4.1 比例线段 同步练习 2026-2027学年 浙教版九年级上册数学

**基本信息** 分层覆盖比例性质、黄金分割等核心知识点，从概念理解到实际应用，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|比例性质、比例线段、比例尺|直接应用概念，如选择1-3考查比例性质，填空9-11强化运算能力| |中档|黄金分割、比例线段综合|结合简单情境，如选择8舞台黄金分割列方程，填空12弦上黄金分割点计算| |提升|比例线段应用、黄金分割实际问题|综合运用与生活关联，如解答15演员高跟鞋黄金比判断，体现应用意识|

4.1 比例线段 同步练习 一、选择题 1．已知，则下列等式中正确的是（　　） A． B． C． D．， 2．一条线段的黄金分割点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 3．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 5．已知，若，则＝（　　） A．12 B．15 C．16 D．1 6．已知，则下列式子中正确的是（　　） A． B． C． D． 7．已知P为线段AB的黄金分割点，AB＝4，AP＞BP，则AP的长为（　　） A． B． C． D． 8．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中随处可见．例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长10米，主持人从舞台一侧进人，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上主持节目，则满足的方程是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知＝＝＝k，则k的值是　 　． 10．两地的实际距离是1200千米，在地图上量得这两地的距离为2厘米，则这幅地图的比例尺是1：　 　. 11．已知，则的值为　 　． 12．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为　 　． 三、解答题 13．已知线段，，，是成比例线段，其中，，，求线段的长． 14．已知，，，是的三边，且，，求的面积. 15．人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？ 16． （1）已知，，是，的比例中项，求； （2）如图，是的黄金分割点，且，，求的长． 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】比例的性质 【解析】【解答】解：A.∵，∴3x=2y，故本选项不正确； B. ∵，设，则，故本选项不正确； C. ∵，∴，故本选项正确； D.∵，∴x＝2，y＝3不一定成立，故本选项错误. 故答案为：C 【分析】根据比例的性质将等式变形并结合各选项即可判断求解. 2．【答案】B 【知识点】黄金分割 【解析】【解答】根据黄金分割点的概念，则一条线段的黄金分割点有2个. 【分析】根据黄金分割点的定义即可求解. 3．【答案】D 【知识点】比例的性质 【解析】【解答】解：， ， ， 故答案为：D． 【分析】先结合“”可得，再求出即可. 4．【答案】B 【知识点】比例线段 【解析】【解答】解：A、，A不符合题意； B、，B符合题意； C、，C不符合题意； D、，D不符合题意； 故答案为：B 【分析】根据比例线段的性质（最小的数和最大的数相乘，另外两个数相乘，它们的积相等），结合题意即可求解 5．【答案】A 【知识点】比例的性质 【解析】【解答】∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：A. 【分析】利用等比的性质可得，再将代入求出即可. 6．【答案】B 【知识点】比例的性质 【解析】【解答】解：A：∵， ∴a：b=9：12，式子错误，不符合题意； B：∵， ∴a：b=6：8，式子正确，符合题意； C：∵， ∴a：b≠（a+3)：（b+3)，式子错误，不符合题意； D：∵， ∴a：b=3：4，式子错误，不符合题意； 故答案为：B. 【分析】根据对每个选项逐一计算求解即可。 7．【答案】A 【知识点】黄金分割 【解析】【解答】解：∵P为线段AB的黄金分割点，AP＞BP， ∴， 又∵AB=4， ∴， 故答案为：A. 【分析】根据把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，则，把AB=4代入即可. 8．【答案】A 【知识点】黄金分割；列一元二次方程 【解析】【解答】设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上主持节目， 根据题意可得：， 故答案为：A. 【分析】 设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上主持节目，根据黄金分割的性质可得. 9．【答案】2或-1 【知识点】比例的性质 【解析】【解答】1.当a+b+c=0时，k=-1； 2. 当a+b+c≠0时，a+b=ck，a+c=ak，b+c=ak，把这三个式子相加得：2（a+b+c）=（a+b+c）k ∴k=2 综上所述：k=2或-1. 【分析】分两种情况：（1）当a+b+c=0时，k=-1；（2）当a+b+c≠0时，可求出k的值. 10．【答案】60000000 【知识点】比例尺 【解析】【解答】解：1200千米＝120000000厘米， 2：120000000＝1：60000000. 故答案为：60000000. 【分析】1200千米＝120000000厘米，然后根据图上距离：实际距离=比例尺进行解答. 11．【答案】 【知识点】比例的性质 【解析】【解答】解：设，则a=2k，b=3k，c=4k，所以 故答案为： . 【分析】设，用k分别表示出a，b，c，再代入求值 . 12．【答案】 【知识点】黄金分割 【解析】【解答】∵点C是靠近点的黄金分割点， ∴设BC=x，则AC=100-x， 根据题意可得：， 解得：x=， ∵支撑点是靠近点A的黄金分割点， ∴设AD=y，则BD=100-y， 根据题意可得：， 解得：y=， ∴C、D之间的距离为：100-x-y=， 故答案为：. 【分析】先利用黄金分割点的性质求出BC和AD的长，再利用线段的和差求出CD的长即可. 13．【答案】解：已知，，，是成比例线段， 根据成比例线段的定义得， 代入，，得：， 解得：， ∴线段的长为 【知识点】比例线段 【解析】【分析】根据成比例线段的性质，可得ad=bc；将已知a、b、c的值代入，即可解得d的值. 14．【答案】解：设， ∴，，， 又∵，∴， ∴，∴，， 又∵， ∴，、为两条直角边 ∴，即的面积为6. 【知识点】三角形的面积；勾股定理；比例的性质 【解析】【分析】根据题意先求出，，， 再根据， 求出k=3，最后根据勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可。 15．【答案】解：设这双高跟鞋的高度为合适， 由题意得：，解得：， ， 这双高跟鞋的高度偏高． 【知识点】黄金分割 【解析】【分析】设这双高跟鞋的高度为合适，利用黄金分割比例出方程求出x的值，再比较大小即可. 16．【答案】（1）解：∵c是a，b的比例中项， ∴c2=ab=4.5×2=9， 解得：c1=3，c2=-3， ∴c为3或-3. （2）解：∵C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB=4， ∴. 【知识点】黄金分割；比例中项 【解析】【分析】（1）根据c是a，b的比例中项，得到c2=ab，代入即可求解； （2）根据把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中，即可求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $