的直线方程； (2)求过点M，且与垂直的直线方程． 题型05 两点间距离公式的实际应用 典｜例｜精｜析 例5．（多选）已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 变式5-1．已知，，，是的中点，则________ ． 变式5-2．已知的三个顶点，，，则的面积为_____. 变式5-3．（多选）已知顶点坐标是，则下列结论正确的是（    ） A．若为直角三角形，则或 B．若为锐角三角形，则 C．若为钝角三角形，则或 D．若为等腰三角形，则 题型06 点到直线距离公式的应用 典｜例｜精｜析 例6．已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 变｜式｜巩｜固 变式6-1．点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 变式6-2．点到直线的最大距离是______． 变式6-3．以为顶点的的面积为10，则为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型07 两条平行直线距离公式的应用 典｜例｜精｜析 例7．两条平行直线与之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．4 变｜式｜巩｜固 变式7-1．两平行直线与间的距离为______． 变式7-2．若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．12 B． C． D．6 变式7-3．已知直线和. (1)若，求实数的值； (2)当时，求直线与之间的距离. 题型08 距离问题的综合运用 典｜例｜精｜析 例8．在中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则周长的最小值为_________. 变｜式｜巩｜固 变式8-1．已知点，直线，直线随着取值变化而发生变化过程中，到的距离的最大值为（　　） A．3 B． C． D．5 变式8-2．如图所示，在中，，，，为边的中点，在边上，且，交于点，则______． 变式8-3．已知点到直线的距离均为，求直线的方程． 题型09 对称问题 解题贴士 ①点关于点对称 点关于点的对称点，由中点公式：，解得。 ②点关于直线对称（高频） 求点关于直线的对称点，满足两个条件： 1.的中点在直线上： 2.与对称轴垂直，斜率关系：。 联立方程组解出。 ③直线对称 直线关于点对称：在原直线取两个点，求出对称点，两点确定对称直线； 直线关于直线对称：找原直线上两个点，求两点关于对称轴的对称点，再写直线方程。 计算中点、斜率注意符号，做完后代入检验。 典｜例｜精｜析 例9．点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 变式9-1．将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，则与点重合的点是（    ） A． B． C． D． 变式9-2．光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 变式9-3．已知直线，试求： (1)直线关于直线对称的直线方程； (2)直线关于对称的直线方程． 题型10 线段和与差的最值问题 解题贴士 核心利用平面几何性质，结合对称点转化线段。求线段和最小，做对称点，两点之间线段最短；求线段差最大，利用三角形三边关系求解。 把动点放在直线上，将折线段转化成两点之间的直线距离。算出最值后，还要求出对应动点的坐标，完整作答题目。 典｜例｜精｜析 例10．已知、，点在轴上，且使取得最小值，则最小值为____，此时点的坐标为_____. 变｜式｜巩｜固 变式10-1．三角形中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则三角形周长的最小值为__________. 变式10-2．直线上的一点，到与的距离之差的绝对值的最大值为______. 变式10-3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路最短？试求最小（    ） A． B． C． D． 基础通关 一、单选题 1．直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知三边所在直线方程分别为，则边上的高所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知的顶点为，，，则边上的中线长为（   ） A． B． C． D．6 4．已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 6．点在直线上运动，，则的最大值是（　　） A． B． C．3 D．4 二、多选题 7．已知，，这三条直线有唯一公共点，则实数的可能取值有（    ） A． B． C． D． 8．若点到直线的距离为，则（    ） A． B．a的最大值为2 C．a的最小值为 D．a只有3个不同的取值 三、填空题 9．点到直线的距离是__________. 10．已知、、三点，且，则的值为__________. 11．写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 四、解答题 12．已知中，顶点，，边上的高线所在直线与直线平行，直线经过点. (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求顶点的坐标. 13．在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，，. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于，且点在直线上，求点的坐标. 14．已知两条直线． (1)求证：直线过定点，并求出该定点的坐标； (2)若，不重合，且垂直于同一条直线，将垂足分别记为A，B，求． 素养提升 1．已知直线与相交于点，点为坐标原点，则直线的斜率的最大值与最小值之和为（   ） A． B． C． D． 2．已知点，，C为直线上一动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．设，为平面上两点，定义为，的“直角距离”.若，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 4．当点到直线的距离取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 5．若点到直线的距离相等，则下列结论可能成立的是（    ） A．过原点 B．过点 C．且 D．直线可能过点 6．如图，在等腰直角中，，点P是边AB上异于端点的一点，光线从点P出发经BC，CA边反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于______. 迁移创新 1．已知的顶点，，若经过的外心和重心的直线方程是，则顶点的坐标为______． 2．在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 3．已知两条平行直线，，当，之间的距离最大时，__________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $