专题一 导数的概念及运算讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册）

本讲义聚焦高中数学导数的概念及运算核心知识点，系统梳理从导数的瞬时变化率概念，到几何意义（切线斜率）、物理意义（瞬时速度与加速度），再到基本求导公式、四则运算法则及复合函数求导的知识脉络，构建从概念理解到运算应用的学习支架。 该资料亮点在于概念诠释精准（如增量非零性、极限本质），考点覆盖全面（含导数定义、运算、切线方程多方向问题），例题与变式结合。通过抽象导数本质培养数学眼光，分类讨论切线问题发展推理思维，课中辅助教师分层教学，课后题组A、B助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

专题一 导数的概念及运算 知识点一：导数的概念和几何性质 1、概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即． 2、几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 3、物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 知识点二：导数的运算 1、求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 2、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 3、复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 【解题方法总结】 1、在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 2、过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 考点一 导数的定义　　　 例1．已知函数f(x)可导，且满足 ＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 变式1.若在处可导，则可以等于（    ）． A． B． C． D． 变式2.设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝a，则f′(x0)＝________. 变式3.已知函数f(x)的图象如图所示，f'(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　) A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)－f(2) B.0<f'(3)<f(3)－f(2)<f'(2) C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)－f(2) D.0<f(3)－f(2)<f'(3)<f'(2) 考点二 导数的基本运算 例2．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3) (4)； 变式1．求下列函数的导数： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 变式2：已知函数在上可导，函数，则等于（ ） A． B．0 C．1 D．2 变式3：定义在上的函数满足，的导函数，则___________. 考点三 求导数值 例3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝__________. 变式1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于(　　) A．－1 B．－2 C．2 D．0 变式2．已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝(　　) A. B. C. D．－2 变式3．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝2x－ln x，则f′(1)＝________. 考点四 利用导数研究曲线的切线方程 方向1、在点P处切线 例4-1．已知曲线y＝ln x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程． 变式1．曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A.y＝x B.y＝x C.y＝x＋ D.y＝x＋ 变式2．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于(　　) A．－4 B．3 C．－2 D．1 方向2、过点P的切线 例4-2．已知过原点的直线与曲线相切，则该直线的方程是______． 变式1．过点作曲线的切线，写出一条切线方程：__________. 变式2．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 方向3、公切线 例4-3．已知曲线和曲线有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为________． 变式1．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则a=（ ） A．4 B．8 C．2 D．1 变式2．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ） A． y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 方向4、已知切线求参数问题 例4-4．若直线y＝kx＋1为曲线y＝ln x的一条切线，则实数k的值是(　　) A．e B．e2 C. D. 变式1．已知函数，曲线在点处的切线方程为，则（ ） A． B． C．2 D．4 变式2．　若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是　　　　　　.  方向5、最值问题 例4-5．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离． 变式1．曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是(　　) A. B. C．1 D．2 变式2．已知a，b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，则的最小值是_______________. 题组A 基础过关练 1.设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A．2 B．-1 C．1 D． 2、已知曲线f(x)＝(x＋a)·ln x在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，则a等于(　　) A. B．1 C．－ D．－1 3、下列函数不是复合函数的是(　　) A．y＝－x3－＋1 B．y＝cos C．y＝ D．y＝(2x＋3)4 4、设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的范围是(　　) A.∪ B．[0，π) C. D.∪ 5、函数y＝x3在点(2,8)处的切线方程为(　　) A．y＝12x－16 B．y＝12x＋16 C．y＝－12x－16 D．y＝－12x＋16 6、【多选】已知曲线在点P处的切线平行于直线，那么点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 7、【多选】下列运算中正确的是(　　) A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′ B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′ C.′＝ D．(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′ 8、曲线y＝ (x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为________． 9、曲线在点处的切线方程为______． 10.已知函数f(x)＝－x3＋x＋1，g(x)＝e－2x＋1. (1)求曲线y＝f(x)过点(1，1)的切线方程；(7分) (2)若曲线y＝f(x)在点(1，1)处的切线与曲线y＝g(x)在x＝t(t∈R)处的切线平行，求t的值.(8分) 题组B 能力提升练 11.函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确是（ ） A． B． C． D． 12.设点P在曲线y＝ex上，点Q在直线y＝x上，则|PQ|的最小值为(　　) A. B. C. D. 13、已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则_________． 14.设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________. 15.若直线l既和曲线C1相切，又和曲线C2相切，则称l为曲线C1和C2的公切线.已知曲线C1：f(x)＝ex－1和曲线C2：g(x)＝1＋ln x，请写出曲线C1和C2的一条公切线方程：　　　　　　　　　　.  1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一 导数的概念及运算 知识点一：导数的概念和几何性质 1、概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即． 2、几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 3、物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 知识点二：导数的运算 1、求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 2、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 3、复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 【解题方法总结】 1、在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 2、过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 考点一 导数的定义　　　 例1．已知函数f(x)可导，且满足 ＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 【解析】由题意，知f′(3)＝ ＝－2.故选B 【解析】由图象可知，即.故选：D 变式1.若在处可导，则可以等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 变式2.设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝a，则f′(x0)＝________. 【解析】∵ ＝ ＝－3f′(x0)＝a，∴f′(x0)＝－a. 变式3.已知函数f(x)的图象如图所示，f'(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　) A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)－f(2) B.0<f'(3)<f(3)－f(2)<f'(2) C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)－f(2) D.0<f(3)－f(2)<f'(3)<f'(2) 答案　B解析　由函数f(x)的图象可知f'(3)>0，f'(2)>0，设A(2，f(2))，B(3，f(3))，则直线AB的斜率为＝f(3)－f(2)，由于曲线是上升的，故f(3)>f(2)，∴f(3)－f(2)>0，作出曲线在x＝2，x＝3处的切线，设为l1，l3，直线AB为l2，l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3， 结合图象可得l1，l2，l3的斜率满足k3<k2<k1，即0<f'(3)<f(3)－f(2)<f'(2). 考点二 导数的基本运算 例2．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3) (4)； 【解析】（1）因为，所以. （2）因为，所以.（3）因为，所以 （4）因为，所以 变式1．求下列函数的导数： （1）（2）（3）（4）（5）（6） 【解析】（1）（2） （3）（4） （5）（6）因为，所以 变式2：已知函数在上可导，函数，则等于（ ） A． B．0 C．1 D．2 【解析】∵，∴，∴.故选：B. 变式3：定义在上的函数满足，的导函数，则___________. 【解析】因为，两边同时求导可得：，故. 考点三 求导数值 例3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝__________. 【解析】因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋＝3f′(2)＋，所以f′(2)＝－. 变式1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于(　　) A．－1 B．－2 C．2 D．0 【解析】∵f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(x)为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.故选B 变式2．已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝(　　) A. B. C. D．－2 【解析】选C　因为f′(x)＝f′(1)·2xln 2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·2ln 2＋2，解得f′(1)＝，所以f′(x)＝·2xln 2＋2x，所以f′(2)＝×22ln 2＋2×2＝. 变式3．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝2x－ln x，则f′(1)＝________. 【解析】因为f(ln x)＝2x－ln x，令t＝ln x，则x＝et，所以f(t)＝2et－t，即f(x)＝2ex－x，所以 f′(x)＝2ex－1，因此f′(1)＝2e－1. 考点四 利用导数研究曲线的切线方程 方向1、在点P处切线 例4-1．已知曲线y＝ln x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程． 【解析】∵y′＝，∴k＝y′|x＝e＝，∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0. 变式1．曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A.y＝x B.y＝x C.y＝x＋ D.y＝x＋ 答案　C解析　因为y＝所以y'＝所以k＝y'|x＝1＝ 所以曲线y＝在点处的切线方程为y－(x－1)，即y＝x＋. 变式2．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于(　　) A．－4 B．3 C．－2 D．1 【解析】由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点(4，0)，与y轴交于点(0，4)，则l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，f(2)＋f′(2)＝1.故选D 方向2、过点P的切线 例4-2．已知过原点的直线与曲线相切，则该直线的方程是______． 【答案】【解析】由题意可得，设该切线方程，且与相切于点， ，整理得，∴，可得，∴.故答案为：. 变式1．过点作曲线的切线，写出一条切线方程：__________. 【答案】或（写出一条即可） 【解析】由可得，设过点作曲线的切线的切点为，则， 则该切线方程为，将代入得，解得或， 故切点坐标为或，故切线方程为或， 变式2．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【答案】【解析】∵，∴，设切点为,则,切线斜率,切线方程为：,∵切线过原点，∴,整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为： 方向3、公切线 例4-3．已知曲线和曲线有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为________． 【答案】【解析】设曲线和曲线在公共点处的切线相同， 则，由题意知，即，解得， 故切点为，切线斜率为，所以切线方程为，即， 变式1．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则a=（ ） A．4 B．8 C．2 D．1 【解析】的导数为，曲线在处的切线斜率为， 则曲线在处的切线方程为，即.由于切线与曲线相切，可联立，得，又，两线相切有一切点， 所以有，解得.故选：B. 变式2．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 【答案】D【解析】设直线在曲线上的切点为，则，函数的导数为，则直线的斜率，设直线的方程为，即，由于直线与圆相切，则，两边平方并整理得，解得，（舍）， 则直线的方程为，即.故选：D. 方向4、已知切线求参数问题 例4-4．若直线y＝kx＋1为曲线y＝ln x的一条切线，则实数k的值是(　　) A．e B．e2 C. D. 答案　D解析　设直线y＝kx＋1在曲线y＝ln x上的切点为P(x0，y0)，因为y＝ln x，所以y′＝，所以切线斜率k＝＝，所以曲线y＝ln x在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，又y0＝ln x0， 所以切线方程为y＝·x－1＋ln x0，又切线方程为y＝kx＋1，所以解得 变式1．已知函数，曲线在点处的切线方程为，则（ ） A． B． C．2 D．4 【解析】由题得，所以，所以，所以，所以，所以切点为，将代入切线方程得，∴．故选：B. 变式2．　若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是　　　　　　.  答案　[2，＋∞)解析　函数f(x)＝ln x＋2x2－ax存在与直线2x－y＝0平行的切线， 即f'(x)＝2在(0，＋∞)上有解，而f'(x)＝＋4x－a，即＋4x－a＝2在(0，＋∞)上有解， 得a＝＋4x－2在(0，＋∞)上有解，∵＋4x≥2＝4，当且仅当x＝时等号成立， ∴a≥4－2＝2，∴a的取值范围是[2，＋∞). 方向5、最值问题 例4-5．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离． 【解析】如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近．则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，所以＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为. 变式1．曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是(　　) A. B. C．1 D．2 【解析】设曲线y＝xln x在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行．∵y′＝ln x＋1， ∴＝ln x0＋1＝1，解得x0＝1，∴y0＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线x－y－2＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是.故选B 变式2．已知a，b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，则的最小值是_______________. 【解析】对求导得，因为直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，所以即，所以，所以切点为，由切点在切线y=x－a上可得即，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最小值是.故答案为：. 题组A 基础过关练 1.设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A．2 B．-1 C．1 D． 【答案】C【解析】. 故曲线在点处的切线斜率为.故选：C 2、已知曲线f(x)＝(x＋a)·ln x在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，则a等于(　　) A. B．1 C．－ D．－1 【解析】因为f(x)＝(x＋a)·ln x，x>0，所以f′(x)＝ln x＋(x＋a)·，所以f′(1)＝1＋a. 又因为f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，所以f′(1)＝－，所以a＝－.故选C 3、下列函数不是复合函数的是(　　) A．y＝－x3－＋1 B．y＝cos C．y＝ D．y＝(2x＋3)4【解析】　A 4、设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的范围是(　　) A.∪ B．[0，π) C. D.∪ 【解析】∵(sin x)′＝cos x，∴kl＝cos x，∴－1≤tan α≤1，又∵α∈[0，π)，∴α∈∪.故选A 5、函数y＝x3在点(2,8)处的切线方程为(　　) A．y＝12x－16 B．y＝12x＋16 C．y＝－12x－16 D．y＝－12x＋16 【解析】因为y′＝3x2，当x＝2时，y′＝12，切线的斜率为12，切线方程为y＝12x－16.故选A 6、【多选】已知曲线在点P处的切线平行于直线，那么点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC【详解】设，则 ，令，即，解得， 又，所以P点坐标为或．故选：BC． 7、【多选】下列运算中正确的是(　　) A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′ C.′＝D．(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′【解析】选AD 8、曲线y＝ (x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为________． 【解析】由题意可知，y′＝x·ex，y′|x＝1＝2，∴切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1.∴曲线y＝(x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为S＝×2×1＝1. 9、曲线在点处的切线方程为______． 【答案】【解析】对函数求导可得，所以， 所求切线的斜率为，故所求切线方程为，即. 10.已知函数f(x)＝－x3＋x＋1，g(x)＝e－2x＋1. (1)求曲线y＝f(x)过点(1，1)的切线方程；(7分) (2)若曲线y＝f(x)在点(1，1)处的切线与曲线y＝g(x)在x＝t(t∈R)处的切线平行，求t的值.(8分) 解　(1)由导数公式得f'(x)＝－3x2＋1，设切点坐标为(x0，y0)，切线方程为y－1＝k(x－1)，由题意可得解得或从而切线方程为2x＋y－3＝0或x－4y＋3＝0. (2)由(1)可得曲线y＝f(x)在点(1，1)处的切线方程为y＝－2x＋3，由g'(x)＝－2e－2x＋1，可得曲线y＝g(x)在x＝t(t∈R)处的切线斜率为g'(t)＝－2e－2t＋1，由题意可得－2e－2t＋1＝－2，从而t＝此时切点坐标为曲线y＝g(x)在x＝处的切线方程为y－1＝－2即y＝－2x＋2，符合题意，所以t＝. 题组B 能力提升练 11.函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确是（ ） A． B． C． D． 【解析】由图象可知，在处的切线斜率大于在处的切线斜率，且斜率为正，，，可看作过和的割线的斜率，由图象可知，.故选：B 12.设点P在曲线y＝ex上，点Q在直线y＝x上，则|PQ|的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　B解析　令y'＝ex＝得x＝－1，代入曲线y＝ex中，得P所以|PQ|的最小值即为点到直线y＝x的距离d＝. 13、已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则_________． 【解析】因为，所以，， 因为在公共点处有相同的切线，所以即， 所以故答案为： 14.设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________. 【解析】∵f′(x)＝－sin(x＋φ)，∴f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)， 令g(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)，∵其为奇函数，∴g(0)＝0，即cos φ－sin φ＝0， ∴tan φ＝，又0<φ<π，∴φ＝. 15.若直线l既和曲线C1相切，又和曲线C2相切，则称l为曲线C1和C2的公切线.已知曲线C1：f(x)＝ex－1和曲线C2：g(x)＝1＋ln x，请写出曲线C1和C2的一条公切线方程：　　　　　　　　　　.  答案　y＝x(答案不唯一，或填y＝ex－1) 解析　设公切线与C1：f(x)＝ex－1相切的切点为(x1－1)，与C2：g(x)＝1＋ln x相切的切点为(x2，1＋ln x2).由f'(x)＝ex，则f'(x1)＝则公切线方程为y＝(x－x1)＋－1，即y＝x＋(1－x1)－1；由g'(x)＝则g'(x2)＝则公切线方程为y＝(x－x2)＋ln x2＋1，即y＝·x＋ln x2， 所以解得或故曲线C1和C2的公切线方程为y＝x或y＝ex－1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $