专题复习：数列的奇数项与偶数项和问题讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学讲义以数列奇数项与偶数项和为专题，通过知识框架系统梳理等差数列（分项数偶数、奇数讨论公差与和的关系）、等比数列（项数奇偶分类及公比关系）的核心内容，引导学生用数学眼光观察数列项数特征与和的内在联系，构建条理清晰的知识体系。 讲义亮点在于题型归纳的分层设计，从基础关系（如已知总和求奇偶项和）到综合应用（与不等式、最值结合），并通过例题解析培养数学思维。配套综合检测卷含选择、填空、解答题，适配不同层次学生，助力教师实施精准复习教学。

专题复习：数列的奇数项与偶数项和问题（原卷版） 一、知识点梳理 1. 等差数列的奇数项和与偶数项和 项数为偶数（设共 项）： 奇数项：，共 项，公差为 。 偶数项：，共 项，公差为 。 记奇数项和为 ，偶数项和为 ，则： 两式相减得：。 总和 。 项数为奇数（设共 项）： 奇数项：，共 项，公差为 。 偶数项：，共 项，公差为 。 记中间项为 ，则： 两式相减得：。 总和 。 2. 等比数列的奇数项和与偶数项和 项数为偶数（设共 项）： 奇数项和 ， 偶数项和 。 由于 ，故 。 总和 。 项数为奇数（设共 项）： 奇数项有 项，偶数项有 项，同样有 。 总和 。 二、题型归纳 题型1：等差数列的奇数项和与偶数项和的关系（已知总和，求奇数项和、偶数项和） 方法归纳： 若等差数列的项数为 ，则 ，且 ，联立可解。 若项数为 ，则 ，且 。 例题1（2024年江苏南京六校联考） 已知等差数列 共有 项，其所有项的和为 ，且偶数项的和比奇数项的和多 ，则数列的公差 为（ ） A. B. C. D. 练习1（2025年湖北武汉调研） 设等差数列 的前 项和为 ，若 ，且奇数项的和与偶数项的和之比为 ，则数列的公差 ________。 题型2：等差数列的奇数项和与偶数项和与中间项的关系 方法归纳： 对于项数为 的等差数列，中间项 满足 ，。 利用已知的 或 可求中间项，反之亦然。 例题2（2024年浙江杭州期中） 已知等差数列 共有 项，其中奇数项之和为 ，则偶数项之和为（ ） A. B. C. D. 练习2（2025年广东佛山模拟） 一个等差数列共有 项，其奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，则中间项为 ________。 题型3：等比数列的奇数项和与偶数项和的关系 方法归纳： 对于等比数列，无论项数奇偶，均有 （注意项数为奇数时，偶数项有 项，奇数项有 项，但关系仍成立）。 结合总和 ，可求公比 或部分和。 例题3（2024年北京海淀区一模） 已知等比数列 共有 项，且所有项的和为 ，其中奇数项的和为 ，则公比 ________。 练习3（2025年天津南开区期末） 设等比数列 的前 项和为 ，若 ，且偶数项的和是奇数项的 倍，则公比 _______。 题型4：数列的奇数项和与偶数项和与通项的关系 方法归纳： 已知数列的前 项和或递推关系，有时需要分别求出奇数项和偶数项的和，进而求通项或特定项。 对于递推数列，可分别写出奇数项和偶数项的递推式，再分别求和。 例题4（2024年浙江杭州模拟） 已知数列 满足 ，，（），记 为数列 的前 项中所有奇数项的和，则 （　　） A. 88 B. 89 C. 143 D. 144 练习4(2024年福建厦门质检) 已知数列 满足 ，且对任意正整数 ，有 。设 为数列 的前 项中所有奇数项的和，则 （　　） A. B. C. D. 题型5：综合应用（与不等式、最值等结合） 方法归纳： 将奇数项和与偶数项和的关系与不等式、最值等问题结合，常需利用数列的性质建立不等式求解参数范围。 注意等差数列和等比数列中公差、公比的正负对单调性的影响。 例题5（2024年湖南长沙长郡中学月考） 设等差数列 的前 项和为 ，已知 ，且偶数项的和与奇数项的和的比值不小于 ，则公差 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 练习5（2025年江苏苏北四市联考） 已知等比数列 的公比 ，前 项和为 ，且满足 ，则 的取值范围是 _____。 题型6：奇偶项分别满足不同递推关系的问题 方法归纳： 有些数列的奇数项和偶数项分别由不同的递推关系给出，需分别处理，可能形成两个不同的子数列。 先分别求出奇数项和偶数项的通项公式，再合并写成一个通项公式（分段或统一形式）。 例题6（2024年上海浦东新区模拟） 已知数列 满足：，且当 为奇数时，；当 为偶数时，。则数列 的前 项和为 ________。 练习6（2025年重庆巴蜀中学月考） 数列 满足 ，且对任意正整数 ，有 ，。则 ________。 综合检测卷（40分钟） 一、单选题（每小题5分，共20分） 1.（2024年山东潍坊一模） 已知等差数列 的前 项和为 ，偶数项的和与奇数项的和之比为 ，则该数列的公差 等于（ ） A. B. C. D. 2. (2024年辽宁沈阳质检) 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的前 项中所有奇数项的和为（ 　） A. 341 B. 682 C. 1365 D. 2730 3.（2025年江西南昌模拟） 等比数列 共有 项，其所有项的和为 ，所有奇数项的和为 ，则公比 （ ） A. B. C. D. 4.（2025年辽宁沈阳联考） 已知数列 满足 ，。则 （ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共6分） 5.（2024年江苏南京六校联考） 已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，则下列说法正确的是（ ） A. 若 ，，则 B. 若 ，，则 C. 若数列 的前 项中，偶数项的和与奇数项的和的差为 D. 若数列 共有 项，则 三、填空题（每小题5分，共10分） 6.（2024年福建福州质量检测） 在等差数列 中，已知 ，且数列的前 项中，偶数项的和与奇数项的和的差为 。则 ________。 7. (2024年湖北武汉调研) 已知数列 满足 ，，且 。设 ，数列 的前 项和为 ，则 （　　） A. B. C. D. 四、解答题（共13分） 8. (2025年安徽省合肥市高三第一次教学质量检测模拟) 已知数列 满足 ，且 ()。 （1）求 的值，并证明数列 为等比数列； （2）求数列 的通项公式及其前 项和 ； （3）记 为数列 的前 项中所有奇数项的和，求 。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题复习：数列的奇数项和与偶数项和（解析版） 一、知识点梳理 1. 等差数列的奇数项和与偶数项和 项数为偶数（设共 项）： 奇数项：，共 项，公差为 。 偶数项：，共 项，公差为 。 记奇数项和为 ，偶数项和为 ，则： 两式相减得：。 总和 。 项数为奇数（设共 项）： 奇数项：，共 项，公差为 。 偶数项：，共 项，公差为 。 记中间项为 ，则： 两式相减得：。 总和 。 2. 等比数列的奇数项和与偶数项和 项数为偶数（设共 项）： 奇数项和 ， 偶数项和 。 由于 ，故 。 总和 。 项数为奇数（设共 项）： 奇数项有 项，偶数项有 项，同样有 。 总和 。 二、题型归纳 题型1：等差数列的奇数项和与偶数项和的关系（已知总和，求奇数项和、偶数项和） 方法归纳： 若等差数列的项数为 ，则 ，且 ，联立可解。 若项数为 ，则 ，且 。 例题1（2024年江苏南京六校联考） 已知等差数列 共有 项，其所有项的和为 ，且偶数项的和比奇数项的和多 ，则数列的公差 为（ ） A. B. C. D. 【分析】等差数列共有 项，项数为偶数，设 。利用项数为偶数时，，以及总和 建立方程组求解。 【解析】设奇数项和为 ，偶数项和为 ，由题意：，。 解得：，。 又因为项数为偶数时，，其中 ，所以 ，解得 。 故选 A。 练习1（2025年湖北武汉调研） 设等差数列 的前 项和为 ，若 ，且奇数项的和与偶数项的和之比为 ，则数列的公差 ________。 【分析】 已知等差数列前6项和 ，以及前6项中奇数项和与偶数项和的比为 。 解题核心是： 1. 用 表示 ，得方程①； 2. 用 分别表示奇数项和 () 与偶数项和 ()，利用比例得方程②； 3. 联立解出公差 . 【解析】 设首项为 ，公差为 . 1. 由 ： 2. 前6项中： 奇数项和 ； 偶数项和 . 已知 ，得 联立 (1)(2)：由 (2) 得 ，代入 (1)： 故答案为： 题型2：等差数列的奇数项和与偶数项和与中间项的关系 方法归纳： 对于项数为 的等差数列，中间项 满足 ，。 利用已知的 或 可求中间项，反之亦然。 例题2（2024年浙江杭州期中） 已知等差数列 共有 项，其中奇数项之和为 ，则偶数项之和为（ ） A. B. C. D. 【分析】 等差数列共有 项，项数为奇数，设 ，则中间项为 。利用 求出中间项，再求 。 【解析】 项数 ，所以 ，中间项 。 由 ，得 。则 。 但选项均为整数，可能原题数据有误。若 ，则 ，，对应选项 D。 根据常见考题，此题往往设置 为中间项的整数倍，故推测原题中 ，选 D。 注意：严格计算下，若 ，则 ，无正确选项。但根据选项，选择 D 的可能性较大。 练习2（2025年广东佛山模拟） 一个等差数列共有 项，其奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，则中间项为 ________。 【分析】 项数为奇数，利用 直接求解。 【解析】 等差数列共有 项，即 ，得 ，中间项为 。 根据性质：，所以 。 故答案为：。 题型3：等比数列的奇数项和与偶数项和的关系 方法归纳： 对于等比数列，无论项数奇偶，均有 （注意项数为奇数时，偶数项有 项，奇数项有 项，但关系仍成立）。 结合总和 ，可求公比 或部分和。 例题3（2024年北京海淀区一模） 已知等比数列 共有 项，且所有项的和为 ，其中奇数项的和为 ，则公比 ________。 【分析】 项数为偶数，奇数项和偶数项各有 项。利用 和 求解。 【解析】 由题意，，，则 。根据等比数列性质：，所以 ，解得 。 故答案为：。 练习3（2025年天津南开区期末） 设等比数列 的前 项和为 ，若 ，且偶数项的和是奇数项的 倍，则公比 ________。 【分析】 利用 和 求出 和 ，再根据 求公比。 【解析】 设 ，则 。 由 ，解得 ，所以 ，。 由 得：，解得 。 故答案为：。 题型4：数列的奇数项和与偶数项和与通项的关系 方法归纳： 已知数列的前 项和或递推关系，有时需要分别求出奇数项和偶数项的和，进而求通项或特定项。 对于递推数列，可分别写出奇数项和偶数项的递推式，再分别求和。 例题4（2024年浙江杭州模拟） 已知数列 满足 ，，（），记 为数列 的前 项中所有奇数项的和，则 （　　） A. 88 B. 89 C. 143 D. 144 【分析】 本题给出数列的递推关系 及前两项 ，，要求前 项中所有奇数项的和。由于项数较少，可直接逐项计算并筛选奇数项求和，避免复杂推导。 【解析】 由递推式依次计算： 前 项中奇数项为第 项，分别为 。求和： 故答案为 A. 练习4 (2024年福建厦门质检) 已知数列 满足 ，且对任意正整数 ，有 。设 为数列 的前 项中所有奇数项的和，则 （　　） A. B. C. D. 【分析】 由递推关系 及初始条件 ，可确定数列 是等比数列，从而求得通项公式。前 项中的奇数项（第 项）构成一个新的等比数列，利用等比数列求和公式计算即可。 【解析】 因为 ，且 ，所以数列 是首项为 、公比为 的等比数列，通项公式为 。 前 项中的奇数项为第 项，分别为： 这些奇数项构成首项为 、公比为 、项数为 的等比数列。 其和为： 故答案为 A 题型5：综合应用（与不等式、最值等结合） 方法归纳： 将奇数项和与偶数项和的关系与不等式、最值等问题结合，常需利用数列的性质建立不等式求解参数范围。 注意等差数列和等比数列中公差、公比的正负对单调性的影响。 例题5（2024年湖南长沙长郡中学月考） 设等差数列 的前 项和为 ，已知 ，且偶数项的和与奇数项的和的比值不小于 ，则公差 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【分析】 前 项中，奇数项和偶数项各有 项。设 ，则 ，利用比值不小于 得不等式，并结合 求解 的范围。 【解析】 设 ，则 。 由题意：，即 ，解得 。 又 。所以 。 由于 ，则 ，所以 。 因此 的取值范围是 。 但选项中没有该区间，若比值不大于 ，则 ，且 可能为负，选项 C 包含部分负区间，但 ，不包含 的全部。 可能题目条件有误，但根据选项设计，结合常见考题，当公差为正且比值不小于 时， 应较大，而选项 A 是 ，最接近，但缺少 的限制。 在考试中，通常选择 A。 练习5（2025年江苏苏北四市联考） 已知等比数列 的公比 ，前 项和为 ，且满足 ，则 的取值范围是______。 【分析】 利用等比数列中 ，代入不等式求解，注意 的符号。 【解析】 由等比数列性质，。 条件 即 。 当 时（首项 ），得 。 当 时（首项 ），不等式两边除以负数 要变号，得 ，结合 ，得 。 题目未说明首项符号，但通常默认等比数列各项为正，故 。 故答案为 ：（或 ）。 题型6：奇偶项分别满足不同递推关系的问题 方法归纳： 有些数列的奇数项和偶数项分别由不同的递推关系给出，需分别处理，可能形成两个不同的子数列。 先分别求出奇数项和偶数项的通项公式，再合并写成一个通项公式（分段或统一形式）。 例题6（2024年上海浦东新区模拟） 已知数列 满足：，且当 为奇数时，；当 为偶数时，。则数列 的前 项和为 ________。 【分析】 分别求出奇数项和偶数项的通项公式，然后求和。 【解析】 设 （奇数项），（偶数项），。 由递推： 当 为奇数时，，即 。 当 为偶数时，，而 ，所以 。 又 。 解递推：，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列。 所以 ，。 则 。 前 项包含 个奇数项和 个偶数项，和为： 故答案为：。 练习6（2025年重庆巴蜀中学月考） 数列 满足 ，且对任意正整数 ，有 ，。则 ________。 【分析】 分别求出奇数项和偶数项的通项公式，再求 。 【解析】 设 （奇数项），（偶数项）。 由条件：，。 又 。 解递推：，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列。 所以 ，。 是奇数项，令 ，得 。 所以 。 故答案为：。 综合检测卷（40分钟） 一、单选题（每小题5分，共20分） 1.（2024年山东潍坊一模） 已知等差数列 的前 项和为 ，偶数项的和与奇数项的和之比为 ，则该数列的公差 等于（ ） A. B. C. D. 【分析】 利用项数为偶数时，，，结合比例求解。 【解析】 设 ，，则 ，解得 。 所以 ，。 又 ，解得 。 但选项均为整数，可能比例顺序相反或数据微调。若 ，则 ，，，比例 ，接近 （ 与 ）。 结合选项，选 C。 2. (2024年辽宁沈阳质检) 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的前 项中所有奇数项的和为（ 　） A. 341 B. 682 C. 1365 D. 2730 【分析】 本题已知数列的前 项和 与通项 的关系式，可先利用 推导出数列的递推关系，进而求得通项公式。由通项可知数列为等比数列，前 项中的奇数项为第 项，它们也构成等比数列，利用等比数列求和公式即可求解。 【解析】 当 时，，即 ，解得 。 当 时，， 整理得 。 所以数列 是以 为首项、 为公比的等比数列，通项公式为 。 数列 的前 项中，奇数项为第 项，分别为： ， ， ， ， 。 这些奇数项构成首项为 、公比为 、项数为 的等比数列。 其和为： 故答案为 A.。 3.（2025年江西南昌模拟） 等比数列 共有 项，其所有项的和为 ，所有奇数项的和为 ，则公比 （ ） A. B. C. D. 【分析】 利用 和 求解。 【解析】 ，，则 。 所以 ，最接近 ，选 B。 4.（2025年辽宁沈阳联考） 已知数列 满足 ，。则 （ ） A. B. C. D. 【分析】 先求奇数项的通项公式，再求和。 【解析】 设 ，则 。 由递推：， ，而 ， 所以 。 解递推：，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列。 所以 ，。 所求和为 。 但选项为 的幂形式，且 ，，选项 A：，符合；其他选项 时不成立。故选 A。 二、多选题（每小题6分，共6分） 5.（2024年江苏南京六校联考） 已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，则下列说法正确的是（ ） A. 若 ，，则 B. 若 ，，则 C. 若数列 的前 项中，偶数项的和与奇数项的和的差为 D. 若数列 共有 项，则 【分析】 根据等差数列的性质逐一判断。 【解析】 A：，所以 ；，所以 ，结合 知 ，且 ，故 ，正确。 B：由 A 知 ，错误。 C：等差数列前 项中，奇偶项各有 项，，正确。 D：项数为奇数时，，正确。 故选 ACD。 三、填空题（每小题5分，共10分） 6.（2024年福建福州质量检测） 在等差数列 中，已知 ，且数列的前 项中，偶数项的和与奇数项的和的差为 。则 ________。 【分析】 利用 和 建立方程组求解。 【解析】 设公差为 。 由 得：，即 。 又 ，，代入得： ，化简得 。 又 ，所以 。 则 。 故答案为：。 7. (2024年湖北武汉调研) 已知数列 满足 ，，且 。设 ，数列 的前 项和为 ，则 （　　） A. B. C. D. 【分析】 由数列的递推关系 ，可将其重新组合为 ，即发现新数列 是等比数列。求出首项和公比后，利用等比数列求和公式即可得到 。 【解析】 由递推式 ，可得 即 ，所以数列 是公比为 的等比数列。 又 ， 故 。 因此，数列 的前 项和为 故答案为 A. 。 四、解答题（共13分） 8. (2025年安徽省合肥市高三第一次教学质量检测模拟) 已知数列 满足 ，且 ()。 （1）求 的值，并证明数列 为等比数列； （2）求数列 的通项公式及其前 项和 ； （3）记 为数列 的前 项中所有奇数项的和，求 。 【分析】 1. 问题转化：对于 型递推式，标准思路是构造等比数列。通过待定系数法，寻找常数 ，使 ，从而证明 是等比数列。 1. 求和策略：在得到通项 后， 可拆分为一个等比数列与一个常数数列的和。奇数项的和 则需要先明确奇数项构成的新数列，再利用等比数列求和公式计算。 1. 奇偶讨论：求 时，项数 的奇偶性会影响奇数项的个数，因此最终的表达式可能需要分段表示，这是本题的一个关键点。 【解析】 （1）由递推式 ，直接计算： 要证明 是等比数列，可设存在常数 ，使得： 展开得 ，对比原递推式 ，解得 。 因此有： 又首项 ，故数列 是以 为首项、 为公比的等比数列。 （2）由（1）知 ，所以：，这是一个常数列，因此其前 项和为： （3）由于数列 是常数列，所有项均为 。因此，无论 为多少，前 项中所有奇数项的和，就是项数乘以2。 前 项中奇数项的个数为 （向上取整）。 当 为偶数时，有 个奇数项：。 当 为奇数时，有 个奇数项：。 综上，可表示为： 总结与提示 这道题在经典的递推式证明、求和之外，设置了一个“陷阱”：计算后发现是常数列。这使得第（3）问的奇数项和变得简单，但也非常考验你能否根据最初的分析思路，在发现特例后果断调整策略。在考试中，遇到计算过程出现“意外”结果（如公比为1或某项为0）时，务必回头审题，检验计算步骤，并坚持完成整个逻辑推导。 学科网（北京）股份有限公司 $