2.4 解直角三角形的应用（第1课时）-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件(湘教版·新教材)

该初中数学课件聚焦“解直角三角形的应用——仰角、俯角问题”，通过“动脑筋”环节中探险者估算山峰水平距离的问题导入，衔接锐角三角函数知识，搭建从实际问题抽象为直角三角形模型的学习支架。 其亮点在于以热气球测高楼、东方明珠塔测量等生活实例，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过例3两次仰角测量的推理过程培养数学思维，以规范解题步骤强化数学语言表达。小结清晰梳理概念与方法，助力学生提升应用意识，为教师提供完整教学流程与实例支持。

2 第2章 锐角的正弦、余弦、正切 4.4 　解直角三角形的应用 第1课时 仰角、俯角问题 3 学习目标 1.灵活运用直角三角形的各种关系，解决一些简单的实际问题，使学生进一步感受模型思想，感受数学的价值. 2.了解测量中的概念，并能灵活运用相关知识解决某些实际问题. 新课导入 在日常生活中，我们经常会碰到一些与直角三角形有关的实际问题. 对于这些问题，我们可以用所学的解直角三角形的知识来加以解决. 某探险者某天到达如 图所示的点 A 处时，他准 备估算出离他的目的地— 海拔 3 500 m 的山峰顶点 B 处的水平距离. 你能帮他 想出一个可行的办法吗？ ． A B ． ． 动脑筋 知识讲解 知识点1 解与仰角有关的问题 如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，视线在水平线下方的角叫作俯角. 典例精析 例 1：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯角为 60°，热气球与高楼的水平距离为 120 m，这栋高楼有多高（结果精确到 0.1 m）. A B C D α β 仰角 水平线 俯角 分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α = 30°，β = 60°. 在 Rt△ABD 中，α = 30°，AD = 120，所以利用解直角三角形的知识可求出 BD 的长；同理可求出 CD 的长，进而求得 BC 的长，即这栋楼的高度. 解：如图，α = 30°，β = 60°， AD = 120． 答：这栋楼高约为 277.1 m. A B C D α β 解：如图，在Rt△ABC 中，∠BAC = 25°，AC = 1000 m， 因此tan 25°==. 从而 BC = 1000×tan 25° ≈ 466.3(m), BD = 466.3 + 1.7 = 468 ( m ). 答：上海东方明珠塔的高度 BD为 468 m. 例2：如图，在离上海东方明珠塔底部 1000 m 的 A 处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为 25°，仪器距地面高 AE 为1.7 m，求上海东方明珠塔的高度 BD (结果精确到 1 m). B C A D 25° E 例3:如图，小明想测量塔 AB 的高度.他在 D 处仰望塔顶，测得仰角为 30°，再往塔的方向前进 50 m 至 C 处.测得仰角为 60°，小明的身高是1.5 m. 那么该塔有多高? (结果精确到 1 m)，你能帮小明算出该塔有多 高吗? D′ A B′ B D C′ C 分析：由图可知，塔高 AB 可以分为上下两部分，上部分 AB′ 可以在 Rt△AD′B′ 和 Rt△AC′B′ 中利用仰角的正切值求出，B′B 与 D′D 相等. 解：如图，设 AB′ = x m. 由题意知∠AD′B′ = 30°，∠AC′B′ = 60°， D′C′ = 50 m. 所以∠D′AB′ = 60°，∠C′AB′ = 30°，D′C′ = 50 m . D′ A B′ B D C′ C 知识点2 解与俯角有关的问题 45° 30° O B A 200 米 例4. 如图，直升飞机悬停在高为 200 米的大楼 AB 上方 P 点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为 30° 和45°，求飞机的高度 PO. P 解：如图，过点 P 作 PC⊥BA 交 BA 的延长线于点 C.则∠PBO =∠CPB = 45°，∠CPA = 30°．所以 PC = BC = 200 + AC，tan30° ==. 所以 AC = （100+100）米． 所以 PO = BC =（300+100）米. C 1. 如图，在高出海平面 100 米的悬崖顶A 处，观测海平面上一艘小船 B，并测得它的俯角为 45°，则船与观测者之间的水平距离 BC =_____米. B C A 100 随 堂 小 测 2. 如图，两建筑物AB 和CD 的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C 点的俯角为60°，则建筑物CD 的高为_____米. B C A D 30° 60° 3.如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α＝16°31′，求飞机A到控制点B的距离(精确到1米). 分析：利用正弦可求． 答：飞机A到控制点B的距离约为4221米． 解：在Rt△ABC中，sin B=，所以AB===4221（米）. 解：由题意，AC＝AB＝610（米）. 4. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图，新电视塔高AB为610 米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为 39°．（tan39°≈0.81） (1) 求大楼与电视塔之间的距离AC； (2) 求大楼的高度 CD（精确到 1 米）. 解：DE＝AC＝610（米）， 在 Rt△BDE 中，tan∠BDE＝. 故 BE＝DE · tan39°． 所以CD＝AE＝AB－BE＝AB - DE · tan39° ＝610－610×tan39° ≈ 116（米）. 小结 利用仰、俯角解直角三角形 仰角、俯角的概念 运用解直角三角形解决仰角、俯角问题 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 22 $