2.4 解直角三角形的应用 课件　2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦解直角三角形的应用，核心知识点为仰角、俯角概念及实际问题求解。课堂导入通过温故知新环节回顾三角函数选择与直角三角形求解，结合探险者估算水平距离的实际问题，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以数学建模和数形结合为核心，通过东方明珠塔测量、双直角三角形等实例，培养学生抽象能力、几何直观与推理能力。课堂小结系统梳理知识结构，助力学生形成模型意识与应用意识，既提升学生解决实际问题的能力，也为教师提供分层教学资源与完整教学流程。

2.4 解直角三角形的应用 第二章 初中数学 1 经历实际问题抽象为直角三角形模型并求解的过程，感悟数学建模、数形结合思想，提升分析与解决问题的能力。 02 理解仰角、俯角的概念，会画出对应几何图形，能利用解直角三角形知识解决仰角、俯角相关的测高、测距实际问题。 01 03 在生活化问题解决中感受数学的实用价值，养成严谨的学习态度，增强运用数学知识解决实际问题的信心。 学习目标 2 问题1（函数选择） 在 中，，已知 ，，要求 的长，应选用哪个三角函数？请说明理由。 答案：选用正切。因为 是 的邻边， 是 的对边，已知邻边求对边，用 ，即 。 温故知新 3 问题2（完整求解） 在 中，，，。 （1）请画出图形，并在图上标注已知条件； （2）求 和 的长。 解答：（1）学生在练习本上画图， 标注 ，，） （2）求 ：，，，。 温故知新 4 【课本“思考”】——某探险者到达点 处，准备估算到海拔为 的山峰顶点 处的水平距离。思考： （1）山峰的海拔 是图中哪一段？点 处也有海拔吗？ （2）我们无法直接测量 、 之间的水平距离，你能帮探险者想一个可行的办法吗？ 温故知新 5 【课本“思考”】——某探险者到达点 处，准备估算到海拔为 的山峰顶点 处的水平距离。思考： （3）要用数学方法解决这个问题，我们需要知道哪些数据？ 温故知新 6 从实际问题到数学问题 如图2.4-2，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔， AC⊥BD，垂足为点C. 用仪器先测量出点A的海拔AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角的正切就可求出A，B两点的水平距离AC. 探究新知 探究一： 7 从实际问题到数学问题 仰角：从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角。视线在水平线上方的角是仰角。 探究新知 探究一： 8 解直角三角形求解实际问题 【做一做】如图2.4-2，如果测得点A的海拔AE为1600m，仰角∠BAC=40°， 求A，B两点的水平距离AC（tan40°≈0.8391，结果精确到1m） 探究新知 探究二： 解直角三角形求解实际问题 由题意，，，，。 即 ，从而 。 探究新知 探究二： 解直角三角形求解实际问题 什么要用正切而不是正弦或余弦？在这个问题中，已知的是什么？所求的是什么？ 探究新知 探究二： 【例1】某测量人员准备测量上海东方明珠塔的高度，他站在离塔底部 的 处，用仪器测得塔顶的仰角 为 ，仪器距地面的高度 为 ，如图2.4-3所示。求上海东方明珠塔的高度 （，结果精确到 ）。 完整示范——测量东方明珠塔高度 探究新知 探究三： 解答： 在 中，，， ， ，。 。 答：上海东方明珠塔的高度BD约为468m 典例精析 13 变式1（基础——直接应用） 如图，小明在离旗杆底部 的 处，测得旗杆顶端 的仰角为 ，已知小明的眼睛距地面高度为 ，求旗杆的高度。（，结果精确到 ） 典例精析 14 解答：如图，设旗杆底部为 ，小明眼睛位置为 ，则 ，（四边形 为矩形），仪器高度 。 在 中，， C D A B 典例精析 15 旗杆高度： 答案：旗杆高度约为 。 C D A B 典例精析 16 变式2（中档——逆向思维） 如图，某建筑物高 ，从建筑物顶部 处测得地面点 的俯角为 ，求观测点 到点 的水平距离。（俯角：从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角） 典例精析 17 解答： 如图，建筑物底部为 ，。从 点看 点的俯角为 ，则 与水平线 的夹角为 。 在 中，（俯角等于 与 的夹角）， 答案：观测点 到点 的水平距离为 。 典例精析 18 变式3（提升——双直角三角形） 如图，从地面上 、 两点分别测得楼顶 的仰角为 和 ，已知 ，求楼高 。（，结果保留根号） 典例精析 19 解答： 设楼高 。 在 中，， 在 中，， 典例精析 20 由题图可知， 在左侧（仰角 ）， 在右侧（仰角 ），所以 ，且： 答案：楼高 CD=10(3+1)m（约为 27.3m）。 典例精析 21 1、如图，两座建筑物在同一水平面上，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角β，则建筑物AB与CD的高度之比为（　 　） C A. B. C. D. 课堂练习 22 2、黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是__________m．（参考数据：tan63°≈2） 51 课堂练习 23 3、如图，山上有一铁塔高．山前有一建筑物，从D点走到E点刚好能看到塔顶A，且在E点测得塔顶A的仰角为，继续往前走，到F点又刚好能看到塔底B，并测得B的仰角为，已知，求小山的高（精确到，参考数值：）． 课堂练习 24 【答案】在中，， ∴， ∴， 设，则， 在， 课堂练习 25 ． （经检验，是原方程的解，且符合题意）， 小山高约为． 课堂练习 26 （1）仰角：从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角； 俯角：从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角。 （2）解直角三角形应用问题的一般步骤： ①将实际问题抽象为数学问题 ②根据条件特点，适当选用锐角三角函数解直角三角形； ③得到数学问题的答案； ④得到实际问题的答案。 课堂小结 知识梳理 27 二、解直角三角形的三大理论依据 在 中，，、、 的对边分别记作 、、。 1. 三边之间的关系（勾股定理） 2. 两锐角之间的关系（互余关系） 3. 边与角之间的关系（锐角三角函数定义） 课堂小结 知识梳理 28 三角函数 表达式（以 为例） 表达式（以 为例） 正弦 （对边比斜边） 余弦 （邻边比斜边） 正切 （对边比邻边） 课堂小结 知识梳理 29 三、解直角三角形的条件（重要） 除直角外，已知 2个元素（其中 至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素。 易错点：如果只知道两个锐角（如 ），虽然形状确定，但大小不确定（可放大或缩小），无法求出具体的边长，因此不能解直角三角形。 课堂小结 知识梳理 30 1、如图，为测量建筑物的高，利用一架无人机 对建筑物 的点 （底部）和点 （顶部）进行观测，则下列说法错误的是（    ） A. 仰角为 B. 当无人机远离 水平飞行时，仰角增大 C. 俯角为 D. 当无人机远离 水平飞行时，俯角减小 B 【基础达标】 课后提升 31 2、如图，坡角α=30°的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影BC长为4米，则大树AB的高为（　 　） A A.米 B.米 C.米 D.米 课后提升 32 3、某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物 的高度。在建筑物旁边有一高度为 米的小楼房 ，小李同学在小楼房底部 处测得 处的仰角为 ，在小楼房顶部 处测得 处的仰角为 （ 在同一平面内， 在同一水平面上），则建筑物 的高为（ ） A A. 20 B. 15 C. 12 D. 10+5 课后提升 33 4、如图，某数学兴趣小组测量一棵树 的高度，在点 处测得树顶 的仰角为 ，在点 处测得树顶 的仰角为 ，且 三点在同一直线上，若 ，则这棵树 的高度是（ ） 　　B. C. 　　 D. A 课后提升 34 5、在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度。他们在河岸一侧的堤坝上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高 米的点 处测得堤坝正对岸 处的俯角为 ，测得堤坝顶端 处的俯角为 。已知堤坝 高 米，那么大汶河此河段的宽 为（ ）（参考数据：，，，） 　　B. 　 C. 　　D. A 课后提升 35 6、如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为．若斜面坡度为，则斜坡的长是（     ）米 A. B. C. D. 课后提升 36 7、现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B，C两地的距离为（　 　） A A.千米 B.(千米 C.千米 D.5千米 课后提升 37 8、上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，10时到达B处（如图）．从A，B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么船在B处时与小岛M的距离为（　 　） D A.海里 B.海里 C.40海里 D.海里 课后提升 38 9、如图，在坡度为的山坡上种树，已知，相邻两树的坡面距离为10米，则两树的水平距离为          米． 10、如图，某电视塔AB和楼CD的水平距离为100 m，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高为__________，楼高为________________． 8 m 课后提升 39 11、《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量到间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．实践小组为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高3的标杆和，两杆间距相距8m,在点E处观察山顶点A，测得仰角为；在点M处观察山顶点A，测得仰角为求山峰的高度．（结果精确到米．参考数据：） 课后提升 40 【答案】解：由题意得， ∴．在中，，∴， 课后提升 41 ∴． 设的长为，则， ∵， ∴， 解得． 答：山峰的高度约为 课后提升 42 12、如图所示，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，求出此时海监船与岛屿P之间的距离.(即PC的长，结果精确到0.1海里，参考数据：≈1.732，≈1.414) 课后提升 43 解　在Rt△PAB中，∵∠APB=30°，∴PB=2AB， 由题意得BC=2AB，∴PB=BC，∴∠C=∠CPB， ∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°，∴∠C=30°，∴PC=2PA， ∵PA=AB·tan 60°，且AB=20×1=20(海里)， ∴PC=2×20×≈69.3(海里). 即此时海监船与岛屿P之间的距离约为69.3海里. 课后提升 44 $